a BÀI – PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG I – PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Vectơ pháp tuyến phương trình mặt phẳng Vectơ pháp tuyến: n gọi vectơ pháp tuyến ( ) giá n vng góc với ( ) Phương trình mặt phẳng ( ) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ pháp tuyến n = ( a ; b ; c ) có phương trình: a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) + c ( z − z0 ) = Phương trình tổng quát: ax + by + cz + d = ( a + b + c ) Định lý Trong không gian Oxyz , phương trình ax + by + cz + d = với a + b2 + c phương trình mặt phẳng định Các trường hợp riêng Trong không gian Oxyz , cho ( ) : ax + by + cz + d = Nếu d = O ( ) Nếu a = ( ) song song với Ox (khi d ) chứa trục Ox (khi d = ) Nếu b = ( ) song song với Oy (khi d ) chứa trục Oy (khi d = ) Nếu c = ( ) song song với Oz (khi d ) chứa trục Oz (khi d = ) a = Nếu ( ) song song với ( Oxy ) (khi d ) trùng với ( Oxy ) (khi d = ) b = a = Nếu ( ) song song với ( Oxz ) (khi d ) trùng với ( Oxz ) (khi d = ) c = b = Nếu ( ) song song với ( Oyz ) (khi d ) trùng với ( Oyz ) (khi d = ) c = Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Trong không gian Oxyz , cho A ( a ;0;0 ) Ox, B ( 0; b ;0 ) Oy, C ( 0;0; c ) Oz với abc Phương trình ( ABC ) : x y z + + = a b c Bài – Phương trình mặt phẳng 33 II – VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG Cho hai mặt phẳng ( ) ( ) có phương trình: ( ) : Ax + By + Cz + D = ( ) : Ax + By + C z + D = a) Hai mặt phẳng cắt A : B : C A : B : C A B C D b) Hai mặt phẳng song song với = = A B C D A B C D c) Hai mặt phẳng trùng = = = A B C D III – KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG Định lý Trong không gian Oxyz , cho mp ( ) có phương trình Ax + By + Cz + D = điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) , kí hiệu d ( M , ( ) ) , tính theo cơng thức: d ( M , ( ) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C Hệ Cho hai mặt phẳng song song: ( P ) : ax + by + cz + d = ( Q ) : ax + by + cz + d = Khoảng cách hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) là: d ( ( P ) , ( Q ) ) = d − d a + b2 + c2 IV – CÁC DẠNG TOÁN DẠNG – LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG KHI BIẾT ĐIỂM VÀ VECTƠ PHÁP TUYẾN Lập phương trình mặt phẳng ( P ) biết: a) ( P ) qua A (1; 2;3) , B ( 4; − 2; − 1) , C ( 3; − 1; ) b) ( P ) mặt phẳng trung trực đoạn AC c) ( P ) qua M ( 0;0;1) , N ( 0; 2;0 ) song song với AB d) ( P ) qua hình chiếu điểm A lên trục tọa độ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M ( −1; 2;3) song song với mặt phẳng ( Q ) : x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) : x − 3z + = (P) qua ( R ) : x + y − z + = (1; −1; ) vng góc với mặt phẳng 34 Thầy Đỗ Văn Đức – Website: http://thayduc.vn/ Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua hai điểm A ( 0;1;0 ) , B (1; 2; −2 ) vng góc với mặt phẳng ( Q ) : x − y + 3x + 13 = Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A (1;0;1) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;1; ) Viết phương trình mặt phẳng ( R) : x + y + z − = (P) qua M ( 2;0;1) giao tuyến mặt phẳng ( Q ) : x + y + z − = Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua giao tuyến mặt phẳng ( R ) : y + z − = ; ( Q ) : x + y − z + = song song với mặt phẳng ( ) : x + y + z − = Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua giao tuyến mặt phẳng ( R ) : 3x − y + z − = ; (Q ) : x + y − = vng góc với mặt phẳng ( ) : x − z = Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm M (1;9; ) cắt trục tọa độ điểm A, B, C (khác gốc tọa độ) cho a) M trực tâm ABC b) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mp ( ) lớn c) OA = OB = OC d) 8OA = 12OB + 16 = 37OC xA 0; zC 10 Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua M (1; 4;9 ) cho ( ) cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C thỏa mãn a) M trọng tâm tam giác ABC b) Tứ diện OABC tích lớn c) Khoảng cách từ O đến mp ( ABC ) lớn d) OA + OC = 4OB OA = OB + 11 Lập phương trình mặt phẳng ( P ) trường hợp sau: a) ( P ) qua A (1; 2;1) song song với ( Q ) : x + y + 3z − = b) ( P ) qua M ( 0;1; ) , N ( 0;1;1) , P ( 2;0;0 ) c) ( P ) mặt phẳng trung trực đoạn thẳng MN (với M , N ý b ) d) ( P ) qua hình chiếu điểm A (1; 2;3) lên trục tọa độ e) ( P ) qua B (1; 2;0 ) , C ( 0; 2;0 ) vng góc với ( R ) : x + y + z + = 0; Bài – Phương trình mặt phẳng ( P ) qua ( ) : y − z − = f) 12 35 D ( −1; 2;3) vng góc với hai mặt phẳng ( ) : x − = Lập phương trình mặt phẳng ( ) biết a) ( ) qua M ( 2;3;1) song song với mặt phẳng ( P ) : x − y + 3z − = 0; b) ( ) qua A ( 2;1;1) , B ( −1; − 2; − 3) vng góc với ( ) : x + y + z = c) ( ) chứa trục Ox vng góc với ( Q ) : x + y − z + = d) ( ) qua giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) , đồng thời ( ) vng góc với mặt phẳng ( ) : 3x + y − z + = 13 Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x − y + 3z − = 0; ( Q ) : x − y + = Mặt phẳng ( ) vng góc với ( P ) ( Q ) , đồng thời cắt trục Ox điểm có hồnh độ Phương trình mặt phẳng ( ) là: A 3x + y + z − 15 = B x + y + z + = C −2 x + z + = D −2 x + z − = DẠNG – LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG KHI BIẾT CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN TỚI GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH 14 Lập phương trình mặt phẳng ( ) biết: a) ( ) qua A ( −1;1;1) , B ( 3;0; ) khoảng cách từ C (1;0; − ) đến ( ) b) ( ) cách hai mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = 0; ( Q ) : x − y + z − = 0; c) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa trục Oz tạo với ( Q ) : x − y + 11z + = góc = 60 15 Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A (1; 2;3) , B ( −2;3; −1) , C ( 0;1;1) , D ( −4; −3;5 ) Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua hai điểm A, B cách hai điểm C D 16 Lập phương trình mặt phẳng ( P ) , biết ( P ) song song với ( Q ) : x − y − z − 14 = khoảng cách từ I (1; − 2;3) đến ( P ) Thầy Đỗ Văn Đức – Website: http://thayduc.vn/ 36 17 (P) , Lập phương trình mặt phẳng biết (P) qua giao tuyến hai mặt phẳng 1 ( ) : x − 3z − = ( ) : y − z + = 0, khoảng cách từ M 0;0; đến ( P ) 2 18 Lập phương trình mặt phẳng ( P ) , biết ( P ) qua O , vng góc với ( Q ) : x + y + z = cách điểm M (1; 2; − 1) khoảng 19 Lập phương trình mặt phẳng ( P ) , biết ( P ) qua M ( 3;0;1) , N ( 6; −2;1) ( P ) tạo với ( Oyz ) 20 2 góc thỏa mãn cos = Lập phương trình mặt phẳng ( P ) , biết ( P ) cách hai mặt phẳng ( ) : x + y − z + = ( ) : x + y + z + = 21 Lập phương trình mặt phẳng ( P ) , biết ( P ) qua hai điểm C ( −1;0; ) , D (1; −2;3) , khoảng cách từ gốc tọa độ tới ( P ) 22 Lập phương trình mặt d ( A, ( )) = 2; d ( B, ( )) = 23 phẳng ( ) , biết ( ) qua E ( 0;1;1) , 11 , A (1; 2; − 1) , B ( 0; − 3; ) Tìm m, n để mặt phẳng sau qua đường thẳng ( P ) : x + my + nz − = 0; ( Q ) : x + y − 3z + = ( R ) : x + y + z − = Khi viết phương trình mặt phẳng ( ) qua đường thẳng chung tạo với ( P ) góc cho cos = 24 Lập phương trình mặt phẳng ( ) , biết ( ) qua A (1;0; ) , B ( 2; −3;3) tạo với ( ) : 4x + y + z − = 25 23 679 góc 60 ( ) , biết ( ) qua C ( 2; − 3;5) , tạo với ( Q ) : x + y + z − = góc 45 Lập phương trình mặt phẳng ( P) : x − 5y − z +1 = vng góc với Bài – Phương trình mặt phẳng 26 Trong khơng gian 37 Oxyz , cho hai điểm ( P ) : x − y − z + = Tìm tọa độ điểm C A (1;0;0 ) , B ( 0;0;1) mặt phẳng trục Oy cho mp ( ABC ) hợp với ( P ) góc 45 27 Trong khơng gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = 0, ( Q ) : x − y + z + = Có điểm M có hồnh độ nguyên thuộc Ox cho tổng khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) khoảng cách ( P ) , ( Q ) 28 Trong không gian Oxyz , cho A (1; 2;1) , B ( 3; 4;0 ) , mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz + 46 = Biết khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng ( P ) Giá trị biểu thức T = a + b + c A −3 B −6 C D DẠNG – VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI – KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM TỚI MẶT PHẲNG – GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 29 Trong khơng gian Oxyz , cho điểm H ( 2;1; ) Biết H hình chiếu O lên ( P ) Số đo góc ( P ) ( Q ) : x + y − 11 = A 60 30 C 45 B 30 D 90 Trong không gian Oxyz , cho ( P ) : x + y − z − = ( Q ) : x + y − z + = Khoảng cách hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) A 31 15 C 15 D Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD với A(1; 2;3), B(−3;0;0), C (0; −3;0), D(0;0;6) Độ dài đường cao hạ từ đỉnh A tứ diện ABCD A 32 B B C D ( b 0, c ) ( P ) : y − z + = Tính S = b + c biết mặt phẳng ( ABC ) vng góc với ( P ) khoảng cách Trong không gian Oxyz , từ O đến ( ABC ) A S = cho B S = A (1;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) , C S = D S = Thầy Đỗ Văn Đức – Website: http://thayduc.vn/ 38 33 Trong không gian Oxyz , cho hai mặt ( P ) : x + by + z − = a, b hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) phẳng ( Q ) : ax + y − z + = 0, ( a, b ) Với giá trị song song với nhau? 34 Biết không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) thỏa mãn điều kiện qua hai điểm A (1;1;1) B ( 0; − 2; ) , đồng thời cắt trục tọa độ Ox, Oy điểm cách điểm O không trùng với O Giả sử (P) có phương trình x + b1 y + c1 z + d1 = ( Q ) có phương trình x + b2 y + c2 z + d = Tính giá trị biểu thức b1b2 + c1c2 A 35 B −9 C −7 D ( P ) : ax + by + cz − = với c A ( 0;1;0 ) , B (1;0;0 ) tạo với mặt phẳng ( yOz ) góc 60 Khi Trong không gian Oxyz , biết qua hai điểm a + b + c thuộc khoảng sau đây: A ( 0;3) 36 B ( 3;5 ) C ( 5;8 ) D ( 8;11) Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1; 2; ) Các số a, b khác thỏa mãn khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( P ) : ay + bz = 2 Khẳng định sau đúng? A a = −b 37 B a = 2b C b = 2a D a = b Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1; 2;3) , B (1;0; − 1) , C ( 2; − 1; ) Điểm D thuộc tia Oz cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D tứ diện ABCD 30 có 10 tọa độ là: A ( 0;0;1) 38 B ( 0; 0;3 ) C ( 0;0; ) D ( 0;0; ) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( a ;0;0 ) , B ( 0; b ;0 ) , C ( 0;0; c ) với a, b, c số thực dương thay đổi tùy ý cho a + b2 + c = Khoảng cách từ O đến mp ( ABC ) lớn A 39 B C D Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; −1) , B ( 2;0;1) , C ( −2; 2;3) Đường thẳng nằm mặt phẳng ( ABC ) , qua trực tâm H ABC , tạo với đường thẳng Bài – Phương trình mặt phẳng 39 AB, AC góc 45 có vectơ phương u ( a ; b ; c ) với c số nguyên tố Giá trị biểu thức ab + bc + ca A −67 C −33 B 23 D −37 40 Tìm hình chiếu vng góc M ( 3;6; ) lên mp ( P ) : x − y + z + 25 = 41 Tìm tọa độ hình chiếu H A ( −2;1;0 ) mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = 42 Cho điểm A ( 2;3;5 ) mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 17 = Tìm tọa độ điểm A điển đối xứng với A qua ( P ) 43 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;1) , B ( 3;0; −1) ( P ) : x + y − z − = Gọi M , N hình chiếu A B mặt phẳng ( P ) Tính độ dài đoạn MN A 44 B C D Cho hai điểm A (1; 2;1) , B ( 4;5; − ) mặt phẳng ( P ) : 3x − y + z + = Đường thẳng AB cắt ( P ) điểm M Tính tỉ số A B MB MA C - Hết - D