Bài giảng toán kỹ thuật

07 35 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA ĐIỆN ĐIỆN TỬ BÀI GIẢNG TOÁN KỸ THUẬT GV Nguyễn Cao Trí Bình Dương 2/2016 1 2 1 Tên học phần TOÁN KỸ THUẬT 2 Số tín chỉ 3 (2LT+1 TH) 3 Phân bổ thời gian 60 tiết[.]

07:35 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA ĐIỆN - ĐIỆN TỬ Tên học phần: TOÁN KỸ THUẬT Số tín chỉ: (2LT+1 TH) Phân bổ thời gian: 60 tiết - Lý thuyết: 30 tiết; - Bài tập: 30 tiết Tiêu chuẩn đánh giá sinh viên: - Điểm KT học phần: 30%; - Điểm thi kết thúc học phần: 70% BÀI GIẢNG: TOÁN KỸ THUẬT GV: Nguyễn Cao Trí Bình Dương 2/2016 Tài liệu học tập: 5.1 Tài liệu bắt buộc: Lê Bá Long, “Toán kỹ thuật” 5.2 Tài liệu tham khảo: [1] Nguyễn Kim Đính, “Hàm phức ứng dụng”, Trường Đại Học Kỹ Thuật Tp Hồ Chí Minh, 1998 [2] Nguyễn Kim Đính, “Phép biến đổi Laplace”, Trường Đại Học Kỹ Thuật Tp Hồ Chí Minh, 1998 NỘI DUNG CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG CHƯƠNG 1: HÀM BIẾN PHỨC 2: THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG 3: TOÁN TỬ LAPLACE 4: ỨNG DỤNG LAPLACE VÀO GIẢI TÍCH MẠCH ĐIỆN CHƯƠNG 5: FOURIER 07:35 1.1 Số phức CHƯƠNG 1: HÀM BIẾN PHỨC ♦ Số phức có dạng: z = x + iy i: số ảo đơn vị; i2 = -1 x = Re{z): phần thực z y = Im{z): phần ảo z 1.1 Số phức 1.2 Hàm biến phức 1.3 Giới hạn liên tục 1.4 Đạo hàm 1.5 Điều kiện Cauchy- Riémann 1.6 Các tính chất hàm phức 1.7 Các hàm sơ cấp ♦ Biểu diễn số phức mặt phẳng phức: ♦ Biểu diễn số phức dạng tọa độ cực: ♦ Số phức liên hợp z = x + iy số: ♦ Hai số phức z1 = x1+ iy1 z2 = x2+ iy2 khi: Giá trị tính từ công thức: 07:35 ♦ Số phức có tính chất tương tự số thực như: - Giao hoán - Kết hợp - Phân bố - Phần tử đơn vị: 0(0,0): Phần tử đơn vị toán cộng; 1(1,0): Phần tử đơn vị toán nhân - Số nghịch đảo Số nghịch đảo cộng: z = (x,y) -z = (-x,-y) Số nghịch đảo nhân: z = (x,y) ♦ Phép cộng, trừ: z1 ± z2 = (x1± x2) + i(y1 ± y2) ♦ Phép nhân: (x1+ iy1).(x2+ iy2) = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1) ♦ Phép chia: ♦ Ví dụ 1: Tính 10 1.2 Hàm biến phức ♦ Ví dụ 2: Tính x y nếu: (x + y +2) + (x2 + y)i = Giải: Viết 0(0,0) theo định nghĩa số phức nhau, ta có: x + y +2 = x2 + y = Suy nghiệm: x=2, y= -4 x= -1,y= -1 ♦ Ví dụ 3: ♦ Ví dụ:…… Bài tập: Ví dụ 1.4,1.5,……1.13 (Hàm phức ứng dụng”, Trường Đại Học Quôc gia Tp Hồ Chí Minh) 11 12 07:35 MỘT SỐ KHÁI NIỆM ♦ Cận (gần nhau): cận ε điểm z0 tập điểm z nằm đường trịn tâm z0 có bán kính ε, ♦ Điểm trong/điểm ngồi: điểm z0 tập điểm S gọi nằm bên S có cận z0 hồn tồn nằm S gọi điểm S có cận z0 khơng chứa điểm S ♦ Điểm biên: điểm z0 gọi điểm biên S z0 điểm khơng phải điểm ngồi Viis dụ |z| = biên tập sau: S1: |z| = S2 : |z| ≤ ♦ Tập hở: S gọi tập điểm hở khơng chứa điểm biên nào, tất điểm S điểm ♦ Vùng: tập điểm chứa tất điểm tập mở không/vài/tất điểm biên gọi vùng, kí hiệu R ♦ Vùng kín ( R): vùng gọi kín chứa tất điểm biên ♦ Vùng có biên: vùng gọi có biên tồn số M > cho tất điểm z vùng thỏa mãn |z| ≤ M, nghĩa chúng nằm đường tròn ♦ Vùng kết hợp: vùng vừa có biên, vừa kín gọi kết hợp Ví dụ, vùng |z| ≤ vùng kết hợp vừa kín vừa có biên Vùng |z| < vùng mở có biên 13 14 ♦ Miền: vùng hở liên thông gọi miền, kí hiệu D Ví dụ, S  {z  re i :   arg z    } miền khơng có biên ♦ Vùng liên thơng: giả sử ta có n điểm z1, z2, …, zn mặt phẳng Mặt phẳng có đường gấp khúc gồm (n-1) đoạn theo trình tự z1 z2 , z2 z3 , …, zn1 zn Một vùng gọi liên thơng hai điểm điểm nối đường gấp khúc có vùng 15 16 07:35 1.2 Hàm biến phức Một số miền đơn liên đa liên thường gặp ♦ Hàm biến phức: Nếu với z  R , có tương ứng số phức w(z), ta nói w(z) hàm biến phức z, viết dạng w  f (z) ♦ Tổng quát: f(z) viết dạng w  f ( z )  u( x , y )  iv ( x , y ) ♦ Ví dụ: cho w = f(z) = z2 tìm u(x,y) v(x,y) w  f ( z )  z  ( x  iy ) w  f ( z )  z  x  y  2ixy 17 Vậy u(x,y) = x2 – y2 v(x,y) = 2xy 18 1.4 Đạo hàm 1.3 Giới hạn liên tục ♦ Giới hạn: Hàm số w = f(z) xác định vùng lân cận z = z0, ngoại trừ z0 Ta nói f(z) có giới hạn w0 z → z0 f(z) → w0 (z0, w0 hữu hạn) lim f ( z )  w0 z  z0 với ε > (đủ nhỏ) ln có δ > cho f ( z )  w0    z  z0   ♦ Liên tục: Hàm f(z) gọi liên tục z0 nếu: lim f ( z )  f ( z0 ) z  z0 19 20 07:35 1.5 Điều kiện Cauchy- Riémann ♦ Đạo hàm hàm số Giả sử f(z) = u(x,y)+ iv(x,y) có đạo hàm đạo hàm riêng cấp 1: Điều kiện tồn df/dz là: 21 1.6 Các tính chất hàm giải tích Hàm giải tích có tính chất thú vị quan trọng định lý sau: Nếu hàm f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích miền D u v có đạo hàm cấp liên tục D D, u v thỏa pt Laplace sau: Nếu hàm f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích miền D D đường cong họ u(x,y) = c quỹ đạo trực giao đường cong họ v(x,y) = k ngược lại Nếu hàm giải tích w = u(x,y) + iv(x,y) ta thay x y theo z : w hàm z mà Với: 23 22 1.7 Các hàm sơ cấp  Hàm mũ  Hàm lượng giác  Hàm Hypebôn  Hàm logarit nhánh  Hàm lũy thừa tổng quát  Hàm lượng giác ngược Hypebôn ngược 24 07:35 1.7 Các hàm sơ cấp  Hàm mũ: Là hàm nhất, cịn dùng để định nghĩa hàm khác:  Hàm lượng giác ez: Đơn trị giải tích khắp nơi; dez/dz = ez ez trở thành ex Imz =0 25 26  Hàm lơgarit nhánh  Hàm Hypebôn Hàm lôgarit hàm ngược hàm mũ Cho z ≠ 0, tìm w cho: ew= z = r.eiθ Hàm lôgarit định nghĩa: lnz = lnr + i(θ+2nπ) (- π < θ ≤ π; n Є Z) - Nếu gọi argz = θ+2nπ = Argz +2nπ acgumen z, ta có: lnz = ln│z│+ iargz (z ≠ 0) Vậy lnz hàm vô số trị Nếu chọn trước số n ta xác định nhánh hàm Nếu n=0 ta nhánh hàm, ký hiệu Lnz Lnz = lnr + iθ ; (- π < θ ≤ π) Lnz = ln │z│ + iArgz Nhánh n hàm lôgarit cho bởi: lnz = Lnz + i2nπ 27 28 07:35  Hàm lượng giác ngược Hypebôn ngược Các hàm hàm ngược hàm lượng giác hypebôn:  Hàm lượng giác ngược Hypebôn ngược 29  Hàm lũy thừa tổng quát Cho số phức s Nếu z ≠ ta định nghĩa hàm lũy thừa z sau: zs = eslnz Trong đó: lnz - hàm vơ số trị zs - hàm vô số trị 31 30 CHƯƠNG 2: THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Khái niệm 2.2 Định lý 2.3 Thặng dư cực 2.4 Ứng dụng tính tích phân xác định 2.5 Ứng dụng tính phân Laplace ngược 32 07:35 Đối với hàm giải tích vùng hình khun hay vịng trịn thủng ta biểu diễn f(z) chuỗi Laurent: 2.1 Khái niệm Hệ số a-1 1/(z-z0) triển khai Laurent f(z) cận: < │z - z0 │< R điểm bất thường cô lập z - z0 gọi thặng dư f(z) z0, ký hiệu Res{f(z); z0} 33 34 2.2 Định lý Định lý 2: Nếu f(z) có nhiều điểm cực C, việc tính tốn thặng dư vất vả Ta sử dụng cơng thức sau để tính: 2.2 Định lý Định lý 1: Nếu C đường kín đơn f(z) hàm giải tích C ngoại trừ số điểm bất thường zk C thì:  c  c  1 f ( z ) dz   i Re s  f   z  z   ;0    n f ( z ) dz   i  R es  f  z ; z k  k 1 35 36 07:35 2.3 Thặng dư cực Một điểm bất thường cô lập a hàm f(z) cực cấp m f(z) viết dạng:  z  f z   m z  a  Trong đó:  z  giải tích a  a   0; 0   (a )   (a ) Với qui ước: Ta có: 0! =   2.4 Ứng dụng tính tích phân xác định  Định lý 1: Nếu F(cosθ, sinθ) hàm hữu tỷ cosθ sinθ, hữu hạn khoảng kín ≤ θ ≤ π f(z)dz biểu thức có từ F(cosθ, sinθ)dθ cách thay thế: dz z  z 1 z  z 1 cos   ; sin   ; d  2i iz ( m 1 ) Re s  f  z ; a   : a m  1!  d m 1  (z  a)m f ( z) m 1 m  1! lim z  a dz 2  k 1  n F cos  , sin  .d    i  Re s  f ( z ); z x  Trong đó: z1,z2,…zn cực f(z) nằm vòng tròn đơn vị | z | = 37 2.4 Ứng dụng tính tích phân xác định  Định lý 2: Nếu f(z) hàm giải tích nửa mặt phẳng Imz >0 ngoại trừ số hữu hạn cực không nằm trục thực zf(z) hội tụ z→∞ qua giá trị sau cho: a  arg z   :    38  Hệ luận 1: (Trị Cauchy tồn tại) Nếu f(x)= P(x)/Q(x), P(x) Q(x) đa thức cho: bậc Q(x) ≥ bậc P(x)+2 Q(x) khơng có nghiệm thực thì:    n f ( x ) dx  2 i  Re s  f ( z ); z k  k 1 Trong đó: z1,z2,…zn cực f(z) nằm nửa mặt phẳng n f ( x ) dx  2 i  Re s  f ( z ); z k  k 1 Trong đó: z1,z2,…zn cực f(z) nằm nửa mặt phẳng 39 40 07:35  Hệ luận 2: Nếu f(z) hàm giải tích nằm nửa mặt phẳng ngoại trừ số hữu hạn cực không nằm trục thực zf(z) hội tụ z→∞ nửa mặt phẳng trên, với a>0 ta có: n  Re s eiaz f ( z); zk   f ( x) cos axdx  2 Im k 1   n  iaz  f ( x ) sin axdx  Re  Re s e f ( z); zk    k 1      2.4 Ứng dụng tính tích phân xác định  Định lý 3: Nếu f(z) hàm giải tích khắp nơi mặt phẳng z ngoại trừ số hữu hạn cực không nằm trục thực dương zaf(z) hội tụ z→0 z→∞ thì:     x a 1 f ( x)dx   n  Re s( z) sin a a 1 k 1 f ( z ); zk  Trong đó: z1,z2,…zn tất cực (-z)a-1f(z) với điều kiện lấy argz khoảng(-π,π) 41 42 2.5 Ứng dụng tính Laplace ngược Định lý: Nếu F(s) hàm giải tích s ngoại trừ số hữu hạn cực nằm bên trái đường thẳng: Res = a, sF(s) bị chặn s→∞ mặt phẳng trái Res ≤ a thì: n  L-1 F ( s )   Re s F ( s ) e st ; s k  CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ LAPLACE 3.1 Phép biến đổi Laplace THUẬN 3.2 Phép biến đổi Laplace NGHỊCH 3.3 Ứng dụng giải phương trình vi phân k 1 Trong đó: s1, s2,…sn cực F(s) 43 44 07:35 Số TT CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ LAPLACE 3.1 Phép biến đổi Laplace THUẬN Biến đổi Laplace hàm f(t) định nghĩa: F ( s )  L  f (t )    f (t ) e  st dt 45 f(t) u(t) BiẾN ĐỔI LAPLACE BẢNG s e-at cosat sinat tn ; n=0,1,2 e-at cosbt e-at sinbt e-at tn tcosat s s2  a2 n! s F(s) ; s> s  a a s  a2 ; s> ; s> ; s> n 1 sa (s  a)2  b ; s> -a b (s  a)2  b n! (s  a ) s2  a2 (s  a )2 ; s> -a ; s> -a n 1 ; s> -a ; s> 46 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BiẾN ĐỔI LAPLACE BẢNG BiẾN ĐỔI LAPLACE Số TT f(t) 10 t sinat 11 coshat 12 sinhat 13 t.u(t) = r(t)  R (s) s2 ; s> 14 t2/2.u(t) = p(t)  P (s) s3 ; s> 15 tn-1/(n-1)!.u(t) = δn-1(t) sn ; s> 16 δ(t) ; s> 17 δ’ (t) s 18 δ(n) (t) sn F(s) as (s  a )2 s s2  a2 a s2  a2 ;s>0 ; s> |a| ; s> |a| ; s> ; 47 48 07:35 KHAI TRIỂN HEAVISIDE CHƯƠNG 3: TỐN TỬ LAPLACE - Trong q trình tìm biến đổi Laplace ngược phân số hữu tỉ P(s)/Q(s) gặp trường hợp bậc mẫu Q(s) lớn bậc tử P(s) ta khai triển P(s)/Q(s) thành tổng nhiều phân số sơ cấp 3.2 Phép biến đổi Laplace NGHỊCH Hàm f(t) cho tích phân ngược phức: f (t )  L-1 F ( s )  2 i  a  i a  i F ( s ) e st ds - Biến đổi Laplace ngược phân số hữu tỉ tổng biến đổi Laplace ngược phân số sơ cấp 49 50 3.3 Ứng dụng giải phương trình vi phân: 3.3 Ứng dụng giải phương trình vi phân:  Bước 1: Dùng phép biến đổi Laplace biến phương trình vi phân biến t, hàm ẩn y(t) thành phương trình đại số biến s, hàm ẩn Y(s)  Bước 2: Giải pt đại số để tìm Y(s)  Bước 3: Dùng phép biến đổi Laplace ngược để tìm y(t) = L-1{y(s)} Xét phương trình vi phân hệ số hằng: ay(t)”+by(t)’+cy(t) = f(t) với : Y(0)=y0; y’(0)=y’0 Trong đó: - y(t) hàm ẩn cần tìm; - a,b,c số; - f(t) vế phương trình vi phân; - y0, y’0 gía trị ban đầu y y’ Lấy biến đổi Laplace vế: a L{y(t)”} + b L{y(t)’} +c L{y(t)} = L{f(t)} a[s2Y(s)-sy(0)-y’(0)] + b[sY(s)-y(0)] +cY(s)= F(s) (as2+bs+c)Y(s) -(as+b)y0 –ay’0 = F(S) => 51 Y ( s)  F ( s)  (as  b) y0  ay0' as  bs  c 52 07:35 4.1 Quan hệ dịng áp CHƯƠNG 4: ỨNG DỤNG LAPLACE VÀO GIẢI TÍCH MẠCH ĐIỆN 4.1 Quan hệ dòng áp 4.2 Định luật Kirchhoff 4.3 Tổng trở tổng dẫn 4.4 Mạch điện miền -s 4.5 Hàm truyền 4.6 Giải mạch hàm truyền điều kiện đầu khác không 53 4.1 Quan hệ dòng áp - Biến đổi Laplace 54 4.1 Quan hệ dòng áp: - Tổng trở R, L, C: - iL(0_): dòng điện ban đầu chạy qua cuộn dây; - vC(0_): điện ấp ban đầu tụ; 55 56 07:35 4.2 Định luật Kirchhoff : (miền –t) - Tổng dòng điện đến nút 0: i1(t) + i2(t) + i3(t) + i4(t) = 4.2 Định luật Kirchhoff: (miền –s) - Tổng dòng điện đến nút I1(s) + I2(s) + I3(s) + I4(s) = - Tổng điện áp vịng kín V1(s) + V2(s) + V3(s) + V4(s) = - Tổng điện áp vịng kín 0: v1(t) + v2(t) + v3(t) + v4(t) = 57 4.4 Mạch điện miền –s 4.3 Tổng trở tổng dẫn - Nghịch đảo tổng trở Z(s) gọi tổng dẫn: Z (s)  YR (s)  R  YL (s)  sL  Yc ( s )  sC Y (s)   58 I (s) ; Tất điều kiện đầu V (s)  G; ; 59 Giải mạch miền –s tiến hành sau:  Bước 1: Chuyển từ miền –t sang miền –s cách: - Thay biến t biến s - Thay v(t), i(t) V(s), I(s); - Thay R, L, C ZR(s) = R; ZL(s) = sL; ZC(s)=1/sC; - Thay nguồn áp nguồn dòng độc lập vg(t), ig(t) Vg(s), Ig (s); - Giữ nguyên chiều dương giả thiết áp, dòng, nguồn áp nguồn dòng  Bước 2: Giải mạch miền –s để tìm V(s), I(s)  Bước 3: Chuyển từ miền –s sang miền –t biến đổi Laplace ngược: v(t)= L-1{V(s)}; i(t)=L-1{I(s)} 60 07:35 4.4 Mạch điện miền –s Dùng phép biến đổi Thevenin-Norton ta có mạch tương đương R, L, C miền –s (dạng Norton): Nguồn dịng có nguồn áp chia cho tổng trở 4.4 Mạch điện miền –s Đưa điều kiện đầu vào mạch miền –s 61 4.4 Hàm truyền 4.4.1 Hàm truyền hàm vào Gọi X(s) hàm vào Y(s) hàm mạch điện miền –s Người ta gọi hàm truyền H(s) tỉ số hàm hàm vào tất điều kiện đầu không Y (s) H (s)  X (s) - X(s), Y(s): Có thể dòng áp; - Khi biết H(s) ta tính Y(s) hàm vào X(s) nào: Y(s) =H(s).X(s) - Để tìm y(t) ta việc lấy Laplace ngược Y(s) Muốn tìm H(s) ta cho tất điều kiện đầu 0, vẽ mạch miền –s Sau tính giá trị hàm cần khảo sát chia cho hàm vào H(s) 63 62 4.4 Hàm truyền 4.4.2 Hàm truyền nhiều hàm vào Giả sử hàm có n nguồn độc lập, ký hiệu X1(s), X2(s)….Xn(s) ta muốn tìm hàm Y(s) nguồn tạo nên, với tất điều kiện ban đầu Ta thực sau: Bước 1: Chỉ cho X1(s) làm việc cho X(s) khác có giá trị Tìm Y1(s) theo X1(s) Bước 2, 3,…n: Tương tự bước Tìm Y2,3…(s) theo X2,3…n(s) Theo nguyên lý xếp chồng ta cho tất nguồn X1(s), X2(s)….Xn(s) làm việc, ta có: Y(s)= Y1(s)+Y2(s)+…+Yn(s) Y(s)= H1(s) X1(s)+H2(s) X2(s)+…+Hn(s) Xn(s) 64 07:35 4.6 Giải mạch hàm truyền đk đầu ≠  Bước 1: Ta xây dựng mạch miền –s có chứa điều kiện ban đầu: Các nguồn áp LiL(0_) vC(0_)/s nguồn dòng iL(0_) /s CvC(0_)  Bước 2: Chỉ cho tập nguồn độc lập làm việc, tập nguồn điều kiện đầu nghỉ Dùng phương pháp hàm truyền H(s) để xác định đáp ứng cưỡng tập nguồn độc lập tạo  Bước 3: Cho tập nguồn điều kiện đầu làm việc, tập nguồn độc lập nghỉ Xác định đáp ứng tự nhiên tập nguồn điều kiện đầu tạo  Bước 4: Xác định đáp ứng đầy đủ (ng.lý xếp chồng) tổng đáp ứng cưỡng đáp ứng tự nhiên 65 66 ... như: - Giao hoán - Kết hợp - Phân bố - Phần tử đơn vị: 0(0,0): Phần tử đơn vị toán cộng; 1(1,0): Phần tử đơn vị toán nhân - Số nghịch đảo Số nghịch đảo cộng: z = (x,y) -z = (-x,-y) Số nghịch... CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ LAPLACE 3.1 Phép biến đổi Laplace THUẬN 3.2 Phép biến đổi Laplace NGHỊCH 3.3 Ứng dụng giải phương trình vi phân k 1 Trong đó: s1, s2,…sn cực F(s) 43 44 07:35 Số TT CHƯƠNG 3: TOÁN... phức nhau, ta có: x + y +2 = x2 + y = Suy nghiệm: x=2, y= -4 x= -1,y= -1 ♦ Ví dụ 3: ♦ Ví dụ:…… Bài tập: Ví dụ 1.4,1.5,……1.13 (Hàm phức ứng dụng”, Trường Đại Học Qc gia Tp Hồ Chí Minh) 11 12 07:35