Tröôøng THCS Thò Traán Thôùi Bình UBND huyÖn s¬n ®éng phßng Gd&®t K× THI CHäN HäC SINH GIáI GI¶I TO¸N TR£N M¸Y TÝNH CÇM TAY N¡M HäC 2011 2012 M«n To¸n líp 8 Thêi gian lµm bµi 150 phót Ngµy thi 27/11/2[.]
UBND huyện sơn động phòng Gd&đt ĐIểM TOàN BàI Bằng số Kì THI CHọN HọC SINH GIỏI GIảI TOáN TRÊN MáY TíNH CầM TAY NĂM HọC 2011-2012 Môn: Toán lớp Thêi gian lµm bµi : 150 Ngµy thi: 27/11/2011 Các giám khảo (họ tên chữ kí) Số PHáCH (do chủ tịch hội đồng chấm ghi) Bằng chữ Chú ý: - Đề thi có trang với 10 bài, điểm; - Thí sinh làm trực tiếp vào đề thi này, phần không yêu cầu trình bày lời giải điền kết vào ô trống tơng ứng - Nếu yêu cầu thêm, hÃy tính xác đến chữ số thập phân - Các đoạn thẳng đợc đo theo đơn vị dài Bi 1: (5 im) Tính giá trị biểu thức sau điền kết vào ô vuông: 4 0,8 : 1, 25 ÷ 1, 08 − ÷: 25 A= 5 + + ( 1, 2.0,5 ) : a) A = KQ: 1 0, 64 − − 25 4÷ 17 b) B = ( 20062 − 2012 ).( 20062 + 4012 − 3).2011 2003.2005.2008.2009 B= Bài 2: (5 điểm) Tìm giá trị x, y dạng phân số (hoặc hỗn số) từ phương trình sau điền kết vào ô vuông : x a) + + 3+ x 2+ =1 4+ x= 1 0,3 − ÷.1 y − ÷: 0, 003 20 : 62 + 17,81: 0, 0137 = 1301 − b) 20 − 2, 65 : 1,88 + ÷ ÷ 20 25 y= Bài 3: (5 điểm) a) Tìm số tự nhiên a b biết a= b= 199 = 2010 10 + 9+ a+ b b) T×m sè tự nhiên lớn nhất, nhỏ (tơng ứng đặt a, b) cã d¹ng x3 yz 6t chia hÕt cho 29 Sơ lợc cách giải: Kết a= b= Bài 4: (5 điểm) a) Một ngời gửi a đồng vào ngân hàng với lÃi suất tiết kiệm m%/tháng Biết hàng tháng ngời không rút lÃi suất HÃy lập công thức tính số tiền gốc lÃi ngời sau tháng, tháng , tháng , năm theo a m ? áp dụng với a = triệu đồng m = 0,4 Sơ lợc cách giải: ¸p dơng víi a= triƯu ®ång, m =0,4 Tỉng số tiền gốc lÃi ngời sau tháng, tháng , tháng , năm là: Sau tháng Sau tháng Sau tháng Sau năm Tổng số tiền b) Nếu tháng ngời gửi vào ngân hàng triệu đồng lÃi suất 0,4% (các tháng không rút lÃi suất ra) sau năm ngời có đợc tiền ? Số tiền sau năm là: Bi 5: (5 im ) n a) Cho tæng: Sn = + + + + n ( n ≥1) TÝnh S15 ; S22 ; S23 ( Kết làm 3 3 tròn đến chữ số thập phân ) Điền kết vào ô vuông: S15 = S22 = S23 = b) Tìm chữ số hàng trăm số 232010 Sơ lợc cách giải: Bài 6: (5 điểm) Cho f(x) = x3+bx2+cx+d a BiÕt f(1) = 3; f(2) = 8; f(3) = 15 TÝnh f(2009) f(2010) (Trình bày lời giải viết kết qu¶) b BiÕt f(x) chia cho (x+3) d 1; chia cho (x-4) d 8, chia cho (x+3)(x-4) đợc thơng x-3 d HÃy xác định b,c,d (Trình bày lời giải viết kết quả) a) Sơ lợc cách gi¶i: f(2009)= f(2010)= b) S¬ lợc cách giải: ` Bài 7: (5 điểm) b= c= d= Cho d·y sè s¾p thø tù u1 , u2, u3 , , un , un +1 , biÕt: u1 = 1, u = 2, u3 = 3; un = un −1 + 2un −2 + 3un −3 (n ≥ 4) a) ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm liên tục để tính giá trị un với n b) Sử dụng quy trình trên, tính giá trị u20 , u22 , u25 , u28 Sơ lợc cách giải: Quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị un với n : ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… Điền kết vào ô vuông: u22 = u20 = u25 = u28 = Bài 8: (5 điểm) Cho tam giác ABC có AM đường trung tuyến Biết AB = 1,124 cm ; AC = 2,356 cm; BC = 3,198 cm a.Tính độ dài đờng trung tuyến AM b.Tính diện tích tam giác ABC A Sơ lợc cách giải: B C M Điền kết vào ô vuông: AM = cm Bi 9: (5 im) Cho hình thang cân ABCD ( AB// CD ) Cho biÕt AB = 1,314 cm, CD = 3,942 cm , BC = 1,614 cm Kẻ đờng cao AH ( H CD ) A a TÝnh diƯn tÝch h×nh thang ABCD B b TÝnh diƯn tích tứ giác ABHD Sơ lợc cách giải: D C H Điền kết vào ô.vuông: SABCD = cm2 SABHD = cm2 Bài 10: (5 điểm) Cho tø gi¸c ABCD Gọi K, L, M, N lần lợt trung điểm cđa DC, DA, AB, BC Gäi giao ®iĨm cđa AK với BL , DN lần lợt P S ; CM cắt BL, DN lần lợt Q R a.Xác định diện tích tứ giác PQRS biÕt diƯn cđa tø gi¸c ABCD , AMQP , CKSR tơng ứng S0 , S1 , S2 b ¸p dơng tÝnh diƯn tÝch tø gi¸c PQRS biÕt S0 = 142857 x 371890923456 , S1 = 6459085826622 , S2 = 7610204246931 Sơ lợc cách giải: Lưu ý: Cán coi thị khơng giải thích thêm! h¦íNG DÉN CHÊM thi chän häc sinh giỏi năm học 2011-2012 Môn : giải toán máy tính casio Ngày thi: 27 tháng 11 năm 2011 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bi 1: (5 điểm) Tính giá trị biểu thức sau điền kết vào ô vuông: Mỗi câu 2,5 điểm 4 0,8 : 1, 25 ÷ 1, 08 − ÷: 25 5 + + ( 1, 2.0,5 ) : a) A = 1 0, 64 − − ÷.2 25 17 b) B = A= = 3 KQ: B = 2011 ( 20062 − 2012 ).( 20062 + 4012 − 3).2011 2003.2005.2008.2009 Bài 2: (5 điểm) Tìm giá trị x, y, z dạng phân số (hoặc hỗn số) từ phương trình sau điền kết vào vng : Mỗi câu 2,5 điểm x a) + 1 3+ + x 2+ =1 x= 4+ 24 29 1 0,3 − ÷.1 y − ÷: 0, 003 20 : 62 + 17,81: 0, 0137 = 1301 − b) 20 − 2, 65 : 1,88 + ÷ ÷ 20 25 y=6 Bài 3: (5 điểm) Mỗi câu 2,5 điểm a) Tìm ccác số tự nhiên a b biết rằng: a=1 b = 19 199 = 2010 10 + 9+ a+ b b) T×m sè tự nhiên lớn nhất, nhỏ (tơng ứng đặt a, b) cã d¹ng x3 yz 6t chia hÕt cho 29 ( x, y, z, t ∈ N ;0 x, y, z, t ) Sơ lợc cách giải: Kết Giả sử số lớn có dạng 2939 z 6t Lần lợt thử z = 9, t = 9, 8, ,2 a = 2939962 +Tõ ®ã suy z= ; t = Tơng tự: Giả sử số nhỏ có dạng 2030 z 6t Lần lợt thử z = 0, t = 0, 1, 2, ; z = , t = 0, 1, 2, vµ z = , t = , b = 2030261 +Tõ ®ã suy z= ; t = c)Tìm tất số tự nhiên không 10 chữ số mà đa chữ số cuối lên vị trí số tăng lên gấp lần Sơ lợc cách giải: Gọi số cần tìm a1a a n => a n a1a a n-1 = 5a1a a n => a n 10n-1 + a a a = 5( a a a n-1 10 + a n ) = > (10n-1 -5).a n = 49 a a a n-1 2 n-1 Hay a n 99 95 = 49 a1a a n-1 ( n-2 ch÷ sè 9) Vì số đà cho có 10 chữ số => n - ≤ V× a n cã chữ số => a n không chia hết cho 49 mµ nhiỊu nhÊt chØ chia hÕt cho Chøng tá 999…95 tèi thiĨu chia hÕt cho Thư 95, 995; 9995 ………… 999999995 cho 7.=> kÕt qu¶: 99995 VËy a 99995 = 49.a1a a => a 14285 = 7.a1a a v× ( 1428, 7) = nên a M7 Số cần tìm là: 142857 Bài 4:(5điểm) Mi cõu ỳng 2,5 im Sơ lợc cách giải: a) Tổng quát ngời gửi a đồng lÃi suất m% Sau tháng, tổng số tiền (cả gốc lÃi) là: a(1+m%) ( đồng) Sau tháng, tổng số tiền (cả gốc lÃi) là: a(1+m%)2 ( đồng) Sau tháng, tổng số tiền (cả gốc lÃi) là: a(1+m%)3 (đồng) Sau năm, tổng số tiền (cả gốc lÃi) là: a(1+m%)12 ( đồng) ¸p dơng víi a = 1000000 ; m = 0,4% = 0,004 Bấm máy đợc kết lần lợt : Sau tháng Tổng số 1004000 Sau tháng 1008016 Sau tháng 1012048,064 Sau năm 1049070,208 tiền b) Nếu tháng ngời gửi vào ngân hàng triệu đồng lÃi xuất 0,4% (các tháng không rút lÃi suất ra) sau năm ngời có đợc số tiền là: Số tiền sau năm là: 12316622,09 đồng Bài 5: (5 điểm ) Mỗi câu 2,5 điểm n a) Cho tæng: Sn = + + + + n (n ≥ 1) 3 3 TÝnh S15 ; S22 ; S23 ( Kết làm tròn đến chữ sè thËp ph©n ) Điền kết vào vng: S15 = 0,74999425 S22 = 0,75000000 S23 = 0,75000000 b) Sơ lợc cách giải: 231 023( mod1000 ); 234 ≡ 841( mod1000 ); 235 ≡ 343( mod1000 ) 2320 ≡ 3434 ≡ 201( mod1000 ); 232000 ≡ 201100 ≡ 001( mod1000 ) => 232005 ≡ 023.841.001 ≡ 343( mod1000 ) => 232010 ≡ 343.235 ≡ 649 ( mod1000 ) Chữ số hàng trăm số 232010 Bi 6: (5 im) Mi cõu ỳng 2,5 im Sơ lợc cách giải: a) Đặt f(x) = f(x) ( x + x ) Þ f(x) = f’(x) + ( x + x ) L¹i cã f’(1) = f’(2) = f’(3) = Þ f’(x) chia hÕt cho (x-1)(x-2)(x-3) mµ f’(x) cã bËc lµ 3, hƯ sè bậc cao nên f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) ị f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) + ( x + x ) Thay x=2009; x=2010 Tính đợc: f(2009) = 8088332435 8100426624 ; f(2010)= b) f(x) = (x+3)(x-4)(x-3) + mx+n (D lµ mx+n) ta cã: f(-3) = m.(-3)+ n = f(4) = m.4 + n = giải hệ pt tìm ®ỵc m =1; n=4 Tõ ®ã suy : b = -4 ; c =- 8; d=40 Bµi 7: (5 ®iĨm):Mỗi câu 2,5 điểm Cho d·y sè s¾p thø tù u1 , u2, u3 , , un , un +1 , biÕt: u1 = 1, u = 2, u3 = 3; un = un −1 + 2un −2 + 3un −3 (n ≥ 4) a.ViÕt qui tr×nh bấm phím liên tục để tính giá trị un với n b.Sử dụng qui trình trên, tính giá trị u20 , u22 , u25 , u28 Sơ lợc cách giải: a.Gán Shift STO A, Shift STO B, Shift STO C BÊm liên tục phím: Alpha A + Alpha B + Alpha C Shift STO D Ghi kÕt qu¶ u4 Lặp lại thêm lợt: Alpha B + Alpha C + Alpha D Shift STO A …… (theo qui luËt vßng trßn ABCD, BCDA, CDAB, DABC) BÊm phím trở lợt 1, tiếp Shift_copy, sau bấm phím "=" liên tục đếm số b Điền kết vào ô vuông: u20 =9426875 u22 =53147701 u 25 = 711474236 u28 =9524317645 Bài 8: (5 điểm) Cho tam giác ABC có AM đường trung tuyến Biết AB = 1,124 cm ; AC = 2,356 cm; BC = 3,198 cm A a.Tính độ dài ®êng trung tun AM b.TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC Sơ lợc cách giải: a.Kẻ đờng cao AH Ta có: AB2 + AC = ( AH + BH ) + ( AH + HC ) = 2AH + BH + CH 2 B 2 = 2(AM - HM ) + (BM - HM) + (CM + HM) Từ suy ra: AM = Điền kết vào ô vuông: AB2 + AC − BC2 H C M ( 2,5 ®iĨm) AM = 0,922092728 cm ( 2,5 ®iÓm) b) Ta cã: AH = AB2 - BH ; AH = AC - HC => HC - HB2 = AC - AB2 => HC - HB =1,340637899 Mµ HC + HB = 3,198 Tõ ®ã suy ra: HC = 2,26931895 cm => AH = 0,633188364 cm DiƯn tÝch tam gi¸c ABC : S = ABC 1,012468195 cm NÕu häc sinh dïng c«ng thøc Herong S = p(p - a)(p - b)(p - c) đê tính diện tích tam giác ABC phải chứng minh công thức Bi 9: (5 im)Mi cõu ỳng 2,5 im Cho hình thang cân ABCD ( AB// CD ) Cho biÕt AB = 1,314 cm, CD = 3,942 cm , BC = 1,614 cm Kẻ đờng cao AH ( H ∈CD ) c TÝnh diƯn tÝch h×nh thang ABCD A B d TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABHD Sơ lợc cách giải a Kẻ đờng cao AH, BK Ta cã: VAHD = VBKC ( c¹nh hn-gãc nhän) => DH = KC D H Tứ giác ABKH hình chữ nhật => AB = HK CD - AB =1,314 cm => VBKC cân K nên Từ đó: CK = BK = BC - CK = 0,8784 => BK = 0,8784 cm ( AB + CD ).BK SABCD = 2,463040338 DiƯn tÝch h×nh thang ABCD: s ABCD = C K cm2 b.Tø gi¸c ABHD hình bình hành => Diện tích tứ giác ABHD lµ: SABHD = DH.BK SABHD = 1,231520169 cm2 Bµi 10: Mỗi câu 2,5 điểm 10 Cho tø gi¸c ABCD Gọi K, L, M, N lần lợt trung ®iĨm cđa DC, DA, AB, BC Gäi giao ®iĨm cđa AK với BL , DN lần lợt P S ; CM cắt BL, DN lần lợt Q R a.Xác định diện tích tứ giác PQRS biÕt diƯn cđa tø gi¸c ABCD , AMQP , CKSR tơng ứng S0 , S1 , S2 b ¸p dơng tÝnh diƯn tÝch tø gi¸c PQRS biÕt S0 = 142857 x 371890923456 , S1 = 6459085826622 , S2 = 7610204246931 Cách giải: S S a Vì SAKCM = SAKC + SACM = (SADC + SABC ) = ABCD = 2 S Nªn SPQRS = SAKCM -SAMQP - SCKRS = -S1 -S2 b Ta cã S0 = 142857.371890923456 =142857.( 37189.107 + 923.103 + 546 ) = 5312708973.107 + 131857011.103 + 77999922 = 53127221665010922 VËy S 53127221665010922 SPQRS = -S1 -S2 = - 6459085826622 -7610204246931 2 = 26549541542431908 11 ... AB + CD ).BK SABCD = 2,463040338 DiÖn tÝch h×nh thang ABCD: s ABCD = C K cm2 b.Tứ giác ABHD hình bình hành => Diện tích tứ giác ABHD là: SABHD = DH.BK SABHD = 1,231520169 cm2 Bµi 10: Mỗi câu 2,5