Chương I ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 1 1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Phép thử 1 quá trình tạo ra 1 kết quả mà ta đã biết đươc tập hợp các kết quả xảy ra của quá trình này Tập hợp các kết quả gọi là không gian mẫu Ω.
Chương I: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 1.1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Phép thử - trình tạo kết mà ta biết đươc tập hợp kết xảy trình Tập hợp kết gọi khơng gian mẫu Ω Ví dụ Phép thử Tung đồng xu Tung xúc xắc Chơi trận bóng đá Các kết xảy Sấp, Ngửa 1,2,3,4,5,6 chấm Thắng, Hồ, Thua Xác suất biến cố Biến cố A: tập không gian mẫu Ω Xác suất biến cố A định nghĩa sau: Trong đó: Số phần tử tập A Số phần tử không gian mẫu Ω Bài Tập Bài 1.1 Gieo đồng xu có mặt S N lần Mơ tả khơng gian mẫu tính xác suất biến cố A: mặt S xuất lần Giải Ω = {SSS; SSN; SNS; NSS; SNN; NSN; NNS; NNN} A = {SSN; SNS; NSS} Bài 1.2 Một hộp đựng bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất bi lấy có đủ màu xanh đỏ Giải: Định nghĩa đại lượng ngẫu nhiên Định nghĩa đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) hay Biến ngẫu nhiên (BNN) hàm số phần tử thuộc Ω thành số thực Các số thực gọi giá trị BNN, phụ thuộc vào kết phép thử Ký hiệu: BNN ký hiệu là: X, Y, Z, … Các giá trị BNN ký hiệu là: a, b, x, y, z, … Ví dụ Phép thử Tung xúc xắc Không gian mẫu 1,2,3,4,5,6 chấm Biến ngẫu nhiên (X) Số chấm xuất Giá trị nhận 1,2,3,4,5,6 Ví dụ Phép thử Chơi trận bóng đá Khơng gian mẫu Thắng, Hoà, Thua Biến ngẫu nhiên (X) Kết trận đấu Giá trị nhận (Thắng), (Hoà), (Thua) Phân loại biến ngẫu nhiên: BNN chia thành loại BNN Rời rạc BNN Liên tục Là BNN mà tập giá trị nhận Là BNN mà tập giá trị nhận tập hợp hữu hạn hay tập vô hạn đếm khoảng trục số hay trục số thực {0;1;2;3} (0;+∞) ℝ {0;1;2;3;4;…} (4;10) Ví dụ BNN Rời rạc Phép thử Liên lạc với khách hàng BNN (X) Số lượng khách đặt hàng Kiểm tra chất lượng 50 TV Số TV chất lượng Giá trị nhận 0, 1, 2, 3, 4, Ví dụ BNN Liên tục Phép thử Quan sát ngân hàng BNN (X) Thời gian cách KH (phút) Rót lượng nước vào can dung tích 12,1 lít Thể tích nước (lít) rót vào Giá trị nhận Chú ý Khi giá trị BNN X lấy tuỳ ý khoảng R hay R ta coi BNN liên tục Thực chất BNN liên tục lấy làm xấp xỉ cho BNN rời rạc tập giá trị BNN rời rạc trở nên dày đặc Ví dụ Chọn ngẫu nhiên người Khi BNN X: “Chiều cao người đó” BNN rời rạc với giá trị đủ nhiều tập R Nên ta coi BNN liên tục Ví dụ Cho biết BNN sau rời rạc hay liên tục Phép thử Thực kiểm tra gồm 20 câu hỏi Biến ngẫn nhiên (X) Số câu TL RỜI RẠC Cân bưu phẩm Khối lượng (Kg) bưu phẩm LIÊN TỤC Kiểm tra nhiệt độ lúc 13h Nhiệt độ LIÊN TỤC Quan sát số ô tô qua trạm kiểm sốt ngày Số tô qua trạm RỜI RẠC 1.2 BIỂU DIỄN BIẾN NGẪU NHIÊN 1.2.1 Biểu diễn BNN rời rạc Xét BNN rời rạc X nhận giá trị x1, x2, …, xn Giả sử x1 < x2 < … < xn, ta có bảng phân phối xác suất X sau: X x1 x2 … xn P Trong đó: p1 p2 … pn xác suất X X nhận giá trị xi, với Ví dụ Tung đồng xu Lập bảng phân phối xác suất mặt sấp xuất Giải: Khi tung đồng xu có kết quả: {NN; SN; NS; SS} Gọi BNN X số mặt sấp xuất Tập giá trị X {0,1,2} Chọn ngẫu nhiên đứa trẻ từ nhóm có nam nữ Lập bảng ppxs số bé nữ X P chọn Giải: Gọi BNN X số bé nữ chọn Tập giá trị X {0,1,2,3} X P Tính chất bảng ppxs 1) 2) Xác xuất để X nhận giá trị từ a đến b 1.2.2 Biểu diễn BNN liên tục Để biểu diễn BNN liên tục X có tập giá trị D ta dùng hàm số f(x) xác định D thoả mãn Hàm số f(x) gọi hàm mật độ xác suất Ý nghĩa hàm mật độ xác suất: Miêu tả xác suất BNN thuộc khoảng có giá trị vùng diện tích hàm mật độ khoảng Tính chất hàm mật độ xác suất BNN liên tục • • Chú ý Ví dụ Cho BNN liên tục X có hàm mật độ Tính Giải • • • Bài Tập: Bài 1.1 X P 0,15 0,45 0,30 0,10 Tính P(−2 < X < 2), P(−1 ≤ X ≤ 1,5) Giải • • * Bài 1.2 Cho X BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất X P a) Tìm a b) Với a tìm được, tính Giải a) Đk BPPXS b) Bài 1.16 Cho BNN liên tục X có hàm mật độ a) Tìm c b) Tính Giải a) Tính chất hàm mật độ xs BNN liên tục b) Tính P(X < 2) 1.6 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA BNN 1.6.1 Kỳ vọng a) Kỳ vọng BNN rời rạc Cho BNN rời rạc X có Bảng PPSX X x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … Kỳ vọng X ký hiệu EX hay μ, định nghĩa Ví dụ X P Kỳ vọng: Ví dụ Bảng thống kê số ô tô bán ngày cửa hàng A 300 ngày Số ô tô/ngày Số ngày 54 117 72 42 12 Giải Gọi X BNN số ô tô bán ngày, lập bảng phân phối xác suất X tính EX Ta có: X P 0,39 0,24 0,14 0,04 0,01 Tính số trung bình số tơ bán ngày: Nhận xét: Khi tiến hành n lần phép thử BNN X cho kết , ứng với số lần xuất Khi giá trị trung bình BNN X n lần thử là: Và nữa: Do vậy, kỳ vọng xem giá trị trung bình BNN X, đại diện cho tập giá trị X b) Kỳ vọng BNN liên tục X Giả sử BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x), kỳ vọng BNN X định nghĩa Ví dụ Cho BNN X có hàm mật độ xác suất: Tìm EX Ví dụ Cho BNN Y có hàm mật độ xác suất: Tìm EY 1.6.2 Phương sai – Độ lệch chuẩn Phương sai Phương sai BNN X, ký hiệu VarX, định nghĩa sau: Tuy nhiên ta sử dụng cơng thức sau để tính: BNN RỜI RẠC BNN LIÊN TỤC Ý nghĩa phương sai độ phân tán giá trị so với EX Ví dụ BNN X có bảng ppxs: X P Kỳ vọng: Phương sai: Ví dụ Cho BNN X có hàm mật độ xác suất: Có Tìm Độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn BNN X bậc phương sai Do phương sai ký hiệu 1.6.3 Giá trị tin Giá trị tin BNN X ký hiệu Trong BNN rời rạc Trong BNN liên tục với hàm mật độ Ví dụ Tìm ModX, ModY X P lớn X P 0,15 0,4 0,4 0,05 Bài tập chương I Bài 1.1 Cho BNN rời rạc có bảng ppxs X P 0,15 a) Tính , b) Tìm kỳ vọng phương sai X 0,45 0,30 0,10 Giải a) b) Bài 1.2 Cho X BNN rời rạc có bảng ppxs X P a a) Tìm a b) Tính c) Tính EX, VarX 2a 2a 3a Giải a) b) X P 0,1 0,2 0,2 0,3 0,01 0,02 0,17 c) Bài 1.5 Một kiện hàng có sản phẩm tốt sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng sản phẩm (chọn lần) a) Lập bảng hàm ppxs số sản phẩm tốt chọn được; b) Lập bảng hàm ppxs số sản phẩm xấu chọn được; c) Tính kỳ vọng, phương sai số sản phẩm tốt; xấu Giải Gọi X BNN số sp tốt chọn X 2 P Gọi Y BNN số sp xấu chọn Y P Bài 1.15 Cho BNN liên tục X có hàm mật độ Tìm EX VarX Bài 1.16 Cho BNN liên tục X có hàm mật độ a) Tìm c b) Tính c) Tính EX VarX Giải Vậy Chương II: CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 2.1 PHÂN PHỐI NHỊ THỨC (BIMONIAL DISTRIBUTION) A) Phân phối Bernoulli * Phép thử mà ta quan tâm đến biến cố A có xảy hay khơng gọi phép thử Bernoulli Ví dụ Tung đồng xu Biến cố A “Mặt S xuất hiện” Tung xúc xắc Biến cố A “Mặt chấm xuất hiện” Kiểm tra sinh viên, biến cố A “có học” * , A không xảy ra, A xảy * Giả sử Ta ký hiệu * Khi ta có bảng phân phối xác suất X P p 5/6 1/6 Ví dụ Tung xúc xắc Biến cố A “Mặt chấm” X BNN mặt chấm xuất X P B) Phân phối nhị thức * Định nghĩa Khi thực n lần phép thử Bernoulli, xác suất xảy biến cố A p * Các BNN có pp Bernoulli , A không xảy ra, A xảy * Thì BNN số lần A xảy n lần gọi có phân phối nhị thức với tham số n p * Ký hiệu * Tập giá trị X Ví dụ Một xạ thủ bắn cung lần, xác suất lần trúng 0,7 Gọi X BNN số lần trúng ... khoản đầu tư: hay – HẾT – Chương III: NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ 3.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM 3.1.1 Tổng thể thống kê, đơn vị tổng thể mẫu - Tổng thể thống kê (tổng thể) tập hợp đơn vị cá biệt (phần tử) thuộc tượng... suất Khoảng tiền lãi Hay – HẾT – Chương VI: KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ Một số ví dụ giả thiết thống kê Trung bình điểm thống kê kinh doanh SV 6,5; Tỷ lệ SV đậu môn học 85%; Tỷ lệ người nhiễm virus... ModY X P lớn X P 0,15 0,4 0,4 0,05 Bài tập chương I Bài 1.1 Cho BNN rời rạc có bảng ppxs X P 0,15 a) Tính , b) Tìm kỳ vọng phương sai X 0,45 0,30 0,10 Giải a) b) Bài 1.2 Cho X BNN rời rạc có bảng