Đang tải... (xem toàn văn)
Nối tiếp phần 1, Bài giảng Toán kỹ thuật: Phần 2 tiếp tục cung cấp cho học viên những kiến thức về các hàm số và các phương trình đặc biệt; các hàm số tích phân; phương trình bessel và các hàm bessel; chuỗi markov và quá trình dừng; ma trận xác suất chuyển bậc cao, phương trình Chapman–Kolmogorov;... Mời các bạn cùng tham khảo!
HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG PGS.TS LÊ BÁ LONG Bài giảng TOÁN KỸ THUẬT dùng cho sinh viên ngành điện tử - viễn thông HÀ NỘI 2013 CHƯƠNG CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT Hàm số sơ cấp hàm số tạo thành số hữu hạn phép tính cộng, trừ, nhân, chia phép lấy hàm hợp hàm số sơ cấp số Hàm sơ cấp gọi hàm siêu việt Các hàm số thường gặp hàm sơ cấp, nhiên có số hàm siêu việt hàm theo nghĩa suy rộng sử dụng nhiều kỹ thuật nói chung ngành điện tử viễn thơng nói riêng Trong chương ta xét hàm siêu việt sau: Hàm delta, hàm Gamma hàm Beta, hàm tích phân, hàm xác suất lỗi hàm Bessel Đối với hàm ta khảo sát tính chất chúng, tìm biến đổi Laplace khai triển Mac Laurin 3.1 HÀM DELTA 3.1.1 Khái niệm hàm delta Hàm delta gọi hàm Dirac (hoặc hàm xung đơn vị), hàm số suy rộng Hàm xung đơn vị t t0 ký hiệu t (t ) thỏa mãn hai điều kiện sau: t (t ) hàm xung nên tập trung giá trị t t0 , nghĩa t (t ) với t t0 , (3.1) xung đơn vị địi hỏi tích phân 1, nghĩa t (t )dt (3.2) Rõ ràng không tồn hàm theo nghĩa thông thường thỏa mãn đồng thời điều kiện trên, hàm thỏa mãn điều kiện (3.1) có tích phân Kỹ sư Oliver Heaviside người sử dụng hàm delta để biểu diễn kết cơng trình mình, nhà tốn học lý thuyết thời cho ý nghĩ điên rồ Ba mươi năm sau, nhà Vật lý lý thuyết tiếng Paul Dirac sử dụng hàm delta lý thuyết học lượng tử mình, nhờ cuối nhà lý thuyết chập nhận hàm delta Năm 1944 nhà toán học Pháp Laurent Schwartz cuối xây dựng lý thuyết phân bố kết hợp với hàm suy rộng, điều giải thích sở tồn hàm delta Có thể sử dụng hàm delta để biểu diễn tín hiệu có nhiễu Có hai cách khác để xây dựng hàm delta: Cách thứ xem hàm delta giới hạn dãy hàm trơn theo nghĩa thông thường Cách thứ hai xem hàm delta phiếm hàm tuyến tính khơng gian hàm thích hợp Cả hai quan trọng đáng quan tâm Tuy nhiên cách thứ dễ dàng tiếp thu hơn, ta xét phương pháp Phương pháp giới hạn xem hàm delta t (t ) giới hạn dãy hàm khả vi gn (t ) có giá trị ngày tập trung t t có tích phân ln Chẳng hạn xét dãy hàm gn (t ) n (1 n 2t ) 0 lim gn (t ) n g n (t )dt thỏa mãn hai điều kiện nÕu t nÕu t arctan n t 1 t (3.3) (3.4) Hình 3.1: Đồ thị hàm g n (t ) Vì vậy, cách hình thức ta đồng giới hạn dãy hàm gn (t ) hàm delta tập trung gốc t lim g (t ) (t ) 0 (t ) n n (3.5) Hình 3.1 cho thấy hàm gn (t ) có giá trị ngày tập trung gốc t Cần ý có nhiều cách chọn hàm gn (t ) có giới hạn hàm delta Hàm delta t (t ) có giá trị tập trung t0 nhận từ hàm (t ) cách tịnh tiến t (t ) (t t0 ) Vì vậy, xem t (t ) giới hạn dãy hàm (3.6) g n (t ) gn (t t0 ) n n (t t )2 (3.7) Tích chập hàm delta Từ (3.2) (3.6) ta có cơng thức tính tích chập hàm delta f (t ) (t0 ) f (t )(t t )dt f (t0 ) (3.8) 3.1.2 Đạo hàm tích phân hàm delta Từ cơng thức (3.1)-(3.2) ta có Với hàm liên tục x (t ) : l x (v ) v (t )x (t )dt 0 nÕu v l nÕu ngược lại (3.9) Do ú ( u ) du ( t v ) v 0 t nÕu t v nÕu t v (3.10) Theo định nghĩa thông thường ngun hàm, từ cơng thức (3.10) ta xem hàm bước nhảy nguyên hàm hàm delta, đạo hàm hàm bước nhảy hàm delta Sự khác biệt hàm delta hàm suy rộng hàm bước nhảy hàm số theo nghĩa thông thường Công thức (3.10) phù hợp với định nghĩa hàm delta theo giới hạn dãy hàm gn (t ) có dãy nguyên hàm fn (t ) hội tụ hàm bước nhảy t fn (t ) n 2 1n u du 1 arctan nt + Hình 3.2: Đồ thị hàm bước nhảy giới hạn dãy hàm fn (t ) 1 nÕu t Các hàm hội tụ hàm bước nhảy lim fn (t ) (t ) 1 / nÕu t n nÕu t 0 Với nhận xét ta coi d (t ) (t ) dt (3.11) Đối với hàm số theo nghĩa thông thường tính liên tục điều kiện cần tính khả vi, hàm khơng liên tục khơng khả vi Tuy nhiên người ta mở rộng khái niệm đạo hàm hàm không liên tục có đạo hàm hàm suy rộng, với hàm delta tập trung giá trị điểm gián đoạn Giả sử x (t ) hàm khả vi (theo nghĩa thông thường) t ngoại trừ điểm gián đoạn t0 với bước nhảy , ta biểu diễn lại hàm x (t ) dạng tiện lợi x (t ) y(t ) (t t0 ) (3.12) Trong y(t ) hàm liên tục điểm khả vi điểm trừ điểm gián đoạn Đạo hàm công thức (3.12) áp dụng công thức (3.11) ta x '(t ) y '(t ) (t t ) t Ví dụ 3.1: Xét hàm số x (t ) t (3.13) nÕu t nÕu t Hàm số gián đoạn t với bước nhảy (có đồ thị hình 3.3) Đồ thị hàm x(t ) Đồ thị hàm x '(t ) Hình 3.3: Đồ thị x (t ) đạo hàm x '(t ) ví dụ 3.1 Do biểu diễn theo cơng thức (3.13) sau x (t ) y(t ) (t 1) , t y(t ) t 5 nÕu t nÕu t Công thức đạo hàm (3.13) tương ứng x '(t ) y '(t ) (t 1) , 1 y '(t ) t nÕu t nÕu t t Ví dụ 3.2: Xét hàm số x (t ) t 2e t nÕu t nÕu t nÕu t Hàm số gián đoạn t với bước nhảy 1 t với bước nhảy (có đồ thị e hình 3.4), đạo hàm suy rộng có dạng 1 x '(t ) (t ) (t 1) 2t e 2e t x(t ) nÕu t nÕu t nÕu t x '(t ) e/2 t t Hình 3.4: Đồ thị x (t ) đạo hàm x '(t ) ví dụ 3.2 Tích phân hàm bước nhảy (t t0 ) (hàm gián đoạn) hàm dốc liên tục u(t t0 ) (xem hình 3.5) t t (t ) (t t0 ) ; a t t t (t )dt ut (t ) u(t t ) 0 (t t0 ) nÕu t t a (3.14) nÕu a t t u ( t t0 ) t0 t t0 t Hình 3.5: Đồ thị hàm bước nhảy hàm dốc Hàm dốc u(t t0 ) có điểm góc t t0 không khả vi điểm này; đạo hàm du d 2u (t ) gián đoạn điểm đạo hàm bậc hai hàm suy rộng dt dt Như lấy tích phân hai lần hàm delta ta hàm dốc Bằng cách quy nạp ta có tích phân n lần hàm delta hàm dốc bậc n (t t )n un (t t0 ) n ! nÕu t t0 (3.15) nÕu t t0 Hình 3.6: Đồ thị hàm dốc bậc hàm dốc bậc hai Ví dụ 3.3: Hàm phân bố biến ngẫu nhiên X xác định công thức: FX (x ) P X x , với x Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục tồn hàm mật độ xác suất fX (x ) cho x FX (x ) fX (t )dt , với x Nếu biến ngẫu nhiên X rời rạc có miền giá trị tập đếm RX x 1, x , , phân bố xác suất tập trung giá trị Xác suất X nhận giá trị x k ; k 1, 2, gọi hàm khối lượng xác suất pX (x k ) P X x k Hàm phân bố xác suất xác định từ hàm khối lượng xác suất theo công thức FX (x ) P X x pX (xk ) xk x Đồ thị hàm phân bố FX (x ) có dạng bậc thang liên tục phải bước nhảy Sử dụng công thức (3.6) (3.10) ta viết lại FX (x ) x k x ;x k RX x pX (x k ) x k RX pX (x k )(t x k )dt Vì ta xem hàm mật độ biến ngẫu nhiên rời rạc fX (x ) x k RX pX (x k )(x x k ) 3.1.3 Khai triển Fourier hàm delta Áp dụng công thức (2.57) tính hệ số Fourier ta có 1 1 an (t )cos ntdt cos n , bn - (t ) sin ntdt sin n (3.16) - Vậy hàm delta có khai triển Fourier (t ) Thay cos kt 1 cos t cos 2t cos 3t 2 (3.17) e ik t e ik t (công thức Euler) vào (3.17) ta (t ) ik t e e 2it e it e it e 2it 2 k 2 (3.18) Cũng nhận công thức khai triển cách tính trực tiếp hệ số theo cơng thức (2.73) (3.2) ck 2 (t )e - ik t dt ik e 2 2 Hình 3.7: Đồ thị tổng riêng chuỗi Fourier hàm delta Tổng riêng chuỗi Fourier sn n ik t e 2 k n tổng 2n số hạng cấp số nhân có số hạng e đó: in t cơng bội eit , in t in t e i(2n 1)t 1 e i (n 1)t e sn e 2 e it 2 e it 1 i n t 1 sin n t 2 sin t 1 i n t e e it /2 2 e eit /2 3.1.4 Biến đổi Fourier hàm delta Trong chương ta xét biến đổi Fourier hàm khả tích tuyệt đối tập số thực Đối với hàm khơng khả tích tuyệt đối (chẳng hạn hàm sin hàm cosin) ta tìm biến đổi Fourier mở rộng thông qua biến đổi Fourier hàm delta Theo điều kiện (3.2) ta tính biến đổi Fourier hàm delta F (t ) (t )e i ftdt , F (t t0 ) (t t )e i 2 ftdt e i 2t0 f (3.19) Từ công thức (3.19) ta biến đổi ngược (t ) F 1 ei2 ftdf , F 1 ei2t f (t t0 ) 1 (3.20) Từ cơng thức (3.20) ta có (t t ) F e 1 i 2t0 f e i 2t0 f e i tf df e i (t t ) f df (3.21) Theo giả thiết (t ) hàm chẵn, (t ) (t ) e i ft df Từ công thức (3.21) ta e i 2( f f0 )t dt ( f f0 ) F ei2 f t ei2( f f )tdt (f f0 ) 0 (3.22) Tương tự F e i 2 f t ei2(f f )tdt (f f0 ) 0 Áp dụng tính đồng dạng biến đổi Fourier ta có (3.23) (at ) a (t ) (3.24) Hoặc tính trực tiếp f (t )(at )dt t (t ) (t ) dt f (0) f a a a f (t ) a dt, a (t ), a a (at ) Ngồi (at ) (at ) Do ta có (at ) sin(2 f0t ) e i f0t e 2i i 2 f0t a (t ) , cos(2 f0t ) e i f0t e i 2 f0t F sin(2 f0t ) 21i F ei 2f t F ei2f t 21i (f f0) (f f0 ) (3.25) F cos(2 f0t) 21 F ei2f t F ei2f t 12 (f f0 ) (f f0 ) (3.26) 0 0 Công thức (3.11) chứng tỏ hàm bước nhảy đơn vị (t ) nguyên hàm theo nghĩa rộng hàm delta Hàm (t ) khơng khả tích tuyệt đối tồn trục thực từ tính chất biến đổi Fourier tích phân (Tính chất 2.3 mục chương 2) ta mở rộng xem t 1 ( f ) ()d i 2 f (3.27) nÕu t sgn(t ) (t ) (t ) nÕu t (3.28) F (t) F Ví dụ 3.4: Hàm dấu F sgn(t ) F (t ) F (t) i21 f 21 (f ) i21 f 21 (f ) i 1f 3.2 CÁC HÀM SỐ TÍCH PHÂN 3.2.1 Cơng thức xác định hàm số tích phân Định nghĩa 3.1: Hàm tích phân mũ xác định bới tích phân suy rộng phụ thuộc cận với Ei(t ) t e u du u (3.29) 1 X s s J (2 15 ut )x (u)du 16 t n n u J n (2 ut )x (u)du s n 1 s 1 X s s t J 0(2 u(t u ) )x(u)du 17 x (t ) 18 19 u P (ak ) k 1 3 s2 4u e X (u)du X ln s s ln s P(s ) Q(s ) Q '(a )e 20 t u x (u ) du (u 1) n 1 X s ak t Bậc P(s) < bậc Q(s), Q(s) có k nghiệm đơn a1, , an nghiệm P (s ) PHỤ LỤC E Biến đổi Laplace hàm thường gặp X (s) e st x (t )dt TT Ảnh biến đổi Laplace X (s ) Hàm gốc x (t ) 1 s ; n 1, 2, 3, sn t n 1 (n 1)! ; 0 s t 1 () s a eat ; n 1, 2, 3, (s a )n t n 1 eat (n 1)! ; 0 (s a ) t 1 at e () s a2 sinat a s s a2 cosat (s b )2 a ebt sin at a 10 s b (s b )2 a ebt cos at 11 s a2 sinhat 12 s s a2 cosh at 13 (s b )2 a ebt sinh at 14 s b (s b )2 a 2 2 a 15 ebt cosh at sin at at cos at 2a s2 a2 t sin at 2a s a s 16 a s2 17 s a sin at at cos at 2a cos at at sin at 2 s3 18 s a s2 a2 19 s a2 20 s a s 21 s a s a atcosh at sinh at 2a tsinh at 2a s2 22 t cos at sinh at at cosh at 2a s3 23 s a s2 a 24 s2 a2 25 s a2 s 26 s s s s (3 a 2t )sin at 3at cos at 8a t sin at at cos at a2 (1 a 2t )sin at at cos at 8a 3t sin at at cos at 8a (3 a 2t ) sin at 5at cos at 8a a2 s4 29 t cosh at a s3 28 at sinh at 2 s2 27 cosh at a2 8a s5 30 s a2 3s a 31 s a2 s 3a 2s 32 s2 a2 s 6a 2s a 33 s a s a 2s 34 s a2 35 s a2 s 36 s a2 s2 37 s a2 s3 38 s a2 s4 39 s a2 s5 40 s a2 3s a 41 s a2 s a t sin at 2a t cos at t cos at t sin at 24a (3 a 2t )sinh at 3at cosh at 8a at cosh at t sinh at 8a at cosh at (a 2t 1)sinh at 8a 3t sinh at at cosh at 8a (3 a 2t ) sinh at 5at cosh at 8a (8 a 2t )cosh at 7at sinh at t sinh at 2a s 3a 2s 42 (8 a 2t ) cos at 7at sin at t cosh at s 6a 2s a 43 s a t cosh at s a 2s 44 s a2 t sinh at 24a 45 s a3 at at eat /2 3at /2 cos e sin 2 3a 46 s a3 at at eat /2 3at /2 cos e sin 3a 2 47 s2 s3 a3 at at at /2 e 2e cos 48 s a3 at at eat /2 3at /2 e sin cos 2 3a 49 s a3 at at eat /2 3at /2 cos e sin 3a 2 50 s2 s3 a3 at at at /2 cos e 2e 51 s 4a sin at cosh at cos at sinh at 4a 52 s s 4a sin at sinh at 53 s2 s 4a sin at cosh at cos at sinh at 2a 54 s3 s 4a cos at cosh at 55 s a4 sinh at sin at 2a 4 2a 56 s s a4 cosh at cos at 2a 57 s2 s4 a4 sinh at sin at 2a 58 s3 s a4 cosh at cos at 2a e bt e at s a s b 2(b a ) t erf at 59 60 e at erf at s a b I (at ) s2 a2 s a2 s n s s2 a2 ; n 1 a n J n ( at ) ; n 1 a n I n (at ) n eb (s s a ) s2 a2 e b s2 a 2 s a 69 J (at ) s a2 s2 a2 68 eat beb t erfc(b t ) t s2 a 67 a 64 a s (s a ) 63 62 66 s s a 61 65 (s a ) J a t (t 2b) (t b ) J a t b tJ1 (at ) a s 70 71 tJ (at ) ( s a )3 s2 J (at ) tJ1 (at ) (s a )3 72 e s s( e s 1) s (1 e s ) 73 e s s (e s r ) s (1 re s ) x (t ) r k ; t phần nguyên t k 1 74 es 1 e s s (e s r ) s (1 re s ) x (t ) r n , n t n 1, n 0, 1, 2, 75 e s / a s cos at e s /a sin at 76 77 78 t a es /a ; 1 s 1 t /2 J (2 at ) a e a s s t e a 80 e a s ea s s 81 ea s 83 t s3 79 82 x(t ) n , n t n 1, n 0, 1, 2, e a s t ea / s ; 1 s 1 e a2 4t a erf t s s ( s b) a2 4t a erfc t a eb (bt a ) erfc b t t t a ue 1 u2 4a 2t J (2 u )du 84 s a ln s b e bt e at t 85 s a ln 2s a Ci(at ) 86 s a ln s a Ei(at ) 87 88 s a ln s b 2(cos bt cos at ) t 89 2 ( ln s )2 6s s ln2 t ; số Euler 90 lns s (ln t ) 91 ln2 s s 92 lns s (ln t )2 ( 1) ( 1)s s lnt ; số Euler 1 ; 1 t ln t 93 a arctan s sinat t 94 a arctan s s Si(at ) 95 96 97 98 e a /s s es es erfc /4a /4a a /s s at t erfc s / 2a 2a erfc s / 2a erf at s eas e 2 erfc as 2 e a t (t a ) 2 t a 99 eas Ei(as ) 100 cos as Si(as ) sin as Ci(as ) a 101 sin as Si(as ) cos as Ci(as ) t t a2 102 cos as Si(as ) sin as Ci(as ) s arctan (t / a ) 103 sin as Si(as ) cos as Ci(as ) s t a ln a 104 2 Si(as ) Ci (as ) t a ln t a 105 (t ) - hàm Dirac 106 e as (t a ) 107 eas s (t a ) 108 sinh xs s sinh as x (1)n n x n t sin cos a n 1 n a a 109 sinh xs s cosh as (1)n (2n 1)x (2n 1)t sin sin n 1 2n 2a 2a 110 cosh xs s sinh as t (1)n n x n t cos sin a n 1 n a a 111 cosh xs s cosh as 112 sinh xs s sinh as t a2 1 (1)n (2n 1)x (2n 1)t cos cos n 1 2n 2a 2a xt 2a a 2 n 1 (1)n n sin n x n t cos a a sinh xs s cosh as 113 x 8a cosh xs s sinh as 114 cosh xs s cosh as 115 (1)n (2n 1)2 sin n 1 t2 2a 2a t n 1 117 cosh a s sinh x s 118 s cosh a s cosh x s 119 s sinh a s 120 sinh x s s sinh a s 121 cosh x s s cosh a s sinh x s 122 123 124 2 s sinh a s cosh x s s cosh a s J (ix s ) s J (ia s ) cos n x n t 1 cos a a (2n 1)x (2n 1)t sin 2a 2a 2 (1)n ne n t /a a sinh a s cosh x s n2 n 1 (2n 1)2 cos sinh x s 116 (1)n (1)n 8a (2n 1)x (2n 1)t cos 2a 2a sin n 1 a2 n 1 (1) n x a (2n 1)2 2t (2n 1)x 4a (2n 1)e cos 2a n 1 (1)n 1e a n 1 a a n 1 (2n 1)2 2t (2n 1)x 4a2 sin 2a n 22t n x (1)n e a cos 2a n 22t x (1)n n x e a sin a n 1 n 2a 2t (2n 1) (1)n 4a2 1 e n 1 2n xt 2a a 2 cos (2n 1)x 2a 2 n t (1)n n x (1 e a ) sin 2a n 1 n 2t (2n 1) x a2 16a (1)n 4a2 t e 2 n 1 (2n 1)3 cos 2a e nt /a J (n x / a ) n 1 nJ 1(n ) 2 (2n 1)x 1 , 2 , nghiệm dương J () 125 126 e x a2 t 2a n 1 J (ix s ) s J (ia s ) as ( ) 2 as 128 129 as tanh( ) s a as cosh ( ) 2 a s 1 a 3a 2a 4a t a (a s )(1 e as ) a 2a 3a t a 2a 3a t 2 e as s(1 e as ) 131 e as (1 e bs ) s 132 s(1 e as ) 135 t 1 134 4a 2a 2 as 133 J (n ) 130 J (n x / a ) n 1, 2 , nghiệm dương J ( ) 0 127 n2t /a e s e2 s s (1 e s )2 e s s(1 re as ) a(1 e as ) a s2 a 2a 3a (t a ) (t a b ) n t (n 1)a t na n 1 n2 t n t (n 1) n 0 r n t n t (n 1) n 0 (t ) (t a ) sin t a t PHỤ LỤC F GIÁ TRỊ HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT PHÂN BỐ CHUẨN TẮC (t ) t 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656 0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 0005 0004 0003 0002 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644 0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058 0043 0032 0023 0017 0012 0008 0005 0004 0003 0002 3989 3961 3894 3790 3653 3485 3292 3079 2850 2613 2370 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632 0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 0042 0031 0022 0016 0012 0008 0005 0004 0003 0002 3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620 0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 0040 0030 0022 0016 0011 00080 0005 0004 0003 0002 3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 2320 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608 0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 0039 0029 0021 0015 0011 0008 0005 0004 0003 0002 3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 3011 2780 2541 2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596 0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002 3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516 2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584 0478 0387 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492 2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573 0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 2 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562 0459 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047 0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001 e t2 3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551 0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001 GIÁ TRỊ HÀM PHÂN BỐ CHUẨN TẮC N(0;1) y 2 (t ) 2 t e (t ) x dx O a t t t 0,0 0,5000 5040 5080 5120 5160 5199 5239 5279 5319 5359 0,1 0,2 5398 5793 5438 5832 5478 5871 5517 5910 5557 5948 5596 5987 5636 6026 5675 6064 5714 6103 5753 6141 0,3 6179 6217 6255 6293 6331 6368 6406 6443 6480 6517 0,4 6554 6591 6628 6664 6700 6736 6772 6808 6844 6879 0,5 0,6915 6950 6985 7019 7054 7088 7123 7156 7190 7224 0,6 0,7 7257 7580 7291 7611 7324 7642 7357 7673 7389 7703 7422 7734 7454 7764 7486 7794 7517 7823 7549 7852 0,8 7881 7910 7939 7967 7995 8023 8051 8078 8106 8132 0,9 8159 8186 8212 8238 8264 8289 8315 8340 8365 8389 1,0 1,1 0,8413 8643 8438 8665 8461 8686 8485 8708 8508 8729 8531 8749 8554 8770 8577 8790 8599 8810 8621 8830 1,2 1,3 8849 9032 8869 9049 8888 9066 8907 9082 8925 9099 8944 9115 8962 9131 8980 9147 8997 9162 9015 9177 1,4 9192 9207 9222 9236 9251 9265 9279 9292 9306 9319 1,5 1,6 0,9332 9452 9345 9463 9357 9474 9370 9484 9382 9495 9394 9505 9406 9515 9418 9525 9429 9535 9441 9545 1,7 9554 9564 9573 9582 9591 9599 9608 9616 9625 9633 1,8 9641 9649 9656 9664 9671 9678 9686 9693 9699 9706 1,9 9712 9719 9726 9732 9738 9744 9750 9756 9761 9767 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 0,9773 9821 9861 9893 9918 0,9938 9953 9965 9974 9981 9778 9826 9864 9896 9920 9940 9955 9966 9975 9982 9783 9830 9868 9898 9922 9941 9956 9967 9976 9982 9788 9834 9871 9901 9925 9943 9957 9968 9977 9983 9793 9838 9875 9904 9927 9945 9959 9969 9977 9984 9798 9842 9878 9906 9929 9946 9960 9970 9978 9984 9803 9846 9881 9909 9931 9948 9961 9971 9979 9985 9808 9850 9884 9911 9932 9949 9962 9972 9979 9985 9812 9854 9887 9913 9934 9951 9963 9973 9980 9986 9817 9857 9890 9916 9936 9952 9964 9974 9981 9986 t 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 (t ) 0,9987 9990 9993 9995 9996 9997 9998 9999 9999 9999 CÁC THUẬT NGỮ Số phức liên hợp 10 Hàm tích phân mũ 152 Argument số phức 14 Hàm tích phân sin 152 Cơng thức Euler 14 Hàm tích phân cosin 156 Mơ đun số phức 14 Hàm lỗi 163 Căn bậc n số phức 17 Hàm số Gamma 165 Tập số phức mở rộng 18 Hàm Beta 168 Tập liên thông, miền 20 Hàm Bessel loại 172 Hàm đơn trị, hàm đa trị 20 Hàm Bessel loại 176 Công thức Cauchy-Rieman 24 Tích phân Lommel 179 Hàm giải tích, hàm chỉnh hình 29 Khai triển Fourier - Bessel 193 Tích phân phức 35 Hàm mẫu 195 Cơng thức tích phân Cauchy 48 Khơng gian trạng thái q trình 196 Khơng điểm hàm giải tích 54 Q trình độc lập 196 Điểm bất thường lập 55 Q trình Bernoulli 196 Thặng dư 74 trình gia số độc lập dừng 197 Biến đổi Z 74 Quá trình dừng cấp 197 Hàm gốc biến đổi Laplace 74 Quá trình dừng theo nghĩa rộng 197 Liên tục khúc 86 Quá trình dừng theo nghĩa hẹp 203 Hàm bước nhảy đơn vị 94 Hàm trung bình 212 Tích chập hai hàm số 104 Hàm tự tương quan 220 Cơng thức Heaviside 111 Q trình Markov 222 Trở kháng ảnh 111 Ma trận xác suất chuyển 250 Hệ trực giao 112 Phân bố đầu hệ 251 Hệ số Fourier 117 Phân bố hệ thời điểm n 252 Điều kiện Dirichlet 120 Phương trình Chapman-Kolmogorov 253 Đẳng thức Parseval 122 Phân bố dừng, giới hạn, ergodic 254 Hàm tương quan 125 Hàm tự hiệp phương sai 255 Cơng thức tích phân Fourier 126 Mật độ phổ cơng suất 257 Định lý lượng Rayleigh 127 Mật độ phổ trình dừng 262 Xung chử nhật hay hình hộp 144 Quá trình nhiễu trắng 267 Xung tam giác đơn vị 151 Trung bình theo thời gian 269 Hàm delta (hàm Dirac) 152 Quá trình ergodic 273 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Phạm Anh Dũng, Các hàm xác suất ứng dụng viễn thông Trung Tâm Đào Tạo Bưu Chính Viễn Thơng 1, 1999 Nguyễn Duy Tiến, Các mơ hình xác suất ứng dụng NXB Đại học Quốc gia Hà nội 2000 Nguyễn Quốc Trung, Xử lý tín hiệu lọc số NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 2004 L W Couch, II, Digital and Analog Communication Systems 6th ed, Prentice Hall, 2001 V Ditkine et A Proudnikov, Transformation intégrales et calcul opérationnel Dịch tiếng Pháp Djilali Embarex, Mir 1978 Charles Dixon, Applied Mathematics of science & Engineering John Wiley & Sons: London, New York, Sydney, Toronto 1980 Dean G Duffy, Advanced Engineering Mathematics, CRC Press LLC, 1998 E J Savant JR, Fundamentals of the Laplace Transformation Mc Graw - Hill Book company, Inc 1962 M R Spiegel, PhD, Theory and Problems of Laplace Transform Schaum's outline series Mc Graw - Hill Book company, Inc 1986 10 Peter J Olver, Chehrzad Shakiban; Applied Mathematics c 2003 Peter J Olver 11 Robert Wrede Muray R Spigel Theory and Problems of Advanmced Calculus Schaum's outline series Mc Graw - Hill Book company, Inc 2002 12 R E Ziemer & R L.Peterson, Publishing Company, 1992 Introduction to digital communication, Macmillan ... 0, 1, 2, Quy nạp sử dụng công thức (3.68) với số hạng chẵn ta có a2k a2k a2k ? ?2 2k (2? ?? 2k ) (1 )2 a2(k ? ?2) 22 22 k (k 1)( k ) (k 1) a2(k 1) 22 k ( k ) … a2k a... 2k (1)k z k (k !) (3.71) Trường hợp thứ hai: ( k )2 ? ?2 ( k )2 ? ?2 (? ?2? ?? k )k Các hệ số chẵn liên hệ theo công thức 2k 2k 2? ?? a 2k a 2k ? ?2 (3. 72) ... ) 2J (z ) Thay vào có: z zJ ? ?2 (kz )dz z2 J ? ?2 (kz ) 2k kz d z ? ?2 kz 2k dJ J ? ?2 (z ) 2 (z ) Hay z zJ ? ?2 (kz )dz ? ?2 z J (kz ) 1 2 J ? ?2 (kz