Phương pháp vị trí sai kép

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGƠ THỊ BẮC PHƯƠNG PHÁP VỊ TRÍ SAI KÉP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 10/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGÔ THỊ BẮC PHƯƠNG PHÁP VỊ TRÍ SAI KÉP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 8460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Thái Nguyên, 10/2018 i Mục lục Mở đầu Chương Các phương pháp số giải gần phương trình 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Phương pháp chia đôi 1.3 Phương pháp lặp 1.4 Phương pháp Newton-Raphson số mở rộng 15 1.5 Phương pháp dây cung 19 Chương Phương pháp vị trí sai kép 23 2.1 Phương pháp vị trí sai đơn 23 2.2 Phương pháp vị trí sai kép 35 2.3 Lịch sử phương pháp vị trí sai kép 46 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 Mở đầu Nội dung Giải phương trình hệ phương trình giảng dạy trường phổ thông thường dừng lại kỹ thuật giải (phương pháp biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, ) số lớp phương trình, hệ phương trình tương đối đơn giản Mặt khác, tốn thực tế thường dẫn đến phương trình hệ phương trình phức tạp mà giải nhờ phương pháp gần Vì vậy, việc đưa phương pháp giải gần phương trình hệ phương trình vào chương trình phổ thơng có ý nghĩa Các phương pháp giải gần phương trình hệ phương trình phi tuyến trình bày kĩ giáo trình Giải tích số, nhiên, phương pháp vị trí sai phương pháp vị trí sai kép chưa quan tâm mức tài liệu tiếng Việt Luận văn có mục đích trình bày phương pháp giải gần phương trình hệ phương trình, đặc biệt phương pháp vị trí sai phương pháp vị trí sai kép Luận văn cố gắng minh họa phương pháp giải gần thơng qua ví dụ tính tốn máy Luận văn cố gắng tìm hiểu trình bày lịch sử phương pháp vị trí sai kép Luận văn trình bày phương pháp số giải phương trình hệ phương trình, đặc biệt phương pháp vị trí sai phương pháp vị trí sai kép hai chương: Chương Các phương pháp số giải gần phương trình Nhằm kết nối làm sáng tỏ phương pháp vị trị sai phương pháp vị trí sai kép trình bày Chương 2, chương trình bày tổng quan phương pháp số giải gần phương trình Chương Phương pháp vị trí sai kép Chương trình bày phương pháp vị trí sai đơn phương pháp vị trí sai kép giải phương trình đa thức giải hệ phương trình tuyến tính Luận văn hồn thành Khoa Tốn–Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS.TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin tỏ lịng biết ơn tới lãnh đạo Khoa Tốn–Tin khoa chức trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện tốt cho tác giả q trình học tập hồn thành luận văn thời hạn Tác giả xin chân thành cám ơn PGS.TS Tạ Duy Phượng tận tình hướng dẫn tác giả nghiên cứu đề tài viết luận văn Xin cám ơn trường trung học phổ thông Hàn Thuyên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ Xin cám ơn gia đình thơng cảm động viên khích lệ tác giả hồn thành khóa học Thái Ngun, tháng 10 năm 2018 Người viết luận văn Ngô Thị Bắc Chương Các phương pháp số giải gần phương trình Trong chương này, chúng tơi giới thiệu tốn tìm nghiệm phương trình phi tuyến, phương pháp số giải phương trình phi tuyến, bao gồm phương pháp chia đôi, phương pháp lặp, phương pháp Newton, phương pháp dây cung Các phương pháp trình bày chi tiết thuật tốn ví dụ minh họa, có so sánh phương pháp 1.1 Kiến thức chuẩn bị Nhiều toán khoa học kỹ thuật phát biểu sau Bài toán 1.1.1 ([4]) Cho hàm liên tục f (x), tìm số x = ξ cho f (ξ) = Các toán gọi tốn tìm nghiệm phương trình f (x) = Định nghĩa 1.1.2 ([4]) Số x = ξ thỏa mãn f (ξ) = gọi nghiệm phương trình f (x) = hay khơng điểm hàm f (x) Hàm f (x) hàm liên tục phi tuyến Một số cách giải phương trình phi tuyến là: Tìm nghiệm giải tích: thực với số phương trình đặc biệt Phương pháp đồ thị: hữu ích cho việc đưa dự đốn ban đầu cho phương pháp khác Phương pháp số: gồm phương pháp mở phương pháp bracket (khoảng) Các phương pháp bracket bắt đầu với khoảng phân ly chứa nghiệm sử dụng thủ tục để thu khoảng phân ly nhỏ chứa nghiệm Ví dụ phương pháp chia đơi, phương pháp vị trí sai Trong phương pháp mở, phương pháp bắt đầu với dự đoán ban đầu Trong lần lặp, ta tìm dự đốn nghiệm Các phương pháp mở thường hữu ích phương pháp bracket chúng khơng hội tụ tới nghiệm Một số phương pháp mở thường gặp phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton-Raphson, phương pháp dây cung Cách phân loại phương pháp giải phương trình phi tuyến minh họa hình sau Hình 1.1: Phân loại phương pháp giải phương trình phi tuyến Hầu hết phương pháp số tìm nghiệm chất phương pháp lặp Ý tưởng phương pháp lặp là: Bắt đầu với phép xấp xỉ ban đầu x0 , xây dựng dãy lặp {xk } công thức lặp với hy vọng dãy hội tụ tới nghiệm f (x) = Hai khía cạnh quan trọng phương pháp lặp là: hội tụ tiêu chuẩn dừng Việc xác định tiêu chuẩn dừng thống phức tạp nhiều lý Dưới tiêu chuẩn thơ, sử dụng để dừng phép lặp chương trình máy tính Tiêu chuẩn dừng phương pháp lặp tìm nghiệm ([4]) Chấp nhận x = ck nghiệm f (x) = thỏa mãn tiêu chuẩn sau: |f (ck )| ≤ ε (Giá trị hàm nhỏ giới hạn chấp nhận được) |c − ck | k−1 ≤ ε (Sự thay đổi tương đối nhỏ giới |ck | hạn chấp nhận được) Số lần lặp k lớn số N xác định trước 1.2 Phương pháp chia đôi Như tên gợi ý từ tên phương pháp, phương pháp dựa việc chia đôi liên tục khoảng chứa nghiệm Ý tưởng phương pháp đơn giản Ý tưởng chính: Giả sử f hàm liên tục đoạn [a, b] f (a).f (b) < phương trình f (x) = có nghiệm thực x = ξ nằm đoạn [a, b] a+b điểm nằm [a, b] Nếu Chia đôi đoạn [a, b] đặt c = f (c) = c nghiệm Ngược lại, hai đoạn [a, c] [c, b] chứa nghiệm Tìm đoạn mà chứa nghiệm tiếp tục chia đơi đoạn Tiếp tục q trình chia nghiệm nằm đoạn đủ nhỏ cho đảm bảo độ xác yêu cầu Để thực thi ý tưởng trên, ta phải biết phép lặp đoạn hai đoạn chứa nghiệm f (x) = Định lý giá trị trung gian giải tích giúp ta xác định khoảng phép lặp Chứng minh định lý xem giáo trình giải tích Định lý 1.2.1 (Định lý giá trị trung gian) Giả sử (i) f (x) liên tục đoạn đóng [a, b], (ii) M số nằm f (a) f (b) Khi đó, tồn số c thuộc [a, b] cho f (c) = M Hệ quả: Giả sử (i) f (x) liên tục đoạn đóng [a, b], (ii) f (a) f (b) ngược dấu Khi tồn nghiệm x = c f (x) = đoạn [a, b] Thuật toán 1.2.2 (Phương pháp chia đôi, [4]) Đầu vào: f (x) hàm cho trước, a0 , b0 hai số thỏa mãn f (a0 )f (b0 ) < Đầu ra: Một phép xấp xỉ nghiệm f (x) = [a0 , b0 ] Với k = 0, 1, 2, , thực thỏa mãn: a + bk • Tính ck = k • Sử dụng tiêu chuẩn dừng kiểm tra ck nghiệm cần tìm Nếu dừng • Nếu ck khơng nghiệm cần tìm, kiểm tra f (ck )f (ak ) < Nếu đúng, đặt bk+1 = ck ak+1 = ak Nếu ngược lại, đặt ak+1 = ck , bk+1 = bk Kết thúc Ví dụ 1.2.3 Tìm nghiệm dương f (x) = x3 − 6x2 + 11x − = phương pháp chia đơi Giải Tìm đoạn [a, b] chứa nghiệm Vì phương pháp chia đơi tìm nghiệm đoạn [a, b] cho trước, ta phải tìm đoạn [a, b] trước Ta thực theo định lý giá trị trung gian Cho a0 = 2.5 b0 = Cả hai giả thiết định lý giá trị trung gian với f (x) đoạn [2.5, 4] (i) f (x) = x3 − 6x2 + 11x − liên tục [2.5, 4] (ii) f (2.5)f (4) = (−0.375).6 < Do đó, theo định lý giá trị trung bình tồn nghiệm f (x) = [2.5, 4] Dữ liệu đầu vào f (x) = x3 − 6x2 + 11x − a0 = 2.5, b0 = Lặp lần (k = 0): a0 + b0 = 3.25 Vì f (c0 )f (a0 ) = f (3.25)f (2.5) < 0, đặt b1 = c0 , a1 = a0 c0 = Lặp lần (k = 1): a1 + b1 = 2.8750 Vì f (c1 )f (a1 ) > 0, đặt a2 = c1 = 2.8750, b2 = b1 c1 = Lặp lần (k = 2): a1 + b1 = 3.0625 Vì f (c2 )f (a2 ) = f (3.0625)f (2.875) < 0, đặt b3 = c2 , a3 = a2 c2 = Lặp lần (k = 3): a + b2 = 2.9688 Rõ ràng phép lặp hội tụ dần nghiệm xác x = c3 = Chú ý 1.2.4 Từ phát biểu thuật toán chia đơi, thuật tốn ln ln hội tụ tới nghiệm Tuy nhiên, tốc đội hội tụ phương pháp chia đơi chậm Có thể lần lặp thứ k xảy việc tính ck bị q giới hạn máy tính Tốt ta nên tính ck ck = a k + bk − a k Tiêu chuẩn dừng Vì phương pháp lặp, ta phải xác định số tiêu chuẩn dừng mà cho phép phép lặp kết thúc Dưới số tiêu chuẩn dừng thường gặp 39 Có chứng người Ai cập người Babylon mở rộng quy tắc vị trí sai kép cho hệ phương trình bậc hai hai không dùng quy tắc theo phương pháp lặp Họ thực bước họ nhận thức toán phức tạp (dạng bậc hai), nghiệm thu phương pháp vị trí sai kép nghiệm xấp xỉ Xét ví dụ sau: Ví dụ 2.2.5 ([5]) Tách 40 thành tổng hai số cho tổng bình phương chúng 850 Giải Ví dụ viết dạng đại số thành hệ hai phương trình hai biến x + y = 40 x2 + y = 850 Để giải tốn phương pháp vị trí sai kép, lấy x0 = 30, y0 = 10, c0 = x20 + y02 − 850 = 150 Tiếp theo, lấy x1 = 20, y1 = 20, c1 = x21 + y12 − 850 = −50 Do đó, đáp án cho tốn phương x0 c1 − x1 c0 45 35 pháp vị trí sai kép x = = = 22.5 y = Tuy nhiên, ta c1 − c0 2 thấy 45 35 x2 + y = ( )2 + ( )2 = 812.5 = 850, 2 nghiệm nghiệm xấp xỉ Do đó, việc áp dụng phương pháp vị trí sai kép cho phương trình bậc hai coi thực phương pháp dây cung cho hàm bậc hai Việc sử dụng phương pháp vị trí sai kép xuất nhiều tài liệu nhiều văn minh nhiều kỉ sau chúng tìm người Ai Cập người Babylon Ví dụ, văn toán học sớm Trung Quốc cịn tồn tên Cửu chương tốn thuật(theo [2]), có niên đại từ thời nhà Hán khoảng 200 TCN nhiều học giả biên tập bổ sung qua nhiều kỷ Trong Chương (tiêu đề dịch thành “thừa khơng đủ”), hai mươi tốn dạng lập giải lớp hệ phương trình bậc hai ẩn, coi quy tắc vị trí sai kép Bài toán Chương Cửu chương toán thuật toán thừa thiếu phát biểu sau 40 Bài toán 2.2.6 ([2]) Có số người mua hàng Nếu người trả (đ), thừa (đ) Nếu người trả (đ), thiếu (đ) Hỏi có người mua hàng, giá hàng bao nhiêu? Phương pháp Viết hai dòng tương ứng số tiền thừa (hoặc thiếu) số tiền trả Cộng số tiền thừa thiếu lại chia cho hiệu số số tiền trả số người Nhân chéo với cộng lại Chia cho hiệu số số tiền trả giá tiền Áp dụng Lập bảng Nhân chéo cộng lại, ta · + · = 53 Vì hiệu số tiền trả hai lần 8−7 = nên số tổng số tiền phải trả 53 (đ) Số người mua hàng tổng số tiền thừa thiếu chia cho hiệu số số tiền trả nên (3 + 4)/1 = người Giải thích ngơn ngữ hệ phương trình bậc hai ẩn Giả sử c = f (a) = ax − y = Cần tìm hai đại lượng x (số người) y (số tiền), biết a = a1 (mỗi người trả a1 tiền) c1 = a1 x − y (thiếu c1 tiền) a = a2 (mỗi người trả a2 tiền) c2 = a2 x − y (thừa c2 tiền) Lập bảng a1 c1 a c2 Từ ta nhận x= c2 − c1 a1 c2 − a2 c1 ,y = a2 − a1 a2 − a1 Thực chất giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn a1 x − y = c1 a2 x − y = c2 Ta có D = a2 − a1 , Dx = c2 − c1 , Dy = a1 c2 − a2 c1 Suy x= Dy Dx c2 − c1 a1 c2 − a2 c1 = ,y = = D a2 − a1 D a2 − a1 41 Đây phương pháp giải dạng tốn doanh bất túc (thừa khơng đủ) Dưới ngơn ngữ đại, coi Phương pháp giải cho cơng thức tìm giao điểm hai đường thẳng y = a1 x − c1 y = a2 x − c2 Lưu ý: Ngày xưa chưa có khái niệm số âm số dương, có thừa (c2 > 0) thiếu (lẽ c1 số âm ta nói thiếu (dương) c1 ) Do thừa trừ thiếu trở thành cộng hai số dương Tương tự, a1 c2 − a2 c1 = a1 c2 + a2 |c1 | Cũng khơng có kí hiệu phương trình tốn học, tốn giải lời Bài tốn 2.2.7 ([2]) Có số người mua gà Nếu người trả (tiền), thừa 11 (tiền) Nếu người trả (tiền), thiếu 16 (tiền) Hỏi có người, giá bao nhiêu? Giải Lập bảng 11 16 Nhân chéo cộng lại, ta · 16 + · 11 = 210 Vì hiệu số tiền trả hai lần − = nên số tổng số tiền phải trả 210/3 = 70 (tiền) Số người mua gà tổng số tiền thừa thiếu chia cho hiệu số số tiền trả nên (11 + 16)/3 = (người) Bài 2.2.8 ([2]) Có số người mua đá q Nếu người trả nửa (lạng bạc), thừa (lạng) Nếu người trả phần ba (lạng), thiếu (lạng) Hỏi có người, giá bao nhiêu? Giải Lập bảng 1/2 1/3 Nhân chéo cộng lại, ta 1/2 · + 1/3 · = 17/6 Vì hiệu số tiền trả hai lần 1/2 − 1/3 = 1/6 nên số tổng số tiền phải trả (17/6)/(1/6) = 17 (lạng) Số người mua đá quí tổng số tiền thừa thiếu chia cho hiệu số số tiền trả nên (4 + 3)/(1/6) = 42 (người) 42 Bài 2.2.9 ([2]) Có số gia đình mua trâu Nếu gia đình chung trả 190 (lạng bạc), thiếu 330 (lạng) Nếu gia đình chung trả 270 (lạng), thừa 30 (lạng) Hỏi có gia đình, giá trâu bao nhiêu? 190 Giải Vì gia đình chung trả 190 lạng nên gia đình trả lạng 70 Nếu gia đình trả 270 lạng gia đình trả 30 lạng Lập bảng 190 330 30 30 Nhân chéo cộng lại, ta hai lần 30 − 190 = 20 190 · 30 + 30 · 330 = 75000 Vì hiệu số tiền trả 20 nên giá trâu ( 75000 )/( ) = 3750 (lạng) Số gia đình mua trâu (330 + 30)/( 20 ) = 126 (gia đình) Trong sách tốn viết chữ Hán chữ Nơm Việt Nam (viết gọn: sách tốn Hán Nơm) có nhiều toán dạng doanh bất túc Dưới số ví dụ Bài 2.2.10 (Tốn pháp đại thành, Lương Thế Vinh, kỉ XV) Nay có số học trò đến trường, ngồi chiếu, chiếu ngồi người thiếu người, người ngồi chiếu thừa người, hỏi có học trò, chiếu? Giải Lập bảng Nhân chéo cộng lại, ta · + · = 31 Vì hiệu số người chiếu theo hai cách ngồi − = nên số tổng số học trò 31/1 = 31 (người) Số chiếu tổng số người thừa thiếu chia cho hiệu số người chiếu theo hai cách ngồi nên (4 + 3)/1 = (chiếu) Bài toán 2.2.11 (Toán pháp đại thành, Lương Thế Vinh, kỉ XV) Nay có số quân nhân dự tiệc, bàn người thiếu người, bàn người thừa người, hỏi có quân nhân dự tiệc? Giải Lập bảng 43 Nhân chéo cộng lại, ta · + · = 66 Vì hiệu số người bàn theo hai cách ngồi − = nên số tổng số quân 66/1 = 66 (người) Số bàn tổng số người thừa thiếu chia cho hiệu số người bàn nên (6 + 3)/1 = (bàn) Bài toán 2.2.12 (Ý trai toán pháp đắc lục, Nguyễn Hữu Thận, 1829) Giả sử có người chia tiền, khơng biết số người tiền bao nhiêu, biết người lượng thừa lượng, người lượng thiếu lượng Hỏi số tiền số người bao nhiêu? Giải Lập bảng Nhân chéo cộng lại, ta · + · = 23 Vì hiệu số tiền chia theo hai cách − = nên số tổng tiền 23/1 = 23 (lượng) Số người tổng số tiền thừa thiếu chia cho hiệu số lượng nên (2 + 3)/1 = (người) Dạng tốn doanh bất túc cịn áp dụng cho trường hợp khác: hai thừa, hai thiếu, thừa đủ, Thực chất cuối dẫn tới giải hệ phương trình bậc hai ẩn Bài 2.2.13 ([2]) Một số người mua vàng Nếu người trả 400 (quan) thừa 3400 (quan) Nếu người trả 300 (quan), thừa 100 (quan) Hỏi số người giá vàng bao nhiêu? Giải Lập bảng a c1 400 3400 = a c2 300 100 Ta có giá vàng y= a1 c2 − a2 c1 400 · 100 − 300 · 3400 = = 9800 (quan) a2 − a1 300 − 400 Số người x= c2 − c1 100 − 3400 = = 33 (người) a2 − a1 300 − 400 Ngồi cịn nhiều ví dụ khác giải phương pháp vị trí sai kép 44 Ví dụ 2.2.14 Trong ví tiền có 100 la chia cho bốn anh em Adam, Benjamin, Caleb Daniel cho Benjamin nhiều Adam đô la, Caleb nhiều Benjamin đô la, Daniel nhiều gấp đôi Caleb Số tiền người bao nhiêu? Giải Sử dụng phương pháp đại số, gọi số tiền Adam x la, ta có phương trình x + (x + 4) + (x + 12) + 2(x + 12) = 100 hay x = 12 Vậy Adam nhận 12 đô la, Benjamin nhận 16 đô la, Caleb nhận 24 đô la Daniel nhận 48 đô la Sử dụng phương pháp vị trí sai kép, đầu tiền ta dự đốn x0 = nên số tiền bốn người 6, 10, 18, 36 Sai số c0 = 30 đô la Dự đoán lần thứ hai x1 = nên số tiền bốn người 8, 12, 20, 40 Sai số c1 = 20 Áp dụng công thức (2.5) ta thu nghiệm x= · 20 − · 30 x c1 − x c0 = = 12 c1 − c0 20 − 30 Do nghiệm Adam nhận 12 la, Benjamin nhận 16 đô la, Caleb nhận 24 la Daniel nhận 48 la Ví dụ 2.2.15 Tìm số cho số tăng thêm 2/3 giá trị cộng thêm 10 Giải Một cách đại số, tốn tương đương với tìm nghiệm phương trình x + x + = 10, x ∈ Q Sử dụng phương pháp vị trí sai kép, ta dự đốn x0 = 9, giá trị tính x0 + x0 + = 16 Sai số c0 = Giả sử x1 = giá trị tính x1 + x1 + = 11 Sai số c1 = Áp dụng phương pháp vị trí sai kép ta số cần tìm x= Vậy số cần tìm 5.4 x c1 − x c0 9·1−6·6 = = 5.4 c1 − c0 1−6 45 Ví dụ 2.2.16 ([5]) Khi hỏi tuổi người, anh trả lời: tuổi nhân đôi cộng thêm 12 , 31 lần số tuổi sau cộng thêm năm tất 80 Tìm tuổi anh Giải Ví dụ viết cách sử dụng ký hiệu đại số thành phương trình tuyến tính 1 2x + x + x + x + = 80 Để giải toán quy tắc vị trí sai kép, lấy x0 = 36, 1 c0 = 2x0 + x0 + x0 + x0 + − 80 = 37 Tiếp theo, lấy x1 = 12 1 c1 = 2x1 + x1 + x1 + x1 + − 80 = −37 Áp dụng công thức (2.5) ta thu nghiệm x= x c1 − x c0 36 · (−37) − 12 · 37 = 24 = c1 − c0 −37 − 37 Ví dụ 2.2.17 Trên đoạn đường thu phí, trung bình có 36000 phương tiện ngày phí la ô tô Thử nghiệm thấy tăng phí kéo theo giảm 300 phương tiện xu tăng lên Người quản lý đường cao tốc mà lên kế hoạch ngân quỹ tương lai dự báo xu hướng tiếp tục Họ có hai câu hỏi: (a) Số phương tiện giao thông giảm phí tăng lên bao nhiêu? (b) Sẽ có phương tiện giao thơng miễn phí phí đường? Giải (a) Vì ta cần tính phí số phương tiện giao thơng giảm nên ta coi biến x phí đường c = Do đó, đặt x0 = c0 = 36000 − c = 36000 Đặt x1 = 1.01 c1 = 35700 − c = 35700 Áp dụng cơng thức (2.5) ta thu phí đường cần tính x= x0 c1 − x1 c0 · 35700 − 1.01 · 36000 = = 2.2 (đô la) c1 − c0 35700 − 36000 Vậy phí đường 2.2 la khơng có phương tiện giao thơng qua (b) Vì ta cần tính số phương tiện giao thơng phí đường nên 46 ta coi biến x số phương tiện c = Do đó, đặt x0 = 36000 sai số c0 = − = Đặt x1 = 35700 sai số c1 = 1.01 − = 1.01 Áp dụng công thức (2.5) ta thu số phương tiện giao thông 36000 · 1.01 − 35700 · x0 c1 − x1 c0 = x= = 66000 (phương tiện) c1 − c0 1.01 − Vậy miễn phí đường trung bình ngày có 66000 phương tiện qua tuyến đường Ví dụ 2.2.18 Một nữ nghệ sĩ có kế hoạch bán in ký tác phẩm cô Nếu 50 in cung cấp để bán, tính phí 400 la in Tuy nhiên, cô tạo 50 in, cô phải giảm giá tất in xuống đô la cho in vượt 50 in (a) Doanh số cô giảm xuống cô đặt giá cao nào? (b) Nếu cô bán in miễn phí, phân phối in? Giải (a) Vì ta cần tính giá để doanh số giảm không nên ta biến x giá, doanh số hệ số c Do đó, đặt x0 = 400 c0 = 50 − c = 50 Đặt x1 = 395 c1 = 51 − c = 51 Áp dụng công thức (2.5) ta tính giá in 400 · 51 − 395 · 50 x c1 − x c0 = = 650 (đô la) c1 − c0 Vậy tăng giá in lên 650 đô la khơng bán in x= (b) Vì ta cần tính doanh số nên ta coi doanh số biến x Do đó, đặt x0 = 50 sai số c0 = 400 Đặt x1 = 51 sai số c1 = 395 Áp dụng cơng thức (2.5) ta tính số in x0 c1 − x1 c0 50 · 395 − 51 · 400 x= = = 130 (bản in) c1 − c0 395 − 400 Vậy cô bán in miễn phí, phân phối 130 in 2.3 Lịch sử phương pháp vị trí sai kép Phương pháp vị tri sai phương pháp vị trí sai kép có nguồn gốc từ tốn học Babilon (thế kỉ XVII trước cơng ngun), tốn học Ai Cập toán học 47 Trung Quốc Kĩ thuật nhà toán học Ấn Độ Ả Rập sử dụng Đến phương pháp dùng giải phương trình hệ phương trình Nguồn gốc phương pháp tìm thấy sách tốn giấy cói (papyrus Rhind, 1700 TCN) Tác giả Ahmes, sử dụng phương pháp để giải phương trình dạng x + n1 x = b, với n b số nguyên dương x ∈ E E tập số (theo người Egyptians) nguyên dương phân số phân số dạng n với n số ngun dương Thí dụ, tốn 24 bảng đất sét là: Bài 2.3.1 Tìm số tăng thêm số 19 Dưới ngơn ngữ đại, ta phải giải phương trình x + 17 x = 19 Ahmes giải toán sau: Bước Lấy vị trí sai x = 7, ta + = < 19 Bước Chia 19 cho nhân với 7, tức tính x theo tỉ lệ thức 19 : = x : Suy 19 · 16 · + 4+1 = = 16 + = 16 + + 8 Việc sử dụng quy tắc vị trí sai kép sớm người x= Trung Quốc sử dụng Họ thường bắt đầu với hai dự đoán, dự đoán lớn dự đoán nhỏ Đó lý họ gọi phương pháp họ ying bu-tsu, theo nghĩa đen "thừa không đủ", thường dịch thừa thiếu Một văn tốn học sớm Trung Quốc cịn tồn tên Cửu chương tốn thuật, có niên đại từ thời nhà Hán khoảng 200 TCN Liu Hui biên tập, bổ sung vào năm 263 Chương sách với tiêu đề dịch thành “thừa không đủ” dành tồn cho hai mươi tốn thừa thiếu Bài toán Chương Cửu chương toán thuật toán thừa thiếu phát biểu sau 48 Bài 2.3.2 Có số người mua hàng Nếu người trả (đ), thừa (đ) Nếu người trả (đ), thiếu (đ) Hỏi có người mua hàng, giá hàng bao nhiêu? Trong sách toán viết chữ Hán chữ Nơm Việt Nam có nhiều tốn dạng doanh bất túc Dưới số ví dụ Bài 2.3.3 (Ý trai toán pháp đắc lục, Nguyễn Hữu Thận, 1829) Giả sử có người chia tiền, biết người lượng thừa lượng, người lượng thiếu lượng Hỏi ban đầu, số tiền số người thứ bao nhiêu? Bài 2.3.4 (Ý trai toán pháp đắc lục, Nguyễn Hữu Thận, 1829) Giả sử có người chia tiền, chia cho người lượng thừa lượng, chia cho người lượng thiếu lượng, hỏi số người số tiền thứ bao nhiêu? Trong thời Trung cổ, giới Ả Rập vốn tiếng khoa học toán học Trong thực tế, từ "đại số" xuất phát từ tiêu đề văn tiếng Ả Rập quan trọng, His¯ ab al-jabr wa-l-muq¯ abala, viết nhà toán học al-Khow¯arizm¯i Baghdad khoảng năm 825 SCN Al-Khow¯arizm¯i giải số toán sách ông cách sử dụng quy tắc vị trí sai kép, mượn từ việc đọc dịch tác phẩm tốn học trước từ Trung Quốc, Ấn Độ Ai Cập Trong tiếng Ả Rập, phương pháp gọi al-khat¯ a’ayn có nghĩa “hai lần sai”, lần dựa việc dùng hai dự đốn có khả khơng xác Một học trị Al-Khow¯arizm¯a tên Ab¯ u K¯amil, gọi “máy tính Ai Cập”, viết sách việc sử dụng al-khat¯a’ayn Nhiều tiến toán học Ả Rập, bao gồm số học chữ số Ả Rập gồm 10 chữ số đặc biệt đại số Ab¯ u K¯amil, giới thiệu châu Âu vào năm 1200 Leonardo Fibonacci từ thị trấn Pisa, Italy Vào thời điểm đó, Ý lên khu vực tư giới cần có kỹ thuật tốn học để áp dụng vào thực tế đổi hàng, ngoại thương, định giá, lợi nhuận, lãi suất, trao đổi tiền tệ, trọng lượng, thừa kế vấn đề tài khác Người Ý phát minh số kỹ thuật riêng họ (như kế toán 49 kép), họ mượn nhiều kiến thức toán học từ người Ả Rập Ví dụ, Fibonacci học cách sử dụng chữ số Ả Rập cậu bé, làm việc công sở nơi cha anh quan chức hải quan bờ biển Algeria Ông chọn kỹ thuật Ả Rập khác chuyến du hành sau đến Ai Cập, Syria nơi khác Tại thị trấn Pisa Fibonacci có nhiều chim bồ câu nhiều tháp (trên thực tế, tháp nghiêng Pisa tiếng thiết kế người đương thời ông) Dưới toán sách Fibonacci, viết vào năm 1202 Ông dịch quy tắc "quy tắc elchatayn", dịch trực tiếp ông al-khat¯a’ayn Ab¯ u K¯amil Bài 2.3.5 Hai chim bắt đầu bay từ đỉnh hai tòa tháp cách 50 feet, tháp cao 40 feet, tháp lại cao 30 feet, bắt đầu lúc bay tốc độ, tới trung tâm đài phun nước hai tịa tháp lúc Tính khoảng cách từ đài phun nước tới tháp? Để giải tốn này, trước tiên ta thấy rằng, hai chim có tốc độ bay nên khoảng cách chúng bay Ta sử dụng kết để đưa dự đoán Gọi khoảng cách từ đài phun nước tới tháp cao x0 , khoảng cách từ đài phun nước tới tháp thấp x1 , c0 khoảng cách từ đài phu nước tới đỉnh tháp cao, c1 khoảng cách từ đài phu nước tới đỉnh tháp thấp Ta lập bảng dự đoán cách dự đoán khoảng cách x0 hai lần, sử dụng thực tế hai tháp cách 50 feet để tính cột thứ hai, sử dụng định lý Pytago để điền cột cột 4, cột hiệu cột cột 50 x0 x1 c20 c21 c20 − c21 30 20 2500 1300 1200 20 30 2000 1800 200 Sử dụng quy tắc vị trí sai kép, khoảng cách từ đài phun nước tới tháp cao 30 · 200 − 20 · 1200 = 18 (feet) 200 − 1200 Suy khoảng cách từ đài phun nước tới tháp thấp 32 feet Bằng chứng việc sử dụng quy tắc vị trí sai kép Ấn Độ kỷ 12 tìm thấy sách Latin khơng có tên tác giả, Liber Augmenti Diminutionis, có nghĩa ’Sách Tăng Giảm’ Quyển sách chữ Latin dịch từ sách Ả Rập quy tắc al-khat¯ a’ayn để giải phương trình tuyến tính Vào năm 1484, Chuquet hồn thành thảo ba phần có tên “Triparty” Trong phần cuối phần đầu “Triparty”, Chuquet mơ tả quy tắc vị trí sai kép mà ông gọi “the rule of two false positions” Có lẽ khởi đầu việc đặt tên tiếng Anh phát triển thành tên “Rule of Double False Position” Quy tắc vị trí sai kép ban đầu định nghĩa cho phương trình tuyến tính sử dụng, theo cách không lặp, để thu nghiệm gần cho phương trình bậc hai Năm 1540, Frisius tuyên bố ông người áp dụng quy tắc vị trí sai kép cho phương trình bậc hai dạng ax2 = b Năm 1545, Cardano sách Artis Magnae mình, chứng minh quy tắc vị trí sai kép sử dụng q trình lặp Ơng mơ tả quy tắc q trình lặp, nhiều bước phải thực để cải thiện xấp xỉ Ơng giải phương trình bậc hai bậc ba cách sử dụng quy tắc giải thích cách ơng giải vấn đề cách sử dụng quy tắc với minh họa hình học phức tạp Bây 51 có phương pháp dây cung cho phương trình phi tuyến Cardano gọi “De Regula Liberae Positionis” Chúng tổng hợp phát triển tên phương pháp vị trí sai kép bảng sau Đất nước Thế kỉ Tên gọi Ai Cập 18 TCN - Babylonia 18 TCN - Trung Quốc TCN yíng bu zú Ả Rập al-khat¯a’ayn Châu Âu 11 elchataym (two errors) Châu Phi 13 method of scales Châu Âu 15,16 rule of two false positions Mĩ 20 rule of double false position Bảng 2.3: Sự phát triển tên phương pháp vị trí sai kép 52 Kết luận Luận văn trình bày số phương pháp giải gần phương trình phi tuyến, đặc biệt quan tâm trình bày phương pháp vị trí sai phương pháp vị trí sai kép, lịch sử phát triển hai phương pháp Hy vọng luận văn giáo viên trung học phổ thông tham khảo giảng dạy phương pháp giải gần phương trình lịch sử toán học 53 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] E D P Malisani (2006), The Concept of Variable in the Passage from the Arithmetical Language to the Algebraic Language in Different Semiotic Contexts, Ph D Thesis, Comenius University Bratislava, 2006 [2] S Kangshen, J N Crossley and A W C Lun (1999), The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companions and Commentary, Oxford University Press and Science Press, Beijing, New York [3] I Klikovac and M Riedinger (2011), “A Classroom note on: An Alternative Method for Solving Linear Equations”, Mathematics and Computer Education Journal, No 1, pp 1–7 [4] M Pal (2007), Numerical Analysis for Scientists and Engineers: Theory and C Program, Alpha Science International LtHousd., Oxford, U K [5] J M Papakonstantinou (2009), Historical Development of the BFGS Secant Method and Its Characterization Properties, Ph D Thesis, Rice University, Houston, Texas, USA [6] S Ree (2012), “Meaning of the Method of Exess and Deficit”, in Conference History and Pedagogy of Mathematics 2012 16 July - 20 July, 2012, DCC, Daejeon, Korea, pp 785–791 [7] B Sendov, A Andreev and N Kjurkchiev (1994), “Numerical Solutions of Polynomial Equations”, in Serie Handbook of Numerical Analysis, Vol III, Elsevier Science, North-Holland ... bày phương pháp vị trí sai đơn phương pháp vị trí sai kép Phương pháp vị trí sai đơn cải tiến phương pháp chia đơi có chiến lược chung liệu đầu vào Phương pháp vị trí sai kép coi bước phương pháp. .. tỏ phương pháp vị trị sai phương pháp vị trí sai kép trình bày Chương 2, chương trình bày tổng quan phương pháp số giải gần phương trình 2 Chương Phương pháp vị trí sai kép Chương trình bày phương. .. Luận văn trình bày phương pháp số giải phương trình hệ phương trình, đặc biệt phương pháp vị trí sai phương pháp vị trí sai kép hai chương: Chương Các phương pháp số giải gần phương trình Nhằm