Ph¬ng ph¸p x¸c ®Þnh mÆt ph¼ng Gi¶i ph¸p h÷u Ých N¨m häc 2006 2007 A më ®Çu I Lý do chän ®Ò tμi “H×nh häc kh«ng gian” cã nhiÒu øng dông trong nhiÒu lÜnh vùc khoa häc §Æc biÖt nã cã tÝnh thùc tÕ cao vμ[.]
Giải pháp hữu ích Năm học 2006 - 2007 A mở đầu I Lý chọn đề ti Hình học kh«ng gian” cã nhiỊu øng dơng nhiỊu lÜnh vùc khoa học Đặc biệt: có tính thực tế cao v l môn đợc đa vo chơng trình Toán bậc THPT với khối lợng kiến thức xuất nhiều v da dạng, phong phú Hình học không gian l nội dung quan trọng chơng trình toán lớp 11 bậc THPT V tiếp tục nghiên cứu môn Hình học giải tích lớp 12 Từ giúp cho học sinh ngy cng nhận thức đầy đủ v sâu sắc môn hình học Do đó, muốn học tốt môn: Hình học không gian học sinh phải nắm vững khái niệm, định nghĩa, tính chất, m phải có khả đọc hình v nhạy bén việc lựa chọn kiến thức để vận dụng giải bi tập Đây l vấn đề gây khó khăn cho nhiều học sinh Qua năm giảng dạy môn Hình học không gian chơng trình toán lớp 11 bậc THPT, nhận thấy việc giải bi toán: Hình học không gian em học sinh l khó khăn, đặc biệt học sinh trung bình yếu - Để giúp em tránh đợc khó khăn nói trên, từ giúp cho em có nhiều hứng thú học toán v giải toán đạt hiệu cao hơn, đà viết đề ti ny II Phạm vi - đối tợng - sở nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Để học tốt môn Hình học không gian đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thøc cđa bé m«n vμ cã Ýt nhiỊu kinh nghiƯm, thËm chÝ cã Ýt nhiỊu nghƯ tht viƯc vÏ hình, đọc hình v hệ thống - phân loại kiến thức đặc biệt quan tâm đến vấn đề Hệ thống - phân loại kiến thức Trong đề ti ny chia thnh hai phần: c Quan hệ định tính d Quan hệ định lợng Đối tợng nghiên cứu Hình học không gian l phân môn chơng trình toán lớp 11, nhng học phân môn ny em học sinh thờng tỏ lúng túng, khó khăn, đặc biệt học sinh trung bình - yếu - Đề ti ny cung cấp cho em học sinh số định hớng, kinh nghiệm giải bi toán Hình học không gian Cơ sở nghiên cứu Trên lớp11 bậc THPT trờng Trung học phổ thông Cát Tiên III Phơng pháp nghiên cứu Phơng pháp Suy nghĩ - nghiên cứu, tổng hợp kinh nghiệm giảng dạy môn Hình học không gian chơng trình toán lớp 11 bậc THPT, quan sát sai lầm, khó khăn học sinh lm bi tập, bi kiểm tra, bi thi Phơng pháp bổ trợ Điều tra, thống kê v tham khảo ti liệu, với viƯc tiÕp thu cã chän läc c¸c ý kiÕn cđa đồng nghiệp Võ Thị Tha Trang Giải pháp hữu ích Năm học 2006 - 2007 Cuoỏi cuứng, cho duứ cố gắng việc tham khảo nhiều tài liệu, với việc tiếp thu có chọn lọc ý kiến bạn đồng nghiệp ghi nhận suốt nhiều năm giảng dạy, chắn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp q báu q bạn đọc Qua xin chân thành cảm ơn Sở GD&ĐT tỉnh Lâm Đồng, BGH trường THPT Cát Tiên đồng nghiệp tạo điều kiện cho hoàn thành đề tài Cát Tiên, ngày 20 tháng 02 năm 2007 Người viết Vâ ThÞ Tha -XW Võ Thị Tha Trang Giải pháp hữu ích Năm học 2006 - 2007 B Nội dung I quan hệ định tính Quan hệ liên thuộc - Cho điểm A v đờng thẳng d, đó: A thuộc d, A không thuộc d KÝ hiÖu: A ∈ d , A ∉ d - Cho điểm A v mặt phẳng (), đó: A thuộc (), A không thuộc () Kí hiÖu: A ∈ (α) , A ∉ (α) - Cho đờng thẳng d v mặt phẳng (), đó: d nằm (), d không nằm () KÝ hiÖu: d ⊂ (α) , d ⊄ (α) STT Vị trí tơng đối hai đối tợng Đối tơng Hai điểm A v B Hai đờng thẳng d v d Đờng thẳng d v mặt phẳng () Hai mặt phẳng () v () Vị trí tơng đối A v B trïng A vμ B ph©n biƯt d vμ d trùng d v d cắt (tại ®iĨm M) d vμ d’ song song víi d vμ d’ chÐo d n»m (α) d c¾t () (tại điểm M) d song song () () vμ (β) trïng (α) vμ (β) c¾t (theo giao tuyÕn d) (α) vμ (β) song song víi KÝ hiÖu A ≡ B A ≠ B d ≡ d’ d ∩ d’ = M d // d’ d ⊂ (α) d ∩ (α) = M d // (α) (α) ≡ (β) (α) ∩ (β) = d (α) // () Phơng pháp xác định đờng thẳng STT Tóm tắt néi dung ⎧a ∋ A A, B ph©n biƯt ⇒ ∃! a: ⎨ ⎩a ∋ B A ∉ b ! a: Hình vẽ minh hoạ B A a ⎧a ∋ A ⎩a // b Vâ ThÞ Tha Trang Giải pháp hữu ích Năm học 2006 - 2007 (Định lí 1- Đ1 Chơng 2-SGK trang 22) b A a a O ⎧⎪a ∋ O O, (α) ⇒ ∃! a: ⎨ ⎪⎩a ⊥ (α ) α (Định lí 2- Đ2 Chơng 3-SGK trang 62) Phơng pháp xác định mặt phẳng STT Tóm tắt nội dung Hình vẽ minh hoạ C A, B, C không thẳng hng ! (ABC) A B (Tiên đề 1- §2 Ch−¬ng 1-SGK trang 7) A A ∉ a ! (a, A) a (Định lí 2- Đ2 Chơng 1-SGK trang 9) b a ∩ b = O ! (a, b) O a (Định lí 3- Đ2 Ch−¬ng 1-SGK trang 9) b a // b ⇒ ! (a, b) a (Định nghĩa- Đ1 Chơng 2-SGK trang 22) b ⎧⎪(α ) ⊃ a ⎧⎪(α ) ⊃ b hc ⎨ ⎪⎩(α ) // b ⎪⎩(α ) // a a chÐo b ⇒ ∃! (α): ⎨ b’ A a (Định lí 4- Đ2 Chơng 2-SGK trang 30) ⎧⎪( β ) ∋ A A ∉ (α) ⇒ ∃! (β): ⎨ ⎪⎩( β ) // (α ) A (Định lí 3- Đ3 Chơng 2-SGK trang 34) a Võ Thị Tha Trang Giải pháp hữu ích Năm học 2006 - 2007 ( ) ⊃ a ⎪⎩( β ) // (α ) a // (α) ⇒ ∃! (β): ⎨ (HƯ qu¶ 1- §3 Ch−¬ng 2-SGK trang 34) ⎧⎪(α ) ∋ A ⎪⎩(α ) ⊥ a a A, a ⇒ ∃! (α): ⎨ (Định lí 1- Đ2 Chơng 3-SGK trang 61) A β a ⎧⎪( β ) ⊃ a ⎪⎩( β ) ⊥ (α ) (α) ⇒ ∃! ( β ) : (Định lí 4- Đ3 Chơng 3-SGK trang 72) Dấu hiệu nhận biết đờng thẳng nằm mặt phẳng STT a Tóm tắt nội dung A, B ∈ d ⎫⎪ ⎬ ⇒ d ⊂ (α ) A, B ∈ (α ) ⎪⎭ H×nh vÏ minh hoạ d B A (Tiên đề 2- Đ2 Chơng 1-SGK trang 7) A ∈ a // (α ) ⎫⎪ ⎬ ⇒ a ⊂ (β ) A ∈ ( β ) // ( ) (Hệ 3- Đ3 Chơng 2-SGK trang 35) A a β α β A ∈ a ⊥ (α ) ⎫⎪ ⎬ ⇒ a ⊂ (β ) A ∈ ( β ) ⊥ (α ) (Định lí 2- Đ3 Chơng 3-SGK trang 71) a A Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song STT Tóm tắt nội dung Võ Thị Tha Hình vẽ minh hoạ Trang Giải pháp hữu ích Năm học 2006 - 2007 ( ) ( β ) , a // b ⎫ ⎪ (α ) ⊃ a, ( β ) ⊃ b ⎬ ⇒ d // a // b (α ) ∩ ( β ) = d (Hệ quả- Đ1 Chơng 2-SGK trang 23) a b d β α a a ≠ b⎫ ⎪ a // c ⎬ ⇒ a // b b // c c b (Định lí 3- Đ1 Chơng 2-SGK trang 24) d // (α ) β ⎫ ⎪ d ⊂ (β ) ⎬ ⇒ a // d (α ) ∩ ( β ) = a ⎪⎭ d a (Định lí 2- Đ2 Chơng 2-SGK trang 29) β (α ) ∩ ( β ) = a ⎫ ⎪ (α ) // d ⎬ ⇒ a // d ⎪ ( β ) // d ⎭ α a d (Định lí 3- Đ2 Chơng 2-SGK trang 30) (α ) // ( β ) ⎫ ⎪ (γ ) ∩ (α ) = a ⎬ ⇒ a // b (γ ) ∩ ( β ) = b ⎪⎭ b a (Định lí 4- Đ3 Chơng 2-SGK trang 35) ⎫ ⎪ a ⊥ (α ) ⎬ ⇒ a // b ⎪ b ⊥ (α ) ⎭ a≠b a (Tính chất 4- Đ2 Chơng 3-SGK trang 64) b Dấu hiệu nhận biết đờng thẳng song song mặt phẳng STT Tóm tắt nội dung Võ Thị Tha Hình vẽ minh hoạ Trang Giải pháp hữu ích Năm học 2006 - 2007 d ( ) ⎫ ⎪ a ⊂ (α ) ⎬ ⇒ d // ( ) d // a (Định lí 1- Đ2 Chơng 2-SGK trang 29) d a a (α ) // ( β )⎫⎪ ⎬ ⇒ a // ( β ) ∀a ⊂ (α ) ⎪⎭ α (Định lí 1- Đ3 Chơng 2-SGK trang 33) a ⊄ (α ) ⎫ ⎪ a ⊥ d ⎬ ⇒ a // (α ) (α ) ⊥ d ⎪⎭ (Tính chất 5- Đ2 Chơng 3-SGK trang 64) Tóm tắt nội dung Hình vẽ minh hoạ O a ∩ b = O⎫ ⎪ a // (α ) ⎬ ⇒ ( a, b ) // (α ) ⎪ b // (α ) ⎭ α (α ) ≠ ( β ) ⎫ ⎪ (α ) // (γ ) ⎬ ⇒ (α ) // ( β ) ( β ) // (γ ) ⎪⎭ α γ β (HƯ quμ 2- §3 Ch−¬ng 2-SGK trang 34) (α ) ≠ ( β ) ⎫ ⎪ (α ) ⊥ d ⎬ ⇒ (α ) // ( β ) ( β ) ⊥ d (Tính chất 3- Đ2 Chơng 3-SGK trang 63) d Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng vuông góc STT a b (Định lí 2- Đ3 Ch−¬ng 2-SGK trang 33) a DÊu hiƯu nhËn biÕt hai mặt phẳng song song STT d Tóm tắt néi dung (a, b ) = 900 Vâ ThÞ Tha Hình vẽ minh hoạ ab Trang Giải pháp hữu ích Năm học 2006 - 2007 (Định nghĩa- Đ1 Chơng 3-SGK trang 55) c a // b ⎫ ⎬⇒c b c a a b (Định lí- Đ1 Ch−¬ng 3-SGK trang 56) d ⊥ AB ⎫ ⎬ ⇒ d ⊥ BC d ⊥ AC ⎭ d A B C (Hệ - Đ2 Chơng 3-SGK trang 60) d ⊥ (α ) ⎫⎪ ⎬⇒ d ⊥ a a ( ) (Định nghĩa - Đ2 Chơng 3-SGK trang 60) α a a’ α b DÊu hiệu nhận biết đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng STT a b ⊂ (α ) ⎫ ⎪⎪ a ' = Ch(a ) b a (Định lí đờng vuông góc) b a' (Định lí 3- Đ2 Chơng 3-SGK trang 65) 10 d Tãm t¾t néi dung a ∩ b = O⎫ ⎪ d⊥a ⎬ ⇒ d ⊥ ( a, b ) ⎪ db Hình vẽ minh hoạ d O a b (Định lí v định nghĩa- Đ2.Chơng 3-SGK trang59) ⎫⎪ ⎬ ⇒ b ⊥ (α ) a ⊥ (α ) ⎪⎭ b a a // b (TÝnh chÊt 1- §2 Ch−¬ng 3-SGK trang 62) α d (α ) // ( β )⎫⎪ ⎬ ⇒ d ⊥ (β ) d ( ) (Tính chất 2- Đ2 Chơng 3-SGK trang 63) Vâ ThÞ Tha α β Trang Giải pháp hữu ích Năm học 2006 - 2007 β (α ) ⊥ ( β ) ⎫ ⎪ (α ) ∩ ( β ) = d ⎬ ⇒ a ⊥ ( β ) (α ) ⊃ a ⊥ d b (Định lí 1- Đ3 Chơng 3-SGK trang 70) (α ) ∩ ( β ) = d ⎫ ⎪ (α ) ⊥ ( γ ) ⎬ ⇒ d ⊥ ( γ ) ⎪ ( β ) ⊥ ( ) (Định lí 3- Đ3 Chơng 3-SGK trang 72) 11 α d γ DÊu hiÖu nhËn biÕt hai mặt phẳng vuông góc STT a d Tóm tắt nội dung Hình vẽ minh hoạ a ( β ) ⎫⎪ ⎬ ⇒ ( β ) ⊥ ( ) a ( ) a (Định nghĩa- §3 Ch−¬ng 3-SGK trang 70) α *** II quan hƯ định lợng Khoảng cách STT Khoảng cách - Kí hiệu Giữa hai điểm A v B Kí hiệu: AB BA Từ điểm A đến đờng thẳng Kí hiệu: d(A, ) Từ điểm A đến mặt phẳng () KÝ hiÖu: d(A, (α)) a≡b a∩b=M Giữa hai đờng a // b thẳng a v b KÝ hiƯu: d(a, b) a chÐo b Vâ ThÞ Tha C«ng thøc AB d(A, Δ) = AH d(A, (α)) = AH Ghi AB l độ di đoạn thẳng AB H l hình chiếu vuông góc A lên H l hình chiếu vuông góc A lên () d(a, b) = A ∈ a (A tuú ý) d(a, b) = AB d(a, b) = AB B lμ hình chiếu vuông góc A lên b AB l độ di đoạn vuông góc chung a Trang Giải pháp hữu ích Năm học 2006 - 2007 v b STT Giữa đờng thẳng a v mặt phẳng () Kí hiệu: d(a, ()) Giữa hai mặt ph¼ng (α) vμ (β) KÝ hiƯu: d((α), (β)) a ⊂ (α) a ∩ (α) = M d(a, (α)) = a // (α) d(a, (α))= AH A ∈ a (A tuú ý) (α) ≡ (β) d((α), (β)) = (α) ∩ (β) = a A ∈ (α) (A tuú ý) (α) // (β) d((α), (β)) = AH Gãc - KÝ hiệu ab Giữa hai đờng thẳng a v b ab=M KÝ hiƯu: (a, b ) C«ng thøc a vμ b cắt tạo thnh góc v l số ®o cña gãc nhá nhÊt gãc ®ã (a, b ) = α (a, b ) = 900 a chÐo b STT (a, b ) = (a ', b ' ) ⇔ a⊥b a’ ∩ b’ = O a’ // a ; b’ // b Gi÷a đờng thẳng a v mặt phằng () a () 00 ≤ ( a, (α ) ) ≤ 900 a ∩ (α) = M (a, (α ) ) = (a, a ') Giữa hai mặt phằng () v () (α) ≡ (β) (α) // (β) (α ) , ( β ) ) = 00 ( (α)∩(β) = d ( (α ) , ( β ) ) = (a, b ) b ⊂ (β) , b ⊥ d KÝ hiÖu: ( a, (α ) ) KÝ hiÖu: ( (α ) , ( β ) ) 00 ≤ ( (α ) , ( β ) ) ≤ 900 Ghi chó (a, b ) = 00 00 ≤ (a, b ) 900 H l hình chiếu vuông góc cđa A lªn (β) Gãc a // b H l hình chiếu vuông góc A lên () a // (α) (a, (α ) ) = 00 a’ l hình chiếu vuông góc a lên () a ⊂ (α) , a ⊥ d hc a ⊥(α) vμ b ⊥(β) ThĨ tÝch - DiƯn tÝch ThĨ tÝch - DiƯn tÝch ThĨ tÝch cđa khèi hép ch÷ nhËt ThĨ tích khối lập phơng Võ Thị Tha Công thức V = abc V = a3 Ghi chó a, b, c : độ di ba cạnh a : độ di cạnh Trang 10 Giải pháp hữu ích Năm học 2006 - 2007 Thể tích khối lăng trụ ThĨ tÝch cđa khèi chãp ThĨ tÝch cđa khèi chãp cơt DiƯn tÝch xung quanh cđa h×nh trơ V = B.h V = h(B1+B2+ ThÓ tÝch cđa khèi trơ V =πR2h DiƯn tÝch xung quanh S = πRl xq cđa h×nh nãn ThĨ tÝch cđa khèi nãn B: diƯn tích đáy V = B.h B B B1 B2 Sxq = 2πRl V= πR2h 12 DiÖn tÝch xung quanh S = π(R + R )l xq l cđa h×nh nãn cơt ThĨ tÝch cđa khèi V = πh( R12 + R22 + R1.R2 ) nãn côt Diện tích mặt cầu S = 4R2 13 Thể tÝch khèi cÇu 10 11 V = πR3 ) h : chiều cao B: diện tích đáy h : chiều cao B1, B2: diện tích hai đáy h : chiều cao R: bán kính đáy l: đờng sinh R: bán kính đáy h : đờng cao R: bán kính đáy l: đờng sinh R: bán kính đáy h : đờng cao Rl, R2: bán kính hai đáy l: ®−êng sinh Rl, R2: b¸n kÝnh hai ®¸y h : ®−êng cao R: b¸n kÝnh B B R: b¸n kÝnh * Đề nghị HÃy liệt kê hình đợc học chơng trình Hình học lớp 11 v tính chất ? Nêu phơng pháp xác định giao tuyến hai mặt phẳng ? Nêu phơng pháp xác định đoạn vuông góc chung hai đờng thẳng chéo ? *** C kết luận, đề xuất Bộ môn "Hình học không gian" có vai trò không nhỏ chơng trình toán trung học phổ thông Học tốt môn ny, giúp cho em học sinh học môn toán tốt Với chơng trình sách giáo khoa đa ra, đòi hỏi học sinh phải có trí tởng tợng phong phú, trí nhớ tốt, tính hệ thống, trình độ phân tích v t cao khai thác v giải có hiệu kiến thức sách giáo khoa Võ Thị Tha Trang 11 Giải pháp hữu ích Năm học 2006 - 2007 Trong tình hình nh trên, có phơng pháp học tập tốt , phơng pháp t có hiệu l điều vô cần thiết em học sinh lớp 11 Trong khuôn khổ có hạn đề ti ny, trình by kinh nghiệm nhỏ, giúp em học sinh học tốt Bộ môn "Hình học không gian" Đề ti ny, l kinh nghiệm nhỏ, l suy nghĩ thân tôi, chắn nhiều thiếu sót, cha hon hảo Mong bạn đồng nghiệp chân thnh đánh giá, góp ý, phê bình, để có hiệu trình giảng dạy nh rèn luyện, cung cấp phơng pháp t khoa học cho học sinh Tài liệu tham khảo Hình học 11 ( Sách chỉnh lý hợp năm 2000) Văn Nh Cơng - Trần Đức Huyên - Nguyễn Mộng Hy Ti liệu hớng dẫn giảng dạy Toán 11 Văn Nh Cơng - Trần Văn Hạo - Ngô Thúc Lanh Hình học 11 ( Sách giáo khoa thí điểm ban KHXH v NV) Trần Văn Hạo - Nguyễn Mộng Hy - Nguyễn H Thanh Giải toán hình học 11 Trần Văn Minh - Trần Đức Huyên - Trần Quang Nghĩa Để học tốt toán 11 Lê Chung Anh - Thái Bình -[ \ Võ Thị Tha Trang 12 Giải pháp hữu ích Năm häc 2006 - 2007 Môc lôc Trang A Mở đầu I Lý chọn đề ti . II Phạm vi, đối tợng, sở nghiên cứu . III Phơng pháp nghiên cứu . B Nội dung I Quan hệ định tính Quan hệ liên thuộc Vị trí tơng đối hai đối tợng Phơng pháp xác định đờng thẳng Phơng pháp xác định mặt phẳng Dấu hiệu nhận biết đờng thẳng năm mặt phẳng Dấu hiệu nhận biết hai ®−êng th¼ng song song DÊu hiƯu nhËn biết đờng thẳng song song mặt phẳng Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng vuông góc 10 Dấu hiệu nhận biết đờng thẳng vuông góc mặt phẳng 11 Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng vuông góc II Quan hệ định l−ỵng Khoảng cách Gãc ThĨ tÝch - DiƯn tÝch * Đề nghị C KÕt luËn, ®Ị xt Tμi liƯu tham kh¶o Mơc lơc ý kiÕn ®ãng gãp 1 3 5 7 9 10 10 11 -[ \ Võ Thị Tha Trang 13 Giải pháp hữu ích Năm học 2006 - 2007 ý KIếN §ãNG GãP Vâ Thị Tha Trang 14 Giải pháp hữu ích Võ Thị Tha Năm học 2006 - 2007 Trang 15