de hoc sinh gioi huyen toan 7 nam 2021 2022 phong gddt tien hai thai binh

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HUYỆN TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN: TỐN (Thời gian làm 120 phút) Bài (4,5 điểm) 1) Thực phép tính: 24 a) A = + + − 25 b) B = 312 57 + 96.253 275.253 + ( 32.5 ) 2) Cho n số tự nhiên có chữ số Tìm n biết n + 2n số phương Bài (4,0 điểm) a) 2024x − 1011x + = 1012x + b) Tìm giá trị lớn biểu thức P = 40 − 3x với x số nguyên khác 13 13 − x Bài (4,5 điểm) 1) Cho hàm số y = f(x) = (m +1)x với m ≠ −1 a) Với m = Hãy tính f (2022) b) Tìm giá trị m để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) với x1, x2 số thực khác 2) Tìm phân số có tổng , biết tử số tỉ lệ theo 3:4:5 mẫu số tương 70 ứng tỉ lệ theo 5:1:2 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A có ba góc nhọn Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác ABE vng cân B Kẻ đường cao AH (H thuộc BC), tia đối tia AH lấy điểm I cho AI = BC 1) Chứng minh: Hai tam giác ABI BEC 2) Chứng minh: BI vng góc với CE 3) Phân giác góc ABC cắt cạnh AC D, phân giác góc BDC cắt cạnh BC M Phân giác góc BDA cắt đường thẳng BC N Chứng minh: BD = MN Bài (1,0 điểm) Cho 2022 số a1, a2, a3, ……., a2021, a2022 số tự nhiên khác thỏa mãn: 1 1 + + + + + = Chứng minh rằng: Tồn số 2022 a1 a a a 2021 a 2022 số cho số chẵn ……Hết…… Họ tên thí sinh :………………………………….Số báo danh :………… HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN BÀI Ý BIỂU ĐIỂM NỘI DUNG 1) Thực phép tính : 24 a) A = + + − 25 b) B = 312 57 + 96.253 275.253 + ( 32.5 ) 24 16 + 1− = + 25 25 A= + 1a(1,5đ) 20 23 A= + = 5 15 23 Vậy A = 15 12 + 96.253 312 57 + 312.56 1(4,5đ) B= = 275.253 + ( 32.5 ) 315.56 + 312.56 A = 1+ 1b(1,5đ) B = 312.56 ( + 1) 312.56 ( 33 + 1) 3 = Vậy B = 28 14 14 2) Cho n số tự nhiên có chữ số Tìm n biết n + 2n số phương Vì n số tự nhiên có hai chữ số => < n < 100 ⇒ 18 < 2n < 200 Mà 2n số phương chẵn ⇒ 2n ∈ { 36;64;100;144;196} B= 2(1,5đ) 2(4,0đ) 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 ⇒ n ∈ { 18;32;50;72;98} Mà n + số phương => n = 32 Vậy n = 32 a) 2024x − 1011x + = 1012x + 0,5 ⇒ 1011x + + 1012x + = 2024x 0,25 2a(2,0đ) Do 1011 + x ≥ 0∀x, 1012 + x ≥ 0∀x ⇒ x ≥ = > 1011x+ + 1012x + = 2024x = > 2023x +5 = 2024x = > x = Vậy x = 2b(2,0đ) 40 − 3x b) Tìm giá trị lớn biểu thức P = với x số 13 − x nguyên khác 13 40 − 3x Ta có P = = 3+ với x ≠ 13 − x 13 − x 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 BÀI Ý NỘI DUNG lớn 13 − x < * Nếu x > 13 13 − x < ⇒ 13 − x Suy P lớn >0 * Nếu x < 13 13 − x > ⇒ 13 − x Từ trường hợp suy lớn 13-x > 13 − x Vì phân số có tử mẫu số nguyên dương, tử 13 − x khơng đổi nên phân số có giá trị lớn mẫu số nguyên dương nhỏ BIỂU ĐIỂM 0,25 0,5 0,25 0,5 Hay 13 − x = ⇔ x = 12 Suy P có giá trị lớn x =12 3(4,5đ) 0,25 1) Cho hàm số y = f(x) = (m +1)x với m ≠ −1 a) Với m = Hãy tính f (2022) b) Tìm giá trị m để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) với x1,x2 số thực khác Với m = thỏa mãn m ≠ −1 => f(x) = 3x 1a(1,5đ) Ta có f(2022) = 3.2022 = 6066 Vậy với m = f(2022) = 6066 Ta có f(x1) = (m + 1)x1 , f(x2) = (m + 1)x2 = > f(x1).f(x2) = (m + 1)2x1.x2 Mà f(x1x2) = (m + 1) x1x2 1b(1,5đ) Để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) => (m + 1) x1x2 = (m + 1) x1x2 Do x1,x2 số thực khác , m ≠ −1 = > m + = => m = ( tm m ≠ −1 ) Vậy để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) m = 2(1,5đ) 2) Tìm phân số có tổng , biết tử số tỉ lệ theo 70 3:4:5 mẫu số tương ứng tỉ lệ theo 5:1:2 a b c Gọi phân số cần tìm x = , ; y = , ;z = , với a, a’, b,b’, c, a b c c’ số nguyên , a’,b’,c’ khác Ta có a:b:c = 3:4:5 => a = 3k, b = 4k, c = 5k ( k ≠ 0) a’:b’:c’ = 5:1:2 => a’ = 5q, b’ = q, c’ = 2q (q ≠ 0) 3k 4k 5k : : = : : = : 40 : 25 = > x:y:z = 5q q 2q 0,75 0, 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 BÀI Ý NỘI DUNG = > x = y = z = x + y + z = 70 = 40 25 + 40 + 25 71 70 27 36 45 , y = ,z = Vậy x = 35 14 BIỂU ĐIỂM 0,25 0,25 4(6,0đ) Vẽ hình câu a ghi GTKL 0,5đ 4a(2,0đ) · Do ∆ABE vuông cân B => ABE = 900 AB = BE Vì AH đường cao ∆ABC => · AH ⊥ BC = H ⇒ AHB = 900 · · · · Ta có IAB = ABH + AHB = ABH + 900 ( t/c góc ngồi) 0, · · · · EBC = ABC + ABE = ABH + 900 · · = > IAB = EBC · · Xét ∆ABI ∆BEC có AI = BC(gt), IAB , AB = BE = EBC 0,5 = > ∆ABI = ∆BEC(c.g.c) (đpcm) · · Vì ∆ABI = ∆BEC(c.g.c) = > AIB = BCE · · Mà AIB + IBH = 900 4b(2,0đ) · · = > IBH + BCE = 900 · Gọi CE ∩BI = K => BKC = 900 => BI ⊥ CE (đpcm) · · 4c(1,5đ) Do DM phân giác BDC , DN đường phân giác BDA · · Mà BDC BDA góc kề bù => DM ⊥ DN · => MDN = 900 => ∆MDN vuông D · · Trên MN lấy điểm F cho FDN = FND ⇒ ∆FDN cân F => FD = FN · · · · Ta có FDN + FDM = 900 FMD + FND = 900 · · · · Mà FDN => FDM = FMD(1) => ∆FDM cân F = FND = > FD = FM 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 BÀI Ý NỘI DUNG BIỂU ĐIỂM = > FD = FM = FN = MN · · · Ta có FMD (T/c góc ngồi) = MBD + MDB · · · Vì DM phân giác BDC => BDM = CDM · · · = > FMD (2) = MBD + MDC · · · Lại có FDM (3) = FDC + CDM · · Từ (1), (2), (3) => MBD (4) = FDC · · · Mà ∆ABC cân A => DCM (5) = ABC = 2DBM · · · Ta lại có DCM ( t/c góc ngoài) (6) = CDF + CFD · · Từ (4),(5),(6) => MBD => ∆DBF cân D = CFD = > DB = DF = MN (đpcm) 0,25 0,25 0,25 Bài 5(1,0 điểm) Cho 2022 số a1, a2, a3, …….,a2021, a2022 số tự nhiên khác thỏa mãn : 1 1 + + + + + = Chứng minh : Tồn a1 a a a 2021 a 2022 số 2022 số cho số chẵn 5(1,0đ) 5(1,0đ) Từ 1 1 + + + + + =1 a1 a a a 2021 a 2022 = > a2a3…a2022 +a1a3…a2022 + …….+ a1a2…a2021= a1a2…a2022 (1) Giả sử số a1,a2,….,a2022 số lẻ , vết trái (1) tổng 2022 số lẻ nên vế trái số chẵn , mà vế phải số lẻ => mâu thuẫn => điều giả sử sai Vậy tồn số 2022 số cho số chẵn => đpcm 0,5 0,5 Lưu ý : 1.Hướng dẫn chấm trình bày bước cách giải Nếu thí sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa Bài làm thí sinh đến đâu cho điểm đến theo biểu điểm Bài hình học, thí sinh vẽ sai hình khơng vẽ hình cho điểm Hình vẽ ý chấm điểm ý Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, thí sinh mà công nhận ý (hoặc làm sai ý trên) để làm ý khơng chấm điểm ý Điểm thi tổng điểm câu làm tuyệt đối khơng làm trịn ... 2022 số a1, a2, a3, …….,a2021, a2022 số tự nhiên khác thỏa mãn : 1 1 + + + + + = Chứng minh : Tồn a1 a a a 2021 a 2022 số 2022 số cho số chẵn 5(1,0đ) 5(1,0đ) Từ 1 1 + + + + + =1 a1 a a a 2021. .. Từ 1 1 + + + + + =1 a1 a a a 2021 a 2022 = > a2a3…a2022 +a1a3…a2022 + …….+ a1a2…a2021= a1a2…a2022 (1) Giả sử số a1,a2,….,a2022 số lẻ , vết trái (1) tổng 2022 số lẻ nên vế trái số chẵn , mà vế... : : = : 40 : 25 = > x:y:z = 5q q 2q 0 ,75 0, 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 BÀI Ý NỘI DUNG = > x = y = z = x + y + z = 70 = 40 25 + 40 + 25 71 70 27 36 45 , y = ,z = Vậy x = 35 14 BIỂU ĐIỂM