Bài giảng CƠ HỌC CHẤT LỎNG LÝ THUYẾT Trịnh Anh Ngọc 1/2016 Dẫn nhập Về phương diện vật lý, mọi vật thể thực dù nhỏ đến đâu cũng được cấu thành bởi một số rất lớn các phân tử chuyển động không ngừng Cá[.]
Bài giảng CƠ HỌC CHẤT LỎNG LÝ THUYẾT Trịnh Anh Ngọc 1/2016 Dẫn nhập Về phương diện vật lý, vật thể thực dù nhỏ đến đâu cấu thành số lớn phân tử chuyển động không ngừng Các phân tử tương tác với va chạm lực hút phân tử, hình thành trạng thái vật chất: rắn, lỏng khí Ở trạng thái rắn, phân tử tương đối gần (cỡ đường kính phân tử) nên lực hút phân tử tương đối mạnh tạo nên mối liên kết bền vững cấu trúc phân tử; khó thay đổi hình dạng thể tích vật thể rắn Trái lại, trạng thái khí khoảng cách phân tử lớn (gấp nhiều lần kích thước phân tử), lực hút phân tử yếu nên chất khí khơng có hình dạng định thể tích chúng dễ thay đổi Chất lỏng chất khí, khoảng cách phân tử tương đối gần nên chất lỏng có hình dạng khơng định chất khí song khó thay đổi thể tích Chất lưu Trong tài liệu thuật ngữ chất lưu dùng để chung chất lỏng chất khí Tính chất xác định chất lưu nằm dễ dàng bị biến dạng (thay đổi hình dạng thể tích) chúng Một thể tích chất rắn có hình dạng xác định, thay đổi hình dạng xảy có thay đổi điều kiện bên ngồi Một thể tích chất lưu khác, khơng có hình dạng định trước, phần tử khác chất lưu "sắp xếp" lại cách tự mà khơng ảnh hưởng đến tính chất vĩ mơ thể tích chất lưu Một cách đơn giản, ta hiểu vật rắn vật liệu mà hình dạng, vị trí tương đối phần tử cấu tạo nên thay đổi lượng nhỏ có thay đổi nhỏ lực tác dụng lên Tương ứng, ta hiểu chất lưu vật liệu mà vị trí tương đối phần tử thay đổi lượng khơng nhỏ chịu tác dụng lực cho trước có độ lớn nhỏ Sự phân biệt chất lưu với chất rắn khơng rõ ràng Có nhiều vật liệu phương diện ứng xử giống vật rắn, phương diện khác lại giống chất lưu Các chất thixotropic thạch sơn ứng xử vật rắn đàn hồi sau để yên thời gian, chúng bị "vặn vẹo" mạnh cách lắc hay qt, tính chất đàn hồi ứng Dẫn nhập xử chất lỏng Uranit thông thường ứng xử chất rắn, lực đặt lên khoảng thời gian dài biến dạng gia tăng vơ hạn, thể chất lỏng Phức tạp hợp chất polimer mà ứng xử chúng thể đồng thời tính lỏng tính rắn Giả thiết liên tục học môi trường liên tục Trong toán học, cấu trúc phân tử vật thể nhỏ so với kích thước đặc trưng tốn Do theo quan điểm vĩ mơ ta bỏ qua cấu trúc phân tử vật thể thực, xem vật thể cấu thành điểm vật chất hay chất điểm phân bố liên tục Giả thiết gọi mơ hình mơi trường liên tục, vật thể mơ gọi môi trường liên tục hay vắn tắt môi trường Ngành học nghiên cứu vật thể dựa mơ hình mơi trường liên tục học môi trường liên tục Trong học môi trường liên tục đại lượng học liên quan đến chất điểm hiểu giá trị trung bình đại lượng tương ứng "thể tích" chất điểm Như vậy, muốn mơ hình mơi trường liên tục có hiệu lực, chất điểm vật thể phải chứa số đủ lớn phân tử để phép lấy trung bình có ý nghĩa, thể tích thực chất điểm không1 Như vậy, thể tích vơ bé vật thể tích vơ bé mặt vật lý, nghĩa bé so với thể tích vật lại lớn so với khoảng cách phân tử Lực thể tích lực mặt Lực tác dụng lên vật thể vật chất xem môi trường liên tục phân thành hai loại: (1) lực tương tác xa, thí dụ lực hấp dẫn, chúng giảm chậm khoảng cách tương tác gia tăng; (2) lực tương tác gần xuất tương tác phân tử Các lực tương tác xa tác dụng lên thể tích vật thể Ngồi lực hấp dẫn kể đến lực điện từ, lực qn tính trường hợp quan trọng, thường gặp khảo sát học Do lực tương tác xa biến đổi chậm theo vị trí nên chúng tác dụng thành phần vật chất thể tích vơ bé, lực tồn phần tỉ lệ với thể tích phần tử Lực tương tác xa gọi lực thể tích Để biểu diễn lực tồn phần tất lực thể tích tác dụng thời điểm t lên phần bên thể tích dV bao quanh chất điểm có vị trí x = (x, y, z) ta viết F(x, t)dV Trong số ứng dụng, thể tích cỡ 10−9 mm3 xem kích thước chất điểm, chứa khoảng × 107 phân tử Dẫn nhập Đối với hai loại lực thường gặp lực hấp dẫn lực quán tính, lực tỉ lệ với khối lượng phần tử thể tích vơ bé, ta viết F(x, t)ρdV, thừa số ρ = ρ(x, t) mật độ khối lượng thể tích dV , trường hợp F gọi lực khối Lực tương tác gần có nguồn gốc phân tử, chúng giảm nhanh khoảng cách phần tử tương tác tăng, đáng kể có tiếp xúc học phần tử tương tác, tương tự tiếp xúc hai cố thể Nếu khơng có tiếp xúc phần tử tương tác khơng có phân tử phần tử tương tác đủ gần phân tử phần tử tương tác để gây lực tác dụng gần (hay lực tương tác khơng đáng kể) Nếu thể tích vơ bé vật chịu tác dụng lực tương tác gần thành phần vật chất bên ngồi, lực tác động lên lớp vật chất mỏng kề với mặt biên thể tích Lực tồn phần, vậy, tỉ lệ với diện tích bề mặt Vì pháp tuyến phần khác mặt biên có hướng khác nhau, nên thay xét lực tác dụng tồn mặt biên ta xét phần tử diện tích phẳng Lực gọi lực mặt Để biểu diễn lực toàn phần thời điểm t tác dụng lên thể tích vơ bé qua phần tử diện tích phẳng dS thể tích chứa chất điểm vị trí x, ta viết pn (x, t)dS, n pháp vectơ đơn vị ngồi thể tích Như vậy, khác với hệ gồm chất điểm rời rạc lực tác dụng lực tập trung, học môi trường liên tục, lực tác dụng lên vật thể lực phân bố; nghĩa là, biểu diễn chúng dạng hàm vectơ xác định miền khơng gian Có hai loại: lực thể tích lực mặt Lực thể tích lực tác dụng đơn vị thể tích, cịn lực mặt lực tác dụng đơn vị diện tích bề mặt môi trường liên tục Thực nghiệm cho thấy vật thể thực tác dụng lực bị biến dạng, nghĩa khoảng cách chất điểm vật bị thay đổi Thí dụ, biến dạng lò xo treo vật nặng, kim loại bị dãn dài tác dụng lực kéo đầu Trong học lý thuyết, khảo sát chuyển động vật ta thường bỏ qua khả gây biến dạng lực, xem chất điểm điểm "hình học" (khơng có kích thước), cố thể gồm chất điểm mà khoảng cách chúng không đổi Thế nhưng, thực tế cho thấy, nhiều vấn đề xuất kỹ thuật đòi hỏi phải ý đến biến dạng vật tác dụng lực Thực chất, biến dạng chuyển động, việc nghiên cứu biến dạng dựa định luật, định lý học Newton Tuy nhiên, khái niệm biến dạng nhấn mạnh đến thay Dẫn nhập đổi khoảng cách tương đối phần vật, dẫn đến thay đổi lực tương tác (ứng suất) chúng Chuyển động đối tượng nghiên cứu học chất điểm, cịn học mơi trường liên tục ta quan tâm đến biến dạng vật tác dụng lực ngoài, bỏ qua chuyển động vật xem cố thể Nội dung giáo trình Động lực học chất lưu (fluid dynamics) - nghiên cứu chuyển động tương đối phần tử khác thể tích chất lưu tác dụng lực Mục tiêu giáo trình trình bày nguyên lý quan trọng khối lượng, động lượng lượng chúng áp dụng cho chất lưu Hầu hết ứng dụng cho dịng chảy khơng nén (incompressible flow), khơng nhớt (inviscid) lẫn nhớt (viscous) Ngồi Cơ học lý thuyết môn tiên quyết, sinh viên theo học Cơ học chất lưu xem biết phép tính vectơ, nhiệt động lực học Một tóm tắt phép tính vectơ tìm đọc [1] chương 0, đầy đủ ba chương đầu giáo trình [3] Prieve Về nhiệt động lực học địi hỏi kiến thức nhiệt chương trình đại cương Giáo trình khơng u cầu sinh viên học qua môn Cơ học môi trường liên tục, kiến thức có liên quan đến mơn học này, chẳng hạn phép tính tenxơ, nhắc lại mức độ vừa đủ Trong giáo trình có giới thiệu cách tính tốn số cho số toán học chất lưu sở phương pháp sai phân dùng phần mềm Matlab, nhiên cách trình bày tự chứa đựng nên sinh viên khơng cần phải biết thêm Chương Thủy tĩnh học Chất lưu tĩnh (static fluid) chất lưu không chuyển động Hệ lực tác dụng lên chất lưu trạng thái cân Thủy tĩnh học nghiên cứu: cách thức trì cân lực, ảnh hưởng cân lực lên kết cấu chứa đựng bao quanh chất lưu 1.1 Ứng suất chất lưu Có hai loại lực tác dụng lên phần tử chất lưu: • Lực mặt (surface force) lực phân tử (molecule) môi trường chung quanh tác dụng lên phân tử (molecule) bề mặt phần tử Lực mặt tương tác gần (short-range), đáng kể khoảng cách phân tử nhỏ 10−10 m Trong chất lưu, lực mặt phụ thuộc vào vị trí tương đối phân tử gần bề mặt, chuyển động (trung bình) tương đối chúng • Lực thể tích (body force) lực tương tác xa (long-range force), chúng tác dụng lên tồn thể phần tử chất lưu Thường lực thể tích ảnh hưởng lên chuyển động chất lưu lực trọng trường (gravity force) Xét thể tích hữu hạn V , giới hạn mặt kín S chứa đầy chất lưu (hình 1.1) Tại điểm mặt S, phân tử chất lưu hay gần bề mặt chịu tác dụng lực đơn vị diện tích mặt, gọi ứng suất σ, gây phân tử bên ngồi Nói chung, vectơ ứng suất σ có thành phần pháp tuyến với mặt (gọi ứng suất pháp (normal stress)) thành phần tiếp tuyến với mặt (gọi ứng suất trượt (shear stress)) Do định luật tác dụng phản tác dụng Newton, ứng suất tác dụng lên chất lưu bên mặt S ngược hướng với ứng suất điểm tác dụng lên phía ngồi mặt S Đối với điểm P bên thể tích chất lưu, để mơ tả ứng suất, ta đưa CHƯƠNG THỦY TĨNH HỌC Hình 1.1: Ứng suất điểm mặt có pháp vectơ đơn vị ngồi n vào ba vectơ ứng suất ứng với ba mặt đôi trực giao Chín thành phần vectơ lập thành gọi tenxơ ứng suất (stress tensor) 1.2 Áp suất chất lưu tĩnh Đối với chất lưu tĩnh, lực tác dụng lên bề mặt phần tử có thành phần pháp tuyến lực nén1 Định luật Pascal Tại điểm chất lưu tĩnh, (vectơ) ứng suất có độ lớn hướng Chứng minh Xét cân lực phần tử chất lưu (hình 1.2) Các ứng Hình 1.2: Lực tác dụng phần tử chất lưu suất tác dụng vuông góc với hai mặt có diện tích dydz dy(dz/ sin ϕ) ký hiệu σx σ, tương ứng Vì chất lưu khơng chuyển động, tổng lực Nhận xét rút từ quan sát, xem định nghĩa chất lưu tĩnh CHƯƠNG THỦY TĨNH HỌC theo phương x phải không dz = −σx dydz + (σ sin ϕ) dy sin ϕ (−σx + σ)dydz = σ = σx Khi phần tử chất lưu co không, ứng suất pháp σ σx xác định P Tuy nhiên, độ lớn σ phải với hướng ta chọn z hay y thay x hình 1.2 Ta viết ứng suất tác dụng lên phần tử diện tích có pháp vectơ đơn vị ngồi n: (1.1) σ = −pn, p (độ lớn ứng suất), định nghĩa, áp suất (pressure) chất lưu điểm P Đơn vị áp suất hệ SI N/m2 , tên riêng Pascal (P a) Áp lực Nhờ phương trình (1.1), ta xác định áp lực (pressure force) mà thể tích V chất lưu phải chịu ứng suất tác dụng lên bề mặt S Áp lực tồn phần (total pressure force) tích phân áp lực đơn vị diện tích mặt Z Áp lực toàn phần = (−pn)dS (1.2) S Áp dụng định lý Gauss, chuyển tích phân mặt thành tích phân thể tích Z Áp lực tồn phần = (− ▽ p)dV (1.3) V Vì áp lực tồn phần tích phân đại lượng − ▽ p thể tích V nên Áp lực đơn vị thể tích = − ▽ p (1.4) Nói khác đi, phần tử thể tích vơ bé dxdydz chịu áp lực gây chênh lệch áp suất mặt Lực tác dụng theo hướng áp suất giảm Thí dụ, chênh lệch áp suất theo hướng x (∂p/∂x)dx gây áp lực tương ứng −(∂p/∂x)dx(dydz)i CHƯƠNG THỦY TĨNH HỌC Thí dụ 1.1 Gần mặt đất, áp suất khí (atmospheric pressure) giảm độ cao z so với mặt biển tăng, xấp xỉ theo luật p = p0 exp(−αz), p0 áp suất mặt biển khoảng 1, 0133 × 105 P a α = 1, × 10−4 m−1 Hãy tính áp lực đơn vị thể tích z = z = km Giải Ta có Tại z = km, −▽p=− dp k = αp0 exp(−αz)k dz − ▽ p = 1, × 10−4 × 1, 033 × 105 k = 12, 396k (N/m3 ) Tại z = km, − ▽ p = 1, × 10−4 × 1, 033 × 105 exp(−1, × 10−4 × × 103 )k = 6, 8031k (N/m3 ) ⋄ Điều kiện cân thủy tĩnh Phần tử chất lưu vô bé giữ trạng thái nghỉ có cân lực tác dụng theo phương thẳng đứng, trọng lực (hướng xuống dưới) cân áp lực (hướng lên trên) − ▽ p + ρg = (1.5) Phương trình (1.5), gọi phương trình cân thủy tĩnh (hydrostatic equilibrium), áp suất p phải tăng theo hướng g độ lớn gradient áp suất ρg Chất lưu "dầy đặc" gia tăng áp suất theo độ sâu lớn Hơn nữa, mặt phẳng nằm ngang chất lưu mặt đẳng áp, ▽p khơng có thành phần theo phương ngang Trường hợp chất lưu có mật độ khối ρ ta lấy tích phân phương trình vi phân (1.5) dọc theo đường cong nằm hoàn toàn chất lưu nối hai điểm, Ký hiệu phần tử đường dr, ta có Z Z − ▽p · dr + ρg · dr = 1 Z Z − ▽p · dr + ρ ▽(g · r) · dr = 1 p1 − p2 + ρg · (r2 − r1 ) = CHƯƠNG THỦY TĨNH HỌC hay p1 − ρg · r1 = p2 − ρg · r2 (1.6) Chú ý, ta dùng công thức g = ▽(g · r) Thông thường hệ tọa độ Descartes chọn với trục z hướng lên, ngược với hướng gia tốc trọng trường Khi đó, g · r = −gz, phương trình (1.6) có dạng p1 + ρgz1 = p2 + ρgz2 (1.7) Nhận xét 1.1 Có cách đơn giản để hiểu mối quan hệ phương trình (1.7) Giả sử ta cố định cột thẳng đứng chứa chất lưu hình trụ diện tích đáy A độ cao z2 −z1 Áp suất p1 đáy cột vượt áp suất p2 đỉnh lượng p1 − p2 , tạo áp lực thẳng đứng hướng lên với độ lớn (p1 − p2 )A Lực phải cân với lực kéo xuống trọng trường đặt lên chất lưu bên cột, tích g với khối lượng ρ(z2 − z1 )A Như vậy, chênh lệch áp suất trọng lượng cột chất lưu có diện tích đáy đơn vị Điều tương đương với (1.7) Chú ý, mặt xung quanh cột chất lưu thẳng đứng, nên áp lực gây mặt xung quanh khơng có thành phần thẳng đứng • Quan hệ (1.7) khơng hai điểm mà tất điểm bên chất lưu Nói cách khác, tổng p + ρgz có giá trị tất điểm mà nối với đường nằm hoàn toàn chất lưu Kết luận diễn tả nhờ phương trình p + ρgz = const, (1.8) const đánh giá từ p z điểm chất lưu, chẳng hạn, điểm áp suất p1 Áp suất p(z) hàm độ cao z tìm từ: p(z) = p1 + ρg(z1 − z) (1.9) Thí dụ 1.2 Một thùng nước hình hộp chữ nhật đặt nghiêng góc ϕ so với mặt phẳng nằm ngang (hình 1.3) Để tính ứng suất thùng, người thiết kế cần biết áp suất chất lỏng hàm tọa độ x y tính từ góc thùng Hãy thiết lập biểu thức p(x, y) tương đương với phương trình (1.9) Giải Gia tốc trọng trường có thành phần theo hướng x y: g = g sin ϕi − g cos ϕj ... nhớt (inviscid) lẫn nhớt (viscous) Ngoài Cơ học lý thuyết môn tiên quyết, sinh viên theo học Cơ học chất lưu xem biết phép tính vectơ, nhiệt động lực học Một tóm tắt phép tính vectơ tìm đọc [1]... nên chất khí khơng có hình dạng định thể tích chúng dễ thay đổi Chất lỏng chất khí, khoảng cách phân tử tương đối gần nên chất lỏng có hình dạng khơng định chất khí song khó thay đổi thể tích Chất. .. Trong tài liệu thuật ngữ chất lưu dùng để chung chất lỏng chất khí Tính chất xác định chất lưu nằm dễ dàng bị biến dạng (thay đổi hình dạng thể tích) chúng Một thể tích chất rắn có hình dạng xác