Bài viết Tính đặt đúng của bài toán biên cho phương trình khuếch tán không cổ điển với hệ số phụ thuộc thời gian trình bày kết quả về tính đặt đúng của bài toán biên Dirichlet cho phương trình khuếch tán không cổ điển với hệ số phụ thuộc thời gian. Cụ thể, sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của nghiệm yếu bài toán.
T NH T NG C A BÀI TOÁN BIÊN CHO PH NG TR NH KHU CH TÁN KHÔNG C V I H S PH THU C TH I GIAN I N Đỗ Thị Hồi, Khoa Tốn - KHTN Nguyễn Thị Thanh Thanh, Trường THCS Xuân Đỉnh Lâm Thị Thoa Trường đại học Hải Dương Email: hoaidt@dhhp.edu.vn Ngày nhận bài: 24/8/2022 Ngày PB đánh giá: 08/9/2022 Ngày duyệt đăng: 15/9/2022 TÓM TẮT : Trong báo này, chúng tơi trình bày kết tính đặt tốn biên Dirichlet cho phương trình khuếch tán khơng cổ điển với hệ số phụ thuộc thời gian Cụ thể, sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin, chứng minh tồn nghiệm yếu tốn Tính nghiệm yếu phụ thuộc liên tục nghiệm vào điều kiện ban đầu Các kết báo cải tiến số kết Yong-feng Liu (Applicable Analysis, 2014) Từ khóa: Phương trình khuếch tán khơng cổ điển; hệ số phụ thuộc thời gian; phương pháp xấp xỉ Galerkin; nghiệm yếu WELL-POSEDNESS OF BOUNDARY-VALUE PROBLEMS FOR THE NON-CLASSICAL DIFFUSION EQUATIONS WITH TIME-DEPENDENT COEFFICIENT ABSTRACT: In this paper, we study the well-posedness of boundary-value problems for the non-classical diffusion equation with a time-dependent coefficient More precisely, using the Galerkin approximation method, we prove the existence of weak solutions The uniqueness and continuous dependence on the initial data of the solutions are also pointed out.The results in this paper will extend and improve some results in Yong-feng Liu (Applicable Analysis, 2015) Keywords: Nonclassical diffusion equations; time-dependent coefficient; Galerkin approximation method; weak solution TR NG ẠI H C HẢI PH NG MỞ ĐẦU Trong báo này, xét tốn biên ban đầu phương trình khuếch tán không cổ điển với hệ số phụ thuộc thời gian có dạng (1) miền bị chặn với biên trơn, Phương trình khuếch tán không cổ điển xây dựng E.C Aifantis (1980) [1], nhằm mơ tả tượng vật lí dịng chảy khơng Newton, tượng học chất rắn (xem [1]) Từ đời nay, lớp phương trình quan tâm nghiên cứu mở rộng nhiều khía cạnh khác Phương trình khuếch tán khơng cổ điển dạng (1) trường hợp ô-tô-nô (tức là, số, ngoại lực không phụ thuộc vào biến thời gian) nghiên cứu C Sun M Yang [8], Y Xiao [12], … Các kết đạt tồn tại, nghiệm; tồn tập hút toàn cục, tập hút mũ điều kiện khác cho hàm phi tuyến miền xét toán (bị chặn không bị chặn) Trong trường hợp không ô-tô-nôm, số, ngoại lực phụ thuộc vào biến thời gian, tính đặt dáng điệu tiệm cận nghiệm toán nghiên cứu (xem [2, 3, 9, 10]) Phương trình khuếch tán khơng cổ điển với hệ số phụ thuộc thời gian có dạng (1) đưa nghiên cứu F Rivero (2013) [7], Y-F Liu D Tao (2015) [6], gần kết J Wang Q.Ma (2021) [11] Cụ thể, [7] F Rivero quan tâm đến cấu trúc tập hút lùi cho mơ hình Trong [6], Y-F Liu D Tao nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm toán (1) trường hợp ngoại lực , hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng kiểu Sobolev dạng Có thể thấy rằng, số mũ tăng trưởng tối đa 3, chưa phải số mũ tới hạn tăng trưởng kiểu Sobolev Ngoài kết trên, gần J Wang [11] đưa kết tồn nghiệm tồn tập hút phụ thuộc thời gian cho toán (1) trường hợp hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng kiểu đa thức Nhìn chung, kết nghiên cứu phương trình khuếch tán khơng cổ điển đa dạng Trong báo này, cải tiến số kết Y-F Liu D Tao [6] Cụ thể, chúng tơi nghiên cứu tốn (1) hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng kiểu Sobolev với số mũ tới hạn (bằng 5) ngoại lực nằm không gian tô-pô yếu TẠP CH KHOA H C, S 54, tháng - 2022 Để nghiên cứu tính đặt tốn, chúng tơi đặt điều kiện cho hệ số phụ thuộc thời gian , hàm phi tuyến ngoại lực sau: (H1) Giả sử hàm giảm, bị chặn thỏa mãn (2) Đặc biệt, tồn cho thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tiêu hao kiểu Sobolev (H2) Hàm (3) (4) (5) (6) với giá trị riêng toán tử với điều kiện biên Dirichlet (H3) Ngoại lực nguyên hàm miền SỰ TỒN TẠI CỦA NGHIỆM Ta xét tốn (1) khơng gian pha - không gian phụ thuộc thời gian, với chuẩn Định nghĩa 2.1 Hàm toán (1) xác định gọi nghiệm yếu Hơn với hầu khắp với hàm thử Định lí 2.1 Giả sử giả thiết thoả mãn Với cho trước, tốn (1) có nghiệm yếu Chứng minh Bằng phương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin [4, 5, 25], ta chứng minh tồn nghiệm yếu toán (1) Giả sử TR NG ẠI H C HẢI PH NG dãy vector riêng toán tử với điều kiện biên Dirichlet Khi đó, sở trực giao diễn sở trực giao Các giá trị riêng tương ứng biểu với Ta chứng minh tồn nghiệm yếu toán (1) qua bước sau: Bước 1: Xây dựng công thức nghiệm xấp xỉ Cho số ngun m, ta kí hiệu chiếu khơng gian sinh , hàm Với phép cố định, ta tìm thoả (7) Theo Định lý Peano, ta nhận tồn nghiệm liên tục đoạn toán (7) Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm Nhân phương trình đầu toán (7) với lấy tổng từ đến , ta (8) Từ giả thiết (3), áp dụng bất đẳng thức Young bất đẳng thức Hölder ta được: (9) Và (10) Thay đánh giá (9) (10) vào (8), ta Áp dụng bất đẳng thức Poincaré, ta (11) Từ giả thiết Chọn , với , ta có với , ta TẠP CH KHOA H C, S 54, tháng - 2022 (12) Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có (13) Mặt khác, lấy tích phân từ đến hai vế (12), ta thu (14) Từ (13) (14), ta suy bị chặn (15) Tiếp theo, ta đánh giá cho hàm phi tuyến Từ (5) suy Lấy tích phân miền Do phép , ta nhúng Mặt khác, , bị chặn liên tục nên bị chặn Để chứng minh đến nên (16) bị chặn, ta nhân phương trình (7) với , sau lấy tổng từ ta (17) Đặt Từ điều kiện (6) suy ra, với Chú ý TR NG ẠI H C HẢI PH NG giả sử , tồn số dương C cho , ta Khi đó, ta thu đánh giá cho sau (18) Mặt khác, từ điều kiện (5) ta có , (19) Áp dụng bất đẳng thức Hưlder Young, ta (20) Từ định nghĩa đánh giá (19), (20) ta (21) Lấy tích phân từ đến (17), ta (22) Từ (15), (18), (21) (22) ta có (23) Do (15) nên từ (23) ta suy Vậy bị chặn không gian (24) Bước Chuyển qua giới hạn Từ (15), (16), (24) ta suy rằng, tồn hàm L2 dãy (vẫn kí hiệu ) cho m ,T ; t với , ta có hội tụ *- yếu TẠP CH KHOA H C, S 54, tháng - 2022 hội tụ yếu (25) hội tụ yếu hội tụ yếu Bên cạnh đó, kết hợp (15) với (24) sử dụng Bổ đề Aubin-Lions, suy tồn dãy (vẫn kí hiệu Khi đó, ) cho hầu khắp nơi Tiếp theo, ta chứng minh (26) Thật vậy, dựa vào (26) tính liên tục ta có hầu khắp nơi Cuối cùng, ta chứng minh cho hội tụ Xét phương trình Nhân phương trình (27) với lấy tích phân Từ giả thiết (4) tính đơn điệu dãy Cauchy Do đó, tính giới hạn, ta có hội tụ Như vậy, 10 TR NG ẠI H C HẢI PH NG với , ta thu có Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta Mà (27) (28) Đồng thời, Từ đó, dễ dàng chứng minh Vậy từ đây, ta thu tồn nghiệm yếu tốn (1) TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM YẾU VÀ SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA NGHIỆM VÀO ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU Định lí 3.1 Giả sử giả thiết Định lí 2.1 thoả mãn, nghiệm yếu tốn (1) Hơn nữa, nghiệm yếu phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu Chứng minh Giả sử hai nghiệm (1) với điều kiện ban đầu tương ứng Đặt thoả mãn phương trình sau (29) với kiện ban đầu Nhân phương trình (29) với Từ giả thiết lấy tích phân tính đơn điệu , ta thu có Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có (30) Từ (30) ta thu tính nghiệm phụ thuộc liên tục nghiệm vào điều kiện ban đầu KẾT LUẬN Bài báo nghiên cứu, cải tiến, mở rộng điều kiện áp đặt lên thành phần phương trình khuếch tán khơng cổ điển với hệ số phụ thuộc thời gian Từ giúp ta nghiên cứu lớp phương trình khuếch tán khơng cổ điển rộng Bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin cải tiến kĩ thuật đánh giá, chứng minh toán tồn tại, nghiệm yếu TÀI LIỆU THAM KHẢO E.C Aifantis (1980), “On the problem of diffusion in solids”, Acta Mech, 37, 265-296 C.T Anh and T.Q Bao (2010), “Pullback attractors for a class of nonautonomous nonclassical diffusion equations”, Nonlinear Anal, 73, 399-412 TẠP CH KHOA H C, S 54, tháng - 2022 11 C.T Anh and T.Q Bao (2012), ‘Dynamics of non-autonomous nonclassical diffusion equations on RN”, Comm Pure Appl Anal, 11, 1231-1252 C.T Anh and N.D Toan (2012), “Pullback attractors for nonclassical diffusion equations in non-cylindrical domains”, Int J Math Math Sci, Article ID 875913, 30 p S Cheng (2015), “Random attractor for the nonclassical diffusion equation with fading memory”, J Partial Differ Equ 28, no 3, 253-268 Y-F Liu, D Tao (2015), “Time-dependent global attractor for the nonclassical diffusion equations”, Appl Anal 94, no 7, 1439-1449 F Rivero (2013), “Time dependent perturbation in a non-autonomous non-classical parabolic equation”, Discrete Contin Dyn Syst Ser, B18, 209-221 C Sun and M Yang (2009), “Dynamics of the nonclassical diffusion equations”, Asymp Anal 59, 51-81 T.W Ting (1963), “Certain non-steady flows of second-order fluids”, Arch Ration Mech Anal 14, 1-26.41 10 S Wang, D Li and C Zhong (2006), “On the dynamic of a class of nonclassical parabolic equations”, J Math Anal Appl, 317, 565-582 11 J Wang and Q Ma (2021), “Asymptotic dynamic of the nonclassical diffusion equation with time-dependent coefficient”, J Appl Anal Comput.11, no 1, 445-463 12 Y Xiao (2002), “Attractors for a nonclassical diffusion equation”, Acta Math Appl Sin Engl Ser 18, 273-276 12 TR NG ẠI H C HẢI PH NG ... Trong báo này, xét tốn biên ban đầu phương trình khuếch tán không cổ điển với hệ số phụ thuộc thời gian có dạng (1) miền bị chặn với biên trơn, Phương trình khuếch tán khơng cổ điển xây dựng E.C... LUẬN Bài báo nghiên cứu, cải tiến, mở rộng điều kiện áp đặt lên thành phần phương trình khuếch tán khơng cổ điển với hệ số phụ thuộc thời gian Từ giúp ta nghiên cứu lớp phương trình khuếch tán. .. toán (bị chặn không bị chặn) Trong trường hợp không ô-tô-nôm, số, ngoại lực phụ thuộc vào biến thời gian, tính đặt dáng điệu tiệm cận nghiệm toán nghiên cứu (xem [2, 3, 9, 10]) Phương trình khuếch