Thông tin tài liệu
PHÒNG GD&ĐT THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT NĂNG LỰC HỌC SINH NĂM HỌC 2021-2022 Mơn: Tốn Thời gian làm 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu (3,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: xy(x2 + y2) + – (x + y)2 Cho n ∈ Z, chứng minh n5 – n chia hết cho Câu (4,0 điểm) x + x x +1 - x2 : + + Cho biểu thức P = ÷ x - 2x +1 x x -1 x - x Tìm điều kiện xác định rút gọn P Tìm x để P = −1 Chứng minh x > P ≥ Câu (4,0 điểm) Tìm x, y nguyên thỏa mãn : 4x - 9y + 4x - 12y - 24 = 2x - x - 2x +1 8x - 4x + 2 Giải phương trình: + =6 4x -1 8x +1 Câu (2,0 điểm) Tìm a, b để đa thức A(x) = x - 5x + ax + b chia hết cho đa thức B(x) = x - 5x +8 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) có AD phân giác, M N hình chiếu vng góc D AB AC, E giao điểm BN DM, F giao điểm CM DN Chứng minh tứ giác AMDN hình vng AB.DC = AC.BD Chứng minh EF // BC Gọi H giao điểm BN CM chứng minh ∆ ANB đồng dạng với ∆ NFA H trực tâm ∆AEF Câu (1,0 điểm) Cho x, y > thỏa mãn 32x6 + 4y3 = Tìm giá trị lớn biểu thức A= (2x + y + 2021)3 2022(x + y ) - 2022(x + y) + 3033 Hết Họ tên học sinh: Số báo danh HƯỚNG DẤN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT NĂNG LỰC HỌC SINH NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN Bài Ý Nội dung Điểm xy(x2 + y2) + – (x + y)2 Ý1 = xy(x2 + y2) +2 – (x2 + y2) – 2xy 2 1.5đ = (x + y )(xy – 1) – 2(xy – 1) =(xy – 1)(x2 + y2 – 2) 5 2n ∈ Z, CMR: n5 – n chia hết cho Ta có: n5 – n = n(n4 – 1) = n(n2 – 1)(n2 + 1) Câu = n(n – 1)(n + 1)(n2 – +5) 3đ Ý2 1.5đ = n(n – 1)(n + 1)(n2 – 4) + 5n(n – 1)(n+1) 0.25 = n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) +5n(n – 1)(n + 1) 0.25 Nhận thấy: */ n – 2; n – 1; n; n + 1; n + số tự nhiên liên tiếp nên tích chúng chia hết cho 0.25 */ 5n(n – 1)(n + 1) 0.25 ⇒đpcm Câu 4đ 0.25 Ý1 2đ x ≠ ĐKXĐ : x ≠ x ≠ -1 0.25 0.5 x ( x+1) (x+1)(x-1) x - x2 P= : + + ÷ ( x-1) x(x-1) x(x-1) x(x-1) 0.5 x ( x+1) x -1+ x+ - x P= : x(x-1) ( x-1) 0.5 0.25 Bài Ý Nội dung P= x ( x+1) ( x-1) x ( x+1) x(x-1) x x+1 : = = x(x-1) ( x-1) x+1 x-1 Điểm 0.25 Kết luận −1 x -1 với x ∈ ĐKXĐ ⇔ P = −1 ⇔ P = = x-1 0.25 ⇒ x = - x+1 ⇔ x + x-1 = Ý2 ⇔ x + x- x-1 = ⇔ ( x-1) ( x+1) = 1đ ĐKXĐ) ⇔x= ( TM ĐKXĐ) 0.25 Hoặc x = - ( không TM 0.25 (Nếu không loại x= -1 trừ 0,25 điểm) Vậy P = -1 ⇔ x = P= 1đ 0.25 x x -1+1 ( x-1) ( x+1) +1 = = = x+1+ x-1 x-1 x-1 x-1 P = x-1+ Ý3 +2 x-1 0.5 > Áp dụng bất đẳng thức x −1 Cosi cho số dương x – ta có: x −1 Vì x > nên x − > x-1+ ≥2 x-1 ( x-1) 1 +2≥4 ⇔ P≥4 = ⇔ x −1 + x −1 x-1 Vậy x > P ≥ 0.25 0.25 Bài Ý Nội dung Điểm Ta có 4x - 9y2 + 4x - 12y - 24 = Û (4x + 4x +1) - (9y +12y + 4) - 21 = Û (2x +1)2 - (3y + 2)2 = 21 0.25 Û (2x + 3y + 3)(2x - 3y - 1) = 21 0.25 0.25 Vì x, y ∈ Z nên 2x + 3y + 2x – 3y – số 0.25 nguyên Ta có bảng sau Câu 4đ Ýa 2x + 3y + -1 2x – 3y - -21 -21 -7 -1 -3 -3 21 -7 21 7 2đ (x ; y) æ 8ử ỗ - 6; ữ ữ ỗ ữ(loi) ỗ ố 3ứ (-6 ; -4) (tha) ổ 4ữ ỗ 3; ữ (loi) ỗ ữ ỗ ố 3ứ (-3 ; 0) (tha) (5; -4) (tha) ổ 8ử ỗ 5; ữ ữ ç ÷(loại) ç è 3ø ỉ 4÷ ç 2; - ữ (loi) ỗ ữ ỗ ố 3ứ (2 ; 0) (thỏa) 0.75 Vậy cặp số nguyên (x ; y) cần tìm (-6 ; - 4); (-3 ; 0); (2 ; 0); (5 ; -4) Ý2 2đ Đặt P = 2x − x − 2x + + 8x − 4x + 2 0.25 ĐK x ≠ ± 4x − 8x + x (2x − 1) − (2x − 1) 2(4x − 2x + 1) + = (2x − 1)(2x + 1) (2x + 1)(4x − 2x + 1) 0.25 (x − 1)(2x − 1) x −1 x +1 + = + = = (2x − 1)(2x + 1) 2x + 2x + 2x + 2x + 0.25 0.25 x4 +1 Vậy P = 2x + Với x ≠ ± phương trình cho có dạng P = x4 +1 ⇔ = ⇔ x + = 12x + 2x + ⇔ x + 4x + = 4x + 12x + 0.25 0.25 Bài Ý Nội dung ⇔ (x + 2) = (2x + 3) ⇔ x + = 2x + (1) x + = −2x − (2) Ta có (1) ⇔ x − 2x + = ⇔ (x − 1) = x − = x = + ⇔ ⇔ (Tm ) x − = − x = − (2) ⇔ x + 2x + = −4 ⇔ (x + 1) = −4 vô nghiệm Điểm 0.25 0.25 0.25 x = 1+ Vậy phương trình có nghiệm x = − HS đặt phép chia phân tích viết A(x) = B(x)(x - 8) + (a - 40)x + b + 64 0.75 Câu ìï a - 40 = A(x)MB(x) Û ïí ïïỵ b + 64 = 0.75 2đ ìï a = 40 Û ïí ïïỵ b =- 64 Vậy a = 40; b = - 64 0.25 0.25 Câu 6đ 0.5 Ý1 Chứng minh ·AMD = 900 ; ·AND = 900 2.0đ · MAN = 900 1.0 ⇒ Tứ giác AMDN hình chữ nhật · Hình chữ nhật AMDN có AD phân giác MAN nên tứ giác AMDN hình vng Tam giác ABC có AD phân giác nên 0.25 0.75 Bài Ý Nội dung Điểm AB BD = ⇒ AB.DC = AC.BD AC DC Ý2 2đ Chứng minh FM DB = ( 1) FC DC 0.5 Chứng minh DB MB = DC MA 0.5 ( 2) Chứng minh AM = DN ⇒ Chứng minh MB MB = MA DN ( 3) MB EM = ( 4) DN ED Từ (1); (2) ; (3); (4) ⇒ 0.25 EM FM = ED FC 0.25 ⇒ EF // DC ( định lý Ta-let đảo)⇒ EF // BC Ý3 Chứng minh AN = DN ⇒ 1.5đ AN DN = AB AB Chứng minh DN CN = AB CA ( 6) Chứng minh CN FN = CA AM ( 7) Chứng minh AM = AN ⇒ Từ (5); (6) ; (7) ; (8) ⇔ ⇒∆ANB ∽∆NFA (cgc) * Chứng minh H trực tâm ∆AEF · · Vì ∆ANB ∽∆NFA nên NBA = FAN · · mà BAF + FAN = 900 · · ⇒ NBA + BAF = 900 ⇒ EH ⊥ AF ( 9) Tương tự FH ⊥ AE ( 10 ) 0.25 (5) FN FN = ( 8) AM AN AN FN = AB AN 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài Ý Nội dung Từ (9) ; (10) ⇒ H trực tâm tam giác AEF Điểm 0.25 CM: Mệnh đề phụ sau: Với A, B> Ta có 4(A3 + B3) ≥ (A + B)3 (*) (*) ⇔ 4(A2 –AB +B2) ≥ (A+ B)2 ⇔4A2 – 4AB + 4B2 – A2 – 2AB – B2≥ ⇔3A2 – 6AB + 3B2≥ ⇔3(A – B)2 ≥ (Luôn đúng) Câu 1đ 0.25 Áp dụng ta có : = 32x6 + 4y3 = 4(8x6 + y3) ≥ (2x2 + y)3 ⇒ 2x2 + y ≤ 0.25 Lại có 2022(x2 +y2) – 2022(x + y) + 3033 = 2022(x - ) + 2022(y - ) + 2022 ³ 2022 2 (1 + 2021)3 A£ = 20222 2022 Dấu xảy x = y = 0,5 0.25 0.25 Vậy A max = 20222 x = y = 0,5 Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa Bài hình phải có hình vẽ phù hợp với chứng minh cho điểm Điểm tồn tổng điểm thành phần khơng làm trịn ... có : = 32x6 + 4y3 = 4(8x6 + y3) ≥ (2x2 + y)3 ⇒ 2x2 + y ≤ 0.25 Lại có 2022( x2 +y2) – 2022( x + y) + 3033 = 2022( x - ) + 2022( y - ) + 2022 ³ 2022 2 (1 + 2021) 3 A£ = 20222 2022 Dấu xảy x = y... -21 -21 -7 -1 -3 -3 21 -7 21 7 (x ; y) ổ 8? ?? ỗ - 6; ữ ữ ỗ ữ(loi) ỗ ố 3ứ (-6 ; -4) (tha) ổ 4ữ ỗ 3; ữ (loi) ỗ ữ ỗ è 3ø (-3 ; 0) (thỏa) (5; -4) (thỏa) æ 8? ?? ỗ 5; ữ ữ ỗ ữ(loi) ỗ ố 3ứ ổ 4ữ ỗ 2; - ữ... y) cần tìm (-6 ; - 4); (-3 ; 0); (2 ; 0); (5 ; -4) Ý2 2đ Đặt P = 2x − x − 2x + + 8x − 4x + 2 0.25 ĐK x ≠ ± 4x − 8x + x (2x − 1) − (2x − 1) 2(4x − 2x + 1) + = (2x − 1)(2x + 1) (2x + 1)(4x − 2x
Ngày đăng: 04/12/2022, 15:32
Xem thêm:
