Chương 3 – Nguyên Hàm Tích Phân 115 BÀI 25 – MỞ ĐẦU VỀ TÍCH PHÂN KIẾN THỨC CẦN NẮM 1 Bài toán diện tích hình thang cong Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) ,y f x= trục hoành và hai đườ[.]
Chương – Nguyên Hàm Tích Phân 115 BÀI 25 – MỞ ĐẦU VỀ TÍCH PHÂN KIẾN THỨC CẦN NẮM Bài tốn diện tích hình thang cong Cho hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng = x a= , x b ( a < b ) Giả sử f hàm số liên tục, đồng biến nhận giá trị dương đoạn [ a ; b ] Ta có diện = S F ( b ) − F ( a ) , với tích S hình thang cong là: F nguyên hàm f đoạn [ a ; b ] Quãng đường vật Giả sử vật chuyển động có vận tốc thay = v f ( t ) ( < t < T ) Khi đổi theo thời gian, quãng đường L vật khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm = L F (b) − F ( a ) , t = b ( < a < b < T ) F nguyên hàm f khoảng ( 0; T ) Khái niệm tích phân Cho hàm số f liên tục K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số F ( b ) − F ( a ) gọi tích phân f từ a đến b kí hiệu ∫ f ( x ) dx ( = F ( x ) b a b a ) Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, Thuật ngữ ta chọn chữ khác thay • a, b hai cận tích phân; cho x Chẳng hạn sử dụng chữ t, chữ u,… • a cận dưới, b cận trên; làm cho biến số lấy tích phân thì: • f hàm số dấu tích phân b b ∫ f ( t ) dt , ∫ f ( u ) du, số a a số F ( b ) − F ( a ) Định lý diện tích hình thang cong • f ( x ) dx biểu thức dấu tích phân • x biến lấy tích phân 116 Thầy Đỗ Văn Đức – Website: http://thayduc.vn/ Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, không âm đoạn [ a ; b ] Khi diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x a= , x b = b ∫ f ( x ) dx a Tính chất tích phân Giả sử hàm số f, g liên tục K a, b, c số thuộc K Khi • • • a ∫ f ( x ) dx = 0; a b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx; c b a b a b b a a a a kf ( x ) dx k ∫ f ( x ) dx ∫= • b c b ∫ f ( x ) + g ( x )dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx • a a b b ∀k ∈ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx; ∫ a BÀI TẬP LUYỆN TẬP Tính tích phân sau: ∫ (x a)= I ∫ (x b) I = ) + x x dx b) = I e2 7x − x − dx ∫1 x Cho biết ∫ ∫ b) I = −2 ∫( ) )( x + x − x + dx 22 3 ∫ x + dx f ( x)dx = −4, ∫ f ( x)dx = ∫ g ( x )dx = Hãy tính f ( x)dx b) ∫ 4 f ( x ) − g ( x ) dx Tính tích phân sau: π a) I= ∫ ( 2sin x + 3cos x + x ) dx π ∫ x ( x − 3) dx Tính tích phân sau: a) a) I = + x + 1)dx Tính tích phân sau: a) I = 3 Tính tích phân sau: = b) I π π ∫π 2sin x − + 3 x −1 dx Chương – Nguyên Hàm Tích Phân 1 a) ∫ x + dx x 2 b) ∫ e x + dx x +1 0 −x ∫ ( x − e ) dx b) −2 ∫1 e2 x dx b) dx x ∫−2 + dx c) ∫ (e x + 1) dx x −x ∫ ( e − e ) dx c) −1 ∫ x dx b) ) ∫( e x − dx ∫ − x dx c) −3 −1 −1 ∫e 1− x dx Tính tích phân sau: a) I = ∫ ln 11 Tính tích phân sau: a) 10 ∫ ( 3x − ) Tính tích phân sau: a) c) Tính tích phân sau: a) 117 e x +1 + dx ex b) I = ∫ (2 ) x e x −9 dx x +1 Tính I = ∫ dx x −1 −1 A I = + ln 12 B I = − ln C I = + ln D = I ln − [ĐỀ CHÍNH THỨC 2022] Biết F ( x ) G ( x ) hai nguyên hàm hàm số f ( x ) ∫ f ( x ) dx = F ( 3) − G ( ) + a ( a > ) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường = y F= ( x ) , y G= ( x ) , x x = Khi S = 15 a 13 A 15 B 12 Tính tích phân sau: e a) 14 ∫ ln x dx e π b) ∫ cos x dx D C 18 c) 16 ∫ − x dx d) ∫ 0 dx x+9 − x Tính tích phân sau: π a) I = ∫ sin3 x cos x dx π b) I = ∫ cos x cos x dx 118 15 Thầy Đỗ Văn Đức – Website: http://thayduc.vn/ Cho hàm số f ( x ) = a b + + 2, với a, b số hữu tỉ thỏa mãn x2 x Tính T= a + b A T = −1 16 Cho C T = −2 B T = hàm số f ( x) xác định ∫ f ( x ) dx= D T = \ {0} , thỏa mãn f ′( x) = f (1= ) a, f ( −2=) b Giá trị biểu thức f ( −1) − f ( ) A b − a 17 B a + b − 3ln 2 C a − b , x + x4 D −a − b Xét hàm= số f ( x ) { x ; x − 2} Tính I = ∫ f ( x ) dx A − 18 Biết B 11 C ∫ {3 ( x − 1) e ;3 ( x D 17 )} x − dx =ae + b + c, ( a, b, c ∈ ) S =a + 2b + c A 19 B D x − x +1 a−4 b , a, b, c số nguyên dương Tính Biết ∫ dx = c x + x −1 T = a+b+c A 31 20 C B 29 C 33 D 27 C 14 D 10 Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = + x − − x tập thoả mãn F (1) = Tính tổng F ( ) + F ( ) + F ( −3) A 21 22 23 x Cho ∫ A − 26 27 3x + x − B 12 dx= a + b 2, với a, b ∈ Giá trị a B 26 27 C π Tìm x thuộc khoảng 0; thỏa mãn 2 Cho 2 1 x ∫ ( 2sin 27 26 D − t − 1) dt = − 1, ∫ f ( x ) − g ( x ) = −3 Tính ∫ 3 f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx 25 27 Chương – Nguyên Hàm Tích Phân 24 a) Giả sử ∫ f ( x ) dx = ∫ −1 ∫ f ( z ) dz = Tính 0 b) Giả sử 119 f ( t ) dt = ∫ ∫ f ( t ) dt f ( r ) dr = Tính −1 ∫ f ( u ) du 25 ≤ x ≤ Cho hàm số = y f= Tính I = ∫ f ( x ) dx ( x) x +1 2 x − x > 26 a) Chứng minh f ( x ) ≥ ∀x ∈ [ a ; b ] b ∫ f ( x ) dx ≥ a b) Chứng minh f ( x ) ≥ g ( x ) ∀x ∈ [ a ; b ] 27 b b a a ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx Giả sử M m theo thứ tự giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f đoạn b [ a ; b] Chứng minh m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) a 28 a) Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá tích phân = I dx ;J ∫0= + x2 0,5 dx ;L ∫0= + x2 dx ∫ 1+ x 0,5 b) Từ công thức I= J + L, đưa đánh giá xác cho I 29 Một vật chuyển động với vận tốc v ( t ) = − 2sin 2t (m/s) Tính quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian từ thời điểm t = (s) đến thời điểm t = 30 3π (s) t ) 160 − 10t (m/s) Tính quãng đường mà Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v (= vật di chuyển từ thời điểm t = đến thời điểm mà vật dừng lại 31 t) Vận tốc vật chuyển động v (= sin (π t ) + ( m / s ) π 2π Tính quãng đường di chuyển vật khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn đến kết hàng phần trăm) 32 t2 + t ) 1, + Một vật chuyển động với vận tốc v (= ( m / s ) Tìm qng đường vật t +3 giây (làm tròn kết đến hàng phần trăm) 120 33 Thầy Đỗ Văn Đức – Website: http://thayduc.vn/ Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với gia tốc a ( t = ) 3t + t (m/s2) Tính quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc 34 Một viên đạn bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25m/s Gia tốc trọng trường 9,8m/s2 a) Sau viên đạn đạt tới độ cao lớn nhất? b) Tính quãng đường viên đạn từ lúc bắn lên chạm đất (tính xác đến hàng phần trăm) 35 Cho ∫ f ( x ) dx = −3 A I = 34 36 Biết ∫x −1 A 42 37 1 −3 ∫ 1 + f ( x ) − g ( x )dx ∫ g ( x ) dx = −2 Tính I = B I = 50 C I = 30 D I = 14 1 dx = ln , với a, b số nguyên dương Giá trị ab −9 a b B 48 C 54 D 60 1 , ∀x ∈ −∞ ; f ( −1) = Biết F ( x ) 3 − 3x 1 nguyên hàm f ( x ) thỏa mãn F ( −1) = Giá trị F − 4 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm= f ′( x) A 38 −3 14 27 B − 27 D 54 Nguồn: THPT Thị Xã Quảng Trị lần – năm 2022 C 2 x − x ≤ log x Cho hàm số f ( x ) = Tích phân I = ∫ f ( log x ) dx x log e2 x + x − x > A − B 7 C − D 6 Nguồn: THPT Lương Thế Vinh Hà Nội lần – năm 2022 ... − g ( x ) dx Tính tích phân sau: π a) I= ∫ ( 2sin x + 3cos x + x ) dx π ∫ x ( x − 3) dx Tính tích phân sau: a) a) I = + x + 1)dx Tính tích phân sau: a) I = 3 Tính tích phân sau: = b) I π ... x − dx ∫ − x dx c) −3 −1 −1 ∫e 1− x dx Tính tích phân sau: a) I = ∫ ln 11 Tính tích phân sau: a) 10 ∫ ( 3x − ) Tính tích phân sau: a) c) Tính tích phân sau: a) 117 e x +1 + dx ex b) I = ∫ (2... không âm đoạn [ a ; b ] Khi diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x a= , x b = b ∫ f ( x ) dx a Tính chất tích phân Giả sử hàm số f, g liên tục