Chương 3 ĐỘNG lực học vật rắn QUAY

Chương Đ NG L C H C V T R N QUAY 3.1 Phương trình c a v t r n quay 3.1.1 Mô men l c: a Tác dụng lực chuyển động quay: G Lực F tác dụng lên vật rắn điểm M làm cho vật rắn quay xung quanh trục Δ.(hình 3-1) F2 F Ft O M Fn F1 Hình 3-1 G Ta phân tích F thành phần hình vẽ: G G G G G G F = F1 + F2 = F2 + Fn + Ft đó: G F2 không gây chuyển động quay G Fn không gây chuyển động quay G Ft gây chuyển động quay Vậy: Trong chuyển động quay vật rắn xung quanh trục, thành phần lực tiếp tuyến với quỹ đạo điểm đặt có tác dụng thực b Mô men lực trục quay: Định nghĩa: Mô men lực Ft trục quay Δ véc tơ M xác định b i: [ G G ] (3-1) M = r.Ft (3-2) G G G M = r Ft G G G M có phương trùng với trục quay Δ, có chiều thuận chiều quay từ r sang Ft , có trị số: [ ] = [Gr FG ] = [Gr FG ] Nhận xét: G G G - M = r F t 31 G G G - M = Ft = hay Ft //Δ G G - M mô men Ft điểm O 3.1.2 Thiết l p phương trình c a chuyển đ ng quay: Mi chất điểm thứ i vật rắn nằm cách trục quay Δ khoảng ri với G G G G OM i = ri , có khối lượng mi chịu tác dụng F ti ,gọi a ti gia tốc tiếp tuyến Mi (hình 3-2), ta có: G G m i a ti = Fti [m i Gri aG ti ] = G [Gr FG ] = MG Nhân hữu hướng vế biểu thức với r i : i ti (3-3) i Mi β O ri ati Mi Fti Hình 3-2 [Gri aG ti ] = [Gri [β Gri ]] = β ( Gri Gri ) − Gri ( Gri β ) = ri2 β Ta có: G Vậy (3-3) thành G G G m i ri2 β = M i G G (3-4) Cộng phương trình (3-4) vế với vế theo i, ta được: G G (3-5) ∑ m i ri2β = ∑ M i ∑ G M ∑m i i Vậy: i G = M tổng mô men ngoại lực tác dụng lên vật rắn trục Δ i i r = I gọi mô men quán tính vật rắn trục Δ i i G G Iβ = M (3-6) (3-6) phương trình chuyển động quay vật rắn xung quanh trục Từ (3-6) suy ra: G G M β = I (3-7) 32 Kết luận: Gia tốc chuyển động quay vật rắn xung quanh trục tỉ lệ với tổng hợp mô men ngoại lực tỉ lệ nghịch với mô men quán tính vật rắn trục 3.1.3 Tính mơ men quán tính: ∑m r Theo kết trên, ta có cơng thức tính mơ men qn tính: I= i i i ∫r Nếu khối lượng vật rắn phân bố cách liên tục ta áp dụng cơng thức: I= dm (3-8) (tích phân tồn vật rắn) r khoảng cách từ dm đến trục quay Δ Ví dụ 1: Tính mơ men quán tính I đồng chất chiều dài l, khối lượng M trục Δ0 qua trung điểm G cuả vng góc với Giải Xét phần tử khối lượng dm, chiều dài dx, cách G đoạn x (hình 3-3) o x dx G l Hình 3-3 Mơ men quán tính dm trục Δ0 là: dI = x2dm dm dx = Vì đồng chất nên: M l M dm = dx Suy ra: l M dI = x dx (1) thành: l Suy ra: M I = l Ml ∫l x dx = 12 l 2 − (1) (2) Ví dụ 2: Tính mơ men qn tính I đĩa đồng chất bán kính R, khối lượng M trục Δ0 qua tâm cuả đĩa vuông góc với đĩa Giải 33 Chia đĩa thành nhiều phần tử hình vành khăn có bán kính x, bề rộng hình vành khăn dx (hình 3-4) o dx x O Hình 3-4 diện tích hình vành khăn là: dS = d(πx2) = 2πxdx dI = x2dm Áp dụng cơng thức (1) : Vì đĩa đồng chất nên: dm dS π xdx 2xdx = = = M πR πR R2 suy ra: dm = (1) thành dI = M xdx R2 2M x dx R2 2M MR2 I = ∫ dI = ∫ x 3dx = R R Suy ra: (3) Mơ men qn tính số vật rắn đồng chất có hình dạng đối xứng: - Vành trịn bán kính R có trục quay qua tâm O vng góc với mặt phẳng vành: I = MR2 - Khối cầu bán kính R có trục quay qua tâm O: I = MR - Mặt chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b có trục quay qua tâm O vng góc với mặt phẳng mặt chữ nhật: I= M(a +b ) 12 Định lý Stene-Huygens: ta tìm mơ men qn tính vật rắn trục đối xứng Δ0 (đi qua khối tâm G) chúng Trong nhiều trư ng hợp ta phải tìm mơ men qn tính 34 vật rắn trục Khi ta áp dụng định lý SteneHuygens, phát biểu sau: Mơ men qn tính 1vật rắn 1trục Δ mô men quán tính vật trục Δ0 song song với trục Δ qua khối tâm G cuả vật cộng với tích khối lượng M vật rắn với bình phương khoảng cách d trục Xét trư ng hợp đồng chất chiều dài l, khối lượng M, hai trục Δ0 Δ cách khoảng d,song song với vng góc với (hình 3-5) Δ Δ0 d o x dx G l Hình 3-5 Khi mơ men qn tính I vật rắn trục Δ xác định b i công thức (3-9): I = I0 + Md2 (3-9) 3.1.4 ng dụng Bài tốn: Hai vật có khối lượng m1=2kg, m2=1kg, nối với sợi dây vắt qua rịng rọc có khối lượng m=1kg (hình 3-6) Tìm: Gia tốc vật Sức căng T1 T2 dây treo Coi ròng rọc đĩa tròn, dây nối khơng giãn có khối lượng nhỏ, ma sát không đáng kể Giải Các lực tác dụng vào m1, m2 rịng rọc hình (3-6): Áp dụng phương trình học chất điểm cho vật m1 m2: G G G P1 + T = m 1a G G G P2 + T2 = m 2a (1) (2) Áp dụng phương trình vật rắn quay cho ròng rọc: G G G G ⎡⎣ R.(T1' + T2') ⎤⎦ = Iβ (3) Chiếu (1), (2) (3) lên chiều dương chọn, ta được: P1 - T1 = m1a (1') T2 - P2 = m2a (2') (3') (T1' - T2').R =Iβ 35 a = βR (4) mR Trong mơ men qn tính rịng rọc là: I = T1 = T1' , T2 = T2' G T2 ' R G T1 ' R G T2 G T1 m2 + G P2 m1 G P1 Hình 3-6 Giải phương trình (1’),(2’),(3’) (4), ta được: (m1 − m )g m m1 + m + m m1 (2m + )g T1 = m m1 + m + m m (2m1 + )g T2 = m m1 + m + a= Thay giá trị vào ta kết : a = 2,8m/s2 T1 = 14N T2 = 12,6N 3.2 Mô men đ ng lượng c a m t hệ chất điểm 3.2.1 Đ nh nghĩa Một hệ chất điểm M1, M2… Mi có khối lượng m1, m2…mi …chuyển động G G G với vận tốc v1 , v v i hệ quy chiếu gốc O Tại th i điểm t, vị trí 36 G G G chất điểm xác định b i véc tơ bán kính r1 , r2 ri Mô men động lượng hệ O định nghĩa: G G G G L = ∑ L i = ∑ ([ri m i v i ]) i (3-10) i tổng mô men động lượng chất điểm hệ O 3.2.2 Trường hợp riêng a Hệ chất điểm quay xung quanh trục Δ cố định G Mô men động lượng chất điểm thứ i ( m i , ri ) là: G G Li = Iiωi (3-11) Ii = miri2 mơ men qn tính chất điểm mi trục quay Δ, ω i vận tốc góc G chất điểm mi chuyển động quay xung quanh Δ, mơ men động lượng hệ cho b i: G G L = ∑ Ii ωi b Vật rắn quay xung quanh trục Δ cố định G G G G G Khi ω1 = ω2 =⋅⋅⋅ = ωi = ⋅⋅⋅= ωn = ω Vậy: (3-12) i G G G L = (∑ I i )ω = Iω I = ∑ I = ∑ (m r i i i i i (3-13) ) mơ men qn tính vật rắn trục quay Δ i 3.2.3 Đ nh lý mô men đ ng lượng c a m t hệ chất điểm G Đối với chất điểm ( m i , ri ) hệ, áp dụng định lý mô men động lượng ta được: G G dL i = M/ O (Fi ) dt Cộng phương trình ta đó: Ta có kết sau: G G dL i ∑i dt = ∑i M/ O (Fi ) G G G dL dL i d ∑i dt = dt ∑i L i = dt G G d G L = M/ O (Fi ) = M dt (3-14) Định lý: Đạo hàm theo thời gian mô men động lượng hệ tổng mô men ngoại lực tác dụng lên hệ (đối với gốc điểm O bất kỳ) 37 Trường hợp riêng: hệ chất điểm vật rắn quay xung quanh trục Δ cố định mơ men động lượng hệ có dạng L = Iω Khi định lý mơ men động lượng G G viết sau: G G dL d(Iω) G = =M dt dt Ta có: G G G t2 G ΔL = L − L1 = ∫ Mdt (3-15) t1 G G M dt gọi xung lượng mô men lực M khoảng th i gian Δt = t2 - t1 ∫ t2 t1 Nếu M = const thì: G G G ΔL = MΔt (3-16) Chú thích: Đối với vật rắn quay xung quanh trục Δ cố định, mơ men qn tính I = const đó: G G d(Iω) dω G G =I = Iβ = M dt dt 3.3 Đ nh lu t bảo tồn mơ men đ ng lượng 3.3.1 Thiết l p Giả sử có hệ chất điểm lập có chịu tác dụng ngoại lực tổng mô men ngoại lực điểm gốc O 0, ta có: theo định lý mô men động lượng: G G dL G = M = ⇒ L = const dt (3-17) Vậy: Đối với hệ chất điểm: a Cô lập b Chịu tác dụng ngoại lực cho tổng mô men ngoại lực điểm gốc O thì: Tổng mơ men động lượng hệ đại lượng bảo toàn 3.3.2 Trường hợp hệ quay xung quanh m t trục cố đ nh Áp dụng định lý mô men động lượng: G Khi M = ta được: G G G d G (I1ω1 + I ω + + I i ω i ) = M dt G G G I1ω1 + I ω + + I i ω i = const 38 (3-18) 3.3.3 M t vài ng dụng c a đ nh lu t bảo tồn mơ men đ ng lượng Đối với hệ quay xung quanh trục với vận tốc góc ω, tổng hợp mơ men ngoại lực tác dụng lên hệ khơng mơ men động lượng hệ đại lượng bảo toàn: Iω = const Nếu lí mơ men qn tính I hệ tăng ω giảm, hệ quay chậm lại; ngược lại I hệ giảm ω tăng, hệ quay nhanh lên Ta xét ví dụ sau: Ví dụ: Giải thích tượng ngư i múa xoay tròn Ngoại lực tác dụng vào ngư i trọng lực phản lực đất; bỏ qua ma sát hai lực có phương thẳng đứng tức song song với trục quay: mô men lực trục quay không Nếu ngư i giang tay (I tăng) vận tốc quay giảm; Nếu ngư i co tay lại hay hạ hai tay xuống (I giảm) vận tốc quay tăng 39 BÀI T P 3.1 Một đĩa tròn khối lượng m1=100 kg quay với vận tốc góc ω1=10 vịng/phút Một ngư i có khối lượng m2=60 kg đứng mép đĩa Hỏi vận tốc đĩa ngư i vào đứng tâm đĩa Coi ngư i chất điểm Đáp số: ω = 22vịng/phút 3.2 Hai vật có khối lượng m1 m2 (m1> m2) nối với sợi dây vắt qua ròng rọc (có khối lượng M) (hình 1) Tìm: a Gia tốc vật b Sức căng sợi dây Coi rịng rọc đĩa trịn, ma sát khơng đáng kể Đáp số: a/ a = ( m1 − m ) g m1 + m + m2 m1 Hình m1 ( m + M M M )g m ( m1 + )g ;T = 2 b/ T = M M m1 + m + m1 + m + 2 3.3 Một hệ gồm trụ đặc khối lượng M=2,54 kg vật nặng khối lượng m=0,5 kg nối với sợi dây vắt qua rịng rọc (hình 2) Bỏ qua khối lượng dây, ròng rọc khung gắn với trụ Tìm gia tốc vật nặng sức căng dây Đáp số: a = 1,16m/s T= 4,42N m Hình 3.4 Một vật A khối lượng m trượt mặt phẳng nghiêng làm quay bánh xe có bán kính R (hình 3) Mơ men qn tính bánh xe trục quay I Bỏ qua khối lượng dây Tìm gia tốc góc bánh xe 40 R α A Hình Đáp số β = mgR (sin α − k2 cos α ) I + mR 3.5 Một rịng rọc có hai rãnh với bán kính R r (R>r), rãnh có dây khơng dãn quấn vào, đầu tự dây nối vào vật có khối lượng m1 m2 (m2>m1) (hình 4) Tìm: a Gia tốc góc rịng rọc b Lực căng dây treo m2 m1 Hình Đáp số: β = ( m22 R − m1r2 ) g m1r + m R + I T1 = m1(g + rβ); T2 = m2(g - Rβ) 3.6 Một bánh xe quay với vận tốc góc ω0 = 20π rad/s bị hãm, bánh xe quay chậm dần dừng lại sau th i gian t = 20s a Gia tốc góc bánh xe b Số vòng mà bánh xe quay kể từ lúc bị hãm đến lúc dừng Đáp số: a/ β = −3,14(rad / s ) b/ N = 100 (vòng) 41 ... quán tính vật rắn trục Δ i i G G Iβ = M (3- 6) (3- 6) phương trình chuyển động quay vật rắn xung quanh trục Từ (3- 6) suy ra: G G M β = I (3- 7) 32 Kết luận: Gia tốc chuyển động quay vật rắn xung... (3- 3) thành G G G m i ri2 β = M i G G (3- 4) Cộng phương trình (3- 4) vế với vế theo i, ta được: G G (3- 5) ∑ m i ri2β = ∑ M i ∑ G M ∑m i i Vậy: i G = M tổng mô men ngoại lực tác dụng lên vật rắn. .. (m r i i i i i (3- 13) ) mơ men qn tính vật rắn trục quay Δ i 3. 2 .3 Đ nh lý mô men đ ng lượng c a m t hệ chất điểm G Đối với chất điểm ( m i , ri ) hệ, áp dụng định lý mô men động lượng ta được: