LỜI NÓI ĐẦU BÀI TẬP TỔNG HỢP CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN 2/24 Một cấp số cộng và một cấp số nhân đều là các dãy tăng các số hạng thứ nhất của hai dãy số đều bằng 3, các số hạng thứ hai bằng nhau Tỉ số giữ[.]
BÀI TẬP TỔNG HỢP CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN 2/24 Một cấp số cộng cấp số nhân dãy tăng số hạng thứ hai dãy số 3, số hạng thứ hai Tỉ số số hạng thứ ba CSN CSC Tìm ba số hạng hai cấp số thỏa tính chất Gọi LỜI GIẢI ba số hạng liên tiếp CSC Gọi ba số hạng liên tiếp CSN Theo đề ta có hệ phương trình: Từ (2) có Chọn thay vào (3) được: (vì dãy tăng) Kết luận: số hạng CSC cần tìm: số hạng CSN cần tìm: 3/24 Cho bốn số nguyên dương, ba số đầu lập thành CSC, ba số hạng sau thành lập CSN Biết tổng số hạng đầu số hạng cuối 37, tổng hai số hạng 36 Tìm bốn số LỜI GIẢI Gọi bốn số nguyên dương cần tìm là: a, b, c, d Theo đề có a, b, c ba số hạng liên tiếp CSC Ta có: Ba số hạng b, c, d ba số hạng liên tiếp CSN Ta có: Theo giả thuyết đề ta có hệ phương trình: Từ (4) có: được: thay vào (1) Thay b, d vào (2) được: Với Với , thay a vào (3) 4/25 Ba số khác có tổng 114 coi ba số hạng liên tiếp CSN, coi số hạng thứ nhất, thứ tư thứ hai mươi lăm CSC Tìm số LỜI GIẢI Gọi ba số hạng liên tiếp CSN, với công bội q Theo đề cộng với công sai d , với Ta có số hạng cấp số Lấy phương trình Vì khác nên chọn Theo đề có: được: Kết luận ba số cần tìm: 6/25 Ba số khác có tổng 217 coi số hạng liên tiếp CSN số hạng thứ thứ thứ 44 CSC Hỏi phải lấy số hạng CSC để tổng chúng 820? LỜI GIẢI Gọi ba số hạng liên tiếp CSN, với công bội q Theo đề cộng với công sai d , với Ta có Lấy phương trình Vì khác nên chọn Theo đề có: Suy số hạng cấp số Ta có Theo đề ta có Kết luận phải lấy 20 số hạng để tổng chúng 820 được: 7/25 Một CSN CSN có số hạng 5, số hạng thứ hai CSC lớn số hạng thứ hai CSN 10, số hạng thứ hai cấp số Tìm cấp số LỜI GIẢI Gọi ba số hạng liên tiếp CSC, với công sai d Gọi ba số hạng liên tiếp CSN, với công bội q Theo đề ta có: Thế (2) vào (3) được: Với Vậy Với Vậy 9/25 1) Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành CSN với cơng bội , đồng thời số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành CSC với cơng sai Hãy tìm q d LỜI GIẢI Ta có 3) Các số số theo thứ tự thành lập CSC Đồng thời theo thứ tự lập thành CSN Hãy tìm x y LỜI GIẢI Dựa vào tính chất CSC CSN ta có hệ phương trình: Thay (1) vào (2) được: 4) Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành CSN Ba số x, y – , z theo thứ tự lập thành CSN Đồng thời số x, y – , z – theo thứ tự lập thành CSC Tìm x, y, z? LỜI GIẢI Dựa vào tính chất CSC CSN ta có hệ phương trình: Từ (1) (2) ta có Thay y = vào (3) được: nghiệm phương trình Có suy giá trị x z Có (x,y,z) thỏa yêu cầu (1,2,4) (4,2,1) 3.24:Tìm a, b, c biết rằng: a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số cộng a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số nhân, đồng thời LỜI GIẢI Theo đề ta có: Thay(1) vào (3) thay vào (1) (2): Kết luận: 4) Ba số dương a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số nhân đồng thời LỜI GIẢI Theo đề: Lấy Với Với đươc: thay vào a q trái dấu được: Nếu (loại) Vì a, b, c phải số dương Nếu (loại) 5)a,b,c ba số hạng liên tiếp cấp số cộng a,b,c ba số hạng liên tiếp cấp số nhân, đồng thời LỜI GIẢI ba số hạng liên tiếp cấp số cộng, nên có: ba số hạng liên tiếp cấp số nhân, nên có: Ta có hệ phương trình: Thay (2) vào (3) được: Thay vào (1) (2): Vậy: 6) a,b,c ba số hạng liên tiếp cấp số nhân ba số hạng liên tiếp cấp số cộng, đồng thời ba số hạng liên tiếp cấp số nhân LỜI GIẢI Có ba số hạng liên tiếp cấp số nhân, nên: Có ba số hạng liên tiếp cấp số cộng, nên: Có ba số hạng liên tiếp cấp số nhân, nên: Ta có hệ phương trình: Thay (1) vào (3): Thay vào (2) được: Thay b c theo a vào (1) được: Với Với 7) a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số nhân ba số hạng liên tiếp cấp số cộng, đồng thời ba số hạng liên tiếp cấp số nhân LỜI GIẢI Vì ba số hạng liên tiếp cấp số nhân nên có: Vì ba số hạng liên tiếp cấp số cộng, có: Vì ba số hạng liên tiếp cấp số nhân,có: Ta có hệ phương trình: Thay (1) vào (3) được: thay vào (1) (2) được: Vậy a, c nghiệm phương trình: Tìm m để phương trình (i) có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng LỜI GIẢI ● Đặt t = x , ● Để (t ³ 0) (i) Û g(t) = - t + 2(m + 2) t - 2m - có bốn nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 (x1 < x2 < x3 < x4 ) Û (ii) (ii) có hai nghiệm dương phân biệt: ìï D ' = m2 + 2m + > ì ïï ïï m> ï ï Û í Û < t1 < t2 Û í S = 2m + > (*) ïï ïï m ¹ - 12 ïï P = 2m + > ïïỵ ỵ ìï t + t = 2m + (1) ï ● Theo Viét: í Khi bốn nghiệm (i) xếp theo ïï t1t2 = 2m + ( ) ỵ thứ tự tăng dần là: x1 = - t2 < x2 = - t1 < x3 = t1 < x4 = t2 ● Theo đề x1, x2, x3, x4 lập thành cấp số cộng Û x2 - x1 = x3 - x2 = x4 - x3 Û - t1 + t2 = t1 + t1 = t2 - t1 Û t2 = t1 Û t2 = 9t1 (3) ìï ïï t = m + ìï t + t = 2m + ïï ïï ïï Û ïí t2 = (m + 2) (1), (2), (3) Þ ïíï 9t1 - t2 = ïï ïï t t = 2m + ïï m + ïỵ ïï (m + 2) = 2m + ïïỵ 5 Û 9m2 - 14m - 39 = Û m = Ú m = Tìm m để phương trình 13 (thỏa (*) ) (i) có nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân ? LỜI GIẢI có ba nghiệm phân biệt Do nghiệm lập thành cấp số nhân ta xếp nghiệm theo thứ tự tăng dần dãy số sau: - 3; - 2; m lập thành cấp số nhân Û - 3.m = (- 2) Û m = - l ậ p thành c ấ p s ố nhân Û - 3.(- 2) = m Û m = ± - 3; m; - 2 m; - 3; - lập thành cấp số nhân m.(- 2) = (- 3) Û m = - ● So với (ii), giá trị m cần tìm là: m = Ú m=Ú m= ± Tìm tham số m để phương trình (i) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng LỜI GIẢI ● có ba nghiệm phân biệt ● Để nghiệm lập thành cấp số cộng nên ta xếp nghiệm theo thứ tự tăng dần dãy số sau: + 2m; 0; lập thành cấp số cộng Û 2m + = 2.0 Û m = - (thỏa (ii) ) + + 0; 2m; lập thành cấp số cộng Û + = 2.2m Û m = (thỏa (ii) ) 0; 1; 2m lập thành cấp số cộng Û + 2m = 2.1 Û m = (thỏa (ii) ) ● Vậy m = - 1 Ú m= Ú m = giá trị cần tìm Lưu ý Trong giải trên, ta tìm ba nghiệm phương trình nguyên tắc nhẩm nghiệm Cịn khơng tìm nghiệm không đủ ba nghiệm, làm ? Ta xét hai tập nhỏ sau: Bài tốn khơng tìm nghiệm phương trình: Tìm m để phương trình nghiệm thành lập cấp số cộng có ba nghiệm phân biệt Bài giải x3 - 3x2 - 9x + m = Gọi ba nghiệm phương trình Khi đó, ta phân tích được: x3 - 3x2 - 9x + m = (x - x1)(x - x2 )(x - x3 ) = x3 - (x1 + x2 + x3 ) x2 + (x1x2 + x2x3 + x3x1 ) x - x1x2x3 đồng hệ số (i) Do x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng (ii) Thế (ii) vào (i), ta được: x2 = x2, ta được: x1 + x2 + x3 = 3, theo thứ tự nên x1 + x3 = 2x2 Thế x2 = vào (*) m = 11 Do điều kiện cần, ta xét thêm điều kiện đủ, nghĩa m = 11 (*) Û x - 3x - 9x + 11 = ( ) Û (x - 1) x2 - 2x - 11 = Û x1 = 1- Ú x2 = Ú x3 = 1+ ln có x1 + x3 = 2x2 nên m = 11 giá trị cần tìm toán Cần nhớ: đa thức bậc ba f (x) = ax + bx + cx + d, (a ¹ 0) có nghiệm x1, x2, x3 f (x) = ta ln phân tích thành tích số dạng: ax3 + bx2 + cx + d = a (x - x1)(x - x2 )(x - x3 ) Chứng minh rằng, với m phương trình ln có nghiệm ba nghiệm lập thành cấp số nhân LỜI GIẢI Ta có (1) (2) Có phương trình (2) ln có nghiệm Ngồi có (đpcm)