ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Năm học 2016 - 2017 PHÒNG GD&ĐT QUỐC OAI Thời gian làm bài: 120 phút (khơng tính thời gian giao đề) Họ tên: …………………………………….……… …… …SBD: … Câu (4 điểm) Tìm x: a/ x 2 5 b/ x x Câu (3 điểm) Tìm x, y, z biết x2 x 8 c/ ( x 3) ( x 3) x y z x2 + y2 + z2 = 116 Câu (1 điểm) Trong vịng bán kết giải bóng đá trường THCS Phù Đổng có đội thi đấu, gọi A tập hợp cầu thủ; B tập hợp số áo thi đấu Quy tắc cầu thủ ứng với số áo họ có phải hàm số khơng? Vì sao? 2 Câu (1.5 điểm) Tính giá trị đa thức P = x x y x xy y y x 2017 với x y Câu (2 điểm) Cho : 3x 2y 2z 4x 4y 3z x y z Chứng minh: 2 Câu (1.5 điểm) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: 2x2 + 3y2 = 77 85 Câu (2.5 điểm) Cho ABC, tia phân giác góc A cắt BC D Biết ADB C a/ Tính: B 5.C b/ Tính góc ABC 4.B Câu (4.5 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ đoạn thẳng AE vng góc AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vuông góc AC a/ Chứng minh: BD = CE b/ Trên tia đối tia MA lấy N cho MN = MA Chứng minh: ADE = CAN c/ Gọi I giao điểm DE AM Chứng minh: Chú ý: Học sinh khơng dùng máy tính cầm tay AD IE 1 DI AE PHÒNG GD & ĐT QUỐC OAI KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2016-2017 Hướng dẫn chấm Toán Câu Phần a Nội dung x x 1 5 x 2 x 5 x 2 x 11 5 Vậy với x = Điểm 1.5đ 11 x = x 2 5 3 = x- x=x=5 5 10 b 2x - c (x - 3)x+2 - (x - 3)x+8 = (x - 3)x+2 [1- (x - 3)6] = 1đ 1.5đ x x x 3 x x x y z x2 y2 z2 x2 + y2 + z2 116 = = = = = = =4 4 16 + + 16 29 x y2 z x y z 2 16 Vậy (x; y; z) = (4; 6; 8) (x; y; z) = (-4; -6; -8) 1đ 1đ 1đ Quy tắc cầu thủ ứng với số áo họ khơng hàm số đại lượng 1đ cầu thủ giá trị số (trả lời giải thích sai khơng có điểm) P = x3 + x2y - 2x2 - xy - y2 + 3y + x + 2017 1.5đ = x (x + y) - 2x - y(x + y) + 3y + x + 2017 = 2x2 - 2x2 - 2y + 3y + x + 2017 = x + y + 2017 = 2019 Vậy với x + y = P = 2019 Hoặc nhóm để xuất x + y - 3x -2y 2z - 4x 4y - 3z = = 12x - 8y 6z - 12x 8y - 6z 12x - 8y + 6z - 12x + 8y - 6z = = = =0 16 16 + + 12x = 8y = 6z x y z = = 12x 8y 6z 24 24 24 0,5 0,5 0,5 0,5 2x2 + 3y2 = 77 3y2 = 77 – 2y2 ≤ 77 y2 ≤ 77/3 y2 ≤ 25 0.5đ Mà 2x2 chẵn; 77 lẻ 3y2 lẻ y2 lẻ y2 {1; 9; 25} + y2 = 2x2 = 77 - = 74 x2 = 37 khơng có số tự nhiên x 1đ + y2 = 2x2 = 77 - 27 = 50 x2 = 25 x = y = + y2 = 25 2x2 = 77 - 75 = x2 = x = y = Vậy số tự nhiên x, y thỏa mãn 2x2 + 3y2 = 77 (x; y) = (5; 3); (1; 5) Học sinh thử chọn số tự nhiên x (hoặc y) từ 0, 1, 2, để có KQ khơng điểm khơng thể lực tư số học a góc ngồi D Xét ADC có ADB 1.5đ C DAC = 850 (1) ADB góc ngồi D Xét ADB có ADC B BAD = 1800 - 850 = 950 ADC A (2) BAD (Vì AD tia phân giác Mà DAC góc A) C 950 850 = Từ (1) (2) B 100 b a 85° B C D C B C B Vì B C 10 mà B = C 100 54 0 50 C 40 A 900 B 1đ A Xét ABD ACE có: AD = AC (gt) AE = AB (gt) I CAE (Cùng phụ với BAC ) BAD ABD = AEC (c.g.c) E P Vẽ hình 0.5đ D B C M 1đ BD = CE (Hai cạnh tương ứng) N b) AMC Xét ABM NCM có AM = MN (gt) ; BM = CM (gt) AMB (đối đỉnh) ABM = NCM (c.g.c) AB = CN (hai cạnh tương ứng) NCM (Hai góc tương ứng) ABM ACB BCN ACB ABC 1800 BAC Ta có ACN 1.5đ DAC BAE BAC 1800 BAC Lại có DAE ACN DAE Xét ADE ACN có CN = AE (cùng AB) AC = AD (gt) ACN (cmt) DAE ADE = CAN (c.g.c) c ADE (Hai góc tương ứng) Vì ADE = CAN (cmt) NAC Gọi P giao điểm DE AC APD 900 NAC APD 900 Xét ADP vuông A ADE AI DE Xét ADI vng I Theo ĐL Pytago ta có AD2 = DI2 + AI2 AI2 = AD2 - DI2 0.5đ Xét AIE vng I Theo ĐL Pytago ta có AE2 = AI2 + IE2 AI2 = AE2 - IE2 0.5đ AD2 + IE2 =1 DI2 + AE2 0.5đ AD2 - DI2 = AE2 - IE2 AD2 + IE2 = DI2 + AE2 (đpcm) Lưu ý: Mọi cách giải khác cho điểm tương ứng ... 77 3y2 = 77 – 2y2 ≤ 77 y2 ≤ 77 /3 y2 ≤ 25 0.5đ Mà 2x2 chẵn; 77 lẻ 3y2 lẻ y2 lẻ y2 {1; 9; 25} + y2 = 2x2 = 77 - = 74 x2 = 37 khơng có số tự nhiên x 1đ + y2 = 2x2 = 77 - 27. .. điểm) P = x3 + x2y - 2x2 - xy - y2 + 3y + x + 20 17 1.5đ = x (x + y) - 2x - y(x + y) + 3y + x + 20 17 = 2x2 - 2x2 - 2y + 3y + x + 20 17 = x + y + 20 17 = 2019 Vậy với x + y = P = 2019 Hoặc nhóm để... 27 = 50 x2 = 25 x = y = + y2 = 25 2x2 = 77 - 75 = x2 = x = y = Vậy số tự nhiên x, y thỏa mãn 2x2 + 3y2 = 77 (x; y) = (5; 3); (1; 5) Học sinh thử chọn số tự nhiên x (hoặc y) từ 0, 1,