3 LÍI NÂI U Do nhúng ÷u iºm v÷đt trëi (miạn phẵ, cõ ci t tiáng Viằt, phừ hƯu hát chữỡng trẳnh toĂn phờ thổng v Ôi hồc, giao diằn thƠn thiằn, ), bra Geoge- khoÊng 10 nôm tr lÔi Ơy  ữủc phờ bián tÔi Viằt Nam NhiÃu giĂo viản  sỷ dửng Geogebra thiát ká bi giÊng, viát cĂc sĂng kián kinh nghiằm v cĂc chuyản à Tuy nhiản, chữa cõ mởt sĂch no viát Geogebra, cĂc ti liằu trản mÔng thữớng têp trung vo hữợng dăn sỷ dửng Geogebra, chữa cõ nhiÃu bi viát v ti liằu mang tẵnh chuyản sƠu Mửc ẵch cừa Luên vôn ny l thuyát minh tẵnh hiằu quÊ cừa Geogebra và giÊi quyát mởt số vĐn à cừa Số hồc v Lẵ thuyát số, Ôi số v GiÊi tẵch Luên vôn gỗm hai Chữỡng Chữỡng têp hủp mët sè l»nh cì b£n cõa Geogebra Sè håc v Lẵ thuyát số, Ôi số v GiÊi tẵch, nhơm thuên tiằn cho Chữỡng Mc dũ chữa liằt kả Ưy ừ cĂc lằnh v chữa minh hồa hát cĂc khÊ nông sỷ dửng Geogebra Số hồc v Lẵ thuyát số, Ôi số v GiÊi tẵch, chúng tổi cụng hi vồng Chữỡng l ti liằu cõ ẵch v thuên tiằn cho nhỳng mợi bưt Ưu lm quen vợi Chữỡng gỗm bốn chuyản à Chuyản à minh håa kh£ n«ng sû dưng Geogebra ch¿ mët l»nh ifactor cừa Geogebra tẳm hiu v giÊi quyát mởt số giÊ thuyát và số nguyản tố Chuyản à minh håa kh£ n«ng sû dưng ch¿ mët l»nh factor cừa Geogebra phƠn tẵch a thực thứa số Cõ th coi Geogebra nhữ mởt cổng cử thẵ nghiằm tẳm quy luêt phƠn tẵch mởt số thứa số nguyản tố hoc phƠn tẵch mởt a thùc thøa sè Chuy¶n · minh håa kh£ nông sỷ dửng Geogebra dÔy v hồc phƯn Hm số v ỗ th, mởt phƯn quan trồng Chữỡng trẳnh toĂn phờ thổng Chuyản à minh hồa khÊ nông tẵnh cĂc tẵch phƠn khõ ch bơng mởt lằnh TichPhƠn cừa Geogebra ỗng thới chúng tổi cụng nảu khÊ nông khai thĂc Geogebra v Maple dÔy khĂi niằm tẵch phƠn xĂc nh Trong suốt quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v hon thnh luên vôn, tổi  nhên ữủc nhiÃu sỹ giúp ù cừa cĂc thƯy cổ, cĂc anh ch v gia ẳnh Vợi tĐt cÊ tĐm lỏng chƠn thnh, tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi PGS TS TÔ Duy Phữủng ngữới  tên tẳnh giúp ù, ch bÊo, hữợng dăn tổi thỹc hiằn nghiản cựu, gõp ỵ v sỷa chỳa tổi hon thiằn luên vôn ny Tổi xin chƠn thnh cĂm ỡn cĂc ThƯy, Cổ giĂo Trữớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt cho tổi kián thực suốt hai nôm hồc têp, l nÃn tÊng cho tổi quĂ trẳnh nghiản cựu luên vôn, l hnh trang quỵ bĂu theo tổi suốt cuởc ới Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc nhĐt án gia ẳnh thƠn yảu cừa tổi, nhỳng ngữới  luổn tổi, ừng hở ởng viản v l chộ dỹa vỳng chưc tổi yản tƠm håc tªp ho n th nh khâa håc n y Ci cịng tỉi xin kẵnh chúc quỵ ThƯy, Cổ, Anh, Ch v gia ẳnh dỗi sực khọe, thnh cổng sỹ nghiằp! Tổi xin chƠn thnh cĂm ỡn! Chữỡng MậT SÈ LNH CÌ BN CÕA GEOGEBRA TRONG TNH TON SÈ HÅC, LÞ THUYT SÈ, I SÈ V GII TCH 1.1 Ci t v sỷ dửng phƯn mÃm Geogebra 1.1.1 Giợi thi»u ph¦n m·mGeogebra Geogebra l ph¦n m·m c lüc trđ giúp giÊng dÔy, hồc têp v nghiản cựu toĂn hồc Geogebra cõ th thỹc hiằn ữủc hƯu hát cĂc tẵnh toĂn toĂn hồc chữỡng trẳnh toĂn phờ thổng v Ôi hồc (số hồc, Ôi số, giÊi tẵch, hẳnh hồc, toĂn thống kả, .), õ rĐt tiằn dũng giÊng dÔy v hồc têp, c biằt giÊng dÔy v hồc têp theo chữỡng trẳnh v sĂch giĂo khoa mợi vợi nh hữợng phĂt trin nông lỹc, khuyán khẵch hồc sinh tỹ hồc, tỹ nghiản cựu Mởt nhỳng ữu im nời trởi cừa Geogebra l phƯn mÃm miạn phẵ, v cõ th chuyn ời ngổn ngỳ, thẵ dử, tứ tiáng Anh sang tiáng Viằt hoc ngữủc lÔi, c i °t v thao t¡c ìn gi£n, thuªn ti»n Câ th lản mÔng tÊi Geogebra, tẳm hiu ci t v sû dưng qua c¡c b i vi¸t (ti¸ng Vi»t ho°c ti¸ng Anh) hoc qua cĂc ti liằu trẵch dăn cuối luên vôn Geogebra  ữủc giợi thiằu Viằt Nam khoÊng 10 nôm tr lÔi Ơy, v  ữủc nhiÃu giĂo viản (tứ lợp án lợp 12 v Ôi håc) sû döng b i gi£ng, thüc hi»n cĂc sĂng kián kinh nghiằm giÊng dÔy, Ôt hiằu quÊ tèt Câ thº sû dưng Geogebra º v³ h¼nh ëng, v ỗ th, tẵnh toĂn hoc thỹc hiằn cĂc thao tĂc toĂn hồc phực tÔp (phƠn tẵch mởt số thứa số nguyản tố, phƠn tẵch a thực thứa số, ỡn giÊn biu thực, tẵnh Ôo hm, tẵch phƠn, lêp bÊng thống kả, .) m khổng mĐt nhiÃu thới gian Geogebra cụng  ữủc ữa vo Chữỡng trẳnh Tin håc Trung håc Cì sð Vỵi Geogebra, câ thº hữợng dăn hồc sinh lm cĂc nghiản cựu nhọ nhữ tẳm hiu mởt số giÊ thuyát và số nguyản tố, ho°c c¡c tr£i nghi»m quan h» giúa to¡n håc v thỹc tá Thẵ dử, cõ th sỷ dửng gõi lằnh thống kả khÊo sĂt trẳnh ở hồc têp cừa hồc sinh mởt trữớng, ở tuời trung bẳnh cừa dƠn số mởt xÂ, vợi nhỳng dỳ liằu thüc v b£ng dú li»u lỵn, 1.1.2 Ci t phƯn mÃm ã Vo http://www.geogebra.org/download tÊi phƯn m·m v· m¡y Sau c i °t, chån Run, GeoGebra s ởng chữỡng trẳnh v hiằn giao diằn nhữ hẳnh dữợi ã Chuyn sang ngổn ngỳ khĂc, vẵ dử, tứ tiáng Anh sang tiáng Viằt: nhĂy Options trản cỉng cư (menu), chån Language, chån R-Z, chån Vietnamese/Ti¸ng Vi»t ữủc giao diằn tiáng Viằt nhữ hẳnh dữợi vo 1.1.3 Mởt số chực nông chẵnh ã Chồn mổi trữớng lm viằc: Khi ởng chữỡng trẳnh s xuĐt hiằn b£ng phèi c£nh dịng º lüa chån mỉi tr÷íng l m viằc gỗm: Ôi số v ỗ th; Hẳnh hồc; V ỗ hồa 3D; XĂc suĐt thống kả, Mổi trữớng lm viằc ữủc mc nh luên vôn l Ôi số v ỗ th Ta cõ th cho ân/hiằn bÊng phối cÊnh bơng cĂch click chuởt vo biu tữủng mụi tản cÔnh phÊi cừa cỷa sờ chồn lÔi mởt mổi trữớng lm viằc khĂc Trong chá ở cõ Nhêp lằnh Ôi số v ỗ th dữợi cừa cỷa sờ dũng nhêp lằnh trỹc tiáp v hẳnh, tẵnh toĂn (Hẳnh dữợi) Geogebra câ thº l m ÷đc kh¡ nhi·u vi»c: sè håc, gi£i tẵch, hẳnh hồc, thống kả v xĂc suĐt c biằt, ÷u iºm nêi trëi cõa Geogebra l vai trá cõa nõ trủ giúp giÊng dÔy hẳnh hồc mởt cĂch trüc quan, h¼nh håc ëng, cho ph²p v³ h¼nh, v³ thiát diằn v xoay, tẳm qu tẵch, Luên vôn têp trung trẳnh by cĂc lằnh cỡ bÊn cừa Geogebra Số hồc, Lỵ thuyát số, Ôi số v GiÊi tẵch Sỷ dửng Geogebra hẳnh hồc hoc xĂc suĐt thống kả cõ th xem cĂc ti liằu trẵch dăn cuối luên vôn 1.1.4 Mởt số hm toĂn hồc Geogebra sqrt(x) : Côn bêc hai cõa x ( x) abs(x) : Trà tuy»t èi cõa x (|x|) floor(x) : H m s n, h m ph¦n nguyản (số nguyản lợn nhĐt khổng vữủt quĂ x) Vẵ dö: floor(3.14) = 3; √ floor(− 2) = −2 ceil(x) : Hm trƯn (số nguyản nhọ nhĐt lợn hỡn hoc bơng x) Vẵ dử: ceil(3.14) = 4; ceil( 2) = −1 round(x) : L m trán mët sè tợi mởt số chỳ số  xĂc nh Vẵ dử: a L m trán sè 23, 7825 ¸n hai sè thêp phƠn: round(23.7855, 2) = 23.79 b Lm trỏn số 21, án mởt v trẵ thêp phƠn và trĂi cừa dĐu thêp phƠn: round(21.5, 1) = 20 exp(x) : ex 7a lg(x) : lổgarit thêp phƠn (l log10 x ) 7b ln(x) : Lỉgarit tü nhi¶n (l lỉgarit cì sè e) H m sè l÷đng gi¡c: sin(x), cos(x), tan(x), cot(x) ex − e−x sinh(x) := ex + e−x 10 cosh(x) := sinh(x) 11 tanh(x) := cosh(x) 12 coth(x) := cosh(x) sinh(x) 13 sec(x) := sech(x) = (cosh(x))−1 = 14 cosec(x) := csch(x) = (sinh(x))−1 15 sgn(x) : H m dĐu Vẵ dử: sign() = 1; ex + e−x = x e − e−x sign(−π) = −1 1.2 Mët sè l»nh cì b£n cõa Geogebra số hồc v lỵ thuyát số 1.2.1 CĂc lằnh liản quan án số nguyản tố a PhƠn tẵch mởt số tü nhi¶n mët sè nguy¶n tè Geogebra câ thº phƠn tẵch cĂc số khĂ lợn thứa số nguyản tố CƠu lằnh : ifactor Vẵ dử 1.1: PhƠn tẵch số 2410199501091995281220171308199315081988 thứa số nguyản tố Vẵ dử 1.2: PhƠn tẵch số (26 ) + thứa số nguyản tố b Tẳm số nguyản tố ựng sau mởt số tỹ nhiản N CƠu lằnh : nextprime(N) Vẵ dử 1.3: Tẳm số nguyản tố ựng sau 123456789987654321123456789987654321123456789987654321123456789987654321 10 Nhên xt: Náu dũng lằnh ifactor (123456789987654321123456789987654321123456789987654321123456789987654433) thẳ Geogebra khổng phƠn tẵch ữủc số quĂ lợn Những Geogebra văn tẳm ữủc số nguyản tố ựng sau nõ c Kiºm tra mët sè câ l sè nguy¶n tè khổng CƠu lằnh : CõPhÊiNguyảnTố() hoc Isprime() Vẵ dử 1.4: Sû dưng l»nh CâPh£iNguy¶nTè() kiºm tra sè 290324022019 câ ph£i l sè nguy¶n tè khỉng Sû dưng l»nh ifactor ta ữủc: Vẵ dử 1.5 : Sỷ dửng lằnh Isprime() kim tra sè 121499449 câ ph£i l sè nguy¶n tè khỉng 11 V½ dư 1.6: Sû dưng l»nh Isprime() kiºm tra sè 290324022019 câ ph£i l sè nguy¶n tè khỉng 1.2.2 CĂc lằnh liản quan án php chia v số a Tẳm thữỡng v cừa php chia mởt sè a cho mët sè b C¥u l»nh : Ph²pChia(,) ho°c division(,) V½ dư 1.7: Sû dưng lằnh division(,) tẳm thữỡng v cừa php chia số 2017201820192020 cho số 2021 Vêy thữỡng v phƯn cừa ph²p chia 2017201820192020 cho sè 2021 l 998120643340 v 1880 Vẵ dử 1.8: Sỷ dửng lằnh division(,) tẳm thữỡng v d÷ cõa ph²p chia sè 103200610320061032006 cho sè 2010 12 Vêy thữỡng v phƯn cừa php chia 2017201820192020 cho sè 2021 l 998120643340 v 1880 V½ dư 1.9 : Sỷ dửng lằnh PhpChia(,) tẳm thữỡng v d÷ cõa ph²p chia sè 1000000001 cho sè 11 Vêy 1000000001 chia hát cho 11, ữủc thữỡng l 90909091 b Tẳm số chia mởt số a cho mët sè b C¥u l»nh : SoDu(,) Vẵ dử 1.10 : Sỷ dửng lằnh SoDu(,) tẳm số cừa php chia số 2017201820192020 cho số 2021 Vêy số cừa php chia số 2017201820192020 cho số 2021 l 1880 c1 ìợc số CƠu lằnh : UocSo() Lằnh UocSo() cho php tẵnh tĐt cÊ cĂc ữợc số cừa số  cho Vẵ dử 1.11: Sỷ dửng lằnh UocSo() tẳm số ữợc số cừa số 1000000001 53 CĂc số dÔng trản ữủc gồi l số Mersenne, tực l số dÔng 2p 1, õ p l số nguyản tố Nhữ vêy, 211 l hđp sè, cán 2521 − l sè nguy¶n tố Ngữới ta  tẳm thĐy khĂ nhiÃu số nguyản tè Mersenne: 22 − 1, 23 − 1, 25 − 1, 27 − 1, 213 − 1, 217 − 1, 219 − 1, 231 − 1, 261 − 1, Nôm 1953 lƯn Ưu tiản mĂy tẵnh giúp giÊi quyát mởt giÊ thuyát số hồc: bơng mĂy tẵnh ngữới ta  tẳm ữủc cĂc số nguyản tố Mersenne cõ dÔng 2p 1, vợi p = 521, 607, 1279, 2203, 2281 54 Viằc tẳm số nguyản tố Mersenne ữủc coi l rĐt khõ trữợc Ơy Hiằn nay, nhớ mĂy tẵnh v chữỡng trẳnh GIMPS, (Great Internet Mersenne Prime Search), ngữới ta  tẳm ữủc số nguyản tố Mersenne lợn nhĐt (cõ l) l số Mersenne thự 51 ( ữủc tẳm vo ngy 21122018) l 2(82.589.933)1, cõ 24.862.048 sè (xem: https://www.mersenne.org/ ) Gi£ thuy¸t câ vỉ sè cĂc số nguyản tố Mersenne dÔng 2p văn chữa ữủc chựng minh CĂc số nguyản tố Mersenne quan trồng vẳ nõ liản quan mêt thiát tợi cĂc vĐn à khĂc cừa số hồc nhữ số hon chnh, mêt m khõa cổng khai, Dũng Geogebra, vợi p = 521, 607, 1279, 2203, 2281, ch¿ m§t mët phót, ta tẳm ữủc cĂc số nguyản tố khĂ lợn, thẵ dử, 22281 l mởt số nguyản tố vợi kho£ng 700 sè! Sû dưng m¡y t½nh CASIO fx-580VNX Vẵ dử 2.3 PhƠn tẵch số 1, − 1, − 1, 2 − 1, 211 − 1, 213 − 1, 217 − 1, 219 − 1, 223 − 1, 229 − 1, 231 − 1, 237 − thøa sè nguy¶n tố án p = 37 thẳ mĂy tẵnh CASIO fx-580VNX khổng phƠn tẵch ữủc Số 231 = (2147483647) DĐu () nõi rơng CASIO fx-580VNX khổng biát số õ l sè nguy¶n tè hay khỉng 55 2.1.3 Kiºm tra số nguyản tố Fermat dÔng 22n + Sỷ dửng phƯn mÃm Geogebra Vẵ dử 2.4 Sỷ dửng lằnh ifactor phƠn tẵch số 22n + thứa số nguy¶n tè â n = 1, 2, 3, , 18 n CĂc số dÔng Fn = 22 + ( ÷đc gåi l sè Fecma ) câ mët làch sû kh¡ thó và: 56 n Fecma (1601 − 1665) kh¯ng ành r¬ng: måi sè 22 + ·u l sè nguyản tố vợi mồi n iÃu ny úng vợi n = 0, 1, 2, 3, Tuy nhiản, nôm 1732 Euler  ch vợi n = thẳ số Fecma l hủp số (nhữ ta thĐy trản) Ta cỏn thĐy l vợi n = thẳ số Fecma cơng l hđp sè Sè nguy¶n tè Fecma quan trồng vẳ nõ liản quan án nhiÃu bi toĂn, thẵ dử, bi toĂn dỹng a giĂc Ãu nởi tiáp ữớng trỏn Ta cõ nh lỵ Gauss-Wantzel : iÃu kiằn ưt cõ v ừ mởt a giĂc Ãu n cÔnh cõ th v ữủc bơng thữợc thng v compa l n bơng tẵch số cừa mởt lu thứa cừa vợi mởt số bĐt ký cĂc số nguyản tố Fermat khĂc Hiằn nay, số Fecmat văn ang ữủc nghiản cựu Mc dũ  chựng minh ữủc khoÊng 70 số l số Fermat, văn chữa tẳm số nguyản tố Fermat no mợi, ngoi số  biát: F0 , F1 , F2 , F3 , F4 Sû dửng mĂy tẵnh Casio fx-580VNX Vẵ dử 2.5 PhƠn tẵch sè + thøa sè nguy¶n tè â n = 1, 2, 3, 4, 5, 2n V½ dư 2.6 : Kiºm tra kh¯ng ành cõa Euler: a thùc n + n + 41 nhªn c¡c giĂ tr nguyản tố khĂc vợi n = 0, 1, , 39 v l hñp sè n = 40 Trữợc tiản ta nh nghắa hm f bơng lằnh := , sau õ phƠn tẵch thứa số nhữ bÊng dữợi Ơy 57 Bơng mởt lằnh ifactor(f(n)), ta thĐy: n thay ời tứ án 100 th¼ ch¿ câ 14 hđp sè l f (40), f (41), f (44), f (49), f (56), f (65), f (76), f (81), f (82), f (84), f (87), f (89), f (91), f (96), cĂc f (n) cỏn lÔi Ãu l số nguyản tố Thêt l mởt a thực hi¸m! Mët "cõa hi¸m" núa l : a thùc x2 − 79x + 1601 nhên cĂc giĂ tr nguyản tố (khổng phÊi tĐt cÊ khĂc ) vợi x = 0, 1, , 79 v l hñp sè n = 80 Nhªn x²t: C¡c a thùc n + n + 41 v x2 − 79x + 1601 cơng gióp gủi ỵ trÊ lới mởt phƯn cƠu họi (chữa cõ trÊ lới): Tỗn tÔi hay khổng a thực bêc lợn hỡn cõ hằ số l cĂc số nguyản nhên vỉ sè gi¡ trà l c¡c sè nguy¶n tè 2.1.4 PhƠn tẵch cĂc số dÔng An = p2p3 pn thứa số nguyản tố (hiằu cừa tẵch cĂc số nguyản tố liản tiáp v 2, õ pk l sè nguy¶n tè thù k , p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, , l số nguyản tố vợi mồi n.) Vẵ dử 2.7 Sỷ dửng lằnh ifactor phƠn tẵch cĂc số dÔng A n thứa số nguyản tố = p2 p3 pn 58 59 Trong TÔp chẵ ToĂn hồc v Tuời tr (xem: Tuyn têp 30 nôm tÔp chẵ THTT, NXB GiĂo dửc, 1997, trang 343), G.S LÔi ực Thnh viát:"Bơng cĂch thỷ, ta thĐy rơng cĂc sè A3, A4, A5, A6, A7 ·u l sè nguy¶n tè Câ l³ thû vỵi mët v i gi¡ trà núa cừa n ta s tẳm ữủc mởt hủp số Tuy nhiản muốn kim tra A8 cƯn lm 300 php chia v kiºm tra A9 c¦n 1300 ph²p chia, tùc l mĐt vi buời lm Geogebra, nhữ trản ta thĐy A8, A9 l số nguyản tố, A10 l hủp số Hỡn nỳa, vợi Geogebra, ch mĐt vi phút kim tra: 21 số Ưu tẵnh." Dũng thẳ A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A11, A13, A16, A20 l cĂc số nguyản tố, cĂc An cỏn lÔi l hủp sè Sû dưng m¡y t½nh Casio fx-580VNX V½ dư 2.8 Sỷ dửng lằnh ifactor phƠn tẵch cĂc số sau Ơy thøa sè nguy¶n tè: ∗ − 2; ∗ ∗ − 2; ∗ ∗ ∗ 11 − 2; ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 − 2; ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 − 2; ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 ∗ 19 − 2; ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 ∗ 19 ∗ 23 − 2; ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 ∗ 19 ∗ 23 ∗ 29 − 2; ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 ∗ 19 ∗ 23 ∗ 29 ∗ 31 60 Kát luên Nhữ mởt cổng cử th½ nghi»m, Geogebra trđ gióp c lüc khỉng ch¿ dÔy v hồc, m cỏn cõ th ữủc sỷ dửng nghiản cựu nhơm giÊi quyát nhỳng cƠu họi m 2.2 PhƠn tẵch a thực thnh nhƠn tỷ PhƠn tẵch a thực thnh nhƠn tỷ PhƠn tẵch a thực thnh nhƠn tỷ (ra thứa số) l: Bián ời a thực â th nh mët t½ch cõa nhúng ìn thùc, a thùc CƠu lằnh : factor a Phữỡng phĂp thảm bợt mởt hÔng tỷ Ta thảm hay bợt mởt hÔng tỷ vo a thực  cho lm xuĐt hiằn n nhõm số hÔng m ta cõ th phƠn tẵch ữủc thnh nhƠn tỷ chung bơng cĂc phữỡng phĂp: t nhƠn tỷ chung, dũng hơng ng thực, Vẵ dử 2.9 (Chuy¶n To¡n, HSP H Nëi, 1992 - 1993, váng 3) Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thực x + x + th nh nh¥n tû 10 Gi£i x10 + x5 + = x10 + x9 − x9 + x8 − x8 + x7 − x7 + x6 − x6 + x5 + x5 − x5 + x4 − x4 + x3 − 61 x3 + x2 − x2 + x − x + = (x10 + x9 + x8 ) − (x9 + x8 + x7 ) + (x7 + x6 + x5 ) − (x6 + x5 + x4 ) + (x5 + x4 + x3 ) − (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = x8 (x2 + x + 1) − x7 (x2 + x + 1) + x5 (x2 + x + 1) − x4 (x2 + x + 1) + x3 (x2 + x + 1) − x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x8 − x7 + x5 − x4 + x3 − x + 1) Vẵ dử 2.10: Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thùc x + x5 + th nh nh¥n tû Gi£i x7 + x5 + = x7 + x6 + x5 − x6 − x5 − x4 + x5 + x4 + x3 − x3 − x2 − x + x2 + x + = x5 (x2 + x + 1) − x4 (x2 + x + 1) + x3 (x2 + x + 1) − x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 − x4 + x3 − x + 1) V½ dư 2.11 : Sû dưng l»nh factor phƠn tẵch a thực x + x4 + th nh nh¥n tû Gi£i x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 − x3 − x2 − x + x2 + x + = x3 (x2 + x + 1) − x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 − x + 1) 62 V½ dư 2.12: Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thực x + x + thnh nhƠn tỷ GiÊi Thảm bợt x + x3 + x2 t nhƠn tû chung: x5 + x + = x5 + x + + x4 + x3 + x2 − x4 − x3 − x2 = x3 (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) − x2 (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 − x2 + 1) Quan s¡t c¡c v½ dư trản, Geogebra gủi ỵ: Khi gp bi toĂn phƠn tẵch thnh nhƠn tỷ dÔng x3m+1 + x3n+2 + ta thảm bợt cĂc hÔng tỷ tứ bêc cao nhĐt trứ i án x (bêc nhĐt) cho tờng số cĂc hÔng tỷ a thực mợi l mởt cừa Sau õ nhõm ba hÔng tỷ mởt cho méi nhâm câ x2 + x + DÔng ny phƠn tẵch luổn cõ kát quÊ l (x2 + x + 1).Q(x) Chùng minh: Vỵi m, n l c¡c sè tü nhi¶n, ta câ: x3m+1 + x3n+2 + = [x3m+1 − x] + [x3n+2 − x2 ] + (x2 + x + 1) ThĐy rơng: 1) x3m+1 − x = x[(x3 )m − 1] chia h¸t cho x3 − 1, v v¼ x3 − chia hát cho x2 + x + nản x3m+1 x chia h¸t cho x2 + x + 2) x3n+2 − x2 = x2 [(x3 )n − 1] chia hát cho x3 1, v vẳ x3 chia hát cho x2 + x + nản x3n+2 − x2 chia h¸t cho x2 + x + Tø â suy [x3m+1 − x] + [x3n+2 − x2 ] + (x2 + x + 1) chia h¸t cho x2 + x + 1, hay x3m+1 + x3n+2 + chia h¸t cho x2 + x + Ta cụng cõ nhỳng bi toĂn khĂc phƠn tẵch a thực thnh nhƠn tỷ x2 + x + 1, nhữ bi toĂn dữợi Ơy Vẵ dử 2.13 ( à thi HSG lợp 8, huyằn Gia Bẳnh, 2012 - 2013) Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thực x + 2008x + 2007x + 2008 th nh nh¥n tû 63 Gi£i x4 + 2008x2 + 2007x + 2008 = x4 + x2 + 2007x2 + 2007x + 2007 + = x4 + x2 + + 2007(x2 + x + 1) = (x2 + 1)2 − x2 + 2007(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) + 2007(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 − x + 2008) b Phữỡng phĂp dũng hơng ng thực Vẵ dử 2.14 ( à thi HSG cĐp miÃn Bưc, lƯn thự 6, 1966 - 1967) Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thực a16 + a8 b8 + b16 th nh nh¥n tû Gi£i a16 + a8 b8 + b16 = (a8 )2 + 2a8 b8 + (b8 )2 − a8 b8 = (a8 + b8 )2 − (a4 b4 )2 = (a8 + b8 + a4 b4 )(a8 + b8 − a4 b4 ) (1) Tiáp tửc phƠn tẵch nhƠn tỷ (a8 + b8 + a4 b4 ) theo cĂch thảm bợt nhữ tr¶n ta câ: (a8 + b8 + a4 b4 ) = (a4 + b4 + a2 b2 )(a4 + b4 a2 b2 ) (2) LÔi phƠn tẵch (a4 + b4 + a2 b2 ) thnh nhƠn tỷ nhữ trản ta câ: (a4 + b4 + a2 b2 ) = (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 − ab) (3) Tø (1), (2), (3) ta câ k¸t qu£: a16 + a8 b8 + b16 = (a8 + b8 − a4 b4 )(a4 + b4 − a2 b2 )(a2 + b2 + ab)(a2 + b2 − ab) c Phèi hñp nhiÃu phữỡng phĂp 64 - t nhƠn tỷ chung - Dũng hơng ng thực - Nhõm nhiÃu hÔng tỷ Vẵ dử 2.15: Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thực x − 6x + 12x − 14x + th nh nh¥n tû Gi£i x4 − 6x3 + 12x2 − 14x + = x4 − 2x3 + 3x2 − 4x3 + 8x2 − 12x + x2 − 2x + = x2 (x2 − 2x + 3) − 4x(x2 − 2x + 3) + (x2 − 2x + 3) = (x2 − 2x + 3)(x2 − 4x + 1) Vẵ dử 2.16 ( à thi HSG lợp 8, Bưc Giang, 2012-2013) Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thùc 2a3 + 7a2 b + 7ab2 + 2b3 th nh nh¥n tû Gi£i 2a3 + 7a2 b + 7ab2 + 2b3 = 2(a3 + b3 ) + 7ab(a + b) = 2(a + b)(a2 − ab + b2 ) + 7ab(a + b) = (a + b)(2a2 + 2b2 + 5ab) = (a + b)(2a2 + 4ab + 2b2 + ab) = (a + b)[2a(a + 2b) + b(b + 2a)] = (a + b)(a + 2b)(2a + b) V½ dử 2.17 (HSG cĐp miÃn Bưc, lƯn thự 8, 1968-1969) PhƠn tẵch a thực sau thnh nhƠn tỷ: bc(a + d)(b − c) − ac(b + d)(a − c) + ab(c + d)(a − b) Sû döng l»nh factor: 65 Gi£i bc(a + d)(b − c) − ac(b + d)(a − c) + ab(c + d)(a − b) = bc(ab + bd − ac − cd) − ac(ab + ad − bc − cd) + ab(ac + ad − bc − bd) = ab2 c + cb2 d − abc2 − bc2 d − a2 bc − a2 cd + abc2 + ac2 d + a2 bc + a2 bd − ab2 c − ab2 d = b2 cd − bc2 d − a2 cd + ac2 d + a2 bd − ab2 d = bcd(b − c) + a2 d(b − c) − ad(b2 − c2 ) = bcd(b − c) + a2 d(b − c) − ad(b − c)(b + c) = (b − c)[bcd + a2 d − ad(b + c)] = (b − c)(bcd + a2 d − abd − acd) = (b − c)[ad(a − c) − bd(b − c)] = (b − c)(a − c)(ad − bd) = (b − c)(a − c)(a b)d d Phữỡng phĂp tĂch hÔng tỷ phƠn tẵch mởt a thực thnh nhƠn tỷ ta phƠn tẵch mởt hÔng tỷ thnh tờng cừa nhiÃu hÔng tỷ thẵch hủp rỗi tián hnh nhõm nhỳng số hÔng m ta cõ th phƠn tẵch thnh nhƠn tỷ bơng phữỡng phĂp dũng hơng ng thực, t nhƠn tỷ chung, Cõ th cõ nhiÃu cĂch tĂch hÔng tỷ thnh nhiÃu hÔng tỷ giÊi quyát mởt bi toĂn Vẵ dử 2.18: Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thực sau thnh nhƠn tû x2 (y − z) + y (z − x) + z (x − y) Gi£i 66 x2 (y − z) + y (z − x) + z (x − y) = x2 (y − z) + y [(y − x) + (z − y)] + z (x − y) = x2 (y − z) + y (y − x) + y (z − y) + z (x − y) = [x2 (y − z) − y (y − z)] + [y (y − x) − z (y − x)] = (y −z)(x2 −y )+ (y −x)(y −z ) = (y −z)(x+y)(x−y)−x−y)(y +z)(y −z) = (x − y)(y − z)[(x + y) − (y + z)] = (x − y)(y − z)(x + y − y − z) = (x − y)(y − z)(x − z) iºm quan trång nh§t cõa b i n y l ph£i tĂch ữủc hÔng tỷ ban Ưu thnh tờng (hoc hiằu) cừa hai hÔng tỷ cỏn lÔi, rỗi sau õ kho lo bián ời xuĐt hiằn cĂc nhƠn tỷ chung, tứ õ s phƠn tẵch ữủc thnh nhƠn tỷ e Phữỡng phĂp t ân phử Vẵ dử 2.19: Sỷ dửng lằnh factor phƠn tẵch a thực sau th nh nh¥n tû 3x6 − 4x5 + 2x4 − 8x3 − 4x + + 2x2 Gi£i + + ) x2 x3 x 1 = x3 [3(x3 + ) − 4(x2 + ) + 2(x + ) − 8] x x x 1 1 °t x + = t ⇒ t2 = (x + )2 = x2 + + ⇒ x2 + = t2 − x x x x 1 1 t3 = (x + )3 = x3 + 3x + + = x3 + + 3(x + ) ⇒ x3 + = t3 − 3t x x x x x x 3x6 − 4x5 + 2x4 − 8x3 − 4x + + 2x2 = x3 (3x3 − 4x2 + 2x − − Thay x + 1 = t; x2 + = t2 − 2; x3 + = t3 − 3t x x x Ta câ: x3 [3(t3 − 3t) − 4(t2 − 2) + 2t − 8] = x3 (3t3 − 9t − 4t2 + + 2t − 8) = x3 (3t3 − 4t2 − 7t) = x3 t(3t2 − 4t − 7) = x3 t[(3t2 − 3) − (4t + 4)] = x3 t[3(t − 1)(t + 1) − 4(t + 1)] = x3 t(t + 1)(3t − − 4) = x3 t(t + 1)(3t − 7) 67 Thay t = x + ta ÷đc x 1 x3 (x + )(3x + − 7)(x + + 1) = x(x2 + 1)(3x2 + − 7x)(x + + 1) x x x x 2 = (x + 1)(3x − 7x + 3)(x + x + 1) V½ dư 2.20: Sû dưng l»nh factor phƠn tẵch a thực (xy) +(yz) +(zx) thnh nh¥n tû Gi£i P = (x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 °t x − y = a; y − z = b; z − x = c ⇒a+b+c=0 ⇒ a + b = −c ⇒ (a + b)3 = −c3 ⇒ a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 + c3 = ⇒ a3 + b3 + c3 = −3ab(a + b) ⇒ a3 + b3 + c3 = −3ab(−c) (v¼ a + b = −c) ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc hay (x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 = 3(x − y)(y − z)(z − x) Vªy P = 3(x − y)(y − z)(z − x) 2.3 V ỗ th hm số Vẵ dử 2.21 V ỗ th cừa hm số: y = x 3x Bữợc 1: M Geogebra trản mn h¼nh tü ëng hiºn thà: 3 ... 32 ữợc số, trũng vợi vẵ dử c3 Tờng ữợc số CƠu lằnh :TờngìợcSố( ) Lằnh TờngìợcSố( ) cho tĐt cÊ cĂc tờng cừa ìợc số  cho Vẵ dử 1.13: Sỷ dửng lằnh TờngìợcSố( ) tẳm tờng ữợc số cừa... c1 ìợc số CƠu lằnh : UocSo( ) Lằnh UocSo( ) cho php tẵnh tĐt cÊ cĂc ữợc số cừa số  cho Vẵ dử 1.11: Sỷ dửng lằnh UocSo( ) tẳm số ữợc số cừa số 1000000001 13 c2 Danh sĂch ữợc số CƠu... 90909091 b Tẳm số d÷ chia mët sè a cho mët sè b CƠu lằnh : SoDu( , ) Vẵ dử 1.10 : Sỷ dửng lằnh SoDu( , ) tẳm số cừa php chia số 2017201820192020 cho số 2021 Vêy