Đang tải... (xem toàn văn)
VÏ ra phÝa ngoµi cña tam gi¸c c¸c h×nh b×nh hµnh ABIF, BCPQ, CARS.. M lµ trung ®iÓm cña BC..[r]
(1)Hình học 10
Chơng I - Véc tơ I Véc tơ:
1 Định nghĩa:
Véctơ đoạn thẳng có:
+ Mt đầu đợc xác định gốc, đầu + Hớng từ gốc đến gọi hớng véctơ
+ Độ dài đoạn thẳng gọi độ dài véctơ (Mơ đun)
Véctơ có gốc A, B đợc kí hiệu ⃗AB ; độ dài ⃗AB kí hiệu |⃗AB|
Mét véc tơ có kí hiệu chữ in thêng phÝa trªn cã mịi tªn nh: ⃗a ;b ; c ;
2 Véctơ không:
Véctơ không: 0 véctơ có: + Điểm gốc điểm trùng + Độ dài
+ Hớng
3 Hai véctơ ph ơng:
Hai véctơ AB;CD gọi phơng: kí hiệu
⃗AB //⃗CD⇔ AB // CD
¿
A,B,C,D thẳng hàng
4 Hai vÐct¬ cïng h íng:
Hai vÐct¬ ⃗AB;⃗CD gäi lµ cïng híng: kÝ hiƯu
⃗AB↑ ↑⃗CD⇔ ⃗AB //⃗CD
hai tia AB,CD cïng h íng
¿{
5 Hai véctơ ng ợc h ớng:
Hai véctơ AB;CD gọi ngợcchớng: kí hiệu
AB CD AB //⃗CD
hai tia AB,CD ng ỵc h íng
¿{
6 Hai vÐct¬ b»ng nhau: Hai vÐct¬ ⃗AB;⃗CD b»ng nhau: kÝ hiÖu
⃗AB=⃗CD⇔ AB=CD
⃗AB↑↑⃗CD
¿{
7 Hai véctơ đối nhau: Hai véctơ ⃗AB;⃗CD đối nhau: kí hiệu
⃗AB=−⃗CD⇔ AB=CD
⃗AB↑ ↓⃗CD
¿{
8 Gãc cđa hai vÐct¬:
Góc hai véctơ AB;CD góc tạo hai tia Ox; Oy lần lợt hớng với hai tia AB; CD + Khi AB;CD không hớng 0o
≤ xO y ≤^ 180o .
+ Khi AB;CD hớng xO y^ =0o
II Các phép toán véctơ: 1 Phép cộng véctơ:
nh ngha: Tổng hai véctơ ⃗a ;b⃗ véctơ đợc xác định nh sau: + Từ điểm O tùy ý mặt phẳng dựng véctơ ⃗OA=⃗a
+ Từ điểm A dựng véctơ AB=b
+ Khi ú véctơ ⃗OB gọi véctơ tổng hợp hai véctơ ⃗a ;b⃗ : ⃗OB=⃗a+ ⃗b
HÖ thøc Chasles (Qui tắc ba điểm):
Với điểm A, B, C bất kì, ta luôn có: AB+BC=AC
(Hệ thức Chasles mở rộng cho n điểm liên tiếp)
(2)Qui tắc trung điểm: Với điểm M tuỳ ý I trung điểm AB ta lu«n cã: ⃗MI=1
2(⃗MA+⃗MB)
TÝnh chÊt:
- Giao hoán: OB= a+ b
- Kết hợp: (a+ ⃗⃗ b)+ ⃗c=⃗a+(b⃗+⃗c)
- Céng víi kh«ng: ⃗a+ ⃗0=⃗a
- Cộng với véctơ đối: ⃗a+(−⃗a)=⃗0
2 PhÐp trõ vÐct¬: ⃗a −b=⃗⃗ a+(−⃗b)
Víi ⃗a −b=⃗⃗ ca=b+ c
Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm O, A, B bÊt k× ta cã: ⃗AB=⃗OB−⃗OA
3 Phép nhân véctơ với số thực: a Định nghĩa: k.a véctơ:
- Với a 0;k 0 véctơ k.a phơng với a sÏ: + Cïng híng víi ⃗a nÕu k>0
+ Ngợc hớng với ⃗a k<0 + Có độ dài |k.⃗a|=|k|.|a⃗|
- 0 ⃗a=k.⃗0=⃗0
b TÝnh chÊt:
+) 1.a=⃗⃗ a ;(−1).⃗a=−⃗a +) m.(n.a)=(mn) ⃗⃗ a +) (m+n) ⃗a=m⃗a+na⃗
+) m(⃗a+ ⃗b)=m⃗a+mb⃗ +) ⃗a ;b⃗ cïng ph¬ng ⇔⃗a=kb⃗(⃗a ≠⃗0)
4 TØ sè cđa hai vÐct¬ cïng ph ¬ng:
⃗ a//⃗b ⃗ a ⃗ b=k k>0 nÕu ⃗a↑ ↑⃗b
¿
k<0 nÕu ⃗a↑ ↓⃗b
¿
|k|=|⃗a|
|⃗b|
(3)phân loại tập Véc tơ phép toán
Dng Chứng minh đẳng thức véctơ
*Ph
ơng pháp:
+ Sử dụng qui tắc ba điểm (Chasles); hình bình hành; trung điểm
+ Vn dng các chứng minh đẳng thức: biến đổi VT thành VP ng ợc lại; biến đổi hai vế thành đẳng thức; biến đổi đẳng thức đ cho thành đẳng thức ln đúng.ã
*Bµi tËp minh hoạ:
Bài 1. Cho điểm A, B, C, D chøng minh r»ng:
a ⃗AB+⃗CD=⃗AD+⃗CB b ⃗AB−⃗CD=⃗AC−⃗BD
c ⃗AB+⃗DC+⃗BD+⃗CA=⃗0 d ⃗AB+⃗CD+⃗BC+⃗DA=⃗0
Bµi 2. Cho tam giác A, B, C G trọng tâm tam giác M điểm tuỳ ý mặt phẳng CM: a GB+GB+GC=0 b MB+MB+MC=3MG
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD tâm I AO=a ;BO=b
a Chøng minh r»ng: ⃗AB+⃗AD=2⃗AI
b TÝnh ⃗AC;⃗BD;⃗AB;⃗BC;⃗CD;⃗DA theo a ;b
Bài 4. Cho điểm A, B, C, D, E, F Chøng minh r»ng: ⃗AD+⃗BE+⃗CF=⃗AE+⃗BF+⃗CD
Bài 5. Cho tam giác ABC I tâm đờng trịn nội tiếp tam giác CM: a.⃗IA+b.⃗IB+c.⃗IC=⃗0
Bµi 6. Cho hai tam giác ABC A'B'C' Gọi G trọng tâm G G' Chứng minh rằng:
AA'+BB'+CC'=3GG'
Bài 7. Cho điểm A, B, C, D; M, N lần lợt trung điểm AB, CD Chøng minh r»ng:
⃗AD+⃗BD+⃗AC+⃗BC=4⃗MN
Bài 8. Gọi O; H; G lần lợt tâm đờng tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: a) ⃗HA+⃗HB+⃗HC=2⃗HO b) ⃗HG=2⃗GO
Bài 9. Cho tam giác ABC tâm O M điểm tuỳ ý bên tam giác; D, E, F lần lợt hình chiếu BC, CA, AB Chứng minh rằng: ⃗MD+⃗ME+⃗MF=3
2⃗MO
Bµi 10. Cho tam giác ABC Vẽ phía tam giác hình bình hành ABIF, BCPQ, CARS Chứng mình:
RF+IQ+PS=0
Bài 11. Cho điểm A, B, C, D; I, F lần lợt trung ®iĨm cđa BC, CD CM: 2(⃗AB+⃗AI+⃗FA+⃗DA)=3⃗DB
Bài 12. Cho tam giác ABC với G trọng tâm; H điểm đối xứng với B qua G CM: a ⃗AH=2
3⃗AC−
3⃗AB ; ⃗CH=−
3(AB+AC)
b M trung điểm BC CM: ⃗MH=1
(4)Dạng Xác định điểm thoả mãn đẳng thức véctơ
*Ph
ơng pháp chung:
+ Bin i ng thức đ cho dạng: ã ⃗OM= ⃗a O ⃗a đ biết.ã
+ Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng véctơ véctơ ⃗a Khi véctơ chớnh l im M
*Bài tập áp dụng:
Bài 1. Cho hai điểm A, B Xác định điểm M biết: 2⃗MA−3⃗MB=⃗0
Bài 2. Cho hai điểm A, B véc tơ ⃗v Xác định điểm M biết: ⃗MA+⃗MB=⃗v
Bài 3. Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NC=2NA a Xác định điểm K cho: 3⃗AB+2⃗AC−12⃗AK=⃗0
b Xác định điểm D cho: 3⃗AB+4⃗AC−12⃗KD=⃗0
Bµi 4. Cho tam gi¸c ABC
a Xác định điểm I cho: ⃗IA+2⃗IB=⃗0
b Xác định điểm K cho: ⃗KA+2⃗KB=⃗CB
c Xác định điểm M cho: ⃗MA+⃗MB+2⃗MC=⃗0
Bài 5. Cho điểm A, B, C, D, E Xác định điểm O, I, K cho:
a.⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=⃗0 b.⃗IA+⃗IB+ ⃗IC+⃗ID=⃗0 c.⃗KA+⃗KB+⃗KC+3(⃗KD+⃗KE)=⃗0
Bài 6. Cho tam giác ABC Xác định vị trí điểm M cho: ⃗MA+⃗MB+2⃗MC=⃗0
Bài 7. Cho tam giác ABC Xác định điểm M, N cho: a ⃗MA+2⃗MB=⃗0 b ⃗NA+2⃗NB=⃗CB
Bài 8. Cho hình bình hành ABCD Xác định điểm M thoả m n: ã 3⃗AM=⃗AB+⃗AC+⃗AD
Bài 9. Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm O thoả m n: ã ⃗OA+⃗OB+⃗OC+⃗OD=⃗0
Bài 10. Cho tam giác ABC cố định Chứng minh ⃗a=⃗MA+4⃗MB−5⃗MC không phụ thuộc vị trí điểm M
(5)D¹ng Chứng minh ba điểm thẳng hàng
*Ph
ơng pháp chung:
Mun chng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh: ⃗AB=k⃗AC(k∈R) Để chứng minh đợc điều ta áp dụng hai phơng pháp:
+ Cách 1: áp dụng quy tắc biến đổi véctơ
+ Cách 2: Xác định hai véctơ thông qua t hp trung gian
*Bài tập áp dụng:
Bài 1. Cho tam giác ABC Gọi I trung ®iĨm cđa BC; D vµ E lµ hai ®iĨm cho: ⃗BD=⃗DE=⃗EC
a Chøng minh: ⃗AB+⃗AC=⃗AD+⃗AE
b TÝnh véctơ: AS=AB+AD+AC+AE theo AI
c Suy ba điểm A, I, S thẳng hàng
Bài 2. Cho tam giác ABC Đặt AB=u;AC=v
a Gi P l im đối xứng với B qua C Tính ⃗AP theo ⃗u ;⃗v ? b Qọi Q R hai điểm định bởi: ⃗AQ=1
2⃗AC;⃗AR=
3⃗AB TÝnh ⃗RP;⃗RQ theo ⃗u ;⃗v
c Suy P, Q, R thẳng hàng
Bài 3. Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy điểm I, J cho: 2⃗IA+3⃗IC=⃗0 , 2⃗JA+5⃗JB+3⃗JC=⃗0
a CMR: M, N, J th¼ng hàng với M, N trung điểm AB BC b CMR: J trung điểm BI
Bài 4. Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy điểm I, J thoả m n: Ã IA=2IB ; 3JA+2JC=0
Chứng minh IJ qua trọng tâm G tam giác ABC
Bài 5. Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N, P thoả m n:Ã MA+MB=0;3AN2AC=0;PB=2PC
Chứng minh M, N, P thẳng hàng
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm I, J tho¶ m n:· 3⃗JA+2⃗JC−2⃗JD=⃗0;⃗JA−2⃗JB+2⃗JC=⃗0
Chøng minh I, J, O thẳng hàng với O giao điểm AC vµ BD
Bài 7. Cho tam giác ABC Gọi O, G, H theo thứ tự tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm tam giác ABC CMR: O, G, H thẳng hàng
Bµi 8. Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N, P cho: ⃗MB−3⃗MC=⃗0 , ⃗AN=3⃗NC , ⃗PA+⃗PB=⃗0
Chøng minh M, N, P thẳng hàng
Dạng Chứng minh hai điểm trùng nhau
*Ph
ơng pháp chung:
Để chứng minh M M' trïng nhau, ta lùa chän mét hai híng: C¸ch 1: Chøng minh ⃗MM'=⃗0
C¸ch 2: Chøng minh ⃗OM=⃗OM' với O điểm tuỳ ý
*Bài tập áp dụng:
Bài 1. Cho tam giác ABC Lấy ®iÓm A1∈BC; B1∈AC;C1∈AB cho: ⃗AA
1+⃗BB1+⃗CC1 Chøng minh hai tam giác ABC A1B1C1 có trọng tâm
Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q lần lợt trung điểm cña AB, BC, CD, DA Chøng minh r»ng hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm
Dạng Quỹ tích điểm *Ph
ơng pháp chung:
Đối với toán quỹ tích, học sinh cần nhớ số quỹ tích sau:
- Nếu |⃗MA|=|⃗MB| với A, B cho trớc M thuộc đờng trung trực đoạn AB
- Nếu |⃗MC|=k.|⃗AB| với A, B, C cho trớc M thuộc đờng trịn tâm C, bán kính k.|⃗AB| - Nếu ⃗MA=k⃗BC
+ M thuộc đờng thẳng qua A song song với BC k∈R
+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC hớng ⃗BC k+∈¿R¿
+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC v ngc hng BC nu kR
*Bài tập áp dông:
(6)a |⃗MA+⃗MB+⃗MC|=3
2|⃗MB+⃗MC|
b |⃗MA+3⃗MB−2⃗MC|=|2⃗MA−⃗MB−⃗MC|
Bài 2. Cho tam giác ABC M điểm tuỳ ý mặt phẳng a CMR: véctơ ⃗v=3⃗MA−5⃗MB+2⃗MC không đổi
(7)trục toạ độ hệ trục toạ độ
Phần Trục toạ độ
Bài 1. Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ lần lợt 2 a/ Tìm tọa độ AB→
b/ Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ điểm M cho MA→ + MB→ = ⃗0
d/ Tìm tọa độ điểm N cho NA + NB = 1
Bài 2. Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ lần lợt a, b, c a/ Tìm tọa độ trung điểm I AB
b/ Tìm tọa độ điểm M cho MA→ + MB→ MC→ = ⃗0
c/ Tìm tọa độ điểm N cho NA→ NB→ = NC→ Bài 3. Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ lần lợt 3
a/ Tìm tọa độ điểm M cho MA MB = c/ Tìm tọa độ điểm N cho NA + NB = AB Bài 4. Trên trục x'Ox cho điểm A (2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR :
AC + AD =
2 AB
b/ Gäi I trung điểm AB CMR: IC ID=IA2
c/ Gọi J trung điểm CD CMR: AC AD=AB AJ
phần Hệ toạ độ đề vng góc
I Toạ độ véc tơ - Toạ độ im:
Bài 1. Biểu diễn véc tơ u=xi+yj biết a) ⃗u(2;−5) b) ⃗u(−4;0)
Bài 2. Xác định toạ độ véc tơ ⃗u biết: a) ⃗u=−5⃗i−2⃗j b) ⃗u=3i⃗ c) ⃗u=−7⃗j
Bài 3. Xác định toạ độ độ dài véc tơ ⃗c biết
a) ⃗c=⃗a+3⃗b ; a(⃗ 2;−1) ; ⃗b(3;4) b) ⃗c=3a −⃗ 5⃗b ; a(−⃗ 2;3) ; ⃗b(3;−6) Bµi 4. Cho ba ®iĨm A(-1;1); B(1;3)
a) Xác định toạ độ véc tơ: ⃗AB;⃗BA b) Tìm toạ độ điểm M cho ⃗BM(3;0)
c) Tìm toạ độ điểm N cho ⃗NA(1;1)
II BiĨu diƠn Véc tơ:
Bài 1. Biểu diễn véc tơ c theo véc tơ a ;b biết:
a) a(2;1);b(3;4);c(4;7) b) a(1;1);b(2;3);c(1;3)
Bài 2. Cho bốn điểm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3) H y biĨu diƠn vÐc t¬ Ã AD theo véc tơ AB ; AC
Bài 3. Biểu diễn véc tơ c theo véc t¬ ⃗a ;b⃗ biÕt:
a) ⃗a(−4;3);b(−⃗ 2;−1);c⃗(0;5) b) a(4;2);b(5;3);c(2;0)
Bài 4. Cho bốn điểm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4) H y biĨu diƠn vÐc t¬ · ⃗AD theo véc tơ AB ; AC
III Xỏc định điểm thoả mãn đẳng thức véc tơ, độ dài: Bài 1. Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3)
a Xác định toạ độ điểm E cho ⃗AE=2⃗BC
b Xác định toạ độ điểm F cho AF=CF=5
c Tìm tập hợp điểm M biÕt: |2(⃗MA+⃗MB)−3⃗MC|=|⃗MB−⃗MC|
Bài 2. Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1) Xác định toạ độ:
a) Trọng tâm G b) Véc tơ trung tuyến AA1 c) Tâm I đờng tròn ngoại tiếp tam giác d) Điểm D cho ABCD hình bình hnh
Bài 3. Cho M(1+2t; 1+3t) H y tìm ®iÓm M cho · xM2 +y2M nhá nhÊt
Bài 4. Cho tam giác ABC với A(4;6); B(1;4); C(7;
2 )
a CM: ABC vuông b Tìm toạ độ tâm đờng trịn ngoại tiếp ABC c Tìm tập hợp điểm M thoả m n: ã |2⃗MA+2⃗MB−3⃗MC|=|⃗MA−⃗MC|
(8)a Träng t©m G tam giác b Véc tơ trung tuyến øng víi c¹nh BC
c Điểm D cho ABCD hình bình hành d Tâm I đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC e Điểm M biết: ⃗CM=2⃗AB−3⃗AC f Điểm N biết: ⃗AN+2⃗BN−4⃗CN=⃗0 Bài 6. Cho tam giác ABC với A(-3;6); B(1;-2); C(6;3) Tìm toạ độ của:
a Trọng tâm G b Tâm đờng tròn ngoại tiếp c Điểm M biết 2⃗AM−3⃗CM=⃗AB
Bài 7. Cho tam giác ABC với A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm toạ độ điểm D cho ABCD hình bình hành Bài 8. Cho điểm A(3;1)
a Tìm toạ độ điểm B, C cho OABC hình vng điểm B nằm góc phần t thứ b Viết phơng trình hai đờng chéo hình vng OABC
Bµi 9. Cho M(1-2t; 1-3t) H y tìm điểm M cho à xM
2
+y2M nhá nhÊt IV VÐc t¬ cïng ph ¬ng - Ba điểm thẳng hàng:
Bài 1. Cho A(0;4); B(3;2)
a Chứng minh A , B , C biết C(-6-3t;8+2t) b A, B, D không thẳng hàng biết D(3;0) Tính chu vi ABD Bài 2. Cho A(2;1); B(6;-1) Tỡm to :
a Điểm M trục hoành cho A,B,M thẳng hàng b Điểm N trục tung cho A, B, N thẳng hàng
c Điểm P khác điểm B cho A, B, P thẳng hàng PA=25 Bài 3(ĐHNN97): Cho A(1;1); B(3;3); C(2;0)
a TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC B Tìm tất điểm M trục Ox cho góc AMB nhỏ Bài 4. Tìm điểm P trục hoành cho tổng khoảng cách tõ P tíi A vµ B lµ nhá nhÊt, biÕt:
a) A(1;1) vµ B(2;-4) b) A(1;2) vµ B(3;4)
Bài 5. Cho M(4;1) hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 cho A,B,M thẳng hàng Xác định toạ độ A B cho: a Diện tích OAB lớn b OA+OB nhỏ c
OA2+
1
OB2 nhỏ Bài 6. Cho A(-1;-4); B(3;4) Tìm toạ độ:
a §iĨm M trục hoành cho A,B,M thẳng hàng b §iĨm N trªn trơc tung cho A, B, N thẳng hàng
c Điểm P khác điểm B cho A, B, P thẳng hàng PA=35 Bài 7: Cho A(1;3); B(3;1); C(2;4)
a TÝnh diÖn tÝch tam giác ABC B Tìm tất điểm M trªn trơc Ox cho gãc AMB nhá nhÊt Bài 8. Tìm điểm P trục hoành cho tổng khoảng cách từ P tới A B nhá nhÊt, biÕt:
a) A(1;2) vµ B(3;4) b) A(1;1) B(2;-5)
Bài 9. Tìm điểm P trục tung cho tổng khoảng cách từ P tới A vµ B lµ nhá nhÊt, biÕt: a) A(1;1) vµ B(-2;-4) b) A(1;1) vµ B(3;-3)
Bài 10. Tìm điểm P đờng thẳng (d): x+y=0 cho tổng khoảng cách từ P tới A B nhỏ nhất, biết: a) A(1;1) B(-2;-4) b) A(1;1) B(3;-2)
Bài 11. Cho M(1;4) hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 cho A,B,M thẳng hàng Xác định toạ độ A B cho: a Diện tích OAB lớn b OA+OB nhỏ c
OA2+
OB2 nhá nhÊt
Bài 12. Cho M(1;2) hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 cho A,B,M thẳng hàng Xác định toạ độ A B cho: a Diện tích OAB lớn b OA+OB nhỏ c
OA2+
OB2 nhá nhÊt
Bài tập tự luyện: Bài 1. Viết tọa độ vectơ sau: ⃗a = ⃗i ⃗j , ⃗b =
2 ⃗i + ⃗j ; ⃗c = ⃗i +
2 ⃗j ; ⃗
d = ⃗i ; ⃗e = 4 ⃗j
Bài 2. Viết dới dạng u = x i + y ⃗j , biÕt r»ng:
⃗
u = (1; 3) ; ⃗u = (4; 1) ; ⃗u = (0; 1) ; ⃗u = (1, 0) ; ⃗u = (0, 0)
Bài 3. Trong mp Oxy cho ⃗a = (1; 3) , ⃗b = (2, 0) Tìm tọa độ độ dài vectơ: a/ ⃗u = ⃗a ⃗b b/ ⃗v = ⃗a + ⃗b c/ ⃗w = ⃗a
2 ⃗b
Bµi 4. Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ vectơ AB→ , AC→ , BC→ b/ Tìm tọa độ trung điểm I AB c/ Tìm tọa độ điểm M cho: CM→ = AB→ AC→
d/ Tìm tọa độ điểm N cho: AN→ + BN→ CN→ = ⃗0
Bµi 5. Trong mp Oxy cho ABC cã A (4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2) a/ CMR : ABC c©n TÝnh chu vi ABC
b/ Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành c/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC
(9)a/ CMR : ABC vng Tính diện tích ABC b/ Gọi D (3; 1) CMR : điểm B, C, D thẳng hàng c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành
Bµi 7. Trong mp Oxy cho ABC cã A (3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4)
a/ CMR : A, B, C khơng thẳng hàng b/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC c/ Tìm tọa độ tâm I đờng trịn ngoại tiếp ABC tính bán kính đờng trịn
Bµi 8. Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3) H y tìm trục hoành điểm M cho à ABM vuông M Bài 9. Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ H y tìm trục hoành điểm C cho à ABC cân C
b/ Tính diện tích ABC c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành Bài 10. Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng b/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC c/ CMR : ABC vng cân d/ Tính diện tớch ABC
Chúc em ôn tập tốt!
(10)TÝch v« híng I LÝ thut:
1 Định nghĩa: a.b=|a|.|b| cos(a , b)
a.b>0cos(a ,⃗b)>0⇔0≤(⃗a ,⃗b)<90o ⃗
a.⃗b=0⇔cos(⃗a ,b⃗)=0⇔(⃗a ,⃗b)=90o⇔
⃗ a⊥b⃗ ⃗
a.⃗b<0⇔cos(a ,⃗ ⃗b)<0⇔90o
<(⃗a ,⃗b)≤180o
2 Tính chất:
a Giao hoán b Tính chất phân phèi c
⃗
a.⃗b=⃗b.a⃗ ⃗a.(⃗b+ ⃗c)=⃗ab+ ⃗⃗ a⃗c (m⃗a) ⃗b=m(a⃗.⃗b)
3 Biểu thức toạ độ tích vơ h ớng:
NÕu ⃗a(x1; y1);⃗b(x2; y2)⇒⃗a.⃗b=x1y1+x2y2 4 C«ng thức hình chiếu:
a Nếu bốn điểm A, B, C, D trục thì: AB CD=AB CD
b Nếu A', B' hình chiếu A, B lên giá CD thì:
AB CD=A ' B '.CD
II Bài tập áp dụng:
TÝnh tÝch v« híng
Bài 1. Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm G
a TÝnh tích vô hớng AB CD;AB BC b Gọi I điểm thoả m n à IA2IB+4IC=0 Chứng minh r»ng:
BCIG hình bình hành từ tớnh IA(AB+AC);IB IC;IA IB
Bài 2. Cho tam giác ABC c¹nh a, b, c
a Tính ⃗AB ⃗AC từ suy ra: ⃗AB ⃗AC+⃗BC.⃗CA+⃗CA ⃗AB
b Gọi M trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài đoạn AM từ suy độ dài AG cosin góc nhọn tạo AG BC
Bài 3. Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O, M điểm tuỳ ý đờng trịn nội tiếp hình vng, N điểm tuỳ ý cạnh BC Tính:
a ⃗MA ⃗MB+⃗MC ⃗MD b ⃗NA ⃗NB c NO.BA
Bµi 4. Cho ba véc tơ a ;b ; c thoả m n điều kiện à |a|=a ;|b|=b ;|c|=c a+ b+3c=0 TÝnh: A=⃗a⃗b+ ⃗bc⃗+ ⃗c⃗a
Bài 5. Cho tam giác ABC cạnh a, đờng cao AH
a Tính tích vô hớng AB HC b (ABAC).(2AB+BC)
Bài 6. Cho tam giác ABC có AB=6, AC=8, BC=10
a TÝnh ⃗AB ⃗AB b Trªn AB lấy M cho AM=2; cạnh AC lấy N ch0o AN=4 TÝnh ⃗AM ⃗AN
Bài 7. Cho hình thang vng ABCD có đờng cao AB=2, đáy lớn BC=3; đáy nhỏ AD=2 Tính tích vơ hớng ⃗AB CD;BD BC;AC BD
Bài 8. Cho ba véc tơ a ;b ; c thoả m n điều kiện à |a⃗|=3;|b⃗|=2;|c⃗|=1 vµ ⃗a+ ⃗b+3⃗c=⃗0 TÝnh:
A=⃗a⃗b+ ⃗bc⃗+ ⃗c⃗a
Chứng minh đẳng thức tích vơ hớng hay v di
Bài 9. Cho hai điểm A B, O trung điểm AB M điểm tuỳ ý Chứng minh rằng:
⃗MA ⃗MB=OM2
−OA2
(11)a Chøng minh r»ng tÝch v« híng ⃗AM ⃗AM
1 cã giá trị không phụ thuộc M b CMR: AM AN có giá trị không phụ thuộc M
Bi 11. Cho nửa đờng trịn đờng kính AB có AC, BD hai dây thuộc nửa đờng tròn cắt E Chứng minh rằng: AE AC+BE BD=AB2
Bµi 12. Cho tam giác ABC, trực tâm H, M trung ®iĨm cđa BC Chøng minh r»ng:
a ⃗MH ⃗MA=1
4 BC
2
b MH2+MA2=AH2+1 2BC
2
Bài 13. Cho bốn điểm tuú ý M, A, B, C Chøng minh r»ng: ⃗AM ⃗BC+⃗MB.⃗CA+⃗MC.⃗AB=0
Chøng minh tÝnh vu«ng gãc - thiÕt lËp ®iỊu kiƯn vu«ng gãc
Bài 14. Chứng minh tam giác ba đờng cao đồng quy
Bài 15. Cho tam giác ABC có góc A nhọn Vẽ bên ngồi tam giác vng cân đỉnh A ABD, ACE Gọi M trung điểm BC Chứng minh rng: AMDE
Bài 16. Cho bốn điểm A, B, C, D Chøng minh r»ng: ABCD ⇔AC2
+BD2=AD2+BC2
Bài 17. Cho hình thang vng ABCD, hai đáy AD=a; BC=b, đờng cao AB=h Tìm hệ thức a, b, h cho: a BDCI b ACDI c.BMCN với M, N theo thứ tự trung điểm AC v BD
Bài 18. Cho tứ giác ABCD biết AB AD+BA BC+CB.CD+DC.DA=0 Tứ giác ABCD hình g×? V× sao?
Điểm thoả mãn đẳng thức tích vơ hớng hay độ dài
Bài 19. Cho tam giác ABC cạnh a Tìm tập hợp điểm M cho:
⃗MA ⃗MB+⃗MB ⃗MC+⃗MC.⃗MA=a
2
4
Bài 20. Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a (MA+MB).(MA+MC)=0 b 2 MB2
+⃗MB.⃗MC=a2 víi BC=a