Đang tải... (xem toàn văn)
Giới hạn dãy số dcq dcq Giới hạn dãy số *Các giới hạn thường gặp limC = C ; lim= 0 > 0 ; lim = 0 ; limqn = 0 |q| < 1 *Các phép toán giới hạn lim(un vn) = limun limvn ; lim(un vn) = limun ; limvn[.]
dcq Giới hạn dãy số *Các giới hạn thường gặp: limC = C ; lim= > ; lim = ; limqn = |q| < *Các phép toán giới hạn : lim(un vn) = limun limvn ; lim(un.vn) = limun ; limvnlim = *Các định lý giới hạn: Định lý 1: Một dãy số tăng bị chặn có giới hạn Một dãy số giảm bị chặn có giới hạn Định lý 2: Cho dãy số (un),(vn) (wn) Nếu n ta có un ≤ ≤ wn limun = limwn = A limvn = A Định lý 3: Nếu limun = lim = Nếu limun = lim = *Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = 1.Dùng định nghĩa,tính giới hạn sau: a) lim b) lim c) lim 2.Tính giới hạn sau: a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim 2n f) lim g) lim a)Chứng minh (un) bị chặn dãy số tăng b)Suy (un) có giới hạn tính giới hạn 6.Tìm số hữu tỉ sau : a) 2,1111111 b)1,030303030303 c)3,1515151515 7.Tính lim(1 – ).(1 – ).(1 – )…(1 – ) Cho dãy (xn) thỏa < xn < xn+1(1 – xn) ≥ Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng Tính limxn Cho dãy (xn) thỏa < xn < xn+1 = + xn – xn2 n N a)Chứng minh rằng: |xn – | < ()n n ≥ b) Tính limxn 10.Cho dãy số xác định : u1 = ; un +1= a) Chứng minh rằng: un < n b) Chứng minh rằng: (un) tăng bị chặn c) Tính limun 11.Cho dãy số (un) xác định công thức u1 = un +1= a) Chứng minh un < n b)Chứng minh rằng: (un) tăng bị chặn c) Tính limun Giới hạn hàm số *Các phép toán giới hạn hàm số lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) x a n 2n x a x a x a lim f (x) f (x) lim x a x a g(x) lim g(x) x a lim f (x).g(x) lim f (x).lim g(x) f)lim() g) lim 3.Tính giới hạn sau: a) lim b) lim() c) lim) d) lim) e) lim dcq h) lim i) lim() j) lim n() k) lim( n 2n n ) l) lim m) lim(1 + n2 – ) n) lim 4.Tính giới hạn a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim g) lim với |a| < ; |b| < 4.Cho dãy (un) xác định u1 = ; un+1 = a)Chứng minh (un) bị chặn dãy số tăng b)Suy (un) có giới hạn tính giới hạn 5.Cho dãy (un) xác định u1 = ; un+1 = lim f (x) lim f (x) x a x a x a n n n n 1 n 1 x a *Các định lý giới hạn hàm số : Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn giới hạn Định lý 2:Cho hàm số g(x),f(x),h(x) xác định khoảng K g(x) lim h(x) L chứa a g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) Nếu lim x a x a lim f (x) L x a f (x) f (x) lim 0 Nếu lim x a x a f (x) s inx x lim 1 lim 1 Định lý 4: x x sinx x f (x) 0 lim Định lý 3: Nếu lim x a x a dcq sin kx kx 1 lim 1 x kx sin kx *Các dạng vô định: giới hạn có dạng ; ; 0. ; – 1.Tính giới hạn sau: x 3x x 2x 3x a) lim b) lim x x x x2 x 2x x3 x x 1 c) lim d) lim x x 4x x x 3x x 5x 3x x4 e) lim f) lim x x x 2x x 8x x 3x x 2x g) lim h) lim x 2x x x x2 m x 5x x x 1 i) lim k) lim n m,nN x1 x x 1 x 1 2.Tính giới hạn sau: g) lim x x 5 4 x x x 4x x2 2x x g) lim x 3x d) lim x 2 i) lim x l) lim x x x x1 x m) lim x 3 h) lim j) lim x 2x 2 1 x 1 x x x2 x e) lim x 4x b) lim x 1 x 3 2 x 1 x x n) lim x1 lim cos x sin x 3 5x x 1 1 sin x cos x 1 ( ) m) lim( x ) tgx k) lim l) lim x sin x cos x x x sin x cos x 2 cos x cos x cos x n) lim o) lim p) x x sin x x2 1 5 x lim x x2 x 4x 3 x 3x x2 3.Tính giới hạn sau: x x5 x3 lim a) lim b) x x 8 x 8x x 1 3 x x4 x 1 x2 c) lim d) e) lim lim x x x 1 x x 5x x 2x 10 x 10 x x g) lim x x x x 9 3 8x 11 x x 6 x 2 h) lim i) lim x x x x 3x x x x 3x o) lim x x f) lim x nx n x (x 1) h) lim 2 x x x 49 k) lim x x) n sin x sin 3x 5x b) lim c) lim d) x x 2x sin x sin x cos x lim x x2 cos x cos 3x cos 3x cos x lim e) lim f) g) lim x cos x x x 2x x2 sin x cos x sin x cos x h) lim i) lim j) sin 8x sin x x x 2x x x 4x x1 x )(1 a) lim x c) lim f) lim x (1 x )(1 x )(1 x (1 x) 4.Tính giới hạn sau: lim a) lim dcq sin x cos x tg x q) lim x sin x cos x tgx r) lim x cos x 1 1 x2 4.Tính giới hạn sau: tgx s inx 1 cosx a) lim b) lim c) lim x s inx x x sin 3x x x tg x cosx tgx lim(1 cos2x)tgx d) lim x-/2 e) x f) lim cot gx x x 2 g) lim x j) lim x s inx - cosx - tgx tg x 3tgx h) x ) cos(x + lim i) lim x.sin x x cosx sin 2x sin 2x k) lim x tg x x x sin x ) l) lim(sin x x+1 cos x ) m) lim(cos x 5.Tính giới hạn sau: ( ) ( ) a) lim b) xlim x x x 2 x x 1 1 b) lim x x 3x x 5x dcq ( x 1)( x 3x ) x x 4x c) lim x x 3x 2x d) lim x ( x x x) e) lim x ( 3 x f) xlim x( x x) g) xlim x( x x) h) xlim ( x 2x i) xlim j) lim x j) lim x x) x x 3x x x ) i) lim 4x x x 9x x 1 4x 2x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 2x h) lim x k) xlim x3 x 1 7x 14 x 16 x x 6.Tính giới hạn hàm số sau x 3x x x2 x sin c) lim x x ( x2 x b) lim x a) lim d) xlim cos x x x x3 e) lim 1 g) lim(2x x x 1) sin x cos x x 2x a) x2 x x ) f) lim( x 4x 4x 3) h) lim x x x x 3x x ) i) lim(x x j) lim x x 1 x3 x sin x x 1 c) f(x) = x x 1 ( x x ax b) 0 a) xlim x 1 ax b) = b) lim ( x x Tính giới hạn sau: x 2x x x x b) xlim x 3x x f(x) = x 1 2x x3 x x 2 x x b) f(x) = 11 x 2 7.Tìm số a,b để x a) xlim dcq *Hàm số f(x) gọi liên tục đoạn [a;b] liên tục khoảng [a;b] f (x) f (a) lim f (x) f (b) xlim a x b Các định lý: Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác hàm số liên tục tập xác định chúng Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương hàm liên tục hàm liên tục Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b) < tồn số c (a;b) cho f(c) = Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (a;b) 1.Xét liên tục hàm số sau: a) f(x) = x2 + x – b)f(x) = b)f(x) = 2.Xét liên tục hàm số sau: 2 x 3x x 2x Hàm số liên tục Định nghĩa: f (x) f (x o ) *Hàm số f(x) liên tục xo xlim xo *Hàm số f(x) gọi liên tục khoảng (a;b) liên tục điểm xo (a;b) xo = xo = xo = x 3x x 1 x d) f(x) = xo = x x x2 x e) f(x) = x xo = 1 2x khix dcq x x 0 f) f(x) = x x 0 x xo = 1 cosx x 0 sin x g) f(x) = xo = x 0 1 2x x 2 h) f(x) = x xo = 1 x 2 3.Tìm a để hàm số sau liên tục x0 a) f(x) = 3x 2x x x 1 2x a x 2x x 1 b) f(x) = x a x 1 x0 = x0 = 1 cos4x x x.sin 2x c) f(x) = xo = x a x 0 x 1 x 1 x x x d) f(x) = xo = a x x 0 x 4.Xét liên tục hàm số sau: a) f(x) = dcq x 3x x x 1 x x 3x 10 x 4 2x b) f(x) = x 2 3x x x 5 x 5.Tìm a để hàm số sau liên tục R 3x x a) f(x) = x ax + x 2 sin(x ) x b) f(x) = cos x x a 5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục R sin x x a) f(x) = asinx b x 2 cos x x x x b) f(x) = ax b x 3 4 x x Chứng minh phương trình sau có nghiệm: a) x3 – 2x – = b) x5 + x3 – = c) x + x + x + 2/3 = d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = e) x + 7x – 3x + x + = f) cosx – x + = Chứng minh phương trình a) x3 – 3x2 + = có nghiệm khoảng (– 1;3) b) 2x3 – 6x + = có nghiệm khoảng (– 2;2) c) x3 + 3x2 – = có nghiệm khoảng (– 3;1) d) x3 – 3x2 + = có nghiệm khoảng (– 1;3) e) 2x2 + 3x – = có nghiệm khoảng (– 3;1) f)* x5 – 5x4 + 4x – = có nghiệm khoảng (0;5) Cho số a,b,c khác Chứng minh phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = dcq Có nghiệm phân biệt 9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm [0;] 9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2) b)Chứng minh ba số f(0), f(1) ,f(1/2) dấu c)Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm (0;1) 10*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : = a)Chứng minh af() < với a b)Cho a > , c < ,chứng minh f(1) > c)Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm (0;1) 11*.Cho hàm số f(x ) liên tục đoạn [a;b] thoả f(x) [a;b] x [a;b] Chứng minh phương trình: f(x) = x có nghiệm x [a;b] 12 Chứng minh rằng: phương trình sau ln ln có nghiệm: a) cosx + m.cos2x = b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + = c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = d) (m2 + m + 1)x4 + 2x – = 13.Cho hàm số f(x) liên tục [a;b] , hai số dương Chứng minh rằng: phương trình f(x) = có nghiệm [a;b] 14.Cho phương trình x4 – x – = Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo (1;2) xo > dcq ...dcq sin kx kx 1 lim 1 x kx sin kx *Các dạng vô định: giới hạn có dạng ; ; 0. ; – 1.Tính giới hạn sau: x 3x x 2x 3x a) lim b) lim x x x x2 x 2x x3 x... x )(1 x )(1 x (1 x) 4.Tính giới hạn sau: lim a) lim dcq sin x cos x tg x q) lim x sin x cos x tgx r) lim x cos x 1 1 x2 4.Tính giới hạn sau: tgx s inx 1 cosx ... x Tính giới hạn sau: x 2x x x x b) xlim x 3x x f(x) = x 1 2x x3 x x 2 x x b) f(x) = 11 x 2 7.Tìm số a,b để x a) xlim dcq *Hàm số f(x)