Thông tin tài liệu
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG KHỐI MƠN: TỐN NĂM HỌC: 2020-2021 Thời gian làm bài: 120 phút Ngày kiểm tra: 26 tháng năm 2021 UBND QUẬN LONG BIÊN TRƯỜNG THCS ÁI MỘ Bài 1(2,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức A = x −1 x = 16 x +1 x x +1 x + (với x ≥ 0, x ≠ ) − − x −1 x +1 x −1 c) Tìm tất giá trị nguyên x để A.B ≤ −1 b) Rút gọn biểu thức B = Bài (2,0 điểm) Các tốn có yếu tố thực tiễn Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Để ủng hộ gia đình gặp khó khăn số địa phương ảnh hưởng dịch Covid-19, số tổ chức thiện nguyện dự định chở 180 hàng chia số xe loại Lúc khởi hành, có xe bị hỏng nên xe phải chở thêm so với dự định Hỏi ban đầu có xe tham gia chở hàng? Bán kính Trái Đất 6370 km Biết 29% diện tích bề mặt trái đất không bị bao phủ nước gồm núi, sa mạc, cao nguyên, đồng địa hình khác Tính diện tích bề mặt Trái Đất bị bao phủ nước (Làm tròn đến hai chữ số thập phân, lấy π = 3,14 ) 3 x + − y − =4 Bài (2,5 điểm) 1) Giải hệ phương trình: 2 x + + y − = 2) Cho đường thẳng ( d ) : y =( m + ) x − 2m ( x ẩn, m tham số) Parabol ( P ) : y = x a) Với m = , xác định tọa độ giao điểm đường thẳng ( d ) Parabol ( P ) b) Tìm m để đường thẳng ( d ) parabol ( P ) cắt hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x thỏa mãn x1 x2 + = x2 x1 Bài (3,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = R C , D hai điểm di động nửa = 60° ( C ≠ A; D ≠ B ) Gọi M giao điểm tia AC đường tròn cho C thuộc cung AD COD BD , N giao điểm AD BC Gọi H I trung điểm CD MN a) Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp b) Kẻ AP ⊥ CD; BQ ⊥ CD ( P, Q ∈ CD ) Chứng minh CP = DQ AP + BQ = R c) Chứng minh ba điểm H , I O thẳng hàng Tìm giá trị lớn diện tích tam giác MCD theo R C , D di chuyển nửa đường tròn thỏa mãn điều kiện đề Bài (0,5 điểm) Cho hai số dương x , y thỏa mãn điều kiện sau: x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= + x y HƯỚNG DẪN Câu 1: (2,0 điểm) x −1 x = 16 x +1 a) Tính giá trị biểu thức A = x x +1 x + (với x ≥ 0, x ≠ ) − − x −1 x +1 x −1 c) Tìm tất giá trị nguyên x để A.B ≤ −1 b) Rút gọn biểu thức B = Lời giải a) Thay x = 16 vào biểu thức A ta được: 16 − = 16 + = A Vậy giá trị biếu thức A x x +1 x + − − x −1 x +1 x −1 b) B = x = = = = x = 16 ( )−( ) x −1 x +1 x +1 − x −1 x +4 x −1 x − x − x − x −1− x − ( ( )( x +1 −5 x − )( x +1 ( ) x −1 ) x −1 ) −5 x + = x +1 x −1 ( )( −5 x −1 ) −5 với x ≥ 0, x ≠ x −1 c) Để A.B ≤ −1 Vậy B = ⇔ x − −5 ≤ −1 x +1 x −1 ⇔ −5 ≤ −1 x +1 ⇔ −5 +1 ≤ x +1 ⇔ −5 + x + ≤0 x +1 ⇔ −4 + x ≤ mà x +1 x + > với x ≥ ⇒ −4 + x ≤ ⇔ x ≤ ⇔ x ≤ 16 Kết hợp với điều kiện xác định, ta được: ≤ x ≤ 16; x ≠ Mà x ∈ nên x ∈ {0;2;3;4; ;16} Vậy x ∈ {0;2;3;4; ;16} A.B ≤ −1 Câu 2: (2,0 điểm) Các toán mang yếu tố thực tiễn Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Để ủng hộ gia đình gặp khó khăn số địa phương ảnh hưởng dịch Covid-19, số tổ chức thiện nguyện dự định chở 180 hàng chia số xe loại Lúc khởi hành, có xe bị hỏng nên xe phải chở thêm so với dự định Hỏi ban đầu có xe tham gia chở hàng? Bán kính Trái Đất 6370 km Biết 29% bề mặt Trái Đất không bị bao phủ nước gồm núi, sa mạc, cao nguyên, đồng địa hình khác Tính diện tích bề mặt Trái Đất bị bao phủ nước (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, lấy π ≈ 3,14 ) Lời giải 1) Gọi số xe ban đầu tham gia chở hàng là: x (xe), ĐK: x > 2; x ∈ N 180 (tấn) x +) Thực tế, số xe tham gia chở hàng là: x − (xe) 180 +) Thực tế, xe chở số hàng là: (tấn) x−2 Vì lúc khởi hành, có xe bị hỏng nên xe phải chở thêm so với dự định, nên ta có 180 180 − = phương trình: x−2 x 180 ( x − ) x ( x − ) 180 x ⇔ − = x ( x − 2) x ( x − 2) x ( x − 2) +) Ban đầu, xe chở số tần hàng là: ⇒ 180 x − 180 ( x − ) = x − x ⇔ x − x − 360 = ⇔ x − x − 120 = ⇔ ( x − 12 )( x + 10 ) = 0 x = 12 (tm) x − 12 = ⇔ ⇔ −10 (ktm) x + 10 = x = Vậy số xe ban đầu tham gia chở hàng là: 12 (xe) 2) Bán kính Trái Đất là: R = 6370 ( km ) Diện tích bề mặt Trái Đất là: 162307600π ( km ) = S 4= π R 4π 6370 = Vì 29% bề mặt Trái Đất khơng bị bao phủ nước, nên diện tích bề mặt Trái Đất bị bao phủ nước là: (100% − 29% ) 162307600π ≈ 71%.162307600.3,14 ≈ 361848563, 44 ( km ) Câu 3: (2,5 điểm) 3 x + − y − = 1) Giải hệ phương trình: x y + + − = 2) Cho đường thẳng ( d ) : y =( m + ) x − 2m (với x ẩn, m tham số) Parabol ( P ) : y = x2 a) Với m = , xác định tọa độ giao điểm đường thẳng ( d ) Parabol ( P ) b) Tìm m để đường thẳng ( d ) parabol ( P ) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x thỏa mãn x1 x2 + = x2 x1 Lời giải 3 x + − y − = 1) (I) x y + + − = Điều kiện: x ≥ −1; y ≥ Đặt x += a; y −= b ( a, b ≥ ) Khi hệ phương trình (I) trở thành: a ( tm a ≥ ) 4 4= 3a − 2b = 3a − 2b = 3a − 2b = ⇔ ⇔ ⇔ 10 2a + b = 4a + 2b = 7 a = 14 = b ( tm b ≥ ) x + = x = x + =4 Khi đó: ⇔ ⇔ ( tm x ≥ −1; y ≥ 1) 1 y = y −1 = y − = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 3; ) 2) y 4x − a) Với m = ta có đường thẳng ( d ) : = Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) ta có: ⇔ ( x − 2) = x= 4x − ⇔ x2 − x + = 0⇔x= ⇒ y = 22 = Vậy tọa độ giao điểm ( d ) ( P ) là: ( 2; ) b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) : x =( m + ) x − 2m ⇔ x − ( m + ) x + 2m =0 (1) Để đường thẳng ( d ) parabol ( P ) cắt hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Khi ∆ > ⇔ − ( m + ) − 4.1.2m > ⇔ ( m + ) − 8m > ⇔ m + m + − 8m > ⇔ m − 4m + > ⇔ ( m − 2) > ⇔m≠2 Với m ≠ đường thẳng ( d ) parabol ( P ) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 Vì x1 , x2 nghiệm phương trình (1) ,theo hệ thức Vi-et ta có : x1 + x2 = m + x1 x2 = 2m Để x1 , x thỏa mãn x1 ≠ x1 x2 nghĩa là: − ( m + ) + 2m ≠ ⇔ m ≠ + =thì x2 x1 x2 ≠ Khi ta có: ( x + x ) − x1 x2 =5 ⇔ ( m + ) − 4m =5 ⇔ m2 + =5 x1 x2 x + x2 + = ⇔ = ⇔ x2 x1 x1 x2 x1 x2 2 2m 2m 2 ⇒ ( m2 + ) = 5.2m ⇔ 2m + = 10m ⇔ 2m − 10m + = m = (thỏa mãn m ≠ 0; m ≠ ) ⇔ m = Vậy m ∈ {1; 4} để đường thẳng ( d ) parabol ( P ) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x thỏa mãn x1 x2 + = x2 x1 Câu 4: (3,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = R C , D hai điểm di động nửa đường = 60° ( C ≠ A; D ≠ B ) Gọi M giao điểm tròn cho C thuộc cung AD COD tia AC BD N giao điểm dây AD BC Gọi H I trung điểm CD MN a) Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp b) Kẻ AP ⊥ CD; BQ ⊥ CD ( P, Q ∈ CD ) Chứng minh CP = DQ AP + BQ = R c) Chứng minh ba điểm H , I O thẳng hàng Tìm giá trị lớn diện tích tam giác MCD theo R C , D di chuyển nửa đường tròn thỏa mãn điều kiện đề Lời giải M I D Q H C P N A O B a) Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp = = Ta có MDN ACB= ADB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ MCN 90° (kề bù với góc vng) ⇒ tứ giác CMDN nội tiếp đường trịn đường kính MN b) Kẻ AP ⊥ CD; BQ ⊥ CD ( P, Q ∈ CD ) Chứng minh CP = DQ AP + BQ = R Vì H trung điểm dây cung CD ⇒ HC = HD; OH ⊥ CD (quann hệ vng góc đường kính dây) ⇒ AP //OH //BQ (cùng vng góc với CD ) ⇒ APQB hình thang có O trung điểm HQ mà HC = HD AB OH //AP //BQ ⇒ H trung điểm PQ ⇒ HP = ⇒ HP − HC = HQ − HD ⇒ CP = DQ = 60° ( GT ) ⇒ ∆OCD tam giác cạnh OC= R ⇒ Tam giác OCD cân O có COD R Vì O trung điểm AB ; H trung điểm PQ ⇒ OH đường trung bình hình thang đường cao OH = APQB ⇒ AP + BQ= 2OH = R = R Vậy AP + BQ = R c) Chứng minh ba điểm H , I O thẳng hàng Tìm giá trị lớn diện tích tam giác MCD theo R C , D di chuyển nửa đường tròn thỏa mãn điều kiện đề M I D Q H E C P K N A O B Ta có I trung điểm MN ⇒ I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMDN ⇒ IC = ID ; mà OC= OD= R ⇒ OI đường trung trực CD ⇒ OI ⊥ CD trung điểm H CD ⇒ H , I , O thẳng hàng Gọi K giao điểm MN CD kẻ ME ⊥ CD E ta có ME ≤ MK (quan hệ đường vng góc đường xiên) ∆OCD ⇒ CD = OC = R khơng đổi nên diện tích tam giác MCD là: 1 ME.CD ≤ MK R nên diện tích ∆MCD lớn K ≡ E mà 2 I ∈ MK ; ME ⊥ CD; IH ⊥ CD ⇒ ME trung trực CD ⇒ MC = MC ⇒ ∆MCD cân M ; = S MCD góc có đỉnh nằm ngồi đường trịn nên Lại có CMD = sd = (180° − 60° )= 60° ⇒ ∆MCD có cạnh CD = R CMD AB − sdCD 2 ( ) R2 ⇒ S MCD = R2 Vậy diện tích lớn ∆MCD M , I , H , O thẳng hàng Câu 5: (0,5 điểm) Cho hai số dương x , y thỏa mãn điều kiện sau: x + y = + x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= Lời giải Ta chứng minh: 1 + + ≥ (*) với số dương a , b , c a b c a+b+c 1 1 ⇔ + + (a + b + c) ≥ a b c ⇔ 1+ a a b b c c + + +1+ + + +1 ≥ b c a c a b a b a c c b ⇔ 3+ + + + + + ≥ b a c a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương: a b a b + ≥2 = b a b a a c a c + ≥2 = c a c a c b c b + ≥2 = b c b c a b a c c b Từ suy ra: + + + + + + ≥ với số dương a , b , c b a c a b c Dấu xảy khi: a b a b a b = ; = ; = ⇔ a = b = c (với a , b , c dương) ⇔ a = b = c b a b a b a Áp dụng bất đẳng thức (*) cho số dương sau: 1 9 + + ≥ ⇔ + ≥ = =3 x y y x+ y+ y x y x + 2y Dấu xảy khi: x = y x + y = ⇔ x = y =1 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A = ⇔ x = y = ... ) x − 2m ⇔ x − ( m + ) x + 2m =0 (1) Để đường thẳng ( d ) parabol ( P ) cắt hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Khi ∆ > ⇔ − ( m + ) − 4.1.2m > ⇔ ( m + ) − 8m > ⇔... thẳng ( d ) parabol ( P ) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x thỏa mãn x1 x2 + = x2 x1 Câu 4: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = R C , D hai điểm di động nửa đường = 60°... km Biết 29% bề mặt Trái Đất không bị bao phủ nước gồm núi, sa mạc, cao nguyên, đồng địa hình khác Tính diện tích bề mặt Trái Đất bị bao phủ nước (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, lấy π
Ngày đăng: 04/12/2022, 16:03
Xem thêm:
