Bài giảng Cơ học chất lỏng lý thuyết có nội dung trình bày những kiến thức về giả thiết liên tục và cơ học môi trường liên tục, lực thể tích và lực mặt, thủy tĩnh học, sự bảo toàn khối lượng, dòng chảy không nhớt,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!
Ứng suất trong chất lưu
Có hai loại lực tác dụng lên một phần tử chất lưu:
Lực mặt (surface force) là lực tác động từ các phân tử trong môi trường xung quanh lên các phân tử trên bề mặt của một phần tử Đây là loại lực tương tác gần (short-range), chỉ có ý nghĩa khi khoảng cách giữa các phân tử nhỏ hơn 10 −10 m Trong chất lưu, lực mặt phụ thuộc vào vị trí tương đối của các phân tử gần bề mặt và chuyển động trung bình tương đối của chúng.
Lực thể tích, hay còn gọi là lực tương tác xa, tác động lên toàn bộ phần tử chất lưu Trong số các lực thể tích, lực trọng trường (lực hấp dẫn) thường có ảnh hưởng lớn nhất đến chuyển động của chất lưu.
Trong một thể tích hữu hạn V, được giới hạn bởi mặt kín S và chứa đầy chất lưu, ứng suất σ tại một điểm trên mặt S do các phân tử bên ngoài tác động lên chất lưu Ứng suất này bao gồm hai thành phần: ứng suất pháp (normal stress) có phương vuông góc với mặt và ứng suất trượt (shear stress) có phương song song với mặt Theo định luật tác dụng và phản tác dụng của Newton, ứng suất này ảnh hưởng đến chất lưu bên trong mặt S.
Tại điểm P bên trong thể tích chất lưu, ứng suất được mô tả bằng lực S tác dụng theo hướng ngược lại với ứng suất tại điểm này.
Ứng suất tại một điểm trên mặt có pháp vectơ đơn vị n được thể hiện thông qua ba vectơ ứng suất tương ứng với ba mặt đôi một trực giao nhau Những thành phần của các vectơ này kết hợp lại tạo thành tenxơ ứng suất.
Áp suất trong chất lưu tĩnh
Đối với chất lưu tĩnh, lực tác dụng lên bề mặt phần tử chỉ có thành phần pháp tuyến và là lực nén 1 Định luật Pascal
Tại mọi điểm trong chất lưu tĩnh, (vectơ) ứng suất có cùng độ lớn đối với mọi hướng.
Chứng minh Xét sự cân bằng lực trên phần tử chất lưu (hình1.2) Các ứng
Hình 1.2 minh họa lực tác dụng lên một phần tử chất lưu, với suất tác dụng vuông góc trên hai mặt có diện tích dydz và dy(dz/sinϕ) được ký hiệu lần lượt là σx và σ Do chất lưu không chuyển động, tổng các lực tác động lên phần tử này cần được xem xét kỹ lưỡng.
1 Nhận xét này được rút ra từ quan sát, và có thể xem là định nghĩa chất lưu tĩnh. theo phương x phải bằng không
−σ x dydz+ (σsinϕ) dy dz sinϕ
Khi phần tử chất lưu co về không, ứng suất pháp σ vàσx được xác định tại
P Tuy nhiên, độ lớn củaσ phải như nhau với bất kỳ hướng nào vì ta có thể chọn z hay y thay vì x trong hình1.2.
Ứng suất tác dụng lên phần tử diện tích có pháp vectơ đơn vị ngoài n được biểu diễn bằng công thức σ = −pn, trong đó p là độ lớn của ứng suất, tương ứng với áp suất (pressure) của chất lưu tại điểm P Đơn vị của áp suất trong hệ SI là N/m², được gọi là Pascal (Pa).
Nhờ vào phương trình (1.1), chúng ta có thể xác định áp lực mà thể tích V của chất lưu phải chịu do ứng suất tác động lên bề mặt S Áp lực toàn phần được tính bằng tích phân áp lực trên đơn vị diện tích bề mặt.
(−pn)dS (1.2) Áp dụng định lý Gauss, chuyển tích phân mặt thành tích phân thể tích Áp lực toàn phầnZ
Vì áp lực toàn phần là tích phân của đại lượng − 5p trên thể tíchV nên Áp lực trên đơn vị thể tích=− 5p (1.4)
Một phần tử thể tích nhỏ dxdydz sẽ chịu áp lực do chênh lệch áp suất giữa các mặt của nó Lực tác động theo hướng giảm áp suất, với chênh lệch áp suất theo hướng x được biểu diễn bằng (∂p/∂x)dx, dẫn đến áp lực tương ứng là −(∂p/∂x)dx(dydz)i.
Áp suất khí quyển giảm dần khi độ cao z so với mặt biển tăng, theo quy luật p = p0 exp(−αz) Trong đó, p0 là áp suất trên mặt biển khoảng 1,0133×10^5 Pa và α có giá trị xấp xỉ 1,2.
10 −4 m −1 Hãy tính áp lực trên đơn vị thể tích tạiz = 0 và z = 5 km.
= 6,8031k (N/m 3 ). Điều kiện cân bằng thủy tĩnh
Phần tử chất lưu rất nhỏ vẫn duy trì trạng thái nghỉ do sự cân bằng giữa các lực tác động theo phương thẳng đứng, trong đó trọng lực (hướng xuống) được cân bằng bởi áp lực (hướng lên).
Phương trình cân bằng thủy tĩnh (1.5) cho thấy áp suất p tăng theo hướng của trọng lực g, với gradient áp suất có độ lớn là ρg Đối với chất lưu có độ "dày đặc" cao, sự gia tăng áp suất theo độ sâu sẽ lớn hơn Bên cạnh đó, bất kỳ mặt phẳng nằm ngang nào trong chất lưu đều là mặt đẳng áp, vì sự thay đổi áp suất 5p không có thành phần theo phương ngang.
Trong trường hợp chất lưu có mật độ khối ρ không thay đổi, ta có thể thực hiện tích phân phương trình vi phân (1.5) dọc theo một đường cong bất kỳ hoàn toàn nằm trong chất lưu, nối hai điểm 1 và 2 Để ký hiệu phần tử đường, ta sử dụng dr.
5(gãr)ãdr = 0 p 1 −p 2 +ρgã(r 2 −r 1 ) = 0 hay p1−ρgãr1 = p2−ρgãr2 (1.6)
Chỳ ý, ở đõy ta đó dựng cụng thức g=5(gãr).
Hệ tọa độ Descartes thường được thiết lập với trục z hướng lên, ngược lại với hướng của gia tốc trọng trường Trong trường hợp này, gia tốc trọng trường được biểu diễn bằng g, dẫn đến công thức p1 + ρgz1 = p2 + ρgz2.
Để hiểu mối quan hệ trong phương trình (1.7), ta có thể xem xét một cột chất lưu hình trụ với diện tích đáy A và chiều cao từ z1 đến z2 Áp suất p1 tại đáy cột lớn hơn áp suất p2 ở đỉnh cột một lượng p1 - p2, tạo ra lực thẳng đứng hướng lên với độ lớn (p1 - p2)A Lực này cần phải cân bằng với trọng lực tác động lên chất lưu bên trong cột, được tính bằng tích của khối lượng ρ(z2 - z1)A Do đó, sự chênh lệch áp suất tương đương với trọng lượng của cột chất lưu có diện tích đáy bằng đơn vị Lưu ý rằng, vì cột chất lưu có mặt xung quanh thẳng đứng, nên áp lực từ mặt xung quanh không có thành phần thẳng đứng.
Quan hệ (1.7) áp dụng không chỉ giữa hai điểm mà còn giữa tất cả các điểm trong chất lưu, cho thấy rằng tổng p + ρgz là không đổi tại mọi điểm có thể nối bằng một đường nằm hoàn toàn trong chất lưu Điều này được thể hiện qua phương trình p + ρgz = const (1.8), trong đó giá trị const có thể được xác định từ p và z tại một điểm trong chất lưu, ví dụ tại điểm 1 với áp suất p1 Hàm áp suất p(z) theo độ cao có thể được tính bằng công thức: p(z) = p1 + ρg(z1 − z) (1.9).
Khi một thùng nước hình hộp chữ nhật được đặt nghiêng một góc ϕ so với mặt phẳng nằm ngang, việc tính toán ứng suất trong thùng là cần thiết Để làm điều này, người thiết kế cần xác định áp suất của chất lỏng dưới dạng hàm của các tọa độ x và y tính từ góc của thùng Biểu thức áp suất p(x, y) cần được thiết lập tương ứng với phương trình (1.9).
Giải Gia tốc trọng trường có các thành phần theo hướng x và y: g=gsinϕi−gcosϕj
Hình 1.3: Thí dụ 1.2. và bất biến p−ρgãr trở thành p−ρgãr=p−ρ(gsinϕi−gcosϕj)ã(xi+yj+zk) =p−ρg(xsinϕ−ycosϕ). Công thức tương đương với (1.9) là p(x, y) =p 1 −ρg(x 1 sinϕ−y 1 cosϕ) +ρg(xsinϕ−ycosϕ).
Với sự phân bố áp suất này, các đường đẳng áp là các đường nằm ngang, y =xtanϕ+const.
Dạng tích phân của phương trình cân bằng thủy tĩnh
Tích phân hai vế phương trình (1.5) trên thể tích hữu hạn V, ta được (áp dụng định lý Gauss):
Phương trình (1.10) chỉ ra rằng áp lực trên bề mặt chất lưu và lực trọng trường tác động lên khối chất lưu bên trong thể tích là tổng bằng không Các phương trình (1.5) và (1.10) thể hiện sự cân bằng lực thủy tĩnh dưới dạng vi phân và tích phân.
Đo áp suất
Đo áp suất không khí (atmosphere pressure)
Dụng cụ đo áp suất không khí phổ biến là phong vũ biểu thủy ngân (mercury barometer), bao gồm một ống thủy tinh dài khoảng một mét với một đầu được bít kín.
Khi đổ đầy thủy ngân vào ống và úp ngược ống vào chậu thủy ngân, miệng ống nằm dưới mặt thoáng của chậu, dẫn đến việc thủy ngân trong ống hạ xuống, tạo thành khoảng chân không gần như tuyệt đối Áp suất không khí tại mặt thoáng của chậu được tính từ chiều cao cột thủy ngân, dựa vào khoảng cách giữa mực thủy ngân trong ống và trong chậu, sử dụng phương trình cân bằng thủy tĩnh Áp suất p2 được xác định bằng công thức p2 = ρgh, với p1 = 0, tương ứng với áp suất của chân không Mật độ thủy ngân tại 0°C là 1,360×10^4 kg/m^3 và gia tốc trọng trường g là 9,8066 m/s^2, trong khi áp suất khí quyển tiêu chuẩn được áp dụng trong tính toán.
1,0133×10 5 P athì chiều cao cột thủy ngân là h= 0,760 m = 760 mm.
Trong các phép đo áp suất không khí, đơn vị thường được sử dụng là milimet thủy ngân (mmHg), hay còn gọi là Torr, để tưởng nhớ Evangelius Torricelli, người phát minh ra phong vũ biểu thủy ngân Cụ thể, 1 mmHg tương đương với 133,3698 Pa, tương ứng với áp suất tác dụng của cột thủy ngân cao 1 mm tại điểm có gia tốc trọng trường g = 9,8066 m/s² và ở nhiệt độ 0°C.
Một đơn vị phổ biến của áp suất là atmosphere (atm), với 1 atm tương đương khoảng 1,01×10^5 Pa, phản ánh áp suất trung bình của khí quyển tại mặt biển Áp suất không khí không phải là hằng số và thay đổi theo độ cao, tương tự như áp suất trong cột thủy ngân Tuy nhiên, gradient áp suất trong không khí nhỏ hơn nhiều lần so với thủy ngân do mật độ khối của không khí chỉ bằng khoảng 1/10^4 so với thủy ngân Do đó, với sự thay đổi độ cao chỉ vài mét, áp suất không khí chỉ biến đổi một cách nhẹ nhàng.
Áp suất không khí ở mức 10^−4 atm là rất nhỏ và có thể được bỏ qua trong hầu hết các ứng dụng kỹ thuật Do đó, trong môi trường phòng thí nghiệm, chúng ta có thể coi áp suất không khí là hằng số Đo áp suất bằng áp kế (gage pressure) là phương pháp phổ biến để xác định áp suất trong các thí nghiệm.
Nguyên lý phong vũ biểu có thể áp dụng để đo áp suất trong bình chứa kín thông qua việc sử dụng áp kế (manometer) Thiết bị này bao gồm một ống thủy tinh hình chữ U, cho phép xác định áp suất chất lỏng bên trong bình một cách chính xác.
Hình 1.5: Áp kế ống chữ U.
Áp kế U chứa một chất lỏng như nước hoặc thủy ngân, với một đầu ống thông với không khí và đầu còn lại nối với bình chứa chất lưu cần đo áp suất Áp dụng phương trình (1.7) cho chất lỏng trong áp kế, ta có công thức p2 = pat + ρm g(z1 − z2) Ở đây, p1 được thay bằng áp suất không khí pat, và áp suất p2 không nhất thiết bằng p3 tại tâm bình chứa Để tính sự khác biệt giữa p2 và p3, ta áp dụng phương trình (1.7) cho chất lỏng trong bình chứa, dẫn đến p3 = p2 − ρ0 g(z3 − z2).
Khi bình chứa chất khí, mật độ khối ρ₀ sẽ nhỏ hơn nhiều so với mật độ khối ρₘ của chất lỏng trong áp kế, dẫn đến áp suất p₂ và p₃ gần như bằng nhau Ngược lại, trong trường hợp bình chứa chất lỏng, sai lệch áp suất p₂ − p₃ = ρ₀ (z₃ − z₂) có vai trò quan trọng trong việc xác định áp suất của bình chứa và cần được chú ý.
Áp kế chỉ cho phép đo hiệu số giữa áp suất chất lỏng trong bình và áp suất không khí Để xác định áp suất tuyệt đối, cần sử dụng dữ liệu đo áp suất không khí từ phong vũ biểu Tương tự như áp kế, hầu hết các thiết bị đo áp suất đều đo sự chênh lệch giữa áp suất của chất lỏng chịu nén và áp suất xung quanh.
Áp suất tuyệt đối là chỉ số quan trọng khi tính toán mật độ khối của chất khí trong bình, dựa trên áp suất và nhiệt độ Khi có sự chênh lệch dương, áp suất chỉ thị trên thiết bị đo được gọi là áp suất áp kế, được xác định theo công thức: Áp suất áp kế = Áp suất tuyệt đối - Áp suất không khí.
Áp lực trên bề mặt vật rắn
Một yếu tố quan trọng trong cơ học chất lỏng là xác định áp lực mà cấu trúc cần phải chịu đựng để thực hiện các chức năng mà nó được thiết kế.
Hình 1.6: Áp lực tác dụng trên phần tử diện tích dS của vật rắn.
Trong nhiều trường hợp, để xác định lực tương đương tác dụng lên kết cấu do áp suất từ chất lưu, ta cần tính toán áp lực dF và mômen dT tác động lên phần tử mặt dS tại vị trí r, với công thức dF = pndS và dT = r×(pn)dS Lưu ý rằng vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài thể tích chất lỏng Bằng cách tích phân trên mặt S, ta có thể thu được áp lực tổng hợp và mômen tổng hợp.
Mặt cong S không chỉ đơn thuần là mặt cong đóng mà còn có thể là phần bề mặt của kết cấu chịu tác động từ chất lưu Áp lực tác động lên mặt này có thể được thay thế bằng một lực duy nhất F tại điểm rCp, được gọi là tâm áp suất (center of pressure).
F cho cùng mômen T như áp lực r Cp ×F=T (1.17)
Sau khi tính được F và T, vị trí của tâm áp suất có thể được xác định nhờ phương trình (1.17).
Trong tính toán áp lực lên các kết cấu được bao bởi không khí, áp suất tuyệt đối có thể được thay thế bằng áp suất áp kế p−p at Điều này là do áp lực toàn phần lên kết cấu không phụ thuộc vào độ lớn của áp suất không khí.
Vậy một áp suất đều tác dụng lên bề mặt của kết cấu không phát sinh lực thực hay mômen •
Thí dụ 1.3 Một đập chắn như hình1.7 để giữ nước có độ sâuH và bề rộng
W Tính lực tương đương do nước tác dụng lên đập.
Để xác định áp suất áp kế trên mặt ở độ cao z so với đáy đập, ta áp dụng điều kiện cân bằng thủy tĩnh với phương trình p(z) = p1 + ρg(z1 − z) = ρg(H − z) Trong đó, điểm 1 được chọn tại mặt hồ chứa nước và áp suất áp kế của không khí được coi là bằng không Tiếp theo, ta xác định F bằng cách thay biểu thức của p vào phương trình (1.15).
Chú ý rằng áp suất trung bình mà đập phải chịu là ρgH/2 và độ lớn của lực
F là tích của áp suất trung bình với diện tíchW H.
Hình 1.7: Sơ đồ đập chắn nước.
MômenTđược xác định bằng cách thay biểu thức của áp suất vào phương trình (1.16)
(xi+yj+zk)×ρg(H−z)idydz= ρgW H 3
Mômen Tcủa áp lực có hai thành phần Thành phầnT y theo hướng y có độ lớn bằng độ lớn F (của lực F) nhân với khoảng cách H/3
3 trong khi thành phần T z có độ lớn bằng F nhân với khoảng cách W/2
2 Dùng (1.17), ta xác định được vị trí tâm áp suất r Cp = W
3k. Đập chắn phải có độ dầy đủ lớn để chống lại cả áp lực F lẫn mômen T có thể làm trượt và lật đập. Áp lực trên mặt phẳng
Một trường hợp đơn giản của phương trình (1.15) và (1.16) là khi mặt tiếp xúc giữa vật rắn và chất lưu là phẳng Hình 1.8 minh họa một mặt phẳng có hình dạng tùy ý nằm dưới bề mặt chất lưu, nơi áp suất đạt giá trị p a Hệ tọa độ Descartes được chọn với gốc tại trọng tâm C của tấm, và các trục x, y nằm trong mặt phẳng của tấm Điểm O nằm trên bề mặt chất lưu, và vectơ định vị R từ O đến một điểm bất kỳ trên mặt phẳng của tấm được xác định.
R=R C +xi+yj, (1.18) trong đó R C là vectơ định vị của trọng tâmC
Từ phương trỡnh (1.6), chỳ ý rằng p=p a và gãR= 0 trờn bề mặt chất lưu, áp suất p tại điểm trên mặt phẳng là p−ρgãR=p a ;
Trong hệ tọa độ gắn với tấm, áp suất tại trọng tâm được xác định bằng công thức p_C = p_a + ρgãR_C Từ đó, ta có thể suy ra áp suất tổng quát p = p_C + ρ(g_x x + g_y y), trong đó g_x và g_y là các thành phần của trọng lực g theo hướng x và y.
VìC là trọng tâm của mặt phẳng, do đó các mômen đối với trục x và y của áp suất đơn vị trên mặt đều bằng không, tức là R xdS = R ydS = 0 Dựa vào các hệ thức này, chúng ta có thể xác định lực F từ phương trình (1.15).
Lực F tác dụng lên một mặt phẳng có hướng bất kỳ được tính bằng tích của áp suất tại trọng tâm C với diện tích A của tấm, theo công thức Z (gxx + gyy)dS = (pCA)n, trong đó A đại diện cho diện tích của tấm.
Trong các hình dạng đều như hình vuông, chữ nhật, tròn, elip hay tam giác, vị trí trọng tâm có thể xác định dễ dàng nhờ tính đối xứng Đối với các hình không đều, tọa độ của trọng tâm có thể được tính toán theo điều kiện nhất định Tâm áp suất (Cp) là điểm trên mặt phẳng mà tại đó mômen của áp lực bằng không.
Z p(y−y Cp )dS = 0, (1.22) trong đóx Cp i+y Cp j là vectơ bán kính của tâm áp suấtCpđối với trọng tâm
C Để thỏa mãn điều kiện này, thay phương trình (1.20) vào (1.22) và đơn giản nhờ (*)
Để tính toán tọa độ trọng tâm C, ta sử dụng công thức p C x Cp A + ρ(g x I xx + g y I xy ) = 0, trong đó I xx = R x 2 dS và I xy = R xy dS là các mômen quán tính của mặt phẳng đối với trọng tâm C Sau khi giải ra x Cp và y Cp, ta có được kết quả xCp = ρ(g x I xx + g y I xy ) / p C A và yCp = ρ(g y I yy + g x I xy ) / p C A.
MômenTcủa áp lực đối với gốc Ođơn giản là mômen của lựcF(phương trình (1.21)) có đường tác động đi qua tâm áp suất Cp Theo (1.17)
Một tấm phẳng hình tròn có đường kính D = 1 m được sử dụng để bít lỗ hổng trên thân tàu, nằm cách mặt nước 3 m và nghiêng một góc 45 độ so với phương thẳng đứng Với mật độ khối của nước là ρ = 10^3 kg/m^3, cần tính lực toàn phần do nước tác dụng lên tấm và xác định khoảng cách giữa tâm áp suất Cp và trọng tâm của tấm.
Giải Áp suất áp kế p C tại trọng tâm của tấm p C =ρgh= 10 3 ×9,807×3 = 2,942×10 4 P a, do đó lực F tác dụng lên tấm
Lấy trục y hướng lên dọc theo tấm và trụcxnằm ngang (thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ), g x = 0 và g y =−g/√
Áp lực trên mặt cong không thể áp dụng các biểu thức lực F và mômen T một cách đơn giản như với mặt phẳng Đối với các mặt cong có tính đối xứng như mặt cầu, mặt tru hay mặt nón, việc sử dụng hệ tọa độ thích hợp cho phép dễ dàng tính toán phần tử diện tích dS và vector pháp n Nhờ đó, các tích phân liên quan có thể được đánh giá một cách dễ dàng hơn.
Để tính toán lực và mômen tác động lên một mặt cong kín S, có thể tưởng tượng mặt cong này là một phần của một mặt cong lớn hơn, với phần còn lại là mặt phẳng hoặc mặt trụ Việc này giúp đơn giản hóa quá trình tính toán lực và mômen do chất lưu xung quanh gây ra Bằng cách thiết lập sự cân bằng lực và mômen trên mặt cong kín S, chúng ta có thể xác định được các lực và mômen chưa biết tác động lên mặt cong đó.
Trong thùng chứa nước có một mặt hình bán cầu với đường kính D, cách mặt nước một khoảng h bên dưới Để xác định biểu thức của lực toàn phần do nước tác dụng lên bán cầu, cần phân tích các yếu tố liên quan đến áp suất nước và diện tích bề mặt của bán cầu.
Áp lực trên các vật nhúng trong chất lưu
Nguyên lý Archimedes
Áp lực toàn phần tác dụng lên vật chìm trong chất lưu, ký hiệu là Fb, được gọi là lực nổi (buoyant force) Lực nổi này có thể được tính toán thông qua một phương trình cụ thể.
Phương trình (1.25) thể hiện nguyên lý Archimedes, cho thấy áp lực (lực nổi) tác động lên một vật chìm trong chất lỏng có độ lớn bằng trọng lực tác động lên khối chất lỏng bị chiếm chỗ, nhưng ngược chiều với trọng lực.
Gọi r b là vectơ bán kính của khối tâm của thể tích chất lưu bị choán chỗ r b = 1 V
Do nguyên lý Archimedes, mômen T b của lực nổi bằng môment của trọng lực tác dụng lên thể tích chất lưu bị choán chỗ
Suy ra điểm đặt của lực nổi, được gọi là tâm nổi (center of buoyancy), chính là khối tâm của thể tích chất lưu bị choán chỗ.
Khi một vật nổi trên bề mặt phân cách giữa hai chất lưu, như thuyền trên nước, mỗi chất lưu đóng góp vào lực nổi tổng thể bằng trọng lực tác động lên thể tích chất lưu bị choán chỗ Tuy nhiên, trong trường hợp thuyền trên nước, do mật độ không khí rất nhỏ so với mật độ nước, chúng ta chỉ cần xem xét trọng lực của thể tích nước bị choán chỗ để tính toán lực nổi.
Archimedes (287(?)-212 TCN) là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của thời đại mình, đóng góp quan trọng cho các lĩnh vực tĩnh học, động học và thủy tĩnh học, nghiên cứu về hành vi của các vật thể nổi và chìm trong chất lỏng.
Một thỏi xà phòng nổi trên mặt nước với đáy cách mặt nước khoảng cách D Thỏi xà phòng có kích thước rộng W, dày H và dài L, với chiều dài theo phương vuông góc với mặt phẳng hình vẽ Cần xác định tỉ trọng s của thỏi xà phòng.
Mật độ khối của nước được ký hiệu là ρ, trong khi mật độ khối của xà phòng là sρ Trọng lực tác động lên xà phòng được tính bằng công thức sρgW HL Theo nguyên lý Archimedes, lực này có độ lớn bằng với trọng lực tác động lên khối nước bị chiếm chỗ, từ đó ta có công thức sρgW HL = ρgDW L, dẫn đến kết luận rằng s = D.
Cân bằng của vật chìm trong chất lưu
Một vật có khối lượng M khi chìm trong chất lỏng sẽ chịu tác động của các lực như trọng lực Mg, lực nổi Fb và lực ngoài Fe Vật sẽ duy trì trạng thái không di chuyển khi các lực này đạt trạng thái cân bằng Phương trình cân bằng lực là yếu tố quan trọng để xác định điều kiện này.
Nếu không có lực ngoài, vật sẽ giữ trạng thái dừng chỉ khi khối lượng M của nó bằng khối lượng của khối chất lỏng bị choán chỗ.
Phương trình cân bằng mômen được biểu diễn bằng công thức r g ×Mg−r b ×ρVg+r e ×F e = 0, trong đó rg và re lần lượt đại diện cho vectơ định vị trọng tâm của vật và điểm tác dụng của lực bên ngoài Khi không có lực bên ngoài, các phương trình cân bằng sẽ trở thành đơn giản hơn.
(r g −r b )×g= 0, (1.30) nghĩa là trọng tâm và tâm nổi nằm trên cùng một đường thẳng đứng.
Một thanh trụ nổi trong hồ nước được neo một đầu, với một phần chìm dưới nước và phần còn lại ở trên không khí, nghiêng một góc θ so với phương ngang Thanh trụ có chiều dài L, diện tích tiết diện đều A, và mật độ khối ρ nhỏ hơn một ít so với mật độ khối ρw của nước Cần thiết lập công thức tính độ dài D của phần chìm trong nước của thanh trụ và lực căng T của dây neo dựa trên các tham số ρ, ρw, A và L.
Giải.Tính các mômen của trọng lựcρgALvà lực nổiρ w gADđối với điểm thanh trụ cột với dây neo, điều kiện cân bằng quay (rotational equilibrium) cho
L. Áp dụng nguyên lý Archimedes, cân bằng các lực trên phương thẳng đứng cho
# Chú ý, D và T độc lập với góc θ.
Sự cân bằng của lực và mômen là yếu tố thiết yếu giúp một vật duy trì trạng thái dừng trong chất lưu Tuy nhiên, sự cân bằng này có thể trở nên không ổn định, tương tự như cây kim đứng thăng bằng trên đầu nhọn Để đạt được cân bằng ổn định, vật cần có khả năng tự trở về vị trí cân bằng khi bị lệch một chút.
Hình 1.13: Cân bằng ổn định của vật chìm trong chất lưu.
Nguyên lý áp dụng cho vật chìm hoàn toàn trong chất lỏng cho thấy lực nổi F b có đường tác dụng đi qua tâm nổi B, trong khi trọng lực ρgV lại đi qua trọng tâm G của vật Khi B và G nằm trên một đường thẳng đứng, vật ở trạng thái cân bằng tĩnh Nếu vật quay theo chiều kim đồng hồ một góc nhỏ và G nằm bên dưới B, lực nổi và trọng lực sẽ tạo ra ngẫu hồi phục với độ lớn ρgV l (với l = BG).
Sự ổn định của vật chìm trong chất lỏng phụ thuộc vào vị trí của trọng tâm và tâm nổi Nếu trọng tâm nằm dưới tâm nổi, vật sẽ trở về vị trí cân bằng ban đầu khi có tác động Ngược lại, nếu trọng tâm nằm trên tâm nổi, vật sẽ bị lật ngược khi có sự thay đổi ngẫu nhiên, dẫn đến mất ổn định.
Nguyên lý vật lý có thể áp dụng cho việc xác định khả năng nổi của vật trên bề mặt chất lỏng Ví dụ, thỏi xà phòng có thể nổi tự do trên mặt nước, minh họa cho hiện tượng này.
Trong trạng thái cân bằng, trọng tâm của thỏi xà phòng nằm giữa hai đáy, trong khi tâm nổi nằm giữa đáy dưới và mặt nước, cho thấy tâm nổi thấp hơn trọng tâm Mặc dù vậy, thỏi xà phòng vẫn ổn định và sẽ trở lại vị trí cân bằng ban đầu khi bị kéo lệch.
Trường hợp thỏi xà phòng nổi trên mặt nước khi bị quay khác biệt rõ rệt so với vật chìm hoàn toàn trong chất lưu Sự chuyển động của thỏi xà phòng trên bề mặt nước thể hiện cách mà lực tác động và trọng lực tương tác, tạo ra hiện tượng nổi.
Hình 1.14 minh họa cân bằng ổn định của vật nổi Khi vật bị xoay nhẹ theo chiều kim đồng hồ, tâm nổi sẽ dịch chuyển sang phải đến vị trí B0 do phía bên phải chìm nhiều hơn Nếu tâm nổi mới B0 nằm bên phải trọng tâm, thỏi xà phòng sẽ trở về vị trí ban đầu của nó.
Tâm khuynh (metacenter) của thỏi xà phòng, ký hiệu M, là giao điểm của đường tác dụng của lực nổi với trục của thỏi Khi tâm khuynh nằm trên trọng tâm, thỏi xà phòng sẽ ổn định và trở về vị trí ban đầu sau khi bị nghiêng Để xác định tâm khuynh, cần tìm biểu thức cho mômen của thể tích bị chiếm chỗ đối với tâm nổi mới B0 Thể tích này bao gồm hai phần: thể tích bị chiếm chỗ ban đầu DW L (với L là chiều dài) và phần hình nêm có thể tích (1/2)(W/2)(W/2) = W²L/8, di chuyển từ bên trái sang bên phải, với trọng tâm dịch chuyển khoảng 2W/3 Tổng mômen của cả hai thành phần đối với B0 phải bằng không.
(1.31) Tuy nhiên, khoảng cách BB 0 bằng BM nên
Sự ổn định của vật nổi được cải thiện khi chiều rộng W lớn, độ sâu D phần chìm nhỏ và tâm khối được giữ thấp (GM lớn) Điều này lý giải vì sao thuyền chèo ổn định hơn canô và tại sao việc đứng lên trên canô lại gây mất ổn định Ngoài ra, nó cũng giải thích tại sao thỏi xà phòng không thể nổi ổn định khi đặt trên cạnh, tức là trên bề mặt có kích thước nhỏ nhất.
Một khối gỗ nổi trên mặt nước có chiều rộng W, chiều cao H và tỉ trọng s Để đảm bảo khối gỗ ổn định, cần xác định tỉ số W/H nhỏ nhất sao cho điểm trọng tâm GM bằng 0.
Giải Ký hiệu O là tâm đáy dưới khối gỗ, Gvà B lần lượt là trọng tâm và tâm nổi Ta có: OG=H/2,OB =sH/2 (giải thích ?) Vậy,
Gọi M là tâm khuynh thì khoảng cáchBM có thể đánh giá từ phương trình (1.32) bằng cách chú ý rằng D=sH
12sH. Bằng cách đặt BM =BG ta được điều kiện ổn định, GM = 0,
Nếu khối gỗ hình lập phương W = H để nổi thẳng đứng, s phải nhỏ hơn s 1 hay lớn hơn s 2 , trong đó s 1 , s 2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình 6s(1−s) = 1 s≤ 3−√
Chất lưu phân lớp
Chất lưu phân lớp là chất lưu có mật độ khối không đồng nhất trong trường trọng lực, ví dụ như mật độ không khí giảm theo độ cao và mật độ nước ở đáy biển lớn hơn ở mặt biển Khi chất lưu có các thành phần không hòa trộn, như nước và không khí hay dầu và nước, thành phần nặng hơn sẽ nằm ở đáy bình chứa Trong những trường hợp này, mối quan hệ tích phân giữa áp suất và độ cao không còn đúng do mật độ chất lưu không phải là hằng số Ổn định tĩnh của chất lưu phân lớp có thể được phân tích thông qua phương trình cân bằng thủy tĩnh.
Điều kiện ổn định tĩnh của chất lưu phân lớp được thể hiện qua công thức (5ρ)×g = 0, cho thấy mật độ khối của chất lưu chỉ phụ thuộc vào độ cao trong trạng thái tĩnh Hiện tượng này có thể quan sát thấy qua mặt thoáng của nước trong bình chứa luôn nằm ngang, nơi mà mật độ khối thay đổi đột ngột từ nước sang không khí Chất lưu nặng hơn luôn nằm dưới chất lưu nhẹ hơn, và nếu lật ngược bình chứa nước và không khí, nước sẽ chảy xuống đáy bình Để lớp nước nằm trên lớp không khí mà không vi phạm điều kiện ổn định tĩnh, mặt phân cách giữa chúng phải nằm ngang, điều này hiếm khi xảy ra do tính không ổn định của lớp chất lưu nặng trên lớp nhẹ Về ổn định động, khi hoán chuyển vị trí giữa giọt nước và bọt khí có cùng thể tích, cần có công để nâng giọt nước và kéo bọt khí xuống, tạo ra mặt phân cách nước - không khí Khi được thả ra, giọt nước sẽ rơi xuống và bọt khí sẽ nổi lên, cuối cùng chúng sẽ "thủ tiêu" lẫn nhau, cho thấy hệ trở về cấu hình tự nhiên ban đầu sau khi bị xáo trộn, thể hiện tính ổn định động.
Khi lớp nước nằm trên lớp không khí, hiện tượng xảy ra khi giải phóng bọt khí và giọt nước sẽ khác biệt Bọt khí sẽ nổi lên trong nước, trong khi giọt nước lại chìm xuống không khí Cấu hình này tạo ra sự không ổn định động do hệ thống rời xa trạng thái ban đầu Mặc dù công để di chuyển giọt nước và bọt khí là âm, việc hình thành bề mặt lại cần công dương để vượt qua sức căng bề mặt Đối với các giọt nước rất nhỏ, chẳng hạn như giọt nước hình thành bên dưới ống nhỏ mắt, hiện tượng này có thể đạt được sự ổn định động.
Khi chất lưu phân lớp ổn định động, nó có khả năng chống lại các chuyển dịch nhỏ theo phương thẳng đứng Đối với chất lỏng có mật độ khối giảm dần theo độ cao, khi một phần tử chất lỏng di chuyển lên trên, nó sẽ bị bao bọc bởi các phần tử có mật độ khối nhỏ hơn, dẫn đến việc phần tử này ngay lập tức trở về vị trí ban đầu Do đó, chất lỏng với các lớp mật độ khối giảm dần sẽ duy trì sự ổn định động Điều kiện ổn định động trong trường hợp này được biểu diễn bằng công thức: dρ dz 0).
Hãy xác định quỹ đạo của các chất điểm và các đường dòng Trường hợp a = 0, dòng chảy có đặc điểm gì?
Dòng chảy này không ngừng lại, với quỹ đạo của các chất điểm được xác định bởi hệ phương trình vi phân: dx/dt = -kx, dy/dt = ky, dz/dt = aωcos(ωt).
Tích phân các phương trình vi phân cho ta các nghiệm x = C1 e^(-kt), y = C2 e^(kt), và z = a sin(ωt) + C3 Đường dòng được xác định bởi hệ phương trình dx/dλ = -kx, dy/dλ = ky, và dz/dλ = aω cos(ωt), trong đó t được coi là tham số không đổi.
Tích phân các phương trình trên ta được phương trình tham số của các đường dòng x=C 1 e −kλ , y =C 2 e kλ , z = (aωcosωt)λ+C 3
Trường hợp a = 0, ta có dòng chảy phẳng, dừng, các đường dòng trùng với quỹ đạo.
Thể tích và mặt kiểm tra
Khi áp dụng nguyên lý Archimedes, chúng ta đề cập đến khái niệm mặt cong đóng bên trong chất lưu, nơi mà thể tích chất lỏng bị chiếm chỗ bởi một vật thể Trong thủy tĩnh học, các thể tích này là bất động và các mặt giới hạn không cho phép chất lưu đi qua, tạo ra một trạng thái "cứng hóa" trong chất lỏng Để xác định lực toàn phần tác động lên chất lỏng trong thể tích, ta có thể tưởng tượng chất lưu như một vật rắn Nếu chất lưu chuyển động, thể tích và mặt giới hạn của nó sẽ thay đổi theo thời gian, nhưng vẫn giữ nguyên số lượng chất điểm bên trong Khi nghiên cứu chuyển động của chất lưu từ quan điểm Euler, khái niệm thể tích kiểm tra trở nên cần thiết.
Thể tích kiểm tra là thể tích chất lỏng trong một dòng chảy, được giới hạn bởi một mặt cong tưởng tượng gọi là mặt kiểm tra Khác với khái niệm trước, thể tích và mặt kiểm tra đều cố định trong không gian Trong quá trình chuyển động, các chất điểm có thể đi vào hoặc ra khỏi thể tích kiểm tra qua mặt kiểm tra, do đó, tại các thời điểm khác nhau, các chất điểm bên trong và trên mặt kiểm tra sẽ khác nhau.
Dòng chảy đi qua mặt kiểm tra
Chúng ta có thể tính toán lượng chất lưu đi qua một phần tử diện tích dS với vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài 3n của mặt kiểm tra S trong khoảng thời gian dt Như hình 2.3 đã chỉ ra, các chất điểm nằm trên phần tử diện tích dS tại thời điểm đó.
Trong hình 2.3, lượng chất lưu chảy qua mặt kiểm tra được mô tả bằng cách xác định điểm bắt đầu của khoảng thời gian dt, trong đó chất lưu di chuyển một đoạn vdt Chất lưu chảy ra khỏi thể tích kiểm tra vào hình trụ có đáy là phần tử diện tích dS và trục xiên vdt Thể tích của hình trụ được tính bằng (vãn)dtdS Tốc độ dòng thể tích, ký hiệu là Q, là lượng chất lưu chảy qua mặt kiểm tra trong một đơn vị thời gian.
Thí dụ 2.4 Một dòng chảy dừng trong hình trụ tròn trụcz, bán kính a, có vận tốc v=u
1− r 2 a 2 k, trong đó r là khoảng cách từ điểm đến trục Hãy thiết lập biểu thức cho tốc độ dòng thể tích Q trong ống.
3 Vectơ n hướng ra ngoài thể tích kiểm tra.
Giải Áp dụng công thức (2.11) với phần tử diện tích dS = 2πrdr, ta có
Nếu khối lượng của chất lưu trên một đơn vị diện tích là ρ, thì khối lượng chất lưu đi qua mặt kiểm tra trong một đơn vị thời gian sẽ được tính bằng ˙mZ.
Tốc độ dòng khối lượng (S ρvãndS (2.12)) là một đại lượng quan trọng trong việc thiết lập phương trình mô tả sự bảo toàn khối lượng.
Nhận xét 2.3 Nếu khối lượng của chất lưu trong một đơn vị diện tích ρ giống nhau tại mọi điểm trên mặt kiểm tra thì ˙ m =ρQ (2.13)
Tính nén được của chất lưu
Chất lưu có tính chất dễ chảy và có khả năng thay đổi hình dạng cũng như thể tích khi chịu tác động từ môi trường xung quanh, chẳng hạn như áp suất và nhiệt độ Do đó, chất lưu được coi là có tính nén.
Mật độ khối là một khái niệm chung áp dụng cho tất cả các chất, bao gồm rắn, lỏng và khí Định nghĩa mật độ khối là tỉ số giữa khối lượng và thể tích của một chất, do đó, khi thể tích thay đổi, mật độ khối cũng sẽ thay đổi Tính nén được của chất được thể hiện qua sự thay đổi mật độ khối Mật độ khối có thể được coi là hàm liên tục của vị trí trong vùng chiếm bởi chất, thường được ký hiệu là ρ và đo bằng đơn vị kg/m³.
Mật độ khối của chất lưu có ảnh hưởng lớn đến dòng chảy, xác định quán tính và gia tốc của nó khi chịu tác dụng của lực Chất lưu có mật độ khối thấp, như không khí, dễ dàng gia tốc hơn so với chất lưu có mật độ khối cao, như nước Điều này lý giải tại sao việc lội trong nước khó khăn hơn so với đi bộ trong không khí Ngoài ra, áp suất và nhiệt độ cũng tác động đến mật độ khối của chất lưu.
Mật độ khối của chất lưu phụ thuộc vào áp suất và nhiệt độ, được biểu thị bằng công thức ρ = ρ(p, T) Khi nhiệt độ của chất lỏng tăng ở áp suất cố định, mật độ khối giảm do khối lượng cố định nở ra Ngược lại, khi áp suất tăng ở nhiệt độ cố định, chất lỏng bị nén lại, dẫn đến tăng mật độ khối Đối với chất khí, sự thay đổi mật độ cũng tương tự, nhưng mức độ thay đổi lớn hơn nhiều so với chất lỏng Bảng 2.1 cung cấp khối lượng riêng của một số chất, cho thấy rằng khối lượng riêng của chất khí tăng nhanh chóng theo áp suất, trong khi khối lượng riêng của chất lỏng lại không thay đổi nhiều.
Sự thay đổi nhỏ trong mật độ khối (dρ) do áp suất (dp) và nhiệt độ (dT) có thể được mô tả bằng các đạo hàm riêng của mật độ (ρ) đối với áp suất và nhiệt độ, thể hiện qua công thức dρ = ∂ρ.
Chia hai vế hệ thức trên cho ρ, ta có biến đổi tương đối dρ/ρ trong mật độ khối là dρ ρ = ∂(lnρ)
∂T dT (2.14) nghịch đảo hệ số của số hạng đầu được gọi là môđun khối (bulk modulus)
Khi mật độ khối của một chất được coi là đồng nhất cho tất cả các phần tử, chúng ta sử dụng thuật ngữ khối lượng riêng, tức là khối lượng của một đơn vị thể tích, thay cho khái niệm mật độ khối.
(kg/m 3 ) Không gian giữa các vì sao 10 −20
Chân không trong phòng thí nghiệm 10 −17
20 0 C và 50 atm 60,5 Nước ở20 0 C và 1atm 0,998×10 3
20 0 C và 50atm 1,000×10 3 Nước biển ở 20 0 C và 1atm 1,024×10 3
Trái đất (trung bình) 5,5×10 3 ở lõi 9,5×10 3 ở vỏ 2,8×10 3
Mặt trời (trung bình) 1,4×10 3 ở lõi 1,6×10 5
Bảng 2.1: Khối lượng riêng của một số chất. còn trừ hệ số của số hạng thứ hai được gọi là hệ số dãn nở nhiệt (coefficient of thermal expansion) β=−1 ρ
Trong nghiên cứu về phần tử thể tích V với khối lượng ρV không đổi, có thể nhận thấy rằng sự biến đổi tương đối trong mật độ khối dρ/ρ tỉ lệ nghịch với sự biến đổi thể tích dV/V Điều này có nghĩa là khi thể tích thay đổi, mật độ khối sẽ biến thiên ngược lại, thể hiện mối quan hệ chặt chẽ giữa mật độ và thể tích trong hệ thống.
Từ hệ thức (2.17), biểu thức của E và β có thể viết lại
Trong trường hợp áp suấtpchỉ phụ thuộc mật độ khốiρhoặc quá trình diễn ra là đẳng nhiệt (isothermal) thì dV =−1
Khi áp suất tăng thêm 1 Pa, thể tích của một đơn vị sẽ bị nén giảm đi một lượng tương ứng bằng 1/E Điều này cho thấy sự biến thiên ngược nhau giữa áp suất và thể tích trong hệ thống.
Khi mật độ khối chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ và không chịu ảnh hưởng của áp suất, hoặc khi quá trình diễn ra ở điều kiện đẳng áp, thì sự thay đổi thể tích được biểu thị bằng công thức dV = βV dT Điều này có nghĩa là khi nhiệt độ tăng thêm 1 K, một đơn vị thể tích sẽ dãn nở thêm một lượng tương ứng với hệ số β.
Với khí lý tưởng p=ρRT, (2.20) trong đó R là hằng số khí riêng của chất khí 5 , còn T là nhiệt độ tuyệt đối (đơn vị đo là Kelvin (K)) Ta có:
Hơn nữa, từ (2.21) và (2.22), thứ nguyên của E và β lần lượt là N/m 2 và
Giá trị E của nước và không khí ở nhiệt độ phòng và áp suất khí quyển lần lượt là 2,1×10^9 N/m^2 và 1,0×10^5 N/m^2 Do đó, khi áp suất tăng nhẹ, biến đổi tương đối dρ/ρ trong mật độ khối của không khí sẽ được tính toán dựa trên các giá trị này.
2,1×10 4 lần lớn hơn so với nước Sự khác biệt này là do khoảng cách giữa
Hằng số khí phổ biến R được xác định bằng 5 R bằng R 0 = 8314 N m/kgK chia cho phân tử gam chất khí Trong điều kiện áp suất khí quyển, các phân tử trong chất lỏng có kích thước nhỏ hơn nhiều so với các phân tử trong chất khí, dẫn đến lực đẩy giữa các phân tử chất lỏng mạnh hơn so với lực đẩy giữa các phân tử chất khí.
Các hệ số dãn nở nhiệt của nước và không khí là 1,53×10 −4 K −1 và
Hệ số dãn nở nhiệt của không khí là 3,5×10 −3 K −1, cho thấy không khí dễ dãn nở hơn nước Khi đun nóng các chất lỏng trong trường trọng lực, chuyển động nhiệt của các phân tử sẽ xuất hiện, với không khí chịu ảnh hưởng mạnh mẽ hơn so với nước do hệ số dãn nở nhiệt lớn hơn của nó.
Sự dãn nở nhiệt của nước giữa 0°C và 4°C rất đặc biệt, khi nước co lại khi bị đun nóng trong khoảng nhiệt độ này Mật độ khối của nước đạt cực đại ở 4°C, và mọi sự đun nóng hoặc làm lạnh trên hoặc dưới nhiệt độ này đều dẫn đến sự dãn nở của nước Tại các vùng hàn đới, vào mùa đông, mặt ao và hồ bị đóng băng trong khi nước ở đáy vẫn duy trì nhiệt độ 4°C, do nước lạnh hơn với mật độ nhỏ hơn nổi lên trên Do đó, băng hình thành trên bề mặt trong khi nước dưới đáy vẫn ấm hơn.
Nhận xét 2.5 Ngoài mật độ khối, trong cơ học chất lưu, ta thường dùng một số đại lượng khác có liên quan đến mật độ khối.
Thể tích riêng (specific volume) ν, xác định bởi ν = 1 ρ (2.23)
Trọng lượng riêng γ, là trọng lượng của chất lưu trong một đơn vị thể tích γ =ρg (2.24)
Tỉ trọng của một chất lưu là tỉ số mật độ khối của chất lưu với mật độ khối của chất lưu tham khảo ρr s= ρ ρ r (2.25)
Với chất lỏng, chất lưu tham khảo là nước nguyên chất ở điều kiện tiêu chuẩn
(4 0 C và 101,330 P a), mật độ khối ρ r = 1000 kg/m 3 Với tỉ trọng của chất khí, không khí khô được chọn làm chất lưu tham khảo •
Nhiệt độ trung bình bề mặt trái đất dự báo sẽ tăng trong thế kỷ này do hiệu ứng nhà kính gia tăng Sự hấp thu nhiệt của nước biển dẫn đến hiện tượng nở ra, làm mực nước biển dâng lên Với độ sâu trung bình của đại dương là 3800 m và hệ số dãn nở nhiệt trung bình là 1,6×10 −4 K −1, mực nước biển sẽ tăng lên đáng kể khi đại dương được làm nóng thêm 1K.
Khi nước biển được làm nóng, nó sẽ giãn nở theo phương thẳng đứng, trong khi sự giãn nở bên bị giới hạn bởi các lục địa Độ cao mực nước biển, ký hiệu là ∆h, tăng lên khi nhiệt độ tăng thêm 1K, và ∆h được xác định bằng tích của hệ số giãn nở nhiệt với độ sâu của đại dương.
