tr­êng thcs ®þnh liªn tr­êng thcs §þnh liªn ®ò thi häc sinh giái to¸n 7 thêi gian 120 phót c©u 1 3 ®ióm 1 3 ®­êng cao cña tam gi¸c abc cã ®é dµi lµ 412 a biõt r»ng a lµ mét sè tù nhiªn t×m a 2

BiÕt r»ng a lµ mét sè tù nhiªn.[r]

Trờng THCS Định liên

thi Học sinh giỏi toán 7 thời gian : 120 phút.

Câu 1 : ( điểm)

1) đờng cao tam giác ABC có độ dài 4,12 ,a Biết a số tự nhiên Tìm a ?

2) Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc

d c b a

 ( a,b,c ,d 0, ab, cd) ta suy đợc

tØ lÖ thøc: a)

d c

c b a

a

 



b)

d d c b

b

a 

 

C©u 2: ( điểm) Tìm số nguyên x cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < 0.

Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ cña:

A =  x-a +  x-b + x-c +  x-d víi a<b<c<d

C©u 4: ( điểm) Chohình vẽ

a) Biết Ax // Cy so s¸nh gãc ABC víi gãc A+ gãc C b) gãc ABC = gãc A + gãc C Chøng minh Ax // Cy

x A B

y C

Câu 5: (2 điểm) Từ điểm O tùy ý tam giác ABC, kẻ OM, ON , OP lần lợt vuông góc với cạnh BC, CA, Ab Chøng minh r»ng:

đáP áN Đề THI HọC SINH GIỏI TOáN 7

Câu 1: Gọi x, y, z độ dài cạnh tơng ứng với đờng cao 4, 12, a Ta có: 4x = 12y = az = 2S

 x= S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (0,5 điẻm) Do x-y < z< x+y nªn

3 2 6 2

2     a S

S a

S S S

(0,5 ®iĨm)

 3, a , Do a N nên a=4 a= (0,5 ®iĨm) a Tõ

d c b a

 

d c

c b a

a d c

b a c a d c

b a d b c a

    

   

 

 (0,75 ®iĨm)

b

d c b a

 

d d c b

b a d c

b a d b d c

b a d b c

a 

   

   

 

 (0,75 điểm)

Câu 2: Vì tích số : x2 – ; x2 – 4; x2 – 7; x2 10 số âm nên phải có số âm số âm

Ta có : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – XÐt trêng hỵp: + Cã sè ©m: x2 – 10 < x2 –  x2 – 10 < < x2 –

 7< x2 < 10  x2 =9 ( x  Z )  x =  ( 0,5 điểm) + có số âm; số d¬ng

x2 – 4< 0< x2 –  < x2 < 4 x Z nên không tån t¹i x

VËy x =  (0,5 điểm)

Câu 3: Trớc tiên tìm GTNN B = x-a +  x-b víi a<b Ta cã Min B = b – a ( 0,5 ®iĨm)

Víi A =  x-a +  x-b + x-c +  x-d

= [ x-a +  x-d] + [x-c +  x-b] Ta cã : Min [ x-a +  x-d] =d-a axd

Min [x-c +  x-b] = c – b b x  c ( 0,5 ®iĨm) VËy A = d-a + c – b b x  c ( 0, điểm)

Câu 4: ( điểm)

A, Vẽ Bm // Ax cho Bm nằm góc ABC  Bm // Cy (0, điểm) Do góc ABm = góc A; Góc CBm = gócC

 ABm + CBm = A + C tøc ABC = A + C ( 0, điểm)

b VÏ tia Bm cho ABm vµ A lµ gãc so le vµ ABM = A  Ax// Bm (1) CBm = C  Cy // Bm(2)

Tõ (1) vµ (2)  Ax // By

Câu 5: áp dụng định lí Pi ta go vào tam giác vng NOA NOC ta có:

AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2  CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, 5 điểm)

Tơng tự ta có: AP2 - BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0, ®iĨm)