Hướng dẫn giải chi tiết về giới hạn dãy số của hàm số lớp 11 phần 5

LỜI NÓI ĐẦU GIỚI HẠN MỘT BÊN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ THEO CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG 1 Giới hạn hữu hạn a Định nghĩa 1 Giả sử hàm số f xác định trên khoảng Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số th[.]

GIỚI HẠN MỘT BÊN A: KIẾN THỨC CẦN NHỚ THEO CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG 1.Giới hạn hữu hạn a Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định khoảng  x0 ; b  ,  x0  R  Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải số thực L dần đến x0 (hoặc điểm x0 )nếu với dãy số  x n  số thuộc khoảng  x0 ; b  mà lim x n x0 , ta có lim f  x n  L Khi ta viết lim f  x  L f  x   L x  x  x  x0  b Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định khoảng  a; x0  ,  x0  R  Ta nói hàm số có giới hạn bên trái số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy  x n  số thuộc khoảng  a; x0  mà lim x n x0 , ta có lim f  x n  L Khi ta viết lim f  x  L f  x   L x  x  x x  Chú ý: f  x  L hàm số f có giới hạn bên phải giới hạn bên trái điểm 1) Nếu xlim x f  x   lim f  x  L x0 Và xlim x  x x 0 f  x   lim f  x  L hàm số f có giới hạn điểm x 2) Ngược lại, xlim x  x x  0 lim f  x  L x  x0 3) Các định lí trước thay x  x0 x  x0  x  x0  Giới hạn vô cực f  x   , lim f  x    , lim f  x   1.Các định nghĩa xlim x  x x x x 0 lim f  x    phát biểu tương tự định nghĩa định nghĩa x x  Các ý thay L    B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau: x x x a) lim b) lim  x  x  5x  15 x x LỜI GIẢI  a) Vì x   x   x   Vậy x  x  Ta có lim x x 5x  15 b) Ta có lim  lim x x  x   lim x  1 x x x x x   x  3  lim x x x 1 x 1 x  0 2x  2x Ví dụ 2: Cho hàm số f  x   x  3x x1  x 1 x 1 f  x  ; lim f  x  Hàm số có giới hạn x 1 khơng? Vì sao? Tìm xlim  1 x LỜI GIẢI     Ta có lim f  x   lim x  3x 1   lim f  x   lim 2x  2x 2  0 x x x x f  x   lim f  x  nên hàm số cho khơng có giới hạn x 1 Vì xlim  1 x BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu : Tìm giới hạn sau: a) lim x 2x  x x b) x lim  x  4x  c) lim  x3  x2 x    1 x  4x 3x  5x LỜI GIẢI a) lim x b) 2x  x x x    1 x x x  4x  lim  c) lim  x  x x 1  lim x x  4x 3x  5x  x  x1  lim  x    1    lim x  x 1  x1  x  1  x    lim x    1 x  x  1 1  x   x  3  x  0 0 5x  6x  x Câu 2: Cho hàm số f  x   x  3x x 1 x 1 f  x  ; lim f  x  Hàm số có giới hạn x 1 khơng? Vì sao? Tìm xlim  1 x LỜI GIẢI    x  5    Ta có lim f  x   lim x  3x 1   x x  lim f  x   lim 5x  6x x  1 x f  x   lim f  x   nên hàm có giới hạn x 1 lim f  x   Vì xlim x  1 x 2  x 3   Câu 3: Cho hàm số y f  x   x  1  x 1 x 1 f  x  So sánh lim f  x  f  1 a) Tìm lim x x b) Tìm lim  f  x  x   3 So sánh lim  f  x  x   3 f    LỜI GIẢI a)Ta có lim f  x  lim x 2 lim x x3 x2  x 4 x  x  1  x  1   x3  lim x 1  x  1   x3   f  x   f  1 Và f  1  Vậy lim x b) Ta có Vậy lim  f  x   lim  x    x   3 2 x3 x 1  2 2  có f      9 9 lim  f  x  f    x   3 2x   Câu 4: Cho hàm số f  x  5  3x  lim f x ; lim f x a) Tìm x       x       x 2 x 2 x 2 b) Hàm số có giới hạn x 2 khơng? Tại sao? LỜI GIẢI a) Ta có: lim f  x   lim x  (  2) x  (  2)   3x  1   2x   5 lim f  x   lim  2x   5 có f  x   lim  3x  1 5, có b) Ta có xlim  2 x lim  f  x   lim x    x     x 2 x  2 f  x   lim f  x  5 nên hàm số có giới hạn x 2 lim f  x  5 Vì xlim x  2 x 2 x 1   x x 0  x   2x0 Câu : Cho hàm số f  x  ax  b   x  x   x  Tìm a, b để hàm số có giới hạn x  x 0 LỜI GIẢI Tại x 0 ta có  lim f  x   lim  ax  b  1 b  x x  lim f  x   lim x x Mà xlim  0 Và  lim 8 x  lim x x 1  2  x 8 x  x   1 x 1  2  lim  lim 1 x x x x   x x    2 x 12 x 1  x  8 x 8 8x  lim  lim x x   x x    x    x   23  x    x   x 1   x 13 1   x 12 12 x x Do hàm số có giới hạn x 0 13 25 lim f  x   lim f  x   b    b   1 12 12 x x Tại x  : lim  f  x   lim   ax  b  1  2a  b  x    x    Nên lim f  x   lim x2   lim   x       x    x    x  x    Do hàm số có giới hạn x  lim  f  x   lim lim  f  x   lim  f  x    2a  b   x    x     2 Từ  1   suy ra: hàm số có giới hạn x 0 x   25 b  12  a  61  24 61 25 Vậy với a  , b  hàm số có giới hạn x 0 x  24 12 Câu : Tìm giới hạn sau :  25 b   12   2a  b    a) lim x x2 x x x b) lim x  x2 2 x c) lim x  x  3x  x5  x4 LỜI GIẢI d) lim x x  7x  12  x2  x    lim  x    x x x  x  1 x  x  x  1   x    x   lim   x    x   lim  x  x 0 4 x lim  lim   a) lim x2 x x x2  x  lim x x  lim x 0 x 2 b) x 2 c) lim  x 2 2 x x  3x   lim x5  x4 x  x   lim x  7x  12  x2 x  lim x c) lim  x    x  3   x   x  lim 4 x   3x 6 x x e) lim  x  2 x2 x   x  4  x  3   x   x  lim x  1   d) lim   x  x  x  4 x  3x  f) lim   x  x  1 x x 2   1 x  b) lim  x x    x   x    x  3  x2 2x  5x  x  x 1  Câu : Tìm giới hạn sau :  x   a) lim  x  x   x       lim   x   x   x   x x 2 2 x  x  1  x    lim x  x  x  1 x   x  2 0 x  d) lim x  2 2 x x5 x  2x  LỜI GIẢI  a) lim  x  x         x  1 x2  x   lim   x    x    x     lim  x  x  x  x      1 x  b) lim  x x    x   x       x  1  x  1  x      lim  x  x  x    x  1  x  1  x   x    x   0 x   Vì x  1  x    x   lim x x 1 x 1 x   1 x   lim x x 1 x  1 x  1 x   lim x x   1 x  2x  1  x    lim 2x  2 x  x  x  x   x  3  x  3    2x  1  Ta có x    x    x    lim  x   0 , xlim 3 x  2x  5x  c) L  lim  lim    Kết luận L    1   d) L  lim   x  x  x  4  1  lim   x  x  x     x  2   x 2  x 1   lim  lim  x   x    x   x   x    x      x  1 3 , Ta có x    x   x    lim  x   0 , xlim  2 x lim  x   4 x 2 Kết luận L   x  3x  e) lim  x    x  1 lim x x x x  x      x    x  1  lim x  1 Nếu lim  lim    x x x x x 2 x Nếu lim   x    x  1 x x  lim   x    x  1 x x  lim   x   x 1    x   x  2x  5x  2   lim  lim 1   1 x x2    x  x    x 2 2    L  lim x Mà lim x  x f) lim   x  x  1     x lim  1  x x  2  x  1  x    x  1  x   Vậy lim   x   x  2  x      1 x  x 2      Do L     x5 x  2x  Với x  ta có :   x          x5 x5   x  1 x  2x  x  2x   x  1  x   x3 x5 lim  x  2x  x  1  x  1  x   x3 0 Câu : Tìm giới hạn sau : x  3, x   lim f x f x  x  13, x 1   a) x  với     1  7x  , x   3x  , x    lim g x b) x    với g  x   x  x  10, x   LỜI GIẢI lim f  x  lim(x  3)  x  1 x a) Ta có  lim f  x  lim  7x   x x Vậy ta có lim f  x  lim f  x    lim f  x     x x x  3x  g  x   lim 8  xlim   2 x  x 1  lim g  x  8 b).Ta có  x   lim g  x   lim  x  10  8 x  x  Chú ý: giới hạn hàm số giá trị hàm số điểm lấy giới hạn nhau, khác Trong thí dụ trên: câu a) có lim f  x    1  13 , câu b) lim g  x  g    8 x x   3x  , x   Câu 9: Tìm giới hạn hàm số g  x   x  x 0 x  10, x 0  LỜI GIẢI  3x  g  x   lim   xlim  0 x x 1 Ta có   lim g  x   lim(x  10) 10 x  0 x g  x   lim g  x  nên hàm số khơng có giới hạn x 0 Ta thấy xlim 0 x    x3  , x    Câu 10: Tìm m để hàm số h  x   x  có giới hạn x  mx  x  m , x   LỜI GIẢI  x 1 h  x   lim  lim x  x  3  xlim   1 x  x  x  Ta có   lim h  x   lim mx  x  m m  m  x   1  x   1     h  x   lim h  x  Hàm số có giới hạn x  xlim 1 x     m 1 m  m   m  m  0    m 