Phần 2 của giáo trình Điều khiển hệ đa tác tử tiếp tục trình bày những nội dung về: một số ứng dụng của hệ đa tác tử; điều khiển đội hình; giữ liên kết và tránh va chạm; định vị mạng cảm biến; mô hình động học ý kiến; hệ đồng thuận trọng số ma trận;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Phần III Một số ứng dụng hệ đa tác tử 5.1 Giới thiệu 72 5.2 Điều khiển đội hình dựa vị trí tuyệt đối 76 Điều khiển đội hình dựa vị trí tương đối 77 5.3.1 Trường hợp tác tử khâu tích phân bậc 77 5.3.2 Trường hợp tác tử khâu tích phân bậc hai 79 5.3 5.4 Điều khiển đội hình dựa khoảng cách 79 5.4.1 Lý thuyết cứng khoảng cách 80 5.4.2 Luật điều khiển đội hình 82 5.5 Điều khiển đội hình dựa vector hướng 88 5.5.1 Lý thuyết cứng hướng ℝ 𝑑 88 5.5.2 Điều khiển đội hình cứng hướng vi phân 90 5.6 Ghi tài liệu tham khảo 97 5.7 Bài tập 98 1: formation control [44]: Fax andothers (2004), “Information flow and cooperative control of vehicle formations” [7]: Anderson andothers (2008), “Rigid graph control architectures for autonomous formations” [26]: Bullo (2019), Lectures on network systems [88]: Oh andothers (2015), “A survey of multi-agent formation control” [2]: Ahn (2019), Formation Control: Approaches for Distributed Agents Điều khiển đội hình 5.1 Giới thiệu Điều khiển đội hình1 toán quan trọng điều khiển hệ đa tác tử Giả sử ta có hệ gồm 𝑛 tác tử (có thể UAV, UUV, xe tự lái) ta mong muốn phương tiện di chuyển đội hình mong muốn Đội hình mong muốn, hay cịn gọi đội hình mục tiêu, cho tập biến khoảng cách, vector hướng, hay góc lệch vị trí tác tử hệ Về ứng dụng, toán điều khiển đội hình xuất phát từ ứng dụng giao thông đường cao tốc thông minh, nơi phương tiện tự thiết lập đội xe cho khoảng cách xe không đổi vận tốc xe [44] Khi đội hình thiết lập, việc di chuyển đội xe với tốc độ cao đảm bảo an toàn (các xe không bị va chạm với nhau) việc không cần thay đổi vận tốc nhiều giúp tiết kiệm nhiên liệu Sự phát triển gần công nghệ UAV nảy sinh ứng dụng thăm dị địa chất, tìm kiếm cứu nạn, giám sát khu vực, Những ứng dụng thực hiệu dễ dàng UAV bay theo đội hình định trước [7] Cuối cùng, số biến thể toán điều khiển đội hình dùng để mơ phỏng, phân tích giải thích tượng tụ bầy động vật tự nhiên [26] Để giải tốn điều khiển đội hình, nhiều phương pháp đưa Nhìn chung, tất phương pháp điều khiển đội hình địi hỏi tác tử đo số biến hình học đội hình, hay trao đổi thơng tin với tác tử khác đội hình, từ di chuyển cho biến đạt tới giá trị mong muốn Trong q trình thiết lập đội hình, đơi có số tác tử đặc biệt chọn làm tham chiếu (tác tử dẫn đàn) cho tác tử khác thực việc điều khiển hình dạng tồn hệ Hiện nay, tốn điều khiển đội hình thường phân loại dựa sở biến đo, biến điều khiển, điều kiện đồ thị mô tả luồng thông tin tác tử Bảng phân loại tốn điều khiển đội hình theo cách phân loại [88, 2] Phương pháp Biến đo Điều kiện đồ thị Vị trí Biến điều khiển Vị trí Dựa vị trí Dựa sai lệch Sai lệch Sai lệch Liên thông Tài liệu tham khảo [69, 156] [44, 65, 72] 5.1 Giới thiệu Dựa khoảng cách Sai lệch cục bộ, góc định hướng Dựa tọa độ tương đối địa phương Tọa độ tương đối địa phương Dựa vector hướng Sai lệch cục góc định hướng Tọa độ tương đối địa phương Liên thông [86, 77, 67, 68] Đồ thị cứng khoảng cách [42, 63, 127, 85, 78, 123] Tọa độ tương đối địa phương Đồ thị không cứng khoảng cách Đồ thị cứng khoảng cách Đồ thị đơn giản 𝐶3 , 𝐶4 𝐶𝑛 Đồ thị cứng yếu [36, 93, 101] Đồ thị cứng hướng ℝ 𝑑 Đồ thị cứng hướng 𝑆𝐸(𝑑) [22, 40, 115, 132, 165, 144, 139] Đồ thị cứng hướng ℝ 𝑑 [165, 135, 136] Khoảng cách Khoảng cách Vector hướng địa phương Vector hướng địa phương Vector hướng Góc Vector hướng địa phương Góc định hướng tương đối Vector hướng địa phương góc định hướng tương đối Vector hướng địa phương góc định hướng tương đối Vector hướng địa phương góc định hướng tương đối Góc Vector hướng [6, 28, 124] [16, 21, 20, 170, 171] [25, 64, 59] [46, 160, 114, 76] 73 74 Điều khiển đội hình Kết hợp vector hướng, góc lệch khoảng cách Vị trí tương đối Vị trí tương đối Vector hướng, góc lệch khoảng cách Vector hướng, góc lệch khoảng cách Đồ thị cứng hướng ℝ 𝑑 Đồ thị cứng yếu [168, 166] [23, 43, 122, 100, 94, 64] Các biến trạng thái tác tử phân tán bao gồm số đại lượng viết hệ qui chiếu gắn với tác tử Thơng thường, biến trạng thái chọn gồm vị trí vận tốc tác tử với hướng hệ tọa độ tham chiếu (gọi chung định hướng tác tử không gian) Để so sánh giá trị tác tử, vị trí định hướng tác tử cần phải cho hệ tọa độ tham chiếu Trong không gian ℝ 𝑑 , định hướng tác tử 𝑖 cho ma trận R𝑖 ∈ 𝑆𝑂(𝑑), định hướng vị trí thể phần tử 𝑆𝐸(𝑑) Do tác tử có hệ tọa độ tham chiếu riêng, định hướng tác tử thường có sai lệch so với so với hệ tham chiếu tồn cục Hình 5.1: Hệ qui chiếu toàn cục ( 𝑔 Σ), hệ qui chiếu chung (𝑐 Σ), hệ qui chiếu cục (𝑖 Σ 𝑗 Σ) Trên hình 5.1, hệ qui chiếu tồn cục kí hiệu 𝑔 Σ, cịn hệ qui chiếu cục bộ/địa phương kí hiệu 𝑖 Σ 𝑗 Σ Các trục tọa độ tác tử 𝑖 𝑗 không trùng khơng trùng với hệ tọa độ tồn cục Ma trận R𝑖 ∈ 𝑆𝑂(𝑑) mô tả phép chuyển tọa độ từ hệ tọa độ 𝑔 Σ tới 𝑖 Σ Ma trận để chuyển từ 𝑗 Σ tới 𝑖 Σ cho R𝑖𝑗 = R𝑖 R−𝑗 Như vậy, ma trận R−𝑖 mô tả phép chuyển từ hệ tọa độ địa phương 𝑖 Σ tới hệ tọa độ tồn cục 𝑔 Σ Kí hiệu Σ∗ hệ qui chiếu chung, không thiết phải trùng với 𝑔 Σ Một hệ tọa độ với trục trùng với Σ∗ gọi hệ qui chiếu chung 𝑐 Σ Chú ý hệ qui chiếu Σ∗ ≠ 𝑐 Σ gốc tọa độ Σ∗ 𝑐 Σ khác Trong nhiều tốn điều khiển đội hình, ta thường mong muốn tác tử xác định vị trí hướng dựa hệ qui chiếu chung 𝑐 Σ Ma trận R ∈ 𝑆𝑂(3) mô tả phép chuyển tọa độ từ 𝑔 Σ sang 𝑐 Σ Nếu 𝑐 hướng tác tử điều chỉnh cho 𝑖 Σ = 𝑗 Σ = 𝑐 Σ ta nói tác tử đồng thuận hướng Với tác tử 𝑖, ta kí hiệu vị trí tác tử hệ tham chiếu toàn cục p𝑖 ∈ ℝ 𝑑 Với hai tác tử 𝑖 𝑗, vector sai lệch z𝑖𝑗 = p𝑖 − p 𝑗 vector viết hệ tham chiếu toàn cục 𝑔 Σ Vector 𝑗 𝑗 𝑗 𝑗 biểu diễn z𝑖𝑖𝑗 = p𝑖𝑖 − p𝑖𝑗 = −p𝑖𝑗 𝑖 Σ z𝑖𝑗 = p 𝑗 − p𝑖 = −p𝑖 𝑗 𝑖 Σ p𝑖𝑖 = p 𝑗 = Chú ý vector z𝑖𝑗 có hướng từ 𝑗 tới 𝑖, 𝑗 𝑗 z 𝑗𝑖 có hướng từ 𝑖 tới 𝑗 Chú ý z 𝑗𝑖 = p𝑖 (vị trí 𝑖 đo 𝑗 hệ qui chiếu 𝑗 Σ) hay z𝑖𝑗𝑖 = −p𝑖𝑗 (vị trí 𝑗 đo 𝑖 hệ qui chiếu 𝑖 Σ) Mặc dù p 𝑗 − p𝑖 = z 𝑗𝑖 = −z𝑖𝑗 = −(p𝑖 − p 𝑗 ), hệ qui 5.1 Giới thiệu 𝑗 chiếu tác tử khác nhau, ta có p𝑖 ≠ −p𝑖𝑗 𝑗 𝑗 z 𝑗𝑖 = p𝑖 = R 𝑗 R−𝑖 z𝑖𝑗𝑖 = R 𝑗𝑖 (−p𝑖𝑗 ) Nhận xét có hướng hệ qui chiếu khác nhau, vector 𝑗 𝑗 z𝑖𝑖𝑗 , z𝑖𝑗𝑖 , z𝑖𝑗 , z 𝑗𝑖 có độ dài khoảng cách hai tác tử 𝑖 𝑗 Ta kí hiệu khoảng cách từ tác tử 𝑖 tới tác tử 𝑗 𝑗 𝑑 𝑖𝑗 = p𝑖 − p 𝑗 = z𝑖𝑖𝑗 = z𝑖𝑗 = z𝑖𝑗 = 𝑑 𝑗𝑖 Một đại lượng (tương đối) khác đo đạc hai tác tử 𝑖 p −p 𝑗 vector (đơn vị) hướng g𝑖𝑗 = p 𝑗 −p𝑖 với giả thuyết p𝑖 ≠ p 𝑗 Dễ 𝑗 thấy g𝑖𝑖𝑗 𝑖 𝑗 = g𝑖𝑗 = Chú ý g𝑖𝑗 = −g 𝑗𝑖 , nhiên g𝑖𝑖𝑗 ≠ −g 𝑗𝑖 với lý với vector vị trí tương đối Với tác tử 𝑖, ta giả thuyết tác tử 𝑖 có mơ hình tích phân bậc p𝑖 = u𝑖 , 𝑖 = , , 𝑛, (5.1) với u𝑖 tín hiệu điều khiển Phương trình (5.1) viết hệ qui chiếu 𝑔 Σ Ta biến đổi (5.1) sau R𝑖 p𝑖 = R𝑖 u𝑖 hay, p𝑖𝑖 = u𝑖𝑖 , (5.2) với u𝑖𝑖 tín hiệu điều khiển biểu diễn hệ qui chiếu địa phương 𝑖 Σ gắn với tác tử 𝑖 Tiếp theo, ta định nghĩa khái niệm cấu trúc (tập cạnh) mô tả tương tác tác tử hệ, bao gồm: đo đạc, điều khiển, truyền tin Định nghĩa 5.1.1 (Cấu trúc đo đạc, điều khiển, truyền tin) Nếu tác tử 𝑖 đo biến tương đối với tác tử 𝑗 tác tử 𝑗 láng giềng-ra 𝑖 đồ thị đo đạc 𝐺 𝑠 , kí hiệu 𝑗 ∈ 𝑁𝑖𝑜 , (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸 𝑠 Nếu tín hiệu điều khiển tác tử 𝑖 dựa chuyển động tác tử 𝑗 𝑗 láng giềng 𝑖 đồ thị điều khiển 𝐺 𝑎 , kí hiệu (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸 𝑎 Nếu tác tử 𝑗 gửi biến thông tin tới tác tử 𝑖 𝑗 láng giềng-ra tác tử 𝑖 đồ thị thông tin 𝐺 𝑐 , kí hiệu (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸 𝑐 Như vậy, toán điều khiển đội hình tổng quát, cấu trúc đo đạc, điều khiển, truyền tin khác nhau: 𝐸 𝑠 ≠ 𝐸 𝑎 ≠ 𝐸 𝑐 Khi nói đến cấu trúc đội hình mà khơng nói thêm, ta ngầm nói đến ba cấu trúc Khi tác tử 𝑖 đo vị trí tương tác tử 𝑗, 𝑖 khơng cập nhật vị trí dựa vị trí tương đối mà dựa khoảng cách hai tác tử, hay dựa vector hướng từ 𝑖 tới 𝑗 Trong tài liệu này, ta sử dụng thuật ngữ điều khiển đội hình dựa “X” tác tử hệ điều khiển vị trí dựa biến “X” khơng tính tới việc tác tử đo đạc hay truyền tin biến khác Với qui ước này, ta xét phương pháp điều khiển đội hình dựa vị trí tuyệt đối, vị trí tương đối, khoảng cách vector 75 76 Điều khiển đội hình hướng Đây phương pháp điều khiển đội hình quan tâm nghiên cứu gần 5.2 Điều khiển đội hình dựa vị trí tuyệt đối Khi tất tác tử nhận thơng tin vị trí từ hệ tham chiếu tồn cục 𝑔 Σ, tốn điều khiển đội hình trở nên đơn giản Cụ thể, tác tử 𝑖 biết p𝑖 mong muốn đạt tới vị trí đặt p∗𝑖 luật điều khiển đội hình (5.1) viết cho tác tử thiết kế đơn giản dạng p𝑖 = u𝑖 = −𝑘 𝑝 (p𝑖 − p∗𝑖 ), 𝑖 = , , 𝑛, (5.3) với 𝑘 𝑝 > số dương Kí hiệu p = vec(p1 , , p𝑛 ), p∗ = vec(p∗1 , , p∗𝑛 ), đặt e𝑝 ta viết chung (5.3) dạng e𝑝 = −𝑘 𝑝 e𝑝 p − p∗ (5.4) Rõ ràng, từ phương trình (5.4), ta có e𝑝 (𝑡) → , 𝑡 → +∞ theo hàm mũ Điều tương đương với việc, p(𝑡) → p∗ , 𝑡 → +∞ theo hàm mũ Để cải thiện chất lượng điều khiển, ta giả thiết tác tử trao đổi thơng tin vị trí với qua đồ thị 𝐺 thêm vào luật điều khiển đội hình (5.3) thành phần 𝑗∈𝑁𝑖 𝑎 𝑖𝑗 (p 𝑗 − p∗𝑗 ) − (p𝑖 − p∗𝑖 ) để luật điều khiển cho bởi: u𝑖 = −𝑘 𝑝 (p𝑖 − p∗𝑖 ) + 𝑎 𝑖𝑗 (p 𝑗 − p∗𝑗 ) − (p𝑖 − p∗𝑖 ) , 𝑖 = , , 𝑛, (5.5) 𝑗∈𝑁𝑖 𝑎 𝑖𝑗 > trọng số ứng với (𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑖 ) ∈ 𝐸(𝐺) Ta viết lại phương trình (5.5) dạng p = −𝑘 𝑝 (p − p∗ ) − (L ⊗ I𝑑 )(p − p∗ ), (5.6) L ma trận Laplace 𝐺 Lại đặt 𝜹 p − p∗ , phương trình vi phân sai lêch 𝜹 cho dạng: 𝜹 = −𝑘 𝑝 𝜹 − (L ⊗ I𝑑 )𝜹 = − (𝑘 𝑝 I𝑛 + L) ⊗ I𝑑 𝜹 (5.7) Giả sử 𝐺 đồ thị có gốc-ra theo Định lý 2.2.4, trị riêng ma trận 𝑘 𝑝 I𝑛 + L lớn 𝑘 𝑝 , điều chứng tỏ thành phần điều khiển từ trao đổi thông tin làm tăng tốc độ đạt đội hình Ví dụ 5.2.1 Mơ điều khiển đội hình gồm 20 tác tử dựa vị trí tuyệt đối 2D 3D cho Hình 5.2 Với luật điều khiển cho, tác tử di chuyển trực tiếp tới vị trí đặt khơng gian (các đỉnh đa giác gồm 20 đỉnh) 5.3 Điều khiển đội hình dựa vị trí tương đối 77 Code MATLAB ví dụ 5.2.1 (mơ đội hình 2D) cho đây, hàm PlotFormation dùng để biểu diễn đội hình dùng chung ví dụ mục cho Phụ lục C.1 10 11 12 13 14 15 % Tham s o mo phong n = 20; d = 2; o = 1; global P k P = z e r o s ( , n ) ; % Vi t r i dat f o r i =0:1:n -1 P ( : , i +1) = * [ c o s ( i * p i / ) ; s i n ( i * p i / ) ] ; % Doi hinh dat ( duong t r o n ) end P = P(:) ; k = 1; % control gain p0 = * ( rand ( , ) - ) ; % Dieu k i e n dau [ t , p ] = ode45 ( @control_lawC , [ : 0 : ] , p0 ) ; Pl otF orm ation ( n , d , t , p ’ , H, o ) (a) Đội hình khơng gian chiều 16 17 18 19 20 21 % Ham t i n h l u a t d i e u k h i e n d o i hinh f u n c t i o n dpdt = control_lawC ( t , x i ) global P k dpdt = - k * ( x i -P) ; end (b) Đội hình khơng gian chiều 5.3 Điều khiển đội hình dựa vị trí tương đối Trong phương án điều khiển dựa vị trí tương đối, hệ tác tử cần thỏa mãn giả thuyết sau: Biến đo Các tác tử có hệ qui chiếu cục định hướng giống hệ qui chiếu tồn cục Tuy nhiên, tác tử khơng cần biết gốc tọa độ hệ qui chiếu toàn cục Trong hệ tham chiếu địa phương, tác tử đo vị trí tương đối (vector sai lệch vị trí) vận tốc tương đối (đối với tác tử bậc hai) số tác tử láng giềng Chú ý hệ qui chiếu địa phương hướng với hệ qui chiếu toàn cục, vector vị trí tương đối đo hệ qui chiếu Đồ thị tương tác Tương tác đo đạc tác tử cho đồ thị vô hướng 𝐺, với giả thuyết 𝐺 = (𝑉 , 𝐸) đồ thị liên thơng Đội hình đặt cho tập vector sai lệch vị trí mong muốn tác tử tương ứng với 𝐺 5.3.1 Trường hợp tác tử khâu tích phân bậc Xét hệ gồm 𝑛 tác tử tác tử đội hình có mơ hình khâu tích phân bậc nhất: p𝑖 = u𝑖 , 𝑖 = , , 𝑛 (5.8) Ở đây, p𝑖 ∈ ℝ 𝑑 u𝑖 ∈ ℝ 𝑑 vị trí tín hiệu điều khiển tác tử 𝑖 viết hệ qui chiếu toàn cục 𝑔 Σ Hình 5.2: Mơ thuật tốn điều khiển đội hình dựa vị trí tuyệt đối 78 Điều khiển đội hình Từ giả thuyết đo đạc trên, tác tử 𝑖 đo z𝑖𝑗 = p 𝑗 − p𝑖 , ∀𝑗 ∈ 𝑁𝑖 Đội hình đặt cho tập Γ = {z∗𝑖𝑗 }(𝑖,𝑗)∈𝐸 , mục tiêu tác tử đạt đội hình thỏa mãn tất vector sai lêch vị trí mong muốn thỏa mãn z𝑖𝑗 = p 𝑗 − p𝑖 = z∗𝑖𝑗 , (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸 Tập Γ = {z∗𝑖𝑗 }(𝑖,𝑗)∈𝐸 gọi khả thi tập Ep∗ {p ∈ ℝ 𝑑𝑛 | p 𝑗 − p𝑖 = z∗𝑖𝑗 , ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸}, (5.9) khác tập rỗng Ngược lại, Ep∗ = ∅, ta gọi Γ không khả thi Trong mục này, ta giả sử Γ khả thi xét p∗ = vec(p∗1 , , p∗𝑛 ), phần tử Ep∗ Hơn nữa, ta giả sử tác tử biết số vector sai lêch đặt z∗𝑖𝑗 = p∗𝑗 − p∗𝑖 , ∀𝑗 ∈ 𝑁𝑖 khơng biết p∗𝑖 p∗𝑗 Bài tốn đặt đưa p tới đội hình sai khác với p∗ phép tịnh tiến, đưa p(𝑡) hội tụ tới tập Ep∗ 𝑡 → +∞ Với tốn này, luật điều khiển đội hình thiết kế sau: u𝑖 = 𝑘 𝑝 𝑎 𝑖𝑗 (z𝑖𝑗 − z∗𝑖𝑗 ) (5.10) 𝑎 𝑖𝑗 (p 𝑗 − p𝑖 − (p∗𝑗 − p∗𝑖 )), (5.11) 𝑗∈𝑁𝑖 = 𝑘𝑝 𝑗∈𝑁𝑖 𝑘 𝑝 > Với 𝜹 = p∗ − p, ta có phương trình 𝜹 = −𝑘 𝑝 (L ⊗ I𝑑 )𝜹 (5.12) Theo lý thuyết hệ đồng thuận, với 𝐺 đồ thị liên thơng ¯ 𝜹¯ = 𝑛 (p∗ (0) − p𝑖 (0)) vector 𝜹(𝑡) → 𝜹∗ = 1𝑛 ⊗ 𝜹, 𝑛 𝑖=1 𝑖 Do đó, p∗ − p(𝑡) → 𝜹 ∗ , 𝑡 → +∞, hay p(𝑡) → p∗ − 𝜹 ∗ , 𝑡 → +∞, (5.13) (a) tức p(𝑡) hội tụ tới tập Ep∗ Phân tích hệ trường hợp tập Γ không khả thi xét tập 5.7.1 Ví dụ 5.3.1 Ta mơ điều khiển đội hình dựa vị trí tương đối cho hệ gồm 20 tác tử với đồ thị tương tác chu trình 𝐶20 đội hình đặt đỉnh đa giác 20 cạnh Kết mô cho Hình 5.2 Các tác tử dần tạo thành đội hình đặt 𝑡 → +∞ (b) Hình 5.3: Mơ thuật tốn điều khiển đội hình dựa vị trí tương đối 2D 3D % Tham s o mo phong global P k L d n = 20; d = 3; o = 1; H = - eye ( n ) ; % Ma t r a n l i e n thuoc for i = : : n-1 H( i , i +1) = ; end H( n , ) = ; 5.4 Điều khiển đội hình dựa khoảng cách 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 L = H’ *H; % Ma t r a n L a p l a c e P = zeros (d , n) ; f o r i =0:1:n -1 P ( : , i +1) = * [ c o s ( i * p i / ) ; s i n ( i * p i / ) ; ] ; % Doi hinh dat ( Duong t r o n ) end P = P(:) ; k = 1; % He s o d i e u k h i e n p0 = * ( rand ( d*n , ) - ) ; % Dieu k i e n dau [ t , p ] = ode45 ( @control_lawC , [ : 0 : ] , p0 ) ; Pl otF orm ation ( n , d , t , p ’ , H, o ) 20 21 22 23 24 25 % Tinh l u a t d i e u k h i e n f u n c t i o n dpdt = control_lawC ( t , x i ) global L P d dpdt = - kron (L , eye ( d ) ) * ( x i -P) ; end 5.3.2 Trường hợp tác tử khâu tích phân bậc hai Xét hệ gồm 𝑛 tác tử mơ hình khâu tích phân bậc hai: p𝑖 = v𝑖 , v𝑖 = u𝑖 , 𝑖 = , , 𝑛 (5.14) Ở đây, p𝑖 , v𝑖 , u𝑖 ∈ ℝ 𝑑 vị trí, vận tốc, tín hiệu điều khiển tác tử 𝑖 viết 𝑔 Σ Luật điều khiển viết cho tác tử: (p𝑖 − p 𝑗 − (p∗𝑖 − p∗𝑗 )) − 𝑘 v𝑖 , 𝑖 = , , 𝑛, u𝑖 = −𝑘 (5.15) 𝑗∈𝑁𝑖 𝑘1 𝑘 hệ số thực dương Thực phép đổi biến 𝜹 = p𝑖 − p∗𝑖 , ta thu phương trình 𝜹 𝑖 = v𝑖 , (𝜹 𝑖 − 𝜹 𝑗 ) − 𝑘 v𝑖 , 𝑖 = , , 𝑛 v𝑖 = −𝑘 (5.16) 𝑗∈𝑁𝑖 Đối chiếu lại với phần thiết kế hệ đồng thuận với tác tử tích phân bậc hai mục trước, hệ (5.16) tiến tới đồng thuận 𝜹 𝑖 → 𝛿∗ , v𝑖 → 0𝑑 Điều tương đương với việc p𝑖 (𝑡) → p∗𝑖 + 𝜹∗ , 𝑡 → +∞ 5.4 Điều khiển đội hình dựa khoảng cách Phương án điều khiển dựa khoảng cách (hay điều khiển đội hình dựa vị trí tương đối hệ tọa độ riêng), hệ tác tử cần thỏa mãn giả thuyết sau: 79 80 Điều khiển đội hình Mơ hình tác tử: Các tác tử mơ hình hóa khâu tích phân bậc nhất: p𝑖𝑖 = u𝑖𝑖 , 𝑖 = , , 𝑛, (5.17) p𝑖𝑖 ∈ ℝ 𝑑 u𝑖𝑖 ∈ ℝ 𝑑 vị trí tín hiệu điều khiển tác tử 𝑖 viết viết hệ qui chiếu địa phương 𝑖 Σ Biến đo: Các tác tử có hệ tham chiếu riêng định hướng khác khơng có thơng tin hệ tham chiếu toàn cục Trong hệ tham chiếu riêng, tác tử đo vị trí tương đối (vector sai lệch vị trí) p𝑖𝑖𝑗 = p𝑖𝑗 − p𝑖𝑖 tác tử láng giềng 𝑗 ∈ 𝑁𝑖 Đồ thị tương tác: Tương tác đo đạc tác tử cho đồ thị vô hướng 𝐺, với giả thuyết 𝐺 đồ thị cứng (rigid) Đội hình đặt cho tập khoảng cách mong muốn Γ = {𝑑 ∗𝑖𝑗 = p∗𝑗 − p∗𝑖 }(𝑖,𝑗)∈𝐸 Mặc dù tác tử hệ đo vị trí tương đối tác tử khác ℝ 𝑑 , vector vị trí tương đối khơng biểu diễn hệ tọa độ chung, việc điều khiển đội hình dựa sai lệch vị trí khơng khả thi Thay vào đó, biến điều khiển lúc chọn khoảng cách tác tử Dễ thấy, khoảng cách tác tử đo dễ dàng từ vector sai lệch cục hồn tồn khơng phụ thuộc vào hệ qui chiếu Do ta điều khiển tập khoảng cách tương đối, câu hỏi đặt cần chọn biến khoảng cách cần chọn biến để biến thỏa mãn đội hình thu sai khác đội hình đặt phép tịnh tiến phép quay Lời giải cho câu hỏi có lý thuyết cứng, nhánh nghiên cứu toán học thường ứng dụng nghiên cứu học hay cấu trúc phân tử hóa học [153, 10, 53, 32] 5.4.1 Lý thuyết cứng khoảng cách 2: formation network 3: configuration, realization, embedding Xét đồ thị vô hướng 𝐺 = (𝑉 , 𝐸), 𝑉 = {1 , , 𝑛} gồm 𝑛 đỉnh 𝐸 ⊂ 𝑉 × 𝑉 gồm 𝑚 cạnh Ứng với đỉnh 𝑖 ∈ 𝑉 ta có tương ứng điểm p𝑖 ∈ ℝ 𝑑 (𝑑 ≥ 2) Một đội hình (hay mạng)2 định nghĩa (𝐺, p), vector p = vec(p1 , , p𝑛 ) ∈ ℝ 𝑑𝑛 gọi cấu hình3 𝐺 ℝ 𝑑 Lưu ý điểm p𝑖 cho hệ qui chiếu toàn cục Xét tập khoảng cách Γ = {𝑑 𝑖𝑗 > | (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸} Tập Γ gọi khả thi tồn cấu hình p cho p 𝑗 − p𝑖 = 𝑑 𝑖𝑗 , ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸 Nếu không tồn cấu hình thỏa mãn tất khoảng cách Γ ta nói Γ khơng khả thi Cấu hình p thỏa mãn ràng buộc khoảng cách Γ gọi thực hóa Γ ℝ 𝑑 Ngược lại, cấu hình p∗ cho ta tập khoảng cách dẫn xuất Γ = {𝑑∗𝑖𝑗 = p∗𝑗 − p∗𝑖 }(𝑖,𝑗)∈𝐸 4: distance equivalency 5: distance congruency Xét hai cấu hình p q đồ thị 𝐺 ℝ 𝑑 Hai cấu hình p q tương đương khoảng cách4 p𝑖 − p 𝑗 = q𝑖 − q 𝑗 , ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸, tương đồng khoảng cách5 p𝑖 − p 𝑗 = q𝑖 − q 𝑗 , ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑉 , 𝑖 ≠ 𝑗 160 B Lý thuyết điều khiển tuyến tính Để chứng minh điểm cân x = 0𝑑 hệ không ổn định, ta sử dụng định lý Chetaev, phát biểu sau: Định lý B.2.2 (Định lý Chetaev) Giả sử tồn phiếm hàm 𝑉 : 𝐷 → ℝ khả vi liên tục thỏa mãn: 𝑉(0𝑑 ) = 𝑉(x) > với x thuộc lân cận nhỏ gốc tọa độ, Trong tập 𝐵𝑟 = {x ∈ ℝ 𝑑 | x ≤ 𝑟} với 𝑟 > đủ nhỏ cho 𝐵𝑟 ⊂ 𝐷, tồn tập 𝑈 = {x ∈ 𝐵𝑟 |𝑉(x) > 0} cho 𝑉(x) > , ∀x ∈ 𝑈 Khi đó, x = 0𝑑 khơng ổn định Trong định lý Lyapunov, việc tìm hàm 𝑉 thỏa mãn 𝑉 xác định âm thường gặp nhiều khó khăn Định lý bất biến LaSalle cung cấp công cụ để chứng minh tính ổn định tiệm cận 𝑉 bán xác định âm Một tập bất biến (B.5) x(0) ∈ 𝑀 ⇒ x(𝑡) ∈ 𝑀, ∀𝑡 ≥ Định nghĩa khoảng cách từ x(𝑡) tới tập bất biến 𝑀 khoảng cách nhỏ từ x(𝑡) tới điểm 𝑀: dist(x(𝑡), 𝑀) = inf y − x(𝑡) y∈𝑀 Khi đó, x(𝑡) tiến tới tập 𝑀 𝑡 tiến tới vô với 𝜖 > cho trước, tồn 𝑇 > cho dist(x(𝑡), 𝑀) < 𝜖, ∀𝑡 > 𝑇 Định lý B.2.3 (Định lý bất biến LaSalle) Gọi Ω ⊂ 𝐷 tập compact bất biến (B.5) Giả sử tồn hàm 𝑉 : 𝐷 → ℝ khả vi liên tục thỏa mãn 𝑉(x) bán xác định âm x ∈ Ω Định nghĩa 𝐸 = {x ∈ 𝐷| 𝑉 = 0} 𝑀 tập bất biến lớn 𝐸 Khi nghiệm (B.5) xuất phát Ω tiến tới 𝑀 𝑡 → ∞ Giả sử khơng có nghiệm dừng 𝐸, ngoại trừ nghiệm tầm thường x(𝑡) ≡ 0𝑑 , gốc tọa độ ổn định tiệm cận Trong định lý B.2.3, 𝐷 = ℝ 𝑑 hàm 𝑉 thỏa mãn thêm điều kiện x → ∞ ⇒ 𝑉(x) → ∞, đồng thời khơng có nghiệm dừng 𝐸 = {x ∈ ℝ 𝑑 | 𝑉 = 0}, ngoại trừ nghiệm tầm thường x(𝑡) ≡ 0𝑑 , gốc tọa độ ổn định tiệm cận B.3 Bổ đề Barbalat Bổ đề Barbalat công cụ cho phân tích tính hội tụ hệ động học, thường sử dụng trường hợp hệ phụ thuộc thời gian B.3 Bổ đề Barbalat Một hàm f : ℝ 𝑑 → ℝ 𝑛 liên tục với 𝜖 > 0, tồn 𝛿 > cho: x − y < 𝛿 ⇒ f(x) − f(y) < 𝜖, ∀x , y ∈ ℝ 𝑑 (B.6) Định lý B.3.1 (Bổ đề Barbalat) Giả sử hàm số f(𝑡) có giới hạn hữu hạn 𝑡 → ∞ f liên tục f bị chặn lim𝑡→∞ f(𝑡) = 0𝑛 161 C Mô MATLAB C.1 Hàm biểu diễn đội hình 2D 3D 10 11 12 13 14 f u n c t i o n y = PlotFormation ( n , d , t , p , H, o ) % n : number o f a g e n t s % d : dimension o f the space % t : s i m u l a t i o n time i n t e r v a l % p: position % H: i n c i d e n c e matrix % o : option set (0 , ’ defaultTextInterpreter ’ , ’ latex ’ ) ; s t r = ’#87CEFA’ ; s t r = ’#FFB6C1 ’ ; s t r = ’#C0C0C0 ’ ; c o l o r = s s c a n f ( s t r ( : end ) , ’%2 x%2x%2x ’ , [ ] ) / 5 ; c o l o r = s s c a n f ( s t r ( : end ) , ’%2 x%2x%2x ’ , [ ] ) / 5 ; c o l o r = s s c a n f ( s t r ( : end ) , ’%2 x%2x%2x ’ , [ ] ) / 5 ; 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 i f ( ( d*n==s i z e ( p , ) ) && ( n == l e n g t h (H( , : ) ) ) ) i f o==1 figure (1) h o l d on m = l e n g t h (H( : , ) ) ; r = 1:n ; t_end = l e n g t h ( t ) ; i f d==2 p l o t ( p ( , : ) , p ( , : ) , ’ Color ’ , c o l o r , ’ LineWidth ’ , 1) ; p l o t ( p ( , ) , p ( , ) , ’ o ’ , ’ MarkerSize ’ , , ’ MarkerEdgeColor ’ , ’ b ’ , ’ MarkerFaceColor ’ , ’w’ ) ; p l o t ( p ( , t_end ) , p ( , t_end ) , ’ o ’ , ’ MarkerSize ’ , , ’ MarkerEdgeColor ’ , ’ r ’ , ’ MarkerFaceColor ’ , ’w’ ) ; f o r k=1:m i n d e x = r (H( k , : ) 0) ; l i n e ( [ p( index1 *2 -1 ,1) , p( index2 *2 -1 ,1) ] , [ p( i n d e x * , ) , p ( i n d e x * , ) ] , ’ Color ’ , c o l o r , ’ LineWidth ’ , , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ - - ’ ) ; l i n e ( [ p ( i n d e x * - , t_end ) , p ( i n d e x * - , t_end ) ] , [ p ( i n d e x * , t_end ) , p ( i n d e x * , t_end ) ] , ’ Color ’ , c o l o r , ’ LineWidth ’ , , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ - - ’ ) ; end f o r i =1:n p l o t ( p ( * i - , ) , p ( * i , ) , ’ o ’ , ’ MarkerSize ’ , , ’ MarkerEdgeColor ’ , ’ b ’ , ’ MarkerFaceColor ’ , ’w’ ) ; p l o t ( p ( * i - , t_end ) , p ( * i , t_end ) , ’ o ’ , ’ MarkerSize ’ , , ’ MarkerEdgeColor ’ , ’ r ’ , ’ MarkerFaceColor ’ , ’w’ ) ; p l o t ( p ( * i - , : ) , p ( * i , : ) , ’ Color ’ , c o l o r , ’ LineWidth ’ , ) ; t e x t ( p ( * i - , ) , p ( * i , ) , s p r i n t f ( ’%d ’ , i ) , ’ C.1 Hàm biểu diễn đội hình 2D 3D 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 F o n t S i z e ’ , , ’ Color ’ , ’ k ’ , ’ H o r i z o n t a l A l i g n m e n t ’ , ’ center ’ ) ; t e x t ( p ( * i - , t_end ) , p ( * i , t_end ) , s p r i n t f ( ’%d ’ , i ) , ’ F on t S iz e ’ , , ’ Color ’ , ’ k ’ , ’ HorizontalAlignment ’ , ’ center ’ ) ; end xlabel x ylabel y else i f d==3 p l o t ( p ( , : t_end ) , p ( , : t_end ) , p ( , : t_end ) , ’ Color ’ , c o l o r , ’ LineWidth ’ , ) ; p l o t ( p ( , ) , p ( , ) , p ( , ) , ’ o ’ , ’ MarkerSize ’ , , ’ MarkerEdgeColor ’ , ’ b ’ , ’ MarkerFaceColor ’ , ’w ’) ; p l o t ( p ( , t_end ) , p ( , t_end ) , p ( , t_end ) , ’ o ’ , ’ MarkerSize ’ , , ’ MarkerEdgeColor ’ , ’ r ’ , ’ MarkerFaceColor ’ , ’w’ ) ; f o r k=1:m i n d e x = r (H( k , : ) 0) ; l i n e ( [ p( index1 *3 -2 ,1) , p( index2 *3 -2 ,1) ] , [ p( index1 *3 -1 ,1) , p( index2 *3 -1 ,1) ] , [ p( index1 *3 ,1) ,p( i n d e x * , ) ] , ’ Color ’ , c o l o r , ’ LineWidth ’ , , ’ LineStyle ’ , ’ - - ’ ) ; l i n e ( [ p ( i n d e x * - , t_end ) , p ( i n d e x * - , t_end ) ] , [ p ( i n d e x * - , t_end ) , p ( i n d e x * - , t_end ) ] , [ p ( i n d e x * , t_end ) , p ( i n d e x * , t_end ) ] , ’ Color ’ , c o l o r , ’ LineWidth ’ , , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ - ’ ) ; end f o r i =1:n plot3 (p(3* i - , ) , p(3* i - , ) , p(3* i , ) , ’ o ’ , ’ MarkerSize ’ , , ’ MarkerEdgeColor ’ , ’ b ’ , ’ MarkerFaceColor ’ , ’w’ ) ; p l o t ( p ( * i - , t_end ) , p ( * i - , t_end ) , p ( * i , t_end ) , ’ o ’ , ’ MarkerSize ’ , , ’ MarkerEdgeColor ’ , ’ r ’ , ’ MarkerFaceColor ’ , ’w’ ) ; p l o t ( p ( * i - , : t_end ) , p ( * i - , : t_end ) , p ( * i , : t_end ) , ’ Color ’ , c o l o r , ’ LineWidth ’ , ) ; text (p(3* i - , ) , p(3* i - , ) , p(3* i , ) , s p r i n t f ( ’%d ’ , i ) , ’ F on t S iz e ’ , , ’ Color ’ , ’ k ’ , ’ HorizontalAlignment ’ , ’ center ’ ) ; t e x t ( p ( * i - , t_end ) , p ( * i - , t_end ) , p ( * i , t_end ) , s p r i n t f ( ’%d ’ , i ) , ’ Fo n t Si z e ’ , , ’ Color ’ , ’ k ’ , ’ HorizontalAlignment ’ , ’ center ’ ) ; end view ( ) xlabel x ylabel y zlabel z end end axis equal box on l e g e n d ( { ’ Quy dao ’ , ’ Vi t r i bat dau ’ , ’ Vi t r i k e t thuc ’ } , ’ NumColumns ’ , ) ; else y = 1; end 163 164 C Mô MATLAB y = 1; 70 71 else % Print error f p r i n t f ( ’ There a r e e r r o r s i n i n p u t data , p l e a s e check a g a i n ! \n ’ ) y = 0; 72 73 74 75 76 end end C.2 Biểu diễn thay đổi đội hình theo thời gian %% Mo phong d i e u k h i e n d o i hinh t h e o s a i l e c h v i t r i %% g l o b a l p_d L % Khoi t a o v i t r i ban dau n = 9; p0 = * ( rand ( * n , ) - ) ; 10 % Ma t r a n L a p l a c e L = n* eye ( n ) - o n e s ( n , n ) ; 11 12 13 % Doi hinh dat P_d = [ 0 ; 1 ; - ; ; ; - ; -1 ; -1 - ; - 0] ’; 14 15 16 17 18 p_d = P_d ( : ) ; [ t , p ] = ode45 ( @control_law , [ : : ] , p0 ) ; p = p’; t_end = l e n g t h ( t ) ; 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 figure (1) h o l d on s t r = ’#DEDAE0’ ; c o l o r = s s c a n f ( s t r ( : end ) , ’%2 x%2x%2x ’ , [ ] ) / 5 ; f o r i =1:n p l o t ( t ( , ) , p ( * i - , ) , p ( * i , ) , ’ Color ’ , ’ r ’ , " Marker " , " x " ) ; p l o t ( t , p ( * i - , : t_end ) , p ( * i , : t_end ) , ’ Color ’ , c o l o r , ’ LineWidth ’ , , " L i n e S t y l e " , " - " ) ; p l o t ( t ( t_end , ) , p ( * i - , t_end ) , p ( * i , t_end ) , ’ ob ’ ) ; end 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 H = [ -1 0 -1 0 -1 0 0 -1 0 0 -1 0 -1 0 0 -1 0 -1 0 0 -1 0 -1 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; C.2 Biểu diễn thay đổi đội hình theo thời gian 165 Hình C.1: Thay đổi đội hình theo thời gian 41 42 43 44 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 0 0 -1 1; 0; 1; 1; 1]; 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 f o r i =1: l e n g t h (H) Px = [ ] ; Py = [ ] ; Px1 = [ ] ; Py1 = [ ] ; f o r j =1:9 i f H( i , j )~=0 Px = [ Px , p ( * j - , t_end ) ] ; Py = [ Py , p ( * j , t_end ) ] ; Px1 = [ Px1 , p ( * j - , ) ] ; Py1 = [ Py1 , p ( * j , ) ] ; end end l i n e ( [ t ( t_end , ) , t ( t_end , ) ] , Px , Py , ’ Color ’ , ’ b ’ ) ; l i n e ( [ t ( , ) , t ( , ) ] , Px1 , Py1 , ’ Color ’ , ’ k ’ ) ; end 60 61 62 63 64 box on xlabel t ; ylabel x ; zlabel y l e g e n d ( { ’ Vi t r i dau ’ , ’ Qui dao ’ , ’ Vi t r i c u o i ’ } ) ; view ( ) 65 66 67 68 69 70 %% f u n c t i o n dpdt = c o n t r o l _ l a w ( t , x i ) g l o b a l L p_d dpdt = - kron (L , eye ( ) ) * ( x i - p_d) ; end Tài liệu tham khảo Danh mục tài liệu tham khảo theo thứ tự trích dẫn [1] R P Abelson “Mathematical models in social psychology” in Advances in Experimental Social Psychology: (1967), pages 1–54 [2] H.-S Ahn Formation Control: Approaches for Distributed Agents volume 205 Springer, 2019 [3] H.-S Ahn andothers “Opinion dynamics with cross-coupling topics: Modeling and analysis” in IEEE Transactions on Computational Social Systems: 7.3 (2020), pages 632–647 [4] C Altafini “Consensus problems on networks with antagonistic interactions” in IEEE Transaction on Automatic Control: 58.4 (2013), pages 935–946 [5] B D O Anderson and J B Moore Linear Optimal Control Prentice-Hall, 1971 [6] B D O Anderson and C Yu “Range-only sensing for formation shape control and easy sensor network localization” in Proc of the Chinese Control and Decision Conference (CCDC): IEEE 2011, pages 3310–3315 [7] B D O Anderson andothers “Rigid graph control architectures for autonomous formations” in Control Systems Magazine: 28.6 (2008), pages 48–63 [8] P J Antsaklis and A N Michel Linear Systems Springer Science & Business Media, 2006 [9] M Arcak “Passivity as a design tool for group coordination” in IEEE Transactions on Automatic Control: 52.8 (2007), pages 1380–1390 [10] L Asimow and B Roth “The rigidity of graphs” in Transactions of the American Mathematical Society: 245 (1978), pages 279–289 [11] J Aspnes andothers “A theory of network localization” in IEEE Transactions on Mobile Computing: 5.12 (2006), pages 1663–1678 [12] M H de Badyn and M Mesbahi “ H2 performance of series-parallel networks: A compositional perspective” in IEEE Transactions on Automatic Control: 66.1 (2020), pages 354–361 [13] H Bai, R A Freeman and K M Lynch “Robust dynamic average consensus of time-varying inputs” in Proc of the 49th IEEE Conference on Decision and Control (CDC): IEEE 2010, pages 3104–3109 [14] J Baillieul and T Samad Encyclopedia of systems and control Springer Publishing Company, Incorporated, 2015 [15] P Barooah and J P Hespanha “Graph effective resistance and distributed control: Spectral properties and applications” in Proc of the 45th IEEE Conference on Decision and Control: IEEE 2006, pages 3479–3485 [16] M Basiri, A N Bishop and P Jensfelt “Distributed control of triangular formations with angle-only constraints” in Systems & Control Letters: 59.2 (2010), pages 147–154 [17] S Bereg “Certifying and constructing minimally rigid graphs in the plane” in Proceedings of the 21st Annual Symposium on Computational Geometry: 2005, pages 73–80 [18] S P Bhat and D S Bernstein “Finite-time stability of continuous autonomous systems” in SIAM Journal of Control and Optimization: 38.3 (1998), pages 751–766 [19] N Biggs Algebraic Graph Theory Second CUP, 1993 [20] A N Bishop “Distributed bearing-only formation control with four agents and a weak control law” in Proc of the 9th IEEE International Conference on Control & Automation: 2011, pages 30–35 [21] A N Bishop and M Basiri “Bearing-only triangular formation control on the plane and the sphere” in Proc of the 18th Mediterranean Conference on Control & Automation (MED), Morocco: 2010, pages 790–795 [22] A N Bishop, I Shames and B D O Anderson “Stabilization of rigid formations with directiononly constraints” in Proc of the 50th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference, Orlando, Florida: 2011, pages 746–752 [23] A N Bishop andothers “Distributed formation control with relaxed motion requirements” in International Journal of Robust and Nonlinear Control: 25.17 (2015), pages 3210–3230 [24] S Boyd and L Vandenberghe Convex optimization Cambridge university press, 2004 [25] I Buckley and M Egerstedt “Infinitesimally shape-similar motions using relative angle measurements” in Proc of the 2017 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS),Vancouver, BC, Canada: 2017, pages 1077–1082 [26] F Bullo Lectures on network systems volume Kindle Direct Publishing Santa Barbara, CA, 2019 [27] X Cai and M De Queiroz “Adaptive rigidity-based formation control for multirobotic vehicles with dynamics” in IEEE Transactions on Control Systems Technology: 23.1 (2014), pages 389–396 [28] M Cao, C Yu and B D O Anderson “Formation control using range-only measurements” in Automatica: 47.4 (2011), pages 776–781 [29] M Cao andothers “Control of acyclic formations of mobile autonomous agents” in Proc of the 47th IEEE Conference on Decision and Control, Cancun, Mexico: 2008, pages 1187–1192 [30] M Cao andothers “Controlling a triangular formation of mobile autonomous agents” inProc of the 46th IEEE Conference on Decision and Control (CDC): IEEE 2007, pages 3603–3608 [31] Y Cao and W Ren “Distributed coordinated tracking with reduced interaction via a variable structure approach” inIEEE Transactions on Automatic Control: 57.1 (2011), pages 33–48 [32] R Connelly “Generic global rigidity” in Discrete & Computational Geometry: 33.4 (2005), pages 549–563 [33] J Cortés “Finite-time convergent gradient flows with applications to network consensus” in Automatica: 42.11 (2006), pages 1993–2000 [34] H Crapo On the generic rigidity of plane frameworks Research Report RR-1278 Projet ICSLA INRIA, 1990 [35] M H DeGroot “Reaching a consensus” in Journal of the American Statistical Association: 69.345 (1974), pages 118–121 [36] D V Dimarogonas and K H Johansson “Further results on the stability of distance-based multi-robot formations” in Proc of the American Control Conference (ACC): IEEE 2009, pages 2972–2977 [37] D V Dimarogonas and K J Kyriakopoulos “A connection between formation infeasibility and velocity alignment in kinematic multi-agent systems” in Automatica: 44.10 (2008), pages 2648–2654 [38] F Dorfler and F Bullo “Kron reduction of graphs with applications to electrical networks” in IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers: 60.1 (2012), pages 150163 [39] F Dăorfler, J W Simpson-Porco and F Bullo “Electrical networks and algebraic graph theory: Models, properties, and applications” in Proceedings of the IEEE: 106.5 (2018), pages 977–1005 [40] T Eren “Formation shape control based on bearing rigidity” in International Journal of Control: 85.9 (2012), pages 1361–1379 [41] T Eren, W Whiteley and P N Belhumeur “Using angle of arrival (bearing) information in network localization” in Proc of the 45th IEEE Conference on Decision and Control, San Diego, CA, USA: 2006, pages 4676–4681 [42] T Eren andothers “Sensor and network topologies of formations with direction, bearing, and angle information between agents” in Proc of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control, Maui, HI, USA: volume IEEE 2003, pages 3064–3069 [43] K Fathian andothers “Globally asymptotically stable distributed control for distance and bearing based multi-agent formations” in Proc of the American Control Conference (ACC), Boston, MA, USA: IEEE 2016, pages 4642–4648 [44] J A Fax and R M Murray “Information flow and cooperative control of vehicle formations” in IEEE Transactions on Automatic Control: 49.9 (2004), pages 1465–1476 [45] D R Foight, M H de Badyn and M Mesbahi “Performance and design of consensus on matrixweighted and time-scaled graphs” in IEEE Transactions on Control of Network Systems: 7.4 (2020), pages 1812–1822 [46] A Franchi and P R Giordano “Decentralized control of parallel rigid formations with direction constraints and bearing measurements” in Proc of the 51st IEEE Conference on Decision and Control, Maui, HI, USA: 2012, pages 5310–5317 [47] R A Freeman, P Yang and K M Lynch “Stability and convergence properties of dynamic average consensus estimators” in Proc of the 45th IEEE Conference on Decision and Control, San Diego, CA, USA: 2006, pages 338–343 [48] J French Jr “A formal theory of social power” in Physchological Review: 63 (1956), pages 181–194 [49] N Friedkin “A formal theory of social power” in Journal of Mathematical Sociology: 12.2 (1986), pages 103–126 [50] N Friedkin and E Johnsen “Social influence and opinions” in Journal of Mathematical Sociology: 15.3-4 (1990), pages 193–205 [51] N Friedkin andothers “Network science on belief system dynamics under logic constraints” in Science: 354.6310 (2016), pages 321–326 [52] C Godsil and G Royle Algebraic graph theory Springer, 2001 [53] J E Graver, B Servatius and H Servatius Combinatorial rigidity Graduate Studies in Mathematics American Mathematical Society, 1993 [54] R Hegselmann and U Krause “Opinion dynamics and bounded confidence models, analysis, and simulation” in Journal of Artifical Societies and Social Simulation: 5.3 (2002) [55] J M Hendrickx andothers “Directed graphs for the analysis of rigidity and persistence in autonomous agent systems” in International Journal of Robust and Nonlinear Control: 17 (2007), pages 960–981 [56] P H Hoang andothers “A distributed control algorithm via saddle point dynamics for optimal resource allocation problem over netwoked systems” inProc of the 11th Asian Control Conference (ASCC): IEEE 2017, pages 2417–2422 [57] R Horn and C Johnson Matrix Analysis Cambridge University Press, 1990 [58] A Jadbabaie, J Lin and S Morse “Coordination of groups of mobile autonomous agents using nearest neighbor rules” in IEEE Transactions on Automatic Control: 48.6 (2003), pages 988–1001 [59] G Jing andothers “Weak rigidity theory and its application to multi-agent formation stabilization” in SIAM Journal on Control and Optimization: 65.3 (2018) [60] H K Khalil Nonlinear Systems Third Prentice Hall, 2002 [61] S S Kia andothers “Tutorial on dynamic average consensus: The problem, its applications, and the algorithms” in IEEE Control Systems Magazine: 39.3 (2019), pages 40–72 [62] B.-Y Kim and H.-S Ahn “Distributed coordination and control for a freeway traffic network using consensus algorithms” in IEEE Systems Journal: 10.1 (2014), pages 162–168 [63] L Krick, M E Broucke and B A Francis “Stabilisation of infinitesimally rigid formations of multi-robot networks” in International Journal of Control: 82.3 (2009), pages 423–439 [64] S.-H Kwon andothers “Infinitesimal weak rigidity, Formation control of three agents, and Extension to 3-dimensional Space” in Proc of the 57th Annual Conference of the Society of Instrument and Control Engineers of Japan (SICE): 2018 [65] G Lafferriere andothers “Decentralized control of vehicle formations” in Systems & Control Letters: 54 (2005), pages 899–910 [66] G Laman “On graphs and rigidity of plane skeletal structures” in Journal of Engineering mathematics: 4.4 (1970), pages 331–340 [67] B.-H Lee and H.-S Ahn “Distributed estimation for the unknown orientation of the local reference frames in N-dimensional space” in Proc of the Control, Automation, Robotics and Vision (ICARCV), 2016 14th International Conference on: IEEE 2016, pages 1–6 [68] B.-H Lee, S.-M Kang and H.-S Ahn “Distributed orientation estimation in SO(d) and applications to formation control and network localization” in IEEE Transactions on Control of Network Systems: 6.4 (2019), pages 1302–1312 [69] M A Lewis and K.-H Tan “High precision formation control of mobile robots using virtual structures” in Autonomous robots: 4.4 (1997), pages 387–403 [70] Z Li andothers “Consensus of multiagent systems and synchronization of complex networks: A unified viewpoint” in IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers: 57.1 (2009), pages 213–224 [71] Z Li andothers “Designing fully distributed consensus protocols for linear multi-agent systems with directed graphs” inIEEE Transactions on Automatic Control: 60.4 (2014), pages 1152–1157 [72] Z Lin andothers “Distributed formation control of multi-agent systems using complex Laplacian” in IEEE Transactions on Automatic Control: 59.7 (2014), pages 1765–1777 [73] J Mei “Model reference adaptive consensus for uncertain multi-agent systems under directed graphs” in Proc of the IEEE Conference on Decision and Control (CDC): IEEE 2018, pages 6198–6203 [74] M Mesbahi and M Egerstedt Graph Theoretic Methods in Multiagent Networks Princeton NJ: Princeton University Press, 2010 [75] S Miao and H Su “Second-order consensus of multiagent systems with matrix-weighted network” in Neurocomputing: 433 (2021), pages 1–9 [76] G Michieletto, A Cenedese and A Franchi “Bearing rigidity theory in SE(3)” in Proc of the 55th IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas, USA: 2016, pages 5950–5955 [77] E Montijano andothers “Vision-based distributed formation control without an external positioning system” in IEEE Transactions on Robotics: 32.2 (2016), pages 339–351 [78] S Mou andothers “Undirected rigid formations are problematic” inIEEE Transactions on Automatic Control: 61.10 (2016), pages 2821–2836 [79] A Nedi´c and J Liu “Distributed optimization for control” inAnnual Review of Control, Robotics, and Autonomous Systems: (2018), pages 77–103 [80] C V Nguyen andothers “Distributed learning in a multi-agent potential game” inProc of the 17th International Conference on Control, Automation and Systems (ICCAS): IEEE 2017, pages 266–271 [81] H M Nguyen and M H Trinh “Leader-follower matrix-weighted consensus: a sliding-mode control approach” in Proc of the Vietnamese Conference on Control and Automation (VCCA): 2021, pages 1–6 [82] T T Nguyen andothers “Coordination of multi-agent systems with arbitrary convergence time” in IET Control Theory & Applications: 15.6 (2021), pages 900–909 [83] P D Nguyễn Lý thuyết Điều khiển tuyến tính 2009 Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [84] K Ogata Modern control engineering Prentice Hall Upper Saddle River, NJ, 2009 [85] K.-K Oh and H.-S Ahn “Distance-based undirected formations of single-integrator and doubleintegrator modeled agents in N-dimensional space” in International Journal of Robust and Nonlinear Control: 24.12 (2014), pages 1809–1820 [86] K.-K Oh and H.-S Ahn “Formation control and network localization via orientation alignment” in IEEE Transactions on Automatic Control: 59.2 (2014), pages 540–545 [87] K.-K Oh and H.-S Ahn “Formation control of mobile agents based on distributed position estimation” inIEEE Transactions on Automatic Control: 58.3 (2012), pages 737–742 [88] K.-K Oh, M.-C Park and H.-S Ahn “A survey of multi-agent formation control” in Automatica: 53 (2015), pages 424–440 [89] R Olfati-Saber, J A Fax and R M Murray “Consensus and cooperation in networked multi-agent systems” in Proceedings of the IEEE: 95.1 (2007), pages 215–233 [90] R Olfati-Saber and R M Murray “Consensus problems in networks of agents with switching topology and time-delays” in IEEE Transactions on Automatic Control: 49.9 (2004), pages 1520–1533 [91] L Pan andothers “Consensus on matrix-weighted switching networks” in IEEE Transactions on Automatic Control: (2021) [92] L Pan andothers “On the controllability of matrix-weighted networks” in IEEE Control Systems Letters: 4.3 (2020), pages 572–577 [93] M.-C Park and H.-S Ahn “Stabilisation of directed cycle formations and application to two-wheeled mobile robots” in IET Control Theory & Applications: (2015), pages 1338–1346 [94] M.-C Park, H.-K Kim and H.-S Ahn “Rigidity of distance-based formations with additional subtended-angle constraints” in Proc of the 17th International Conference on Control, Automation and Systems (ICCAS), Jeju, South Korea: 2017, pages 111–116 [95] M.-C Park andothers “Distance-based control of K4 formation with almost global convergence” in Proc of the 2016 IEEE 55th Conference on Decision and Control (CDC): IEEE 2016, pages 904–909 [96] M.-C Park andothers “Finite-time convergence control for acyclic persistent formations” in Proc of the IEEE International Symposium on Intelligent Control (ISIC), Juan Les Pins, France: 2014, pages 1608–1613 [97] M.-C Park andothers “Realization of distributed formation flying using a group of autonomous quadcopters and application to visual performance show” in Proc of the 2016 IEEE Transportation Electrification Conference and Expo Asia-Pacific (ITEC), Busan, Korea: 2016, pages 877–882 [98] S E Parsegov, A E Polyakov and P S Shcherbakov “Fixed-time consensus algorithm for multiagent systems with integrator dynamics” in IFAC Proceedings Volumes: 46.27 (2013), pages 110–115 [99] L T Pham “Ảnh hưởng trễ tới thuật toán đồng thuận trọng số ma trận” Đồ án tốt nghiệp, Đại học Bách Khoa Hà Nội 2021 [100] V H Pham, M H Trinh and H.-S Ahn “A finite-time convergence of acyclic generically persistent formation in 3-D using relative position measurements” inProc of the 17th International Conference on Control, Automation and Systems (ICCAS), Jeju, South Korea: 2017, pages 230–235 [101] V H Pham, M H Trinh and H.-S Ahn “Formation control of rigid graphs with flex edges” in International Journal of Robust and Nonlinear Control: 28.6 (2018), pages 2543–2559 [102] A Proskurnikov, A Matveev and M Cao “Opinion dynamics in social networks with hostile camps: Consensus vs polarization” in IEEE Transactions on Automatic Control: 61.6 (2016), pages 1524–1536 [103] A.V Proskurnikov and R Tempo “A tutorial on modeling and analysis of dynamic social networks: Part II” in Annual Reviews in Control: 45 (2018), pages 166–190 [104] Anton V Proskurnikov and R Tempo “A tutorial on modeling and analysis of dynamic social networks: Part I” in Annual Reviews in Control: 43 (2017), pages 65–79 [105] Z Qu Cooperative control of dynamical systems: applications to autonomous vehicles Springer Science & Business Media, 2009 [106] J L Ramirez andothers “Distributed control of spacecraft formation via cyclic pursuit: Theory and experiments” in Proc of American Control Conference: 2009, pages 4811–4817 [107] W Ren “Distributed attitude alignment in spacecraft formation flying” in International journal of Adaptive Control and Signal Processing: 21.2-3 (2007), pages 95–113 [108] W Ren and R W Beard “Consensus algorithms for double-integrator dynamics” in Distributed Consensus in Multi-vehicle Cooperative Control: Theory and Applications: (2008), pages 77–104 [109] W Ren, R W Beard and E M Atkins “Information consensus in multivehicle cooperative control” in IEEE Control Systems Magazine: 27.2 (2007), pages 71–82 [110] C W Reynolds “Flocks, herds and schools: A distributed behavioral model” in ACM SIGGRAPH Computer Graphics: 21.4 (1987) [111] Sandip Roy “Scaled consensus” in Automatica: 51 (2015), pages 259–262 [112] A Sarlette and R Sepulchre “Consensus Optimization on Manifolds” in SIAM Journal of Control and Optimization: 48.1 (2009), pages 56–76 [113] L Scardovi and R Sepulchre “Synchronization in networks of identical linear systems” in Automatica: 45.11 (2009), pages 2557–2562 [114] F Schiano andothers “A rigidity-based decentralized bearing formation controller for groups of quadrotor UAVs” in Proc of the IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems, Daejeon, South Korea: 2016, pages 5099–5106 [115] E Schoof, A Chapman and M Mesbahi “Bearing-compass formation control: A Human-Swarm Interaction Perspective” in Proc of the 2014 American Control Conference: 2014, pages 3881–3886 [116] A Seuret, D V Dimarogonas and K H Johansson “Consensus under communication delays” in Proc of the 47th IEEE Conference on Decision and Control: 2008, pages 4922–4927 [117] J.-J E Slotine and W Li Applied Nonlinear Control Prentice hall Englewood Cliffs, NJ, 1991 [118] D P Spanos, R Olfati-Saber and R M Murray “Dynamic consensus on mobile networks” in IFAC world congress: Citeseer 2005, pages 1–6 [119] G Strang Linear Algebra and Its Applications 3rd Edition Brooks/Cole, Thomson Learning, 1988 [120] T H Summers andothers “Control of minimally persistent leader-remote-follower and coleader formations in the plane” in IEEE Transaction on Automatic Control: 56 (2011), pages 2778–2792 [121] Z Sun andothers “Conservation and decay laws in distributed coordination control systems” in Automatica: 87 (2018), pages 1–7 [122] Z Sun andothers “Distributed stabilization control of rigid formations with prescribed orientation” in Automatica: 78 (2017), pages 250–257 [123] Z Sun andothers “Exponential stability for formation control systems with generalized controllers: A unified approach” in Systems & Control Letters: 93.5 (2016), pages 50–57 [124] R Suttner and Z Sun “Formation shape control based on distance measurements using Lie bracket approximations” in SIAM Journal on Control and Optimization: 56.6 (2018) [125] M Taylor “Towards a mathematical theory of influence and attitude change” in Human Relations: 21.2 (1968), pages 121–139 [126] J Thunberg, W Song and X Hu “Distributed attitude synchronization control of multi-agent systems with directed topologies” in Proc of the 10th World Congress on Intelligent Control and Automation, Beijing, China: 2012, pages 958–963 [127] Y.-P Tian and Q Wang “Global stabilization of rigid formations in the plane” in Automatica: 49 (2013), pages 1436–1441 [128] Q V Tran, S.-H Park and H.-S Ahn “Bearing-based formation control via distributed position estimation” inProc of the IEEE Conference on Control Technology and Applications (CCTA): IEEE 2018, pages 658–663 [129] Q V Tran, M H Trinh and H.-S Ahn “Discrete-time matrix-weighted consensus” in IEEE Transactions on Control of Network Systems: (2021) [130] Q V Tran andothers “Finite-time bearing-only formation control via distributed global orientation estimation” in IEEE Transactions on Control of Network Systems: 2.6 (2019) [131] M H Trinh “Distributed formation control of multi-agent systems: Bearing based approaches and applications” phdthesis Gwangju Institute of Science and Technology (GIST), 2018 [132] M H Trinh, K.-K Oh and H.-S Ahn “Angle-based control of directed acyclic formations with three-leaders” in Proc of the 2014 IEEE International Conference on Mechatronics and Control (ICMC), China: 2014, pages 2268–2271 [133] M H Trinh, Q V Tran and H.-S Ahn “Minimal and redundant bearing rigidity: Conditions and applications” in IEEE Transactions on Automatic Control: 66.7 (2020) [134] M H Trinh, D Zelazo and H.-S Ahn “Pointing consensus and bearing-based solutions to the Fermat-Weber location problem” in IEEE Transactions on Automatic Control: 65.6 (2020) [135] M H Trinh andothers “Bearing based formation control of a group of agents with leader-first follower structure” inTransactions on Automatic Control: 64.2 (2019), pages 598–613 [136] M H Trinh andothers “Bearing-based formation control and network localization via global orientation estimation” in Proc of the IEEE Conference on Control Technology and Applications, Copenhagen, Denmark: 2018 [137] M H Trinh andothers “Comments on “Global stabilization of rigid formations in the plane [Automatica 49 (2013) 1436–1441]”” in Automatica: 77 (2017), pages 393–396 [138] M H Trinh andothers “Finite-time bearing-only formation control” in Proc of the 56th IEEE Conference on Decision and Control (CDC): IEEE 2017, pages 1578–1583 [139] M H Trinh andothers “Formations on directed cycles with bearing-only measurements” in International Journal of Robust and Nonlinear Control: 28.3 (2018), pages 1074–1096 [140] M H Trinh andothers “Further analysis on graph rigidity” in Proc of the IEEE 55th Conference on Decision and Control (CDC): IEEE 2016, pages 922–927 [141] M H Trinh andothers “Matrix-scaled consensus” in Proc of the IEEE Conference on Decision and Control, Cancun, Mexico: 2022 [142] M H Trinh andothers “Matrix-weighted consensus and its applications” in Automatica: 89 (2018), pages 415–419 [143] M H Trinh andothers “Matrix-weighted consensus with leader-following topologies” in Proc of the Asian Control Conference: IEEE 2017, pages 1–6 [144] R Tron andothers “Bearing-only formation control with auxiliary distance measurements, leaders, and collision avoidance” in Proc of the IEEE 55th Conference on Decision and Control (CDC), Las Vegas, NV, USA: 2016, pages 1806–1813 [145] S E Tuna “Conditions for synchronizability in arrays of coupled linear systems” in IEEE Transactions on Automatic Control: 54.10 (2009), pages 2416–2420 [146] S E Tuna “Synchronization under matrix-weighted Laplacian” in Automatica: 73 (2016), pages 76–81 [147] W T Tutte Graph Theory Longman Higher Education, 1984 [148] T Vicsek andothers “Novel type of phase transition in a system of self-driven particles” in Physical Review Letters: 75.6 (1995), page 1226 [149] D V Vu, M H Trinh and H.-S Ahn “Distance-based formation tracking with unknown bounded reference velocity” in Proc of the 20th International Conference on Control, Automation and Systems (ICCAS): IEEE 2020, pages 524–529 [150] D V Vu andothers “Distance-based formation control with bounded disturbances” in IEEE Control Systems Letters: 5.2 (2020), pages 451–456 [151] L Wang and F Xiao “Finite-time consensus problems for networks of dynamic agents” in IEEE Transactions on Automatic Control: 55.4 (2010), pages 950–955 [152] D B West Introduction to graph theory volume Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 1996 [153] W Whiteley Some matroids from discrete applied geometry Contemporary Mathematics, Vol 137 AMS, 1996 [154] H Whitney “Non-Separable and Planar Graphs” in Transactions of the American Mathematical Society: 34.2 (1932), pages 339–362 [155] M Ye andothers “Continuous-time opinion dynamics on multiple interdependent topics” in Automatica: 115.108884 (2020) [156] B J Young, R W Beard and J M Kelsey “A control scheme for improving multi-vehicle formation maneuvers” in Proc of the American Control Conference (ACC): volume IEEE 2001, pages 704–709 [157] C Yu andothers “Control of minimally persistent formations in the plane” in SIAM Journal of Control and Optimization: 48.1 (2009), pages 206–233 [158] W Yu andothers “Delay-induced consensus and quasi-consensus in multi-agent dynamical systems” in IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers: 60.10 (2013), pages 2679–2687 [159] M Zavlanos and G J Pappas “Potential fields for maintaining connectivity of mobile networks” in IEEE Transactions on Robotics: 23.4 (2007), pages 812–816 [160] D Zelazo, P R Giordano and A Franchi “Formation control using a SE(2) rigidity theory” in Proc of the 54th IEEE Conference on Decision and Control (CDC), Osaka, Japan: 2015, pages 6121–6126 [161] D Zelazo and M Mesbahi “Edge agreement: Graph-theoretic performance bounds and passivity analysis” in IEEE Transactions on Automatic Control: 56.3 (2010), pages 544–555 [162] D Zelazo andothers “Decentralized rigidity maintenance control with range measurements for multi-robot systems” in The International Journal of Robotics Research: 34.1 (2015), pages 105–128 [163] H Zhang, F L Lewis and Z Qu “Lyapunov, adaptive, and optimal design techniques for cooperative systems on directed communication graphs” in IEEE Transactions on Industrial Electronics: 59.7 (2011), pages 3026–3041 [164] S Zhao, Z Li and Z Ding “Bearing-only formation tracking control of multiagent systems” in IEEE Transactions on Automatic Control: 64.11 (2019), pages 4541–4554 [165] S Zhao and D Zelazo “Bearing rigidity and almost global bearing-only formation stabilization” in IEEE Transactions on Automatic Control: 61.5 (2016), pages 1255–1268 [166] S Zhao and D Zelazo “Bearing-based distributed control and estimation of multi-agent systems” in Proc of the European Control Conference, Ză urich, Switzerland: 2015, pages 22022207 [167] S Zhao and D Zelazo “Bearing-based formation maneuvering” in Proc of the 2015 IEEE International Symposium on Intelligent Control: 2015, pages 658–663 [168] S Zhao and D Zelazo “Bearing-based formation stabilization with directed interaction topologies” in Proc of the 54th IEEE Conference on Decision and Control: 2015, pages 6115–6120 [169] S Zhao and D Zelazo “Localizability and distributed protocols for bearing-based network localization in arbitrary dimensions” in Automatica: 69 (2016), pages 334–341 [170] S Zhao andothers “Distributed control of angle-constrained cyclic formations using bearing-only measurements” in Systems & Control Letters: 63 (2014), pages 12–24 [171] S Zhao andothers “Finite-time stabilisation of cyclic formations using bearing-only measurements” in International Journal of Control: 87.4 (2014), pages 715–727 [172] S Zhao andothers “Laman graphs are generically bearing rigid in arbitrary dimensions” in Proc of the 56th Conference on Decision and Control, Melbourne, Australia: 2017, pages 3356–3361 Chỉ mục 1-thừa cứng, 118 bán kính quang phổ, 157 bậc, chu trình, chuỗi bậc, cây, bao trùm, 9, 11 Cứng hướng phổ quát, 89 Cứng hướng toàn cục, 88 Cứng hướng vi phân, 89 cứng khoảng cách phổ quát, 81 cứng khoảng cách toàn cục, 81 cứng khoảng cách vi phân, 81 cứng toàn cục phổ quát, 118 giá trị riêng Perron, 157 gốc-ra, 11 hệ đa tác tử, hệ đồng thuận, 25 khơng gian chu trình, 13 kề, liên liên liên liên thông, thông mạnh, 11 thông tối đa, thông yếu, 10 M-ma trận, 14 ma trận bậc, 12 ma trận cứng khoảng cách, 81 ma trận dương, 157 ma trận không rút gọn được, 157 ma trận không âm, 157 ma trận kề, 11 ma trận Laplace, 14 ma trận Laplace cạnh, 61 ma trận Laplace nối đất, 115 ma trận liên thuộc, 12 ma trận nguyên thủy, 157 ma trận ngẫu nhiên hàng, 39 Mơ hình Abelson, 125 Mơ hình Altafini, 135 Mơ hình French-Degroot, 122 Mơ hình Friedkin-Johnsen, 123 Mơ hình Friendkin - Johnsen, 123 Mơ hình Friendkin - Johnsen đa chiều, 126 Mơ hình Hegselmann-Krause, 132 Mơ hình Taylor, 125 mạch, Mở rộng Henneberg, 82 Nút tham chiếu, 113 preface, iii rừng, thuật toán đồng thuận, 25 thuật tốn đồng thuận trung bình cộng, 28 thành phần đồ thị, Tương đương hướng, 88 tương đương khoảng cách, 80 Tương đồng hướng, 88 tương đồng khoảng cách, 80 tập cạnh, tập khoảng cách khả thi, 80 tập láng giềng, tập đỉnh, tập đồng thuận, 26 vector hướng, 88 vector đường đánh dấu, 13 Điều khiển đội hình dựa khoảng cách, 79 Điều khiển đội hình dựa vector hướng, 88 Điều khiển đội hình dựa vị trí tương đối, 77 Định lý Gerschgorin, 154 Định vị mạng cảm biến, 113 Đồ thị 1-thừa cứng hướng, 90 Đồ thị cân cấu trúc, 135 Đồ thị cứng hướng tối thiểu, 90 Đồ thị dấu, 135 điều khiển khoanh vùng, 125 đường mòn, đường đi, định lý ma trận - cây, 18 đồ thị, đồ thị con, đồ thị dẫn xuất, đồ thị cân bằng, 28 đồ thị hữu hướng, 10 đồ thị Laman, 82 đồ thị mở rộng, đồ thị thu hẹp, đồ thị đẳng cấu, đồng thuận cạnh, 61 đồng thuận với trọng số ma trận, 138 độ dài đường đi, đội hình, 80 ... hợp điểm p2 nằm p1 p3 , tức