de hoc sinh gioi huyen toan 7 nam 2014 2015 phong gddt nho quan ninh binh

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học: 2014-2015 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài:120 phút Đề thi gồm 05 câu, 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (5,0 điểm) Thực phép tính: a) Cho  5 :    3 9 b) 30 31 10 12 62 64 x y y z  ;  x  y  z  372 Tính A = x  y  z Câu 2: (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: a) B = 9x2 – 10x + 1, biết x  b) C = x3 + xy3 – x3y + y3; x, y thỏa mãn: ( x  1)4 + (y + 1)4 = Tìm x biết: x   x   x    x   14 x Câu 3: (3,5 điểm) Tìm số a, b, c không âm, thỏa mãn đồng thời ba điều kiện: a + 3c = 2014; a + 2b = 2015; tổng ( a + b+c ) đạt giá trị lớn Trên bảng viết 99 số: 1, 2, 3, 4, ,99 Cứ lần người ta xóa hai số , lại viết giá trị tổng hai số vừa xóa vào bảng Cuối bảng cịn lại số, giả sử số k Hãy tìm k chứng tỏ k khơng phải số phương Câu 4: (6,5 điểm) Cho tam giác ABC cân A, có BAC  1200 , phân giác AD (D  BC) Kẻ DE vuông góc với AB E, DF vng góc với AC F Lấy điểm K cạnh AC cho AK = AD Chứng minh rằng: AED  AFD tam giác DEF tam giác đều; Chứng minh rằng: K trung điểm AC, từ suy AD = AC; Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt BA T Đặt CT = a; CF = b Chứng minh rằng: a  b Câu 5: (1,0 điểm) Cho m, n, p số nguyên dương thỏa mãn: m2 = n2 + p2 Chứng minh rằng: tích m.n.p chia hết cho 15 Hết UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI Năm học: 2014-2015 MƠN THI: TỐN Hướng dẫn chấm gồm 03 trang Nội dung Điểm 1.a ( 1,5 điểm) 0,75 2 5 9 :     :  3 9 4 9 36 =   9 4 0,75 1.b ( 1,5 điểm) Câu (5,0 điểm) 30 31 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 26 1.2.3.4 30.31 = 1.2.3.4 30.31.230.26 = 36 0,5 0,5 0,5 ( 2,0 điểm) x y x y y z y z x y z ;    (1)       15 20 20 24 15 20 24 x y z x  y  z 372 (1)      2 30 60 96 30  60  96 186 2x 3y 4z Từ  2;  2;  ,suy x  30; y  40; z  48 30 60 96 Vậy A = 3x  y  z = 490 1.a ( 1,5 điểm) Ta có x   x  x = - Với 0,5 0,75 0,75 0,5 x = B = 9.12 – 10 + = Với x = - B = 9.(- 1)2 – 10.(-1) + = 20 0,75 Vậy x = B = Câu (4,0 điểm) 0,25 x = - B = 20 1.b ( 1,5 điểm) 1) Do ( x  1)4 ≥ 0; (y + 1)4 ≥  ( x  1)4 + (y + 1)4 ≥ với x, y Kết hợp ( x  1)4 + (y + 1)4 = suy ( x  1)4 = (y + 1)4 =  x = 1; y = - Thay vào tính giá trị biểu thức C = ( 1,0 điểm) Nhận xét: Vế trái lớn Do vế phải lớn 0,5 0,75 0,25 Câu (3,5 điểm) Suy 14x  hay x  Với x  ta có: x   x   x    x   14 x  x   x   x    x   14 x  x  45  14 x  x  ( TM) Vậy x  ( 2,0 điểm) Từ a + 3c = 2014 , a + 2b = 2015 suy 2a + 2b + 3c = 4029 Do 2( a + b + c ) + c = 4029 Để (a + b + c) đạt giá trị lớn c phải có giá trị nhỏ Mà c ≥ nên c = Khi a = 2014; b = ; c = 4029 GTLN (a + b + c) 2 ( 1,5 điểm) Nhận xét: Số k cịn lại bảng tổng số ban đầu: Do số cuối cịn lại bảng có giá trị 99.100 k =1     99   4950 Số k = 4950 = 2.32.52.11, khơng phải số phương 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,75 0,75 0,5 0,75 0,25 T A Câu (6,5 điểm) E F B D Vẽ hình ý 1) , ghi GT- KL: 0,5 điểm ( 2,0 điểm) Ta có AED  AFD ( Cạnh huyền- góc nhọn) Suy DE = DF (1) K C 0,75 0,25 Vì AD tia phân giác góc A nên EAD  FAD  600 Từ suy EDF  600 (2) Từ (1) (2) suy EDF tam giác ( 2,5 điểm) Ta có DAK  600 ( chứng minh trên) AD= AK Do ADK tam giác Suy AK = DK (*) Lại có tam giác vuông ADC suy KCD  300 (3) ADK  KDC  900 mà ADK  600 Suy KDC  300 (4) Từ (3), (4) suy tam giác KCD cân K  KC = KD (**) Từ (*) (**) suy AK = KC hay K trung điểm AC Từ suy AD = AC a AC= 2 (6) Từ (5) (6), suy ra: a = 4(a - b) hay Câu (1,0 điểm) 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 ( 1,5 điểm) Chứng minh CTA tam giác ( có hai góc 600) Suy AC = CT = a AF = AC- CF = a- b Tam giác vng ADF có ADF  300 nên AD = 2(a- b) (5) Lại có AD = 0,75 0,25 a  b 0,25 0,25 0,5 0,5 ( Sử dụng kết câu trên) Nếu m, n, p không chia hết cho m2 , n2 , p2 chia dư Suy m2 = n2 + p2 ( vô lí) Do m, n, p phải có số chia hết cho 3, nên tích mnp chia hết cho 0,25 Nếu m, n, p không chia hết cho m2 , n2 , p2 chia dư Suy n2 + p2 chia dư 0, 3, nên m2 = n2 + p2 ( vơ lí) Do m, n, p phải có số chia hết cho 0,5 5, nên tích mnp chia hết cho Mà (3;5) = Vậy tích mnp ln chia hết cho 15 0,25 Lưu ý: - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Câu hình khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng chấm tồn câu - Tổng điểm thi khơng làm trịn ...UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI Năm học: 2014- 2015 MƠN THI: TỐN Hướng dẫn chấm gồm 03 trang Nội dung Điểm 1.a ( 1,5 điểm) 0 ,75 2 5 9 :... 0,5 0,25 0,25 0 ,75 0 ,75 0,5 0 ,75 0,25 T A Câu (6,5 điểm) E F B D Vẽ hình ý 1) , ghi GT- KL: 0,5 điểm ( 2,0 điểm) Ta có AED  AFD ( Cạnh huyền- góc nhọn) Suy DE = DF (1) K C 0 ,75 0,25 Vì AD tia... z 372 (1)      2 30 60 96 30  60  96 186 2x 3y 4z Từ  2;  2;  ,suy x  30; y  40; z  48 30 60 96 Vậy A = 3x  y  z = 490 1.a ( 1,5 điểm) Ta có x   x  x = - Với 0,5 0 ,75 0 ,75