Chương LÝ THUYẾT NỘI LỰC I KHÁI NIỆM VỀ NỘI LỰC Xét vật thể chịu tác dụng hệ lực trạng thái cân H.2.1 Trước tác dụng lực, phân tử vật thể tồn lực tương tác giữ cho vật thể có hình dáng định Dưới tác dụng ngoại lực, phân tử vật thể có khuynh hướng nhích lại gần tách xa Khi lực tương tác phân tử vật thể phải thay ñổi ñể chống lại với khuynh hướng dịch chuyển Sự thay ñổi lực tương tác phân tử vật thể gọi nội lực Một vật thể khơng chịu tác động từ bên ngồi ngoại lực, thay đổi nhiệt độ… gọi vật thể trạng thái tự nhiên nội lực coi khơng Người ta dùng phương pháp mặt cắt ñể khảo sát nội lực vật thể Xét lại vật thể cân tác dụng ngoại lực H.2.1 Tưởng tượng mặt phẳng Π cắt qua chia vật thể thành hai phần A B; hai phần tác ñộng lẫn hệ lực phân bố diện tích mặt tiếp xúc theo ñịnh luật lực phản lực Nếu ta tách riêng phần A hệ lực tác ñộng từ phần B vào phải cân P2 P3 P1 P6 P1 A B P5 P4 Hình 2.1 Vật thể chịu lực cân P2 ∆p P3 ∆F Hình 2.2 Nội lực mặt cắt với ngoại lực ban ñầu H.2.2 II.CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC VÀ CÁCH XÁC ðỊNH Như ñã xác ñịnh chương 1, ñối tượng khảo sát SBVL chi tiết dạng thanh, ñặc trưng mặt cắt ngang (hay cịn gọi tiết diện) trục Ta dời nội lực phân bố mặt cắt ngang trọng tâm C mặt cắt thu vector hợp lực R mơmen M Nói chung vector R M có phương khơng gian Giả sử định nghĩa hệ trục tọa ñộ trọng tâm mặt cắt, Cxyz, cho trục z trùng với phương pháp tuyến mặt cắt ngang, hai trục nằm mặt cắt ngang Khi ta phân tích vector R ba thành phần theo ba P6 II Qx P5 Mz Mx z P4 My P1 Qy P1 P2 y P2 P3 x P3 Hình 2.3 Các thành phần nội lực trục: thành phần theo phương trục z, ký hiệu Nz, gọi lực dọc, hai thành phần nằm mặt cắt hướng theo trục x y, ký hiệu Qx Qy, ñược gọi lực cắt Vector mơmen M phân tích ba thành phần quay quanh ba trục ñược ký hiệu Mx, My, Mz Các mơmen Mx My gọi mơmen uốn, cịn mơmen Mz gọi mơmen xoắn Sáu thành phần gọi thành phần nội lực mặt cắt ngang ñược minh hoạ H.2.4 Sáu thành phần nội lực mặt cắt ngang ñược xác ñịnh từ sáu phương trình cân độc lập phần vật thể tách ra, có tác dụng ngoại lực ban ñầu thành phần nội lực Sử dụng phương trình cân hình chiếu lực trục tọa ñộ, ta ñược: n Nz + ∑ Piz = i =1 n Qy + ∑ Piy = (2.2) i =1 n Qx + ∑ Pix = i =1 đó: Pix, Piy, Piz - hình chiếu lực Pi xuống trục x, y, z Dùng phương trình cân mơmen trục tọa độ ta có: n Mx + ∑ m x (p i ) = i =1 n My + ∑ m y (Pi ) = (2.3) i =1 n Mz + ∑ m z (p i ) = i =1 đó: mx(Pi), my(Pi), mz(Pi) - mơmen lực Pi trục x, y, z Các thành phần nội lực có liên hệ với thành phần ứng suất sau: - Lực dọc tổng ứng suất pháp - Lực cắt tổng ứng suất tiếp phương với - Mơmen uốn tổng mơmen gây ứng suất ñối với trục x y - Mômen xoắn tổng mômen ứng suất tiếp ñối với trục z Nếu gọi σz, τzx, τzy, thành phần ứng suất ñiểm M(x,y) mặt cắt ngang, ta có biểu thức sau: N z = σ z dF ∫ M x = σ z ydF F F Qy = ∫ τ zy dF ∫ Qx = (2.4) ∫ M y = σ z xdF F F ∫ τ zx dF ∫ M z = (τ zx y − τ zy x)dF F F đó: dF - phân tố diện tích bao quanh điểm M(x,y) Nhờ quan hệ (2.4) mà tìm thành phần ứng suất biết thành phần nội lực Trong trường hợp tốn phẳng - trường hợp xét chủ yếu chương sau - ta có ba thành phần nội lực nằm mặt phẳng yz, bao gồm Nz, Qy, Mx Qui ước dấu thành phần nội lực sau: - Lực dọc ñược xem dương có chiều hướng ngịai mặt cắt (nghĩa gây kéo cho ñoạn ñang xét) - Lực cắt xem dương có khuynh hướng làm quay ñoạn ñang xét theo chiều kim ñồng hồ - Mômen uốn ñược xem dương làm căng thớ Trên H.2.5a minh họa nội lực tốn phẳng đặt theo chiều dương Nz Nz > Qy Qy > MX MX > Hình 2.4 Chiều dương thành phần nội lực Ví dụ 2.1 Cho ABCD chịu tác dụng lực H.2.5b với trị số ngoại lực sau: q = 10 kN/m, a =1m, Mo = 2qa2 Xác ñịnh trị số P = 2qa nội lực mặt cắt 1-1 q M = 2qa Giải Giải phóng liên kết A thay vào B k phản lực liên kết VA, HA, VB Xét 1,5a ñiều kiện cân toàn tác dụng a a V V ngọai lực phản lực liên kết, hệ phải cân P = 2qa Áp dụng ñiều kiện cân q M hệ lực phẳng, ta suy thành A phần phản lực N liên kết sau: o B A HA = ; VA = VB = qa = 27,5 kN qa = 2,5 kN VA Q 1,5a Hình 2.5 Mặt cắt I-I chia làm hai phần Xét cân phần bên trái ta ñược: ∑ Fz = ⇒ N = ∑ F y = ⇒ VA − qa − P − Q = ⇒Q=− = − 2,5 kN a ∑ M k = ⇒ M = VA × 1,5a − qa × a − 2qa × = 17 qa = 21,25 kNm Nếu xét cân phần bên phải, ta tìm lại kết Thật vậy: ∑ F z = ⇒ Nz = ∑ F y = ⇒ VA − qa − P − Q = = − 2,5 kN M = ⇒ M = qa × (0,5a) + 2qa = 17 qa = 21,25 kNm k ⇒Q=− ∑ III.BIỂU ðỒ NỘI LỰC Thông thường, nội lực mặt cắt ngang không giống ðường cong biểu diễn biến thiên nội lực theo vị trí mặt cắt gọi biểu ñồ nội lực Nhờ vào biểu đồ ta xác định vị trí mặt cắt có trị số nội lực lớn trị số ðể vẽ biểu ñồ nội lực ta sử dụng phương pháp mặt cắt cắt ngang qua vị trí có toạ độ z Xét cân phần, ta viết biểu thức giải tích nội lực theo z Sau vẽ đường biểu diễn hệ trục toạ độ có trục hồnh song song với trục mà ta gọi ñường chuẩn, cịn tung độ biểu đồ nội lực diễn tả đoạn thằng vng góc đường chuẩn Ví dụ 2.2 Biểu đồ nội lực dầm mút thừa chịu tác dụng lực tập trung P Biểu thức giải tích lực cắt mơmen uốn mặt cắt K cách A ñoạn z cho bởi: z K A B l p Q + z _ z Pl M M Hình 2.6 Qy(z) = P; Mx(z) = – P.KB = – P(l – z) (2.5) Cho z biến thiên từ ñến l, ta ñược biểu ñồ nội lực H.2.6 Cần lưu ý với biểu ñồ lực cắt tung ñộ dương lấy phía trục hồnh, cịn với biểu đồ mơmen uốn tung độ dương biểu diễn phía trục hồnh Với cách biểu diễn trên, ta muốn tung độ biểu đồ mơmen ln phía thớ căng Ví dụ 2.3 Biểu ñồ nội lực dầm ñơn giản chịu tác dụng tải trọng phân bố ñều q (H.2.7) Do tính chất đối xứng, phản lực q ñứng A B có trị số: A a) z ql VA = K B l ql VB = Mx A b) z VA Qy Nz z y c) ql Qy d) + ql 2 ql - Mx V A = VB = ql (2.6) Xác ñịnh hệ trục tọa ñộ H.2.7 Xét nội lực mặt cắt ngang K có hồnh độ z Tưởng tượng mặt cắt 1-1 ngang qua K chia làm hai phần Xét cân phần bên trái AK tác dụng lực phân bố q, phản lực liên kết VA thành phần nội lực theo chiều dương quy ước (H.2.7b) Từ phương trình cân ta suy ra: Hình 2.7 N = z ql l − qz = q( − z) Q y = 2 ql qz qz z− = (l − z) M x = 2 (2.7) Cho z biến thiên từ ñến l ta vẽ ñược biểu ñồ nội lực hình vẽ Qua biểu đồ nội lực nhận thấy lực cắt có giá trị lớn mặt cắt sát gối tựa, cịn mơmen uốn lại có giá trị cực ñại dầm IV.LIÊN HỆ VI PHÂN LỰC VÀ TẢI TRỌNG 1- Thanh phẳng Xét dầm chịu tải (H.2.11a) Giữa cường ñộ phân bố q(z), lực cắt Qy mặt cắt z, vi phân định mà thơng (2.7), (2.9), (2.10), ta nhận mômen uốn lực cắt, cắt lực phân bố Mo a) dz z q(z) GIỮA NỘI PHÂN BỐ q(z) Mx + dMx Qy b) Mx Qy + dQy dz Hình 2.11 trọng tải trọng mômen uốn Mx tồn liên hệ qua biểu thức thấy ñạo hàm ñạo hàm lực Thật vậy, xét ñoạn vi phân có chiều dài dz, giới hạn hai mặt cắt 1-1 2-2 H.2.11b Nội lực tác dụng mặt cắt 1-1 Qy Mx Nội lực tác dụng mặt cắt 2-2 so với mặt cắt 1-1 ñã tăng lượng vi phân dQy dMx trở thành Qy + dQy, Mx + dMx Tải trọng tác dụng lực phân bố theo chiều dài có cường độ q(z) hướng theo chiều dương H.2.11b Vì dx bé nên xem tải trọng phân bố đoạn dz Viết phương trình cân hình chiếu lực phương thẳng đứng ta có: Qy + q(z)dz – (Qy + dQy) = Từ ñó ta suy ra: q (z) = dQ y dz (2.14) vậy: “ðạo hàm lực cắt lực phân bố theo chiều dài” Lực phân bố ñược xem dương có chiều hướng lên Ngược lại, xem âm có chiều hướng xuống Viết phương trình cân trọng tâm mặt cắt 2-2 ta ñược: Q y dz + q(z) ⋅ dz ⋅ dz + M x − (M x + dM x ) = Bỏ qua lượng vô bé bậc hai d2Mx = Qy dz q (z) ⋅ dz 2 ta suy ra: (2.15) Vậy: “ðạo hàm mômen mặt cắt lực cắt mặt cắt ñó” Từ (2.6) (2.7) ta rút ñược: d2Mx dz = q(z) (2.16) nghĩa là: “ðạo hàm bậc hai mơmen uốn điểm cường độ tải trọng phân bố điểm đó” ... phần ứng suất biết thành phần nội lực Trong trường hợp toán phẳng - trường hợp ñược xét chủ yếu chương sau - ta có ba thành phần nội lực nằm mặt phẳng yz, bao gồm Nz, Qy, Mx Qui ước dấu thành