bai tạp hằng đẳng thức lần 1

Bài 1: Tính giá trị biểu thức: (a + b + c) a) M = 3 với a, b, c số thực thỏa mản a +b +c a3 + b3 + c3 − 3abc =  a + b + c   a  b  c      3 3 3 2 a b + b c + c a = 3a b c b) N = 1 + 1 + 1 +  với a, b, c số thực khác thỏa mản b c a Giải a) a3 + b3 + c3 − 3abc = 1 2 2 1  ( a + b + c )  ( a − b ) + (b − c ) + ( c − a )  = 2 2  1 2 2 1  ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  = a + b + c  Nên a = b = c ( a + b + c ) (a + a + a)3 27a3 Do M = 3 = 3 = = a +b +c a +a +a 3a Vậy M = b) a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a 2b2c  ( ab ) + ( bc ) + ( ac ) − 3.ab.bc.ca = 3 1 2 2 1  ( ab + bc + ca )  ( ab − bc ) + ( bc − ca ) + ( ca − ab )  = 2 2   ab + bc + ac =  1  ( ab − bc )2 + ( bc − ca )2 + ( ca − ab )2 = 2 2  ab + bc + ca =   ab = bc = ca +) Nếu ab + bc + ca = Ta có ( a + b + c )( ab + bc + ca ) = ( a + b )( b + c )( c + a ) − abc  = ( a + b )( b + c )( c + a ) − abc  ( a + b )( b + c )( c + a ) = abc  a  b  c  ( a + b )( b + c )( c + a ) abc Khi dó N = + 1+ 1+ = = =1    b   c   a abc abc ab = ca a(b − c) = b − c =   (do a, b, c số thực bc = ca c(b − a ) = b − a = + Nếu ab = bc = ca   khác 0)  a = b = c   a  b    c    b  c  a    Khi N = 1 + 1 + 1 +  = 1 + 1 + 1 +  = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = b c a b c a 1 + + = Tính giá trị biểu thức: x+ y y+z z+x ( y + z )( z + x ) + ( x + y )( z + x ) + ( y + x )( y + z ) P= 2 ( x + y) ( y + z) (x + z) Bài 2: Cho Giải Đặt a = P= 1 ,b = ,c =  a + b + c = x+ y y+z z+x a b c a + b3 + c + + = bc ac ab abc 1 2 1 ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  = (vì 2 2  Lại có a3 + b3 + c3 − 3abc = ( a + b + c )  a + b + c = )  a + b3 + c3 = 3abc a3 + b3 + c3 3abc Khi P = = =3 abc abc Bài 3: Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn a + b + c = ( a − b )( b − c )( c − a ) Chứng minh ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) chia hết cho 81 3 Giải a + b + c = ( a − b )( b − c )( c − a ) (1) Khi chia số a, b, c thỏa mãn hệ thức (1) cho ta xảy trường họp : Cả không số dư số có số dư sô dư - Xét trường hợp không dư: Giả sử a = 3k1; b = 3k2 + 1; c = 3k3 + ( k1; k2 ; k3  Z ) Khi a + b + c = ( k1 + k2 + k3 ) + 3 ( a − b ) = ( k1 − k2 ) − ; ( b − c ) = ( k2 − k3 ) − ; ( c − a ) = ( k3 − k1 ) + suy ( a − b ) ; ( b − c ) ; ( c − a ) không chia hết ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) không chia hết cho a + b + c  ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) (mâu thuẩn với giả thiết cho) - Xét trường hợp có số số a, b, c dư: Giả sử hai số a b : a = 3k1 + m; b = 3k2 + m; c = 3k3 + n ( k1; k2 ; k3  Z , m, n  0;1; 2 , m  n ) Ta có a + b + c = ( k1 + k2 ) + 2m + n Nếu m =  n  1; 2  2m + n  1; 2 nên 2m + n không chia hết cho Nếu m =  n  0; 2  2m + n  2; 4 nên 2m + n không chia hết cho Nếu m =  n  0;1  2m + n  4;5 nên 2m + n không chia hết cho Suy a + b + c không chia hết cho ( a − b ) = ( k1 − k2 ) nên ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) a + b + c  ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) (mâu thuẩn với giả thiết cho) Vì với số a, b, c thỏa mãn hệ thức (1) xảy số dư Giả sử a = 3k1 + m; b = 3k2 + m; b = 3k2 + n ( k1; k2 ; k3  Z , m  0;1; 2) Khi ( a − b ) = ( k1 − k2 ) ( b − c ) = ( k − k3 ) ( c − a ) = ( k3 − k1 )  ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) 27  a + b + c = ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) 27 3 3 Lại có ( a − b + b − c + c − a ) = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) + ( a − b )( b − c )( c − a ) 3 Hay ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = −3 ( a − b )( b − c )( c − a ) (3.27) 3 Vậy ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) chia hết cho 81 Bài 4: Giải hệ phương trình sau :  x3 + 27 y = 27 xy − 27 x − y = a)  x + y + z =  b)  x + y + z =  x3 + y + z =  Giải  x3 + 27 y = 27 xy − 27 (1)  x − y = (2) a)  x + 3y + = x = 3y = (1)  x3 + (3 y)3 + 33 − 3.x.3 y.3 =    x=  x + y + =    +) Nếu x + y + =   x − y =  y = −7  +) Nếu x = y =  x = 3; y = ( khơng thỏa mản phương trình (2) ) −7   4  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ;  x + y + z = (1)  b)  x + y + z = (2)  x3 + y + z = (3)  1 2 1 ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x )  = (vì 2 2  Ta có x3 + y3 + z − 3xyz = ( x + y + z )  x3 + y + z x + y + z = )  xyz = = (4) Do z = nghiệm phương trình (4) suy z  Nên xy = z  x + y = − z x + y = −z     2 2 2 2 ( x + y ) − xy = − z  x + y + z = (2) x + y = − z x + y = −z   2 2 (− z ) − z = − z  xy = z  (5)     x + y + z = (1) Ta có hệ pt  Phương trình (5) tương đương z − z + =  z − z + z − z + z − = z =  z ( z − 2) + z ( z − 2) + 2( z − 2) =  2( z − 2)( z + 1) =    z = −1  x + y = −2  y = −2 − x  y = −1   y = −2 − x    Nếu z =     2  x y = z =  x.(−2 − x) = ( x + 1) =  x = −1 x + y =  y = 1− x  y = 1− x    Nếu z = −1    x y = z = −2  x.(1 − x) = −2  x − x − = (6) Giải phương trình (6) ta x = -1 ; x=2 Với x = −1 suy y = Với x = suy y = −1 Vậy nghiệm hệ phương trình cho ( 2; −1; −1) ; ( −1; 2; −1) ; ( −1; −1; ) ...   c    b  c  a    Khi N = ? ?1 + ? ?1 + ? ?1 +  = ? ?1 + ? ?1 + ? ?1 +  = (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = b c a b c a 1 + + = Tính giá trị biểu thức: x+ y y+z z+x ( y + z )( z + x ) + ( x... − = (6) Giải phương trình (6) ta x = -1 ; x=2 Với x = ? ?1 suy y = Với x = suy y = ? ?1 Vậy nghiệm hệ phương trình cho ( 2; ? ?1; ? ?1) ; ( ? ?1; 2; ? ?1) ; ( ? ?1; ? ?1; ) ... − x  y = ? ?1   y = −2 − x    Nếu z =     2  x y = z =  x.(−2 − x) = ( x + 1) =  x = ? ?1 x + y =  y = 1? ?? x  y = 1? ?? x    Nếu z = ? ?1    x y = z = −2  x. (1 − x) = −2