Mở đầu Đa thức là một khái niệm cơ bản và quan trọng của toán học Đa thức không chỉ là đối tượng nghiên cứu của Đại số mà còn là công cụ quan trọng được sử dụng trong các nghiên cứu của Giải tích như[.]
Mở đầu Đa thức khái niệm quan trọng tốn học Đa thức khơng đối tượng nghiên cứu Đại số mà công cụ quan trọng sử dụng nghiên cứu Giải tích Lý thuyết điều khiển, Lý thuyết tối ưu Trong kỳ thi học sinh giỏi ngồi nước tốn đa thức thường đề cập đến Vì chương trình tốn phổ thơng đa thức chuyên đề quan trọng cần thiết việc bồi dưỡng học sinh giỏi Đồng dư đa thức vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu đa thức mà trường hợp đặc biệt phương trình đồng dư đồng dư thức Theo [4], cho A trường, f (x), g(x), p(x) ∈ A[x], p(x) 6= Ta nói f (x) đồng dư với g(x) theo môđun p(x) f (x) − g(x) chia hết cho p(x) A[x] Vì "đồng dư đa thức theo mơđun đa thức" coi tổng quát khái niệm "đồng dư thức" biết Luận văn "Về đồng dư đa thức" nghiên cứu đồng dư đa thức theo môđun đa thức, đồng dư đa thức theo môđun số nguyên tố lũy thừa số nguyên tố Các kết luận văn tham khảo tài liệu [2], [4], [6], [7] Hơn nữa, đưa đặc trưng đồng dư đa thức theo môđun đa thức (Mệnh đề 2.1.2) số tính chất đồng dư đa thức theo môđun đa thức (Định lý 2.1.3) Sử dụng đồng dư đa thức, nghiên cứu số ứng dụng đồng dư đa thức giải toán sơ cấp Luận văn gồm chương Chương 1: Trình bày số kiến thức chuẩn bị đa thức số tính chất số học cần thiết cho chương sau Chương 2: Nghiên cứu đồng dư đa thức: Đồng dư đa thức theo môđun đa thức số trường hợp đặc biệt môđun số nguyên tố lũy thừa số nguyên tố Chương 3: Trình bày số ứng dụng đồng dư đa thức toán sơ cấp Mặc dù cố gắng thời gian lực nghiên cứu hạn chế nên mong góp ý thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số kiến thức đa thức ẩn kiến thức số học khái niệm đa thức, bậc, nghiệm đa thức, số định lý thường gặp Định lý phép chia với dư, Định lý Bezout, Viete, hàm Euler, số định lý quan trọng số học, nhằm thuận tiện cho việc theo dõi chương sau 1.1 1.1.1 Một số kiến thức đa thức ẩn Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho A vành giao hốn có đơn vị Một đa thức ẩn với hệ số A biểu thức có dạng: f (x) = a0 + a1 x + + am xm , ∈ A với i = 0, m x kí hiệu gọi biến Khi đó, gọi hệ số thứ i đa thức, xi gọi hạng tử thứ i đa thức, a0 gọi hạng tử tự Kí hiệu A[x] tập đa thức biến x với hệ số A Cho hai đa thức f (x) = a0 + a1 x + + an xn g(x) = b0 + b1 x + + bm xm thuộc A[x] Khơng giảm tính tổng qt, ta giả sử m > n m = n + t Khi g(x) = b0 + b1 x + + bn xn + bn+1 xn+1 + + bn+t xn+t Ta nói hai đa thức f (x) g(x) = bi với i = 0, n bn+1 = = bn+t = Định nghĩa 1.1.2 Cho hai đa thức f (x) = a0 + a1 x + + an xn g(x) = b0 + b1 x + + bm xm thuộc A[x] Khi max {n,m} f (x) + g(x) = X (ai + bi )xi i=0 f (x)g(x) = m+n i X X i=0 aj bi−j xi j=0 Quy ước = i > n bi = i > m Khi A[x] vành giao hốn có đơn vị với phép cộng phép nhân đa thức, A[x] gọi vành đa thức ẩn với hệ số A 1.1.2 Bậc đa thức Định nghĩa 1.1.3 Bậc đa thức khác A[x] f (x) = a0 + a1 x + + an−1 xn−1 + an xn n an 6= 0, kí hiệu deg f (x) = n Quy ước, đa thức khơng có bậc có bậc −∞ Sau tính chất bậc đa thức Định lý 1.1.4 Giả sử f (x), g(x) hai đa thức khác thuộc A[x] (i) Nếu f (x) + g(x) 6= n o deg f (x) + g(x) max deg f (x), deg g(x) (ii) Nếu f (x)g(x) 6= deg f (x)g(x) deg f (x) + deg g(x), đẳng thức xảy A miền nguyên 1.1.3 Phép chia với dư Định lý 1.1.5 (Định lý phép chia với dư) Cho A vành giao hốn có đơn vị f (x), g(x) hai đa thức thuộc A[x], g(x) đa thức có hệ số cao khả nghịch A Khi tồn q(x), r(x) ∈ A[x] cho f (x) = g(x)q(x) + r(x) deg r(x) < deg g(x) r(x) 6= Các đa thức q(x) r(x) định lý gọi đa thức thương dư phép chia f (x) cho g(x) Nếu r(x) = ta nói f (x) chia hết cho g(x) Kết sau hệ trực tiếp Định lý phép chia với dư trường hợp đa thức g(x) đa thức bậc có hệ số cao Hệ 1.1.6 (Định lý Bezout) Cho A vành giao hốn có đơn vị g(x) ∈ A[x], α ∈ A Khi dư phép chia f (x) cho x − α f (α) Chú ý 1.1.7 Cho f (x) ∈ A[x], α ∈ A Ta có lược đồ sau gọi lược đồ Horner để tìm thương dư phép chia f (x) cho x − α Giả sử n P f (x) = xi , an 6= Theo Định lý phép chia với dư, chia f (x) cho i=0 x − α, ta f (x) = (x − α)q(x) + r với r = f (α) deg q(x) = n − Giả sử q(x) = bn−1 xn−1 + + b1 x + b0 Đồng hệ số, ta có bn−1 = an , bn−2 = an−1 + αbn−1 , , bk−1 = ak + αbk , , b0 = a1 + αb1 , r = a0 + αb0 an an−1 a1 a0 α bn−1 = an bn−2 = an−1 + αbn−1 b0 = a1 + αb1 r = a0 + αb0 Nếu A trường, g(x) ∈ A[x], g(x) 6= hiển nhiên hệ số cao g(x) khả nghịch Vì ta có hệ sau: Hệ 1.1.8 Cho A trường f (x), g(x) hai đa thức thuộc A[x], g(x) 6= Khi tồn q(x), r(x) ∈ A[x] cho f (x) = g(x)q(x) + r(x) deg r(x) < deg g(x) r(x) 6= 1.1.4 Nghiệm đa thức Trong toàn mục này, ta giả sử A vành giao hốn có đơn vị Định nghĩa 1.1.9 Giả sử A vành vành giao hoán K Cho f (x) = a0 + a1 x + + an−1 xn−1 + an xn ∈ A[x] Khi đó, số α ∈ K gọi nghiệm đa thức f (x) K f (α) = a0 + a1 α + + an−1 αn−1 + an αn = 0, Từ Định lý Bezout ta có bổ đề sau Bổ đề 1.1.10 Phần tử α ∈ A nghiệm f (x) ∈ A[x] f (x) chia hết cho x − α Định nghĩa 1.1.11 Cho K vành giao hoán chứa vành A, f (x) ∈ A[x], α ∈ K Nếu tồn số tự nhiên k 6= cho f (x) chia hết cho (x − α)k f (x) không chia hết cho (x − α)k+1 α gọi nghiệm bội bậc k f (x) Nếu k = α gọi nghiệm đơn, k = α gọi nghiệm kép Từ Định nghĩa 1.1.11, ta có bổ đề sau: Bổ đề 1.1.12 Phần tử α ∈ K nghiệm bội bậc k f (x) ∈ A[x] f (x) chia hết cho (x − α)k Sau công thức Viete mối liên hệ nghiệm đa thức với hệ số đa thức Mệnh đề 1.1.13 (Công thức Viete) Cho A miền nguyên f (x) = a0 + a1 x + + an−1 xn−1 + an xn ∈ A[x] Giả sử α1 , α2 , , αn nghiệm f (x) miền nguyên K chứa A Khi n X αi = (−1)an−1 a−1 n i=1 X i p n ≡ r (mod (p − 1)), với r p − Khi đó, xn ≡ xr (mod p) với x 19 Chứng minh Vì n ≡ r mod (p − 1) nên n = q(p − 1) + r Nếu x 6≡ (mod p) theo Định lý Fermat ta có xp−1 ≡ (mod p) Nếu x ≡ (mod p) hiển nhiên xn ≡ xr (mod p) Sử dụng Bổ đề 2.4.3 ta thay tất số hạng có bậc x lớn p đồng dư đa thức f (x) số hạng tương đương có bậc nhỏ p cho ta đa thức nguyên r(x) có bậc nhỏ p có nghiệm tương tự đồng dư đa thức mơđun p đa thức f (x) Ví dụ 2.4.4 Xét đồng dư x11 + 2x8 + x5 + 3x4 + 4x3 + ≡ (mod 5) Đặt f (x) = x11 + 2x8 + x5 + 3x4 + 4x3 + chia f (x) cho g(x) = x5 − x Ta có f (x) = (x6 + 2x3 + x2 + 1)(x5 − x) + 5x4 + 5x3 + x + Do đồng dư tương đương với 5x4 + 5x3 + x + ≡ (mod 5), suy x + ≡ (mod 5) có nghiệm x ≡ (mod 5) Theo Bổ đề 2.4.3 11 ≡ 3, ≡ 4, ≡ theo môđun Ta thay x11 , 2x8 , x5 tương ứng x3 , 2x4 , x Từ ta có x3 + 2x4 + x + 3x4 + 4x3 + = 5x4 + 5x3 + x + ≡ x + (mod 5) Định lý 2.4.5 Cho p số nguyên tố Các số a1 , a2 , , ak ∈ Z, không đồng dư với môđun p với i = 1, k Khi , i = 1, k nghiệm đồng dư đa thức f (x) ≡ (mod p) tồn hai đa thức nguyên q(x) r(x) cho: f (x) = (x − a1 )(x − a2 ) (x − ak )q(x) + pr(x) deg r(x) < k Chứng minh Nếu tồn đa thức q(x), r(x) thỏa mãn điều kiện định lý f (aj ) = pr(aj ) ≡ (mod p) Suy aj nghiệm đồng dư đa thức f (x) ≡ (mod p) với ∀j = 1, k Điều ngược lại chứng minh quy nạp theo k Với k = tồn q(x), r(x) theo Định lý 2.4.1 Giả sử định lý với k − nghiệm Khi tồn đa thức q1 (x), r1 (x) cho f (x) = (x − a1 )(x − a2 ) (x − ak−1 )q1 (x) + pr1 (x) Vì f (ak ) ≡ (mod p) nên ta có (ak − a1 )(ak − a2 ) (ak − ak−1 )q1 (ak ) ≡ (mod p) 20 (2.4) ... 1( mod p) Chương Đồng dư đa thức Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề đồng dư đa thức là: Đồng dư đa thức với môđun đa thức, đồng dư đa thức với môđun nguyên tố đồng dư đa thức với môđun... [7] Chúng đưa đặc trưng đồng dư đa thức theo môđun đa thức số tính chất 2.1 Đồng dư đa thức với môđun đa thức Trong mục này, chúng tơi trình bày đồng dư đa thức với mơđun đa thức Các kết mục tham... nói đa thức f (x) g(x) đồng dư theo môđun p(x) f (x) − g(x) p(x) Nếu f (x) g(x) đồng dư theo mơđun p(x) kí hiệu f (x) ≡ g(x) mod p(x) Mệnh đề sau đưa đặc trưng đồng dư đa thức với môđun đa