Matlab Mật Mã Lý Thuyết Shannon

Tiểu Luận Lý Thuy t Mật mã GV: Lê Xuân Đại LÝ THUY T SHANNON Nhóm thực hiện: - Trần Nguyên Khuyến – MSSV: 41201752 - Nguyễn Trần Quang Khải – MSSV: 41201663 Nội dung: Năm 1949, Claude shannon cơng bố báo có nhan đề " Lý thuyết thơng tin mật mã" tạp chí " The Bell System Technical Journal" Bài báo có ảnh hưởng lớn đến việc nghiên cứu khoa học mật mã Trong chương ta thảo luận vài ý tưởng lý thuyết Shannon 1.1 Tổng quát  Có hai quan điểm độ an tồn mật mã Độ an tồn tính tốn: Đo độ liên quan đến nỗ lực tính toán cần thiết để phá mật mã Một mật mã an tồn mặt tính tốn có thuật tốn tốt để phá cần N phép toán, N số lớn vấn đề chỗ, khơng có mật mã thực tế biết chứng tỏ an toàn theo định nghĩa Trên thực tế, người ta gọi mật mã "an toàn mặt tính tốn" có phương pháp tốt phá hệ yêu cầu thời gian lớn đến mức không chấp nhận được.(Điều tất nhiên khác với việc chứng minh độ an toàn)  Độ an toàn chứng minh được: Một quan điểm chứng minh độ an tồn tính tốn quy độ an toàn mật mã toán nghiên cứu kỹ toán coi khó Ví dụ, ta chứng minh khẳng định có dạng " Một mật mã cho an tồn khơng thể phân tích thừa số số nguyên n cho trước" Các mật mã loại gọi " an toàn chứng minh được" Tuy nhiên cần phải hiểu rằng, quan điểm cung cấp chứng minh độ an tồn có liên quan đến tốn khác khơng phải chứng minh hồn chỉnh độ an tồn ( Tình hình tương tự việc chứng minh toán Tiểu Luận Lý Thuy t Mật mã GV: Lê Xuân Đại NP đầy đủ: Có thể chứng tỏ tốn cho chí khó tốn NP đầy đủ khác , song chứng minh hồn chỉnh độ khó tính tốn tốn)  Độ an tồn khơng điều kiện Độ đo liên quan đến độ an toàn mật mã khơng có hạn chế đặt khối lượng tính tốn mà Oscar phép thực Một mật mã gọi an tồn khơng điều kiện khơng thể bị phá chí với khả tính tốn khơng hạn chế Khi thảo luận độ an toàn mật, ta phải kiểu công xem xét Trong chương cho thấy rằng, không mật mã hệ mã dịch vòng, mã thay mã Vigenère coi an tồn mặt tính tốn với phương pháp cơng với mã ( V i khối lượng mã thích hợp) Điều mà ta làm phần để phát triển lý thuyết mật mã có độ an tồn khơng điều kiện với phương pháp công với mã Nhận thấy rằng, ba mật mã nêu mật mã an tồn vơ điều kiện phần tử rõ mã hoá khố cho trước! Rõ ràng độ an tồn không điều kiện mật mã nghiên cứu theo quan điểm độ phức tạp tính tốn thời gian tính tốn cho phép khơng hạn chế lý thuyết xác suất tảng thích họp để nghiên cứu độ an tồn khơng điều kiện Tuy nhiên ta cần số kiến thức sơ đẳng xác suất; định nghĩa nêu  Định nghĩa 1.1 Giả sử X Y biến ngẫu nhiên Kí hiệu xác suất đế X nhận giá trị x p(x) để Y nhận giá trị y p(y) Xác suất đồng thời p(x,y) xác suất đế X nhận giá trị X Y nhận giá trị y Xác suất có điều kiện p(x /y) xác suất để X nhận giá trị với điều kiện Y nhận giá trị y Các biến ngẫu nhiên X v Y gọi độc lập p(x,y) = p(x) p(y) với giá trị x X v y c ủ a Y Quan hệ xác suất đồng thời xác suất có điều kiện biểu thị theo công thức: p(x,y) = p(x | y) p(y) Đổi chỗ X y ta có : p(x,y) = p(y |x) p(x) Từ hai biểu thức ta có thê rút kết sau:(được gọi định lý Bayes) Tiểu Luận Lý Thuy t Mật mã  GV: Lê Xuân Đại Định lý 1.1: (Định lý Bayes) Nếu p(y) > thì:  Hệ 1.2 X Y biến độc lập khi: p(x | y) = p(x) với x,y Trong phần ta giả sử rằng, khoá cụ thể dùng cho mã Giả sử có phân bố xác suất khơng gian rõ P Kí hiệu xác suất tiên nghiệm để rõ xuất pp (x) Cũng giả sử rằng, khóa K đuợc chọn ( Alice Bob ) theo phân bố xác suất xác định ( Thơng thường khố chọn ngẫu nhiên, tất khoá đồng khả năng, nhiên khơng phải điều bắt buộc) Kí hiệu xác suất để khóa K chọn pp(K) Cần nhớ khóa chọn trước Alice biết rõ Bởi giả định khố K rõ X kiện độc lập Hai phân bố xác suất Pvà K tạo phân bố xác suất C Thật vậy, dễ dàng tính xác suất pp(y) với y mã gửi Với khoá K  K , ta xác định: C(K)= { eK(x) : X  P } C(K) biểu thị tập mã K khóa Khi với y  C , ta có : ∑ {K:y  C(K)} Pk K  pp  d  y  K Nhận thấy rằng, với y  C x  P, tính xác suất có điều kiện pc(y|x) (Tức xác suất để y mã với điều kiện rõ x: Bây ta tính xác suất có điều kiện pp (x I y ) ( tức xác suất để x rõ với điều kiện y mã) cách dùng định lý Bayes Ta thu công thức sau: Tiểu Luận Lý Thuy t Mật mã GV: Lê Xuân Đại Các phép tính thực biết phân bơ xác suất Sau trình bày ví dụ đơn giản để minh hoạ việc tính tốn phân bố xác suất o Ví dụ 1.1 Giả sử P = {a,b} với pp(a) = 1/4, pp(b) = 3/4 Cho K = { K1, K2, K3} với pk(K1) = 1/2, pk(K2) = pk(K3) = 1/4 Giả sử c = {1,2,3,4} hàm mã xác định eK1(a)=1, eK1(b)=2, eK2(a)=2, eK2(b)=3 eK3(a)=3, eK3(b)=4 Mật mã biểu thị ma trận mã hoá a B K1 K2 K3 Tính phân bố xác suất Pc ta có: pc (1) = 1/8 pc (2) = 3/8 + 1/16 = 7/16 pc(3) = 3/16+ 1/16= ¼ pc(4)=3/16 Bây ta phân bố xác suất có điều kiện rõ với điều kiện biết mã Ta có : pp(a |1) = pP(b |1) = pP(a | 2) = 1/7 pP(b | 2) = 6/7 pp(a | 3) = 1/4 pp (b | 3) = 3/4 pp(a | 4) = pp(b | 4) = Tiểu Luận Lý Thuy t Mật mã GV: Lê Xuân Đại Bây ta có đủ điều kiện để xác định khái niệm độ bảo mật hồn thiện Một cách khơng hình thức, độ bảo mật hồn thiện có nghĩa Oscar với mã tay thu thông tin rõ ý tưởng làm xác cách phát biểu theo thuật ngữ phân bố xác suất định nghĩa sau:  Định nghĩa 1.2 Một mật mã có độ bảo mật hồn thiện pp(x| y) = pp(x) với x  P, y  C Tức xác suất hậu nghệm để rõ x với điều kiện thu mã y đồng với xác suất tiên nghiệm để rõ x Trong ví dụ 1.1 có mã thoả mãn tính chất độ bảo mật hồn thiện, mã khác khơng có tính chất Sau chứng tỏ rằng, MDV có độ bảo mật hoàn thiện, mặt trực giác, điều dường hiển nhiên Với mã dịch vòng, biết phần tử mã y  Z26 , phần tử rõ x  Z26 , mã giải y tuỳ thuộc vào giá trị khố Định lý sau cho khẳng định hình thức hoá chứng minh theo phân bố xác suất  Định lý 1.3 Giả sử 26 khoá MDV có xác suất 1/26 khỉ MDV có độ bảo mật hồn thiện với phân bố xác suất rõ Chứng minh: T a c ó P = C = K = Z26 với < K < 25, quy tắc mã hoá eKlà eK(x) =x +K mod 26 (x  Z26) Trước tiên tính phân bố Pc Giả sử y  Z26, đó: Xét thấy với y cố định, giá trị y -K mod 26 tạo thành hoán vị Z26và pp phân bố xác suất Bởi ta có: =1 Do pc (y) = 1/26 Tiểu Luận Lý Thuy t Mật mã GV: Lê Xuân Đại với y  Z26 Tiếp theo ta có: pc (y|x) = pK(y -x mod 26) = 1/26 Vơi x,y với cặp x,y, khóa K (khố đảm bảo eK(x) = y ) khoá K = y-x mod 26 Bây sử dụng định lý Bayes, ta dễ dàng tính: Bởi vậy, MDV có độ bảo mật hồn thiện Như vậy, mã dịch vịng mật mã khơng phá miễn dùng khố ngẫu nhiên để mã hoá ký tự rõ Sau nghiên cứu độ bảo mật hoàn thiện trường hợp chung Trước tiên thấy rằng,(sử dụng định lý Bayes) điều kiện để pp (x |y) = pp (x) với x  P , y  C tương đương với pc (y |x) = pc (y) với x  P , y  C Giả sử pc (y) > với y C (pc (y) = mã khơng dùng loại khỏi C) Cố định giá trị x  P Với  ta có pc (y |x) = pc (y) > Bởi vậy, với y C phải có khoá K cho eK(x) = y Điều dẫn đến |K|  |C| Trong mật mã ta phải |C|  |P| có quy tắc mã hoá đơn ánh Trong trường hợp giới hạn, |K|= |C|=|P|, ta có định lý sau (Theo Shannon)  Định lý 1.4: Giả sử (P,C, K, E, D) mật mã, |K|= |C|=|P| Khỉ đó, mật mã có độ bảo mật hồn thiện khoá K dùng với xác suất bang 1/|K|, x  P ,mỗi y  C có khố K cho eK(x) = y Chứng minh Giả sử mật mã cho có độ bảo mật hồn thiện Như thấy trên, với x  P y  C , phải có khố K cho eK(x) = y Bởi ta có bất đẳng thức: Tiểu Luận Lý Thuy t Mật mã GV: Lê Xuân Đại | C| = |{eK(x) :k  K }|  |K| Tuy nhiên, ta giả sử | C| = |K| Bởi ta phải có: |{eK(x) :k  K }| =|K| Tức khơng tồn hai khố K1và K2 khác để eK1(x) = eK2(x) = y Như ta chứng tỏ rằng, với x  P y  C có khố K để eK(x)=y Ký hiệu n = |K | Giả sử p = { xi: < i < n } cố định giá trị y  C Ta ký hiệu khố K1,K2, .,Kn cho eKi x(i)=y(i) < i < n Sử dụng định lý Bayes ta có: Xét điều kiện độ bảo mật hoàn thiện pp(xi|y) = pp (xi) Điều kiện kéo theo pK(Ki) = pc(y) với < i < n Tức khoá dùng với xác suất (chính pc(y)) Tuy nhiên số khố |K | nên ta có pK(Ki) =1/ |K| với Ki  K Ngược lại, giả sử hai điều giả định thoả mãn Khi dễ dàng thấy mật mã có độ bảo mật hồn thiện với phân bố xác suất rỏ ( tương tự chứng minh định lý 1.3) Các chi tiết dành cho bạn đọc xem xét Mật mã khoá sử dụng lần Vemam (One-Time-Pad:OTP) ví dụ quen thuộc mật mã có độ bảo mật hồn thiện Gillbert Verman lần mơ tả mật mã vào năm 1917 Hệ OTP dùng để mã giải mã tự động tin điện báo Điều thú vị nhiều năm OTP coi mật mã bị phá chứng minh Shannon xây dựng khái niệm độ bảo mật hoàn thiện 30 năm sau Mồ tả mật mã dùng lần nêu hình 1.1 Sử dụng định lý 1.4, dễ dàng thấy OTP có độ bảo mật hoàn thiện Hệ thống hấp dẫn dễ thực mã giải mã Vemam đăng ký phát minh với hy vọng có ứng dụng thương mại rộng rãi Đáng tiếc có nhược điểm quan trọng mật mã an tồn khơng điều kiện, chẳng hạn OTP Điều kiện |K |  | P | có nghĩa lượng khóa (cần Tiểu Luận Lý Thuy t Mật mã GV: Lê Xuân Đại thông báo cách bí mật) lớn rõ Ví dụ , trường họp hệ OTP, ta cần n bit khoá để mã hoá n bit rõ Vấn đề khơng quan trọng dùng khoá để mã hoá tin khác nhau; nhiên, độ an toàn mật mã an tồn khơng điều kiện lại phụ thuộc vào thực tế khoá dùng cho lần mã Ví dụ OTP khơng thể đứng vững trước cơng với rõ biết ta tính K phép loại trừ xâu bít x eK(x) Bởi vậy, cần phải tạo khóa thơng báo kênh bảo mật tin trước gửi Điều tạo khó khăn cho vấn đề quản lý khoá gây hạn chế cho việc sử dụng rộng rãi OTP Tuy nhiên OTP áp dụng lĩnh vực quấn ngoại giao, lĩnh vực độ an tồn khơng điều kiện có tầm quan trọng lớn Hình 1.1 Mật mã sử dụng khoá lần (OTP) Giả sử n  số nguyên, Cho |P|=|C|=|K|=|Z2|n, Với K  | Z2|n ta xem eK(x) vector tổng theo modulo K x Vì x=(x1,x2,…,xn) K=(K1,K2,…Kn) eK(x)=(x1+ K1,x2+ K2,…,xn+ Kn) mod Q trình giải mả giống với mã hố Nếu y=(y1,y2,…,yn) Khi dK(y)=(y1+ K1,y2+ K2,…,yn+ Kn) mod Lịch sử phát triển mật mã học trình cố gắng tạo mật mã dùng khố để tạo xâu mã tương đối dài (tức dung khố để mã nhiều tin) chí cịn giữ độ an tồn tính tốn Chuẩn mã liệu (DES) mật mã thuộc loại 1.2 ENTROPI Trong phần trước ta thảo luận khái niệm độ bảo mật hoàn thiện đặt mối quan tâm vào trường hợp đặc biệt, khoá dùng cho lần mã Bây ta xét điều xảy có nhiều rõ mã khố cách mà thám mã thực có kết phép cồng chỉ với mã thời gian đủ lớn Công cụ nghiên cứu toán khái niệm entropi Đây khái niệm lý thuyết thơng tin Shannon đưu vào năm 1948 Có thể coi entropi đại lượng đo thông tin hay cịn gọi độ bất định Nó tính hàm phân bố xác suất Tiểu Luận Lý Thuy t Mật mã GV: Lê Xuân Đại Giả sử ta có biến ngẫu nhiên X nhận giá trị tập hữu hạn theo phân bố xác suất p(X) Thông tin thu nhận kiện xảy tuân theo phân bố p(X) gì? Tương tự, kiện cịn chưa xảy độ bất định kết quả? Đại lượng gọi entropi X kí hiệu H(X) Các ý tưởng trừu tượng, ta xét ví dụ cụ thể Giả sử biến ngẫu nhiên X biểu thị phép tung đồng xu Phân bố xác suất là: p(mặt xấp) = p(mặt ngửa) = 1/2 Có thể nói rằng, thơng tin (hay entropi) phép tung đồng xu bit ta mã hoá mặt xấp mặt ngữa Tương tự entropi n phép tung đồng tiền mã hố xâu bít có độ dài n Xét ví dụ phức tạp chút Giả sử ta có biến ngẫu nhiên X có giá trị x1, x2, x3 với xác suất tương ứng 1/2, 1/4, 1/4 Cách mã hiệu biến cố mã hoá x1 0, mã x2 10 mã x3 11 Khi số bít trung bình phép mã hố là: 1/2 * 1+1/4 *2 + 1/4 *2 = 3/2 Các ví dụ cho thấy rằng, biến cố xảy với xác suất 2-n mã hố xâu bít có độ dài n Tổng qt hơn, coi rằng, biến cố xảy với xác suất p mã hố xâu bít có độ dài xấp xỉ -log2p Nếu cho trước phân bố xác suất tuỳ ý p1, p2,…pn biến ngẫu nhiên X, độ đo thơng tin trọng số trung bình lượng –log2pi Điều dẫn tới định nghĩa hình thức hố sau  Định nghĩa 1.3 Giả sử X biến ngâu nhiên lấy giả trị tập hữu hạn theo phân bố xác suất p(X) Khi entropy phân bố xác suất định nghĩa lượng: Nếu giá trị X xi ,