Bài viết Phép phân tích trực chuẩn phân tích dữ liệu trong bài toán cơ học chất lỏng trình bày về hai phương pháp phân tích trực chuẩn: Phương pháp POD cổ điển và phương pháp POD snapshot. Trong đó phương pháp POD snapshot được sử dụng khi kích cỡ của biến thời gian nhỏ hơn đáng kể so với kích cỡ của biến không gian.
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 PHÉP PHÂN TÍCH TRỰC CHUẨN PHÂN TÍCH DỮ LIỆU TRONG BÀI TOÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG Nguyễn Đức Hậu Trường Đại học Thủy lợi, email: ndhau.dhtl@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG Phương pháp phân tích trực giao theo giá trị riêng (Proper Orthogonal DecompositionPOD) phương pháp phân tích liệu, xấp xỉ hệ phương trình có số chiều lớn thành hệ có cỡ nhỏ Phương pháp sử dụng học chất lỏng Lumley [1] năm 1967 để xác định cấu trúc dịng chảy rối sau xây dựng mơ hình rút gọn xấp xỉ lượng dòng chảy Ý tưởng ban đầu phương pháp POD công cụ để xử lý liệu nhiên sau phương pháp sử dụng nhiều để xấp xỉ hệ phương trình Navier-Stokes để xây dựng lại kiểm sốt dòng chảy Phương pháp POD phương pháp tuyến tính ta xác định hệ sơ sở trực chuẩn để xấp xỉ (một cách tối ưu) liệu ban đầu tập hợp rời rạc liên tục có cỡ lớn (các kết thực nghiệm kết số thời điểm khác nhau) không gian với số chiều N POD dạng: u ( X) ≈ i =1 u ( X) − Ω = X × [ 0,T ] N POD ∑ ( u,Φ i )Φ ( X ) , i =1 kí hiệu trung bình theo thời gian tập hợp liệu ban đầu Theo Lumley 1967 toán cực tiểu hóa dẫn đến tốn cực đại hóa sau: Xác định véc tơ đơn vị không gian H* ( Ω ) = H ( Ω ) \ {0} cho có cực đại hóa sau: max Ψ ∈H* ( Ω ) ( u,Ψ )2 (Ψ ,Ψ ) Ta định nghĩa tốn tử tuyến tính: K : H (Ω ) → H (Ω ) Ta xét liệu dạng u( X ) với xác định H ( Ω ) H không gian Hilbert với tích vơ hướng ( ,.) với chuẩn H Ω miền ∑ ( u,Φ i )Φ i ( X ) Điều kiện tối ưu hóa theo nghĩa tích vơ hướng khơng gian hàm H theo nghĩa tìm modes Φ i ∈ H ( Ω ) trực chuẩn cho cực tiểu hóa sai số sau: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU N POD không gian thời gian với T > H không gian L2 ( Ω ) với tích vơ hướng: (Φ ,Ψ ) = ∫ Φ ( X )Ψ ( X ) dX Ω Phương pháp POD cổ điển phương pháp xấp xỉ ta xác định hệ sở trực chuẩn từ ta xác định xấp xỉ tốt u Ψ K (Ψ ) = ( C ( X ,.) ,Ψ ( X ) ) , với C ( X , X' ) = u ( X ) u ( X' ) ten sơ tương giao có tính chất đối xứng Dễ dàng chứng minh toán tử K tốn tử đối xứng, khơng âm nghĩa ∀Φ ,Ψ ∈ H ( Ω ) ta có: ( KΦ ,Ψ ) = (Φ ,KΨ ) , ( KΦ ,Φ ) ≥ Theo định lý Riesz phổ tốn tử tuyến tính K có vơ hạn giá trị riêng thực 156 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 ∞ không âm theo thứ tăng dần λ1 ≥ λ2 ≥ ≥ ≥ , C ( X , X' ) = ∑ λiΦ i ( X )Φ i ( X' ) i =1 Vì {Φ i } trực chuẩn nên ta có: +∞ ∑ λi < ∞ ( a j = ( u,Φ i ) u,Φ j i =1 Các hàm riêng K trực giao Ta chọn hàm riêng trực chuẩn Bài tốn cực đại hóa trở thành tìm Ψ ∈ H * cho: H = = Nhận thấy FΦ ' ( ) = Từ dẫn đến: (Ψ ,Φ ) = Đặt λ = ( KΨ ,Ψ ) (Ψ ,Ψ ) ( ) = λi (Φ i ,Φ j ) = λiδ ij Giá trị riêng λi = tương ứng với động trung bình sinh mode thứ i Động toàn phần toán là: ( KΨ ,Ψ ) Ψ ,Φ ( ) (Ψ ,Ψ ) ∞ ∞ ∫ C ( X, X ) dX = ∑ i =1 = ∑ λi = E i =1 H N POD ∑ i =1 Động sinh hệ sở POD là: E N POD = = ( u,Φ i ) Nếu N POD → ∞ ta nhận công thức đúng: u ( X ) = ∑ aiΦ i ( X ) i =1 Ten sơ tương giao xác định bởi: ∑ i =1 S ( N POD ) = u− N POD λi ∑ i =1 ( u,Φ i )Φ i ( X ) Tiêu chuẩn thứ hai tỉ số động hệ sở POD với động toàn phần: T ( N POD ) = hệ số xác định ∞ N POD Ta có hai tiêu chuẩn để đánh giá hệ sở POD chọn Tiêu chuẩn thứ sai số: aiΦ i ( X ) , modes POD {Φ i } trực chuẩn (Φ i ,Φ j ) = δij ∫ KΦ i ( X' )Φ j ( X' ) dX' = KΦ i ,Φ j Vậy Ψ nghiệm toán: KΨ = λΨ Bài toán tối ưu hóa trở thành tốn giá trị riêng Tất véc tơ riêng Ψ tương ứng giá trị riêng lớn K Các modes POD hàm riêng tốn tử K tương ứng với N POD giá trị riêng lớn Và tốn cực tiểu hóa xét hệ sở rút gọn với số chiều N POD Công thức xấp xỉ trở thành: u ( X) ≈ ∫ ∫ u ( X ) u ( X' ) Φ i ( X )Φ i ( X' ) dXdX' H ( K (Ψ + εΦ ) ,Ψ + εΦ ) = (Ψ + εΦ ,Ψ + εΦ ) FΦ ( ε ) ≤ FΦ ( ) H HH Xét hàm FΦ : \→ \ xác định công thức: FΦ ( ε ) ∫ u ( X )Φ i ( X ) d X ∫ u ( X ' )Φ j ( X ' ) d X ' = ( KΨ ,Ψ ) = max ( KΦ ,Φ ) (Ψ ,Ψ ) Φ ∈H*( Ω ) (Φ ,Φ ) ) E N POD E Trong thực hành tiêu chuẩn thứ hai thường sử dụng để đánh giá số lượng mode cần thiết để sinh đủ động cần thiết KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU a) Trường hợp rời rạc với số chiều hữu hạn Trong toán thực nghiệm tốn mơ hình số mơ dòng chảy liệu nhận xếp dạng ma trận 157 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 ⎡ u ( x1 ,t1 ) ⎢ U =⎢ " ⎢ ⎢u xN x ,t1 ⎣ ( ) u x1 ,t Nt ⎤ ⎥ ⎥ " " ⎥ " u xN x ,t Nt ⎥ ⎦ N x số điểm khơng gian x rời rạc ( " ) ( ) (các điểm đo toán thực nghiệm nút lưới tốn mơ phỏng) Nt số thời điểm nghiên cứu Khi cực tiểu hóa sai số trường hợp rời rạc là: Nt Nt N POD i =1 j =1 ∑ u ( x,ti ) − ∑ lại bùn cát phịng thí nghiệm trường hợp e13 (xem [2]) Hình chín modes hệ sở POD snapshot trường nồng độ Ta thấy modes ứng với giá trị riêng lớn trung bình trình diễn tiến nồng độ khối Các modes thể rõ q trình rời bùn cát Chín modes sinh khoảng 90% động hệ ban đầu a j ( ti )Φ j ( x ) Ma trận ten sơ tương giao cỡ N x × N x xác định bởi: ⎡ ⎤ Cx = ⎢ u ( xi ) ,u x j ⎥ ⎣ Nt ⎦ ( ( )) b) Phương pháp POD snapshot Phương pháp POD snapshot đưa Sirovich [3] năm 1987 Mục đích phương pháp phép lấy trung bình lấy theo khơng gian cịn ma trận ten sơ tương giao phụ thuộc vào thời gian có cỡ Nt × Nt : Ct = ⎡⎣Cij ⎤⎦ với Cij = ( Hình Chín modes hệ sở POD ( )) u ( ti ) ,u t j Nt Phương pháp POD snapshot dùng trường hợp N x thực lớn Nt Đó trường hợp với liệu kết thực nghiệm hay kết số c) Áp dụng phương pháp POD snapshot Tiếp theo ta sử dụng phương pháp POD để phân tích kết số mơ hình hai pha Hình Nồng độ bùn cát kết số Trong Hình biểu diễn kết số mơ hình hai pha mơ q trình rơi trở KẾT LUẬN Trong báo tác giả trình bày hai phương pháp phân tích trực chuẩn: Phương pháp POD cổ điển phương pháp POD snapshot Trong phương pháp POD snapshot sử dụng kích cỡ biến thời gian nhỏ đáng kể so với kích cỡ biến khơng gian Một áp dụng phương pháp POD snapshot phân tích liệu số mơ hình hai pha mơ dòng chảy vận chuyển bùn cát trường nồng độ bùn cát xem xét TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lumley, J L (1967), The structure of inhomogeneous turbulent flows, Atmospheric turbulence and radio wave propagation, Moscow: Nauka, 167-178 [2] Nguyen D.H., Guillou S., Nguyen K.D., Pham Van Bang D., Chauchat J (2012), “Simulation of dredged sediment releases into homogeneous water using a twophase model” Advances in Water Resources 48, 102–112 [3] Sirovich, L (1987), Turbulence and the dynamics of coherent structures, Quarterly of Applied Mathematics, 5, 561-590 158 ... hình hai pha mơ q trình rơi trở KẾT LUẬN Trong báo tác giả trình bày hai phương pháp phân tích trực chuẩn: Phương pháp POD cổ điển phương pháp POD snapshot Trong phương pháp POD snapshot sử dụng... số: aiΦ i ( X ) , modes POD {Φ i } trực chuẩn (Φ i ,Φ j ) = δij ∫ KΦ i ( X' )Φ j ( X' ) dX' = KΦ i ,Φ j Vậy Ψ nghiệm toán: KΨ = λΨ Bài tốn tối ưu hóa trở thành toán giá trị riêng Tất véc tơ riêng... trường hợp với liệu kết thực nghiệm hay kết số c) Áp dụng phương pháp POD snapshot Tiếp theo ta sử dụng phương pháp POD để phân tích kết số mơ hình hai pha Hình Nồng độ bùn cát kết số Trong Hình