THCS TOANMATH com 1 BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Chương 1 Căn thức 1 1 CĂN THỨC BẬC 2 Kiến thức cần nhớ • Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho 2x a= • Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học của a kí h[.]
BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Chương 1: Căn thức 1.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ: • Căn bậc hai số thực a số thực x cho x = a • Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu số thực khơng âm x mà bình phương a : x ≥ a ≥ ⇔ x = a a = x • Với hai số thực khơng âm a, b ta có: • Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: A≥0 A + A= A = A ;(Đây gọi phép khử thức mẫu) = A A ( ) M A B M = với A, B ≥ 0, A ≠ B (Đây gọi phép A− B A± B trục thức mẫu) + 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n 1.2.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ: THCS.TOANMATH.com • Căn bậc số a kí hiệu • Cho a ∈ R; a =x ⇔ x3 = a • Mỗi số thực a có bậc • Nếu a > a > • Nếu a < a , a < a =0 Trường hợp n số chẵn: = n 2k , k ∈ N Mọi số thực a > có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k a (gọi bậc 2k số học a ) Căn bậc chẵn âm kí hiệu − 2k a , 2k a = x ⇔ x ≥ x 2k = a ; − k a = x ⇔ x ≤ x 2k = a THCS.TOANMATH.com Mọi số thực a < khơng có bậc chẵn Một số ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích biểu thức sau thành tích: a) P = x4 − b) = P x3 + 3 c) P = x + x + Lời giải: ( )( x + ) ( x + 2) )( x − x + 3) a) P = ( x − )( x + ) = x − b) P =( x ) + c) P= (x ( ) =( x + + 1) − x 2= (x 2 − x + 1)( x + x + 1) Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: x ≥ a) A = x − x− x + b) B = x − x − + x + x − x ≥ c) C = − + + 10 − Lời giải: a) A = 1 x− x− = 2 x − x− x + = + Nếu x≥ 1 ⇔ x ≥ + Nếu x< 1 ⇔ ≤ x < THCS.TOANMATH.com x− = x− x− x− x− 1 ⇒ A= 2 1 = − x+ ⇒ A= x− 2 b) = B x − x − + x + x −= Hay = B = ( ) ( 4x −1 −1 + 4x −1− 4x −1 +1 + 4x −1+ 4x −1 +1 ) x − + 1= 4x −1 −1 + 4x −1 +1 4x −1 −1 + 4x −1 +1 4x −1 −1 ≥ ⇔ 4x −1 ≥ ⇔ x ≥ + Nếu x − −= x − − suy = B 4x −1 4x −1 −1 < ⇔ 4x −1 < ⇔ + Nếu 1 ≤ x < 4 x − − =− x − + suy B = ( c) Để ý rằng: − =2 − ) ⇒ − =2 − Suy C =9 − + + 10(2 − 3) =9 − + 28 − 10 =9 − + C= (5 − ) − + 5(5 − 3) = Hay − 25 = 9−5 = 4= Ví dụ 3) Chứng minh: a) A = − − + số nguyên 84 84 số nguyên ( Trích đề TS vào lớp + 1− 9 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006) b) B = + THCS.TOANMATH.com c) Chứng minh rằng: x = a + a≥ a + 8a − a + 8a − với + a− 3 3 số tự nhiên ( d) Tính x + y biết x + x + 2015 )( y + ) y + 2015 = 2015 Lời giải: a) Dễ thấy A < 0, Tacó A = ( 7−2 − 7+2 ) = − + + − − + =14 − 2.5 =4 Suy A = −2 b) Áp dụng đẳng thức: ( u + v ) = u + v3 + 3uv ( u + v ) Ta có: 3 84 84 84 84 84 84 = 1+ B = 1+ 1− + 1− +1− + 3 + 9 9 9 84 84 1+ Hay + 1− 9 84 84 84 3 B =2 + 3 1 + 1 − B ⇔ B =2 + 3 − B ⇔ B =2 − B ⇔ B + B − 81 1 ⇔ ( B − 1) ( B + B + ) = mà B + B + = B + + > suy B = 2 Vậy B số nguyên 2 c) Áp dụng đẳng thức: ( u + v ) = u + v + 3uv ( u + v ) THCS.TOANMATH.com Ta có x = 2a + (1 − 2a ) x ⇔ x + ( 2a − 1) x − 2a = ⇔ ( x − 1) ( x + x + 2a ) = Xét đa thức bậc hai x + x + 2a với ∆ = − 8a ≥ + Khi a = 1 ta có x = + = 8 + Khi a > , ta có ∆ = − 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x = Vậy với a ≥ a + 8a − a + 8a − 1 + a− = ta có: x = a + 3 3 số tự nhiên d) Nhận xét: ( x + 2015 + x )( ) x + 2015 − x = x + 2015 − x = 2015 Kết hợp với giả thiết ta suy x + 2015 − x = y + 2015 + y ⇒ y + 2015 + y + x + 2015 + x = x + 2015 − x + y + 2015 − y ⇔ x + y =0 Ví dụ 4) a) Cho x = + 10 + + − 10 + Tính giá trị biểu thức: P= x − x3 + x + x + 12 x − x + 12 b) Cho x = + Tính giá trị biểu thức B = x − x + x − x + 1942 (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016) c) Cho x =+ + Tính giá trị biểu thức: P = x − x + x − x − x + 2015 Giải: THCS.TOANMATH.com a) Ta có: x = + + 10 + − 10 + + 10 + + − 10 + = ⇔ x =8 + − =8 + ⇒ x= ( ) −1 =8 + ( ( ) ) − =6 + = +1 + Từ ta suy ( x − 1) =5 ⇔ x − x =4 Ta = biến đổi: P (x − x ) − ( x − x ) + 12 42 − 3.4 + 12 = = x − x + 12 + 12 2 b) Ta có x =1 + ⇒ ( x − 1) = ⇔ x − x + x − = Ta biến đổi biểu thức P thành: P= x ( x − x + x − 3) + x ( x3 − x + x − 3) + ( x3 − x + x − 3) + 1945 = 1945 c) Để ý rằng: x = 22 + + ta nhân thêm vế với − để tận dụng đẳng thức: a − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b ) Khi ta có: ) ( − 1) ( + + 1) ⇔ ( − 1) x = ⇔ x = x + ⇔ x ( −1 x = 3 3 Ta biến đổi: P = x − x + x − x − x + 2015 = (x = ( x + 1) ⇔ x3 − x − x − = − x + 1)( x − x − x − 1) + 2016 = 2016 Ví dụ 5) Cho x, y, z > xy + yz + zx = a) Tính giá trị biểu thức: (1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y ) P= x + x2 b) Chứng minh rằng: 2 1+ y2 2 1+ z2 x y z xy + − = 2 1+ x 1+ y 1+ z (1 + x )(1 + y )(1 + z ) Lời giải: THCS.TOANMATH.com a) Để ý rằng: + x = x + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z ) Tương tự + y ;1 + z ta có: (1 + y )(1 + z=) x 1+ x x y) ( y + x )( y + z )( z + x )( z + = ( x + y )( x + z ) x( y + z) Suy P= x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y )= ( xy + yz + zx )= b) Tương tự câu a) Ta có: x y z + −= 2 1+ x 1+ y 1+ z2 x y + z − ( x + y )( x + z ) ( x + y )( y + z ) ( z + y )( z + x ) x ( y + z ) + y ( z + x) − z ( x + y) xy xy = = ( x + y )( y + z )( z + x ) ( x + y )( y + z )( z + x ) (1 + x )(1 + y )(1 + z ) Ví dụ 6) a) Tìm x1 , x2 , , xn thỏa mãn: ( x1 + x22 + + xn ) x12 − 12 + x2 − 22 + + n xn − = n2 4n + 4n − với n nguyên dương Tính 2n + + 2n − f (1) + f (2) + + f (40) b) Cho f (n) = Lời giải: a) Đẳng thức tương đương với: ( ) ( x12 − 12 − + ) x2 − 22 − + + ( xn − n − n ) = Hay= x1 2,= x2 2.22 , ,= xn 2.n THCS.TOANMATH.com b) Đặt = x x2 + y = 4n 2n − ⇒ xy = 4n − x2 − y = 2n + 1, = y Suy ( x + xy + y x3 − y 3 f (n)= = = x − y )= ( 2n + 1) − ( x+ y x −y 2 Áp dụng vào tốn ta có: f (1) + f ( ) + + f = ( 40 ) 33 − 13 + 53 − 33 + + 813 − 13= 364 = ( ) ( ) ) ( ( 2n − 1) ( ) ) 813 − 793 Ví dụ 7) 1 + + + > Đề thi 1+ 3+ 79 + 80 a) Chứng minh rằng: chuyên ĐHSP 2011 b) Chứng minh rằng: 1 1 + + + + > 1 − 2 3 n n +1 n +1 1 1 + + + + + < n − với n số nguyên dương n ≥ c) Chứng minh: n − < Lời giải: 1 , + + + 1+ 3+ 79 + 80 1 + + + 2+ 4+ 80 + 81 a) Xét = A = B Dễ thấy A > B Ta có A + B = 1 1 + + + + + 1+ 2+ 3+ 79 + 80 80 + 81 THCS.TOANMATH.com Mặt khác ta có: = k + k +1 ( Suy A + B = ) ( 2− + ( ( k +1 − k k +1 + k ) − + + )( ( ) k +1 − k = k +1 − k ) ) 81 − 80= 81 −= Do A > B suy A > A + B =8 ⇔ A > 1 b) Để ý rằng: = − k k +1 k (k + 1) ( k +1 + k ) < với 2k k + k nguyên dương Suy 1 − − VT > 1 − + + = 1 − + 2 2 3 n +1 n +1 n c) Đặt P = Ta có: 1 1 + + + + + n n + n +1 < 2 với số tự nhiên n ≥ = < n n n + n −1 Từ suy ( n +1 − = n ) ( ) 2 < < = n +1 + n n n + n −1 n +1 − n < < n − n −1 n ( T < + ( Do đó: ( ( ) n − n − hay ) ) ( − ) + + ( n + − n ) < T − 1) + ( − ) + ( n − n − ) 2− + Hay n − < T < n − Ví dụ 8) THCS.TOANMATH.com 10 Câu 15 (Đề thi năm 2014 – 2015 chun Thái Bình tỉnh Thái BÌnh) x −7 x +3 Cho biểu thức A = x − + x + − x − x − : x − 10 x ( x > 0, x ≠ ) 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên Câu 16 (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội) 1) Tính giá trị biểu thức A = x +1 , x = x −1 x +1 x−2 2) Cho biểu= thức P với x > x ≠ + x + x −1 x+2 x a) Chứng minh P = x +1 x b) Tìm giá trị x để = 2P x + Câu 17) Cho a = + + + − + Chứng minh a − 2a − = Câu 18) Cho a = + 10 + + − 10 + Tính giá trị biểu thức: T = a − 4a + a + 6a + a − 2a + 12 a Câu 19) Giả thiết x, y, z > xy + yz + zx = Chứng minh rằng: ( a + y )( a + z ) + y ( a + z ) ( a + x ) x a + x2 THCS.TOANMATH.com a + y2 ( a + x )( a + y ) = 2a +z a + z2 17 Câu 20 Cho a = + − 61 + 46 + a) Chứng minh rằng: a − 14a + = b) Giả sử f ( x ) = x + x − 14 x − 28 x + x + 19 Tính f ( a ) Câu 21 Cho a = 38 + 17 + 38 − 17 Giả sử có đa thức f ( x ) = (x + x + 1940 ) Câu 22 Cho biểu thức f ( n ) = 2016 Hãy tính f ( a ) 2n + + n ( n + 1) n + n +1 Tính tổng S= f (1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2016 ) Câu 23) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1≤ 1 1 + + + + < 2 n Câu 24) Chứng minh với số nguyên dương n > , ta có 1 1 65 + + + + < 3 n 54 Câu 25) Chứng minh rằng: 43 1 44 < + + + < 44 + + 2002 2001 + 2001 2002 45 (Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002) Câu 26) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1 1 + + + < 1− 2 +1 3 + 2 n +1 ( n + 1) n + + n n THCS.TOANMATH.com 18 Câu 27) Chứng minh với số nguyên dương n > , ta có: 10 3n − 3n + 1 < 12 3n 3n + 3 n + LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1) Lời giải: 1) Với x = 64 ta có = A ( )( ) ( + 64 + = = 64 ) x −1 x + x + x +1 x x x + 2x x +2 1+ B= = = = x x+x x +1 x +1 x x + x ( Với x > , ta có: ) A 2+ x 2+ x > ⇔ > ⇔ : B x x +1 x +1 > x ⇔ x + > x ⇔ x < ⇔ < x < (do x > ) Lời giải: 36 + 10 = = 36 + 1) Với x = 36 , ta có = A 2) Với x ≥ 0, x ≠ 16 ta có: ( ) ( x x −4 x +4 + B= x − 16 x − 16 3)= Biểu thức B ( A − 1) ) ( ) x + ( x + 16 ) x + x +2 = = x + 16 ( x − 16 )( x + 16 ) x − 16 x +2 x +4− x −2 = x − 16 x +2 x − 16 B ( A − 1) nguyên, x nguyên x − 16 ước , mà U ( ) ={±1; ±2} Ta có bảng giá trị tương ứng: Kết hợp điều kiện, để B ( A − 1) nguyên x ∈ {14;15;16;17} THCS.TOANMATH.com 19 3) Lời giải: A= x 10 x x − − = x − x − 25 x +5 x + x − 10 x − x + 25 = x −5 x +5 ( ( A= ( )( ) ) ) ( ( x − 5)( x + 5) x + − 10 x − x − 10 x + 25 x −5 )( x +5 x −5 ) ) x −5 = ⇒A x −5 x +5 )( ( ( x −5 Với x = ta có: x +5 ) x = Vậy − −2 = = − 3+5 4) Lời giải: 1) P ( ) ( ) x x − + x x + − 3x − = x −3 x +3 ( )( ) x +3 = ⇒ x + = ⇔ x = 36 (thỏa mãn ĐKXĐ) x +3 3 3) Với x ≥ 0, P = ⇒ Pmax = x = (TM) ≤ = x +3 0+3 2) P = ⇔ Lời giải: A= = 5+ 5 + − 5+2 −1 + (5 + )( ( + 2)( = −5+ )+ − 2) ( 5−2 ( ) +1 )( −1 − ( 3− ) ) (3 + )(3 − ) +1 + − 15 + − + 15 − = −5+ 4 THCS.TOANMATH.com 20 ... B 3 3 a số x cho x3 = a =a AB với B ≠ B A B3 = A±3 B A2 AB + B với A ≠ ± B A± B 1.2.2 CĂN THỨC BẬC n Cho số a ∈ R, n ∈ N ; n ≥ Căn bậc n số a số mà lũy thừa bậc n a • Trường hợp n số lẻ: n... 3) = Hay − 25 = 9−5 = 4= Ví dụ 3) Chứng minh: a) A = − − + số nguyên 84 84 số nguyên ( Trích đề TS vào lớp + 1− 9 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006) b) B = + THCS.TOANMATH.com c) Chứng... suy ( x − 1) =5 ⇔ x − x =4 Ta = biến đổi: P (x − x ) − ( x − x ) + 12 42 − 3.4 + 12 = = x − x + 12 + 12 2 b) Ta có x =1 + ⇒ ( x − 1) = ⇔ x − x + x − = Ta biến đổi biểu thức P thành: P= x ( x