®Ò thi häc sinh giái m«n to¸n 8 Phßng gd ®t thêng xu©n Tiªn häc lÔ Trêng THCS Yªn nh©n HËu häc v¨n §§§§§§ §Ò thi häc sinh giái líp 8 n¨m häc 2006 2007 M«n thi to¸n Thêi gian lµm bµi 120 phót Hä vµ tªn[.]
Tiên học lễ Hậu học văn Phòng gd-đt thờng xuân Trờng THCS Yên nhân ĐĐĐĐĐĐ Đề thi học sinh giỏi lớp năm học 2006-2007 Môn thi : toán Thời gian làm 120 phút Họ tên : -à -Đề Câu 1: m n a Tìm số m, n để: x( x 1) x SBD: ……… x b Rót gän biÓu thøc: M= 1 1 a 5a a 7a 12 a 9a 20 a 11a 30 Câu 2: a Tìm số nguyên dơng n để n5 +1 chia hết cho n3 +1 b Giải toán nến n số nguyên Câu 3: Cho tam giác ABC, đờng cao AK BD cắt G Vẽ đờng trung trực HE vµ HF cđa AC vµ BC Chøng minh r»ng BG = 2HE AG = 2HF Câu 4: Trong hai số sau số lớn hơn: a = 1969 1971 ; b = 1970 đáp án môn toán Câu 1: (3đ) a m =1 (0.75đ); n = -1 (0.75đ) b.(1.5đ) Viết phân thức thành hiệu hai phân thức (áp dụng câu a) a a2 a2 a2 1 5a a a 1 a 12 a a 1 9a 20 a a 1 11a 30 a a (0.25đ) (0.25đ) (0.25đ) (0.25đ) Đổi dấu tính đợc : 1 M= a a (0.5®) ( a 2).(a 6) Câu 2: (2.5đ) a (1.5đ) Biến đổi: n5 + n3 + n2(n3 + 1) – (n2 –1) n3 + (0.5®) (0.25®) (n + 1) (n – 1) (n + 1)(n - n + 1) (0.25®) n – n2 – n + (v× n + ) Nếu n = ta đợc chia hết cho (0.25đ) Nếu n > n < n(n – 1) + = n2 – n +1 Do xảy quan hệ n – chia hÕt cho n – n +1 tập hợp số nguyên dơng Vậy giá trị n tìm đợc (0.25đ) b n – n2 – n +1 n(n – 1) n2 – n + n2 – n n2 – n + ( n2 – n + 1) – n2 – n + (0.5®) n2 – n + Cã hai trêng hỵp: n2 – n + = n(n – 1) = n = hc n = Các giá trị thoả mÃn ®Ị bµi (0.25®) n2 – n + = - n2 – n + = v« nghiƯm VËy n = 0, n = lµ hai số phải tìm (0.25đ) Câu 3: (3đ) (Hình *) Lấy I đối xứng với C qua H, kẻ AI BI, ta có HE đờng trung bình ACI nên HE//AI HE = 1/2IA (1) (0.25đ) Tơng tự CBI : HF//IB HF = 1/2IB (2) (0.25đ) Từ BGAC HEAC BG//IA (3) (0.25đ) Tơng tự AKBC HFBC AG//IB (4) (0.25đ) Từ (3) (4) BIAG hình bình hành (0.25đ) Do BG = IA AG = IB (0.5đ) Kết hợp với kết (1) (2) BG = 2HE AG = 2HF (0.5đ) A D I E G B K Câu 4: Ta có: (1.5đ) 19702 < 19702 1969.1971 < 19702 F C H×nh * 1969.1971 2.1970 (*) Céng 2.1970 vµo hai vÕ cđa (*) ta cã: (0.25®) 2.1970 1969.1971 4.1970 (0.25®) (0.25®) (0.25®) H ( 1969 1971) ( 1970 ) 1969 1971 1970 VËy: 1969 1971 1970 (0.25®)