tom tat ly thuyet va mot so dang toan duong tron nguyen ngoc dung

Mục lục Sự xác định đường trịn Tính chất đối xứng đường tròn Dạng Chứng minh nhiều điểm thuộc đường trịn Đường kính dây đường tròn Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây Dạng Chứng minh hai đoạn thẳng Hai dây Dạng Tính độ dài đoạn thẳng - Độ dài dây cung Dạng So sánh hai dây cung - Hai đoạn thẳng 07 Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Tiếp tuyến đường tròn 76 19 56 Dạng Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường trịn 09 Dạng Tính độ dài đoạn tiếp tuyến MATH.ND Dạng Tính chất hai tiếp tuyến cắt Lớp TOÁN THẦY DŨNG Vị trí tương đối hai đường trịn 10 12 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU CHƯƠNG Đường trịn Ƙ | Lớp Tốn Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU 09 76 07 19 56 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU MATH.ND Lớp TOÁN THẦY DŨNG Page of 17 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Đường tròn Sự xác định đường trịn Tính chất đối xứng CHƯƠNG Chủ đề A TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA • Đường trịn tâm O bán kính R (với R > 0) hình gồm điểm cách điểm O khoảng R • Kí hiệu: (O; R) MỘT SỐ LƯU Ý • Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vuông trung điểm cạnh huyền • Nếu tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác 19 07 76 MỘT SỐ DẠNG TOÁN DẠNG Chứng minh nhiều điểm thuộc đường trịn 09 B 56 vng ○ Chứng minh điểm cho cách điểm MATH.ND ○ Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng trung điểm cạnh huyền ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Lớp TỐN THẦY DŨNG Ƙ Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, BC = cm Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc đường trịn Xác định tâm bán kính đường trịn Ƙ Ví dụ Cho ABC có đường cao BD, CE Chứng minh bốn điểm B, E, D, C thuộc đường trịn Ƙ Ví dụ Cho ABC vuông A, đường cao AH Từ M điểm cạnh BC kẻ M D ⊥ AB, M E ⊥ AC Chứng minh năm điểm A, D, M, H, E nằm đường trịn Ƙ Ví dụ Cho ABC vng A, gọi D điểm đối xứng với A qua cạnh BC Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc đường trịn Ƙ Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD, vẽ AEC vng E Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU đường trịn Ƙ | Lớp Tốn Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU Ƙ Ví dụ Cho tam giác ABC AM , BN , CP đường trung tuyến Chứng minh bốn điểm B, P, C, N thuộc đường tròn Hãy vẽ đường trịn “+D “ = 90◦ Gọi M, N, P, Q trung điểm Ƙ Ví dụ Cho tứ giác ABCD có C AB, BD, DC CA Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn BC, CD, DA Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Bài Cho ABC cân A có góc A nhọn Từ A vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt đường thẳng BC D Đường tròn (K) đường kính AD cắt đường thẳng DC AC H E Chứng minh a H trung điểm BC HA2 = HC · HD DE 56 b DH tia phân giác ADE KH a Tính AD, AC, BC a 76 07 19 Bài Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O Trên đường trung trực AB lấy điểm D cho a OD = Nối A với D, vẽ BC vng góc AD C 09 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU Ƙ Ví dụ Cho tứ giác ABCD có AC ⊥ BD; M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, b Trên tia đối tai OD lấy điểm E cho OE = a Chứng minh bốn điểm A, B, C, E nằm MATH.ND đường tròn c CE tia phân giác ACB (gợi ý: kẻ CH ⊥ AB) Bài (*) Cho Lớp TOÁN THẦY DŨNG ABC vng cân A có đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K dựng hình chữ nhật AHKO Lấy O làm tâm vẽ đường trịn bán kính OK, đường tròn cắt cạnh AB D, cắt cạnh AC E Gọi F giao điểm thứ hai (O) AB Chứng minh rằng: a AEF tam giác cân DO ⊥ OE b Bốn điểm D, A, O, E nằm đường tròn Bài (*) Trên cạnh AB, BC, CA ABC ta lấy theo thứ tự điểm M, N, P cho AM = BN = CP a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp MNP b Gọi H, I, K trung điểm AB, M P, AC Chứng minh ba điểm H, I, K thẳng hàng c Xác định vị trí điểm M, N, P để chu vi Page of 17 M N P nhỏ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Ƙ | Lớp Toán Thầy Dũng Chủ đề TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU Đường kính dây đường trịn Liên hệ A TĨM TẮT LÝ THUYẾT TÍNH CHẤT ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG Trong đường tròn (O): O a OH ⊥ AB ⇒ H trung điểm AB b H trung điểm AB ⇒ OH ⊥ AB A H B LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY ○ Định lý 1: 07 76 ○ Định lý 2: 19 56 • Trong dây đường trịn, đường kính dây lớn 09 • Trong đường trịn, hai dây cách tâm ngược lại • Trong đường trịn, dây lớn gần tâm ngược lại B MỘT SỐ DẠNG TOÁN MATH.ND DẠNG Chứng minh hai đoạn thẳng Hai dây Lớp TOÁN THẦY DŨNG ○ Trong đường trịn, hai dây cách tâm ngược lại ○ Chứng minh hai tam giác ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Cho đường trịn (O) đường kính AB, dây CD khơng cắt đường kính Gọi H, K thứ tự chân đường vng góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh a CD HK có trung điểm trùng nhau; b DH = CK Ƙ Ví dụ Cho đường trịn (O) có dây AB CD cắt điểm E nằm bên đường tròn Gọi H, K theo thứ tự trung điểm AB CD Chứng minh a EH = EK; Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - b EA = EC 0976071956 Page of 17 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU dây khoảng cách từ tâm đến dây Ƙ | Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU Ƙ Ví dụ Cho đường trịn (O; cm), dây AB = cm a Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB; b Lấy điểm I thuộc dây AB cho AI = cm Kẻ dây CD qua I vng góc với AB Chứng minh AB = CD C D tương ứng cắt AB M N Chứng minh AM = BN Ƙ Ví dụ Cho đường trịn (O) có tâm nằm đường phân giác góc xAy, cắt tia Ax B C, cắt tia Ay D E Chứng minh hai dây BC DE Ƙ Ví dụ Cho đường trịn (O) có hai dây AB, CD cắt I nằm bên đường tròn Chứng minh a IO tia phân giác hai góc tạo hai dây AB CD 19 56 b Điểm I chia CD AB thành đoạn thẳng đôi 76 07 DẠNG Tính độ dài đoạn thẳng - Độ dài dây cung ○ Xác định khoảng cách từ tâm đến dây 09 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU Ƙ Ví dụ Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB, dây CD, đường vng góc với CD ○ Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vng có cạnh huyền bán kính đường trịn MATH.ND ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Cho đường trịn (O) có bán kính OA = cm Dây BC đường trịn vng góc với OA trung điểm OA Tính độ dài dây BC Lớp TỐN THẦY DŨNG Ƙ Ví dụ Cho (O; 25 cm), dây AB = 40 cm Vẽ dây cung CD song song với AB có khoảng cách đến AB 22 cm Tính độ dài dây cung CD Ƙ Ví dụ Cho đường trịn (O) có hai dây cung AB, CD vng góc với I Biết IC = cm, ID = 14 cm Tính khoảng cách từ tâm O đến dây cung Ƙ Ví dụ Cho (O, 25 cm), hai dây cung AB, CD song song với có độ dài theo thứ tự 40 cm, 48 cm Tính khoảng cách hai dây cung DẠNG So sánh hai dây cung - Hai đoạn thẳng ○ Xác định khoảng cách từ tâm đến dây ○ Trong hai dây cung đường trịn, dây lớn gần tâm ngược lại Page of 17 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Ƙ | Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU ○ Quan hệ đường vng góc đường xiên: Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc đường ngắn ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Cho điểm A nằm bên đường tròn (O) Vẽ dây BC vng góc với OA Vẽ dây EF Ƙ Ví dụ Cho (O, cm), điểm M cách O cm a Tính độ dài dây ngắn qua M b Tính độ dài dây dài qua M Ƙ Ví dụ Cho AB dây cung (O; R) I trung điểm AB (O ∈ / AB) a Qua I vẽ dây cung EF Chứng minh EF ≥ AB Tìm độ dài lớn nhất, độ dài nhỏ 56 dây quay quanh I 07 19 b Cho R = cm, OI = cm, tính độ dài dây cung ngắn qua I 76 ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ 09 Bài Cho đường trịn (O; R) có hai bán kính OA, OB cho AOB = 120◦ , gọi OI đường cao OAB Tia OI cắt đường tròn (O) C a Tính góc, cạnh AB, chiều cao OI AOB theo R MATH.ND b Chứng minh tứ giác OACB hình thoi, tính diện tích OACB theo R Bài Cho đường trịn (O) có dây AB CD nhau, tia AB CD cắt điểm E nằm Lớp TOÁN THẦY DŨNG bên ngồi đường trịn Gọi H, K theo thứ tự trung điểm AB CD Chứng minh rằng: EH = EK EA = EC Bài Cho điểm A cố định đường tròn (O) dây cung M N quay quay A a Chứng minh trung điểm H dây cung M N di động đường tròn cố định b Xác định vị trí H M N ngắn nhất, dài √ Bài Cho đường trịn (O; R) có hai dây AB, AC vng góc với AB = R a Chứng minh AB + AC = 4R2 Tính khoảng cách từ tâm O đến AB AC Ä√ b Trên đoạn thẳng AB lấy điểm P cho AP = 3−1 ä Vẽ dây DE vng góc với AB P Chứng minh DE = AB Bài Trong đường tròn tâm O, hai dây AB CD song song với Biết AB = 30 cm, CD = 40 cm Khoảng cách AB CD 35 cm Tính bán kính đường trịn Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Page of 17 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU qua A khơng vng góc với OA So sánh độ dài hai dây BC EF Ƙ | Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU Bài Cho đường trịn tâm A bán kính AB, dây EF kéo dài cắt đường thẳng AB C (E nằm F C), hạ AD ⊥ CF , hạ AD ⊥ CF Cho AB = 10 cm; AD = cm; CF = 21 cm Tính CE CA Bài (*) Cho ABC vuông cân A, đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K dựng hình chữ nhật AHKO Lấy O làm tâm, vẽ đường trịn bán kính OK, đường trịn cắt cạnh AB D, cắt cạnh AC E Gọi F giao điểm thứ hai đường tròn (O) với đường thẳng AB Chứng minh rằng: a b DO ⊥ OE AEF cân Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Tiếp tuyến đường trịn A TĨM TẮT LÝ THUYẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN b  d tiếp tuyến (O)  ⇒ d ⊥ OA  A ∈ (O), A ∈ d A 19 56 a  A ∈ (O), A ∈ d  ⇒ d tiếp tuyến (O)  d ⊥ OA 07 d 76 O 09 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU Chủ đề TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU MATH.ND M A M B hai tiếp tuyến (O) Khi • M A = M B; A Lớp TỐN THẦY DŨNG • M O đường phân giác AM B AOB M O B B MỘT SỐ DẠNG TỐN DẠNG Tính độ dài đoạn tiếp tuyến ○ Xác định tam giác vng có đỉnh góc vng tiếp điểm ○ Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng để tính ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Page of 17 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Ƙ | Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU Ƙ Ví dụ Cho đường trịn (O) có bán kính OA = R, dây BC vng góc với OA tai trung điểm M OA a Chứng minh OCAB hình thoi Ƙ Ví dụ Từ điểm A ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C tiếp điểm) a Chứng minh OA ⊥ BC b Vẽ đường kính CD Chứng minh BD c Tính độ dài cạnh AO ABC biết OB = cm, OA = cm Ƙ Ví dụ Từ điểm A nằm bên ngồi (O; cm) có OA = 10 cm, kẻ tiếp tuyến AB, AC với 56 đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm AO BC b Tính độ dài AB 76 07 19 a Tính độ dài OH 09 DẠNG Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn ○  A ∈ (O), A ∈ d  ⇒ d tiếp tuyến (O)  d ⊥ OA A MATH.ND d O Lớp TỐN THẦY DŨNG ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Cho đường trịn (O) có dây AB khác đường kính Qua O kẻ đường vng góc với AB cắt tiếp tuyến A (O) điểm C a Chứng minh CB tiếp tuyến đường tròn b Cho bán kính đường trịn 15 cm, AB = 24 cm Tính độ dài OC Ƙ Ví dụ Cho đường tròn (O; R) Vẽ đường tròn tâm I qua O có đường kính lớn R cắt (O) A, B Đường thẳng OI cắt I M (I nằm O M ) Chứng minh M A, M B hai tiếp tuyến (O) Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Page of 17 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU b Kẻ tiếp tuyến với đường tròn B cắt đường thẳng OA E Tính độ dài BE theo R Ƙ | Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU Ƙ Ví dụ Cho ABC vng A, đường cao AH Vẽ đường tròn (A, AH), kẻ tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (A) (D, E tiếp điểm khác H) Chứng minh a Ba điểm D, A, E thẳng hàng b DE tiếp xúc với đường trịn đường kính BC M A M B hai tiếp tuyến (O) Khi A • M A = M B; • M O đường phân giác AM B M O AOB 19 56 B 07 ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ 76 Ƙ Ví dụ Cho đường trịn (O; R) điểm A nằm (O) Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC với (O) Vẽ đường kính CD Chứng minh 09 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU DẠNG Tính chất hai tiếp tuyến cắt a OA ⊥ BC; b BD OA MATH.ND Ƙ Ví dụ Từ điểm M nằm bên ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến M D, M E với đường trịn (D, E tiếp điểm) Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt M D, M E theo thứ tự P Q Chứng minh chu vi M P Q · M D Lớp TỐN THẦY DŨNG Ƙ Ví dụ Cho đường tròn (O) điểm A cho OA = 2R Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Đường thẳng OA cắt BC H, cắt cung nhỏ cung lớn BC I K a Chứng minh OA ⊥ BC HI · OA = R2 b Chứng minh ABC ABKC hình thoi c Chứng minh I tâm đường tròn ngoại tiếp d Vẽ đường kính CD Chứng minh BD ABC Tính theo R bán kính đường trịn AO e Vẽ cát tuyến AM N (O; R) Gọi E trung điểm M N Chứng minh điểm O, E, A, B, C thuộc đường tròn Page 10 of 17 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Ƙ | Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU Ƙ Ví dụ (*) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) Gọi H chân đường vuông góc vẽ từ B xuống đường kính CD (O), gọi I giao điểm AD BH Chứng minh IB = IH ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ a Chứng minh AM ON hình vng b Chứng minh AN O vuông cân AN tiếp tuyến (O) Bài Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính Qua O kẻ đường vng góc với AB, cắt tiếp tuyến A đường tròn điểm C a Chứng minh CB tiếp tuyến đường trịn b Cho bán kính đường trịn 15 cm, AB = 24 cm Tính độ dài OC SAO 19 SAO cắt (O) B 07 56 √ Bài Trên tiếp tuyến đường tròn (O; R) A lấy điểm S cho AS = R Kéo dài đường cao AH 76 a Tính cạnh góc 09 b Chứng minh SB tiếp tuyến (O) SAB Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Lấy điểm D bán kính OB Gọi H trung điểm AD Đường vng góc H với AB cắt nửa đường tròn C Đường tròn tâm I đường kính DB cắt cát MATH.ND tuyến CB E a Tứ giác ACED hình gì? b Chứng minh Lớp TOÁN THẦY DŨNG HCE cân H c Chứng minh HE tiếp tuyến đường tròn tâm I Bài Cho ABC vuông A (AB < AC) Đường trịn tâm O đường kính AB đường trịn tâm K đường kính AC cắt A D a Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng b Chứng minh OD tiếp tuyến (K) KD tiếp tuyến (O) Bài Cho ABC vng A có đường cao AH Đường trịn tâm I đường kính BH cắt AB E, đường trịn tâm K đường kính HC cắt AC H Chứng minh AH EF tiếp tuyến chung (I) (K) Bài Cho nửa đường tròn đường kính AB tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M Ax vẽ tiếp tuyến thứ hai M C với nửa đường trịn Kẻ CH vng góc với AB Chứng minh M B qua trung điểm CH Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Page 11 of 17 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU Bài Trên tiếp tuyến M thuộc đường tròn (O; R) lấy M A = R, (O) lấy N cho AN = R Ƙ | Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU Bài Cho ‘ = 60◦ quay quanh O cho tia Ox cắt cạnh AB ABC có O trung điểm BC, xOy M , tia Oy cắt cạnh AC N a Chứng minh BC = · BM · CN b Chứng minh M O N O tia phân giác BM N M N C c Chứng minh M N ln tiếp xúc với đường trịn cố định ABC nột tiếp đường tròn (O) Gọi D điểm đối xứng A qua O Trên cạnh AB lấy điểm M tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Hai đường thẳng M N BC cắt K Chứng minh a DBM = DCN b M DN = 120◦ K trung điểm M N 19 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 07 A Vị trí tương đối hai đường trịn 56 Chủ đề 76 ○ Tính chất đường nối tâm • Nếu đường trịn cắt đường nối tâm trung trực dây chung 09 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU Bài (*) Cho • Nếu đường trịn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm MATH.ND B BÀI TẬP Bài Cho (O) tiếp xúc với (O ) A Qua A kẻ cát tuyến cắt (O) C cắt (O ) D Chứng minh OC O D Lớp TOÁN THẦY DŨNG Bài Cho (O) tiếp xúc với (O ) A ((O ) nằm bên (O)) Qua A kẻ cát tuyến cắt (O) B (O ) C Chứng minh OB O C Bài Cho hai đường tròn (O; R) (O ; R) cắt M N Biết OO = 24 cm, M N = 10 cm Tính R Bài Cho hai đường tròn (O; R) (O ; R ) tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung BC, B ∈ (O), C ∈ (O ) Tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung BC I Chứng minh a OIO = 90◦ ; √ b BC = RR Bài Cho hai đường tròn (O; R) (O ; R ) tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung M N với M thuộc (O), N thuộc (O ) Biết R = cm, R = cm Tính độ dài đoạn M N Bài Cho hai đường tròn (O1 ) (O2 ) cắt A B Gọi I trung điểm O1 O2 Qua A vẽ đường thẳng vng góc với IA, cắt (O1 ) C (O2 ) D (khác A) Chứng minh CA = AD Page 12 of 17 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Ƙ | Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU Bài Cho (O1 ) tiếp xúc với (O2 ) A Đường nối tâm O1 O2 cắt (O1 ) B (O2 ) C Gọi DE tiếp tuyến chung hai đường tròn, D ∈ (O1 ), E ∈ (O2 ) M giao điểm BD CE a Tính số đo góc DAE b Tứ giác ADM E hình gì? Vì sao? Bài Cho hai đường tròn (O1 ; R) (O2 ; R ) (với R1 = R2 ) tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung BC DE (với B, D thuộc (O1 ); C, E thuộc (O2 )) Chứng minh BC + DE = BD + CE Bài Cho hai đường tròn (O; cm) (O ; cm) cắt A B Qua A kẻ cát tuyến cắt (O) M (M = A), cắt (O ) N (N = A) Nếu OO = cm, tính giá trị lớn M N Bài 10 (*) Cho hai đường trịn (O1 ), (O2 ) ngồi Vẽ tiếp tuyến chung AB CD (với A, D thuộc (O1 ); B, C thuộc (O2 )) Nối AC cắt (O1 ) M ; cắt (O2 ) N (M = A, N = C) Chứng minh AM = N C 56 BÀI TẬP TỔNG HỢP TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI 19 Bài Cho đường tròn (O; R) đường tính AB Qua điểm A kẻ tia tiếp tuyến Ax đến đường tròn (O) Trên 76 07 tai Ax lấy điểm C cho AC > R Từ điểm C kẻ tiếp tuyến CM với đường tròn (O) (M tiếp điểm) b Chứng minh M B 09 a Chứng minh bốn điểm A, C, O, M thuộc đường tròn OC c Gọi K giao điểm thứ hai BC với đường tròn (O) Chứng minh BC · BK = 4R2 MATH.ND d Chứng minh CM K = M BC (Đề thi học kì Bắc Từ Liêm, Hà Nội, 2018) Lớp TOÁN THẦY DŨNG Bài Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Trên tia Ax lấy điểm E (E khác A, AE < R); nửa đường tròn lấy điểm M cho EM = EA, đường thẳng EM cắt tia By F a Chứng minh EF tiếp tuyến đường tròn (O); b Chứng minh tam giác EOF tam giác vuông; c Chứng minh AM · OE + BM · OF = AB · EF ; d Tìm vị trí điểm E tia Ax cho S AM B = S EOF (Đề thi học kì Đống Đa, Hà Nội, 2018) Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB điểm C thuộc đường tròn (O) (C khác A, B) cho AC > BC Qua O vẽ đường thẳng vng góc với dây cung AC H Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt tịa OH D Đoạn thẳng DB cắt đường tròn (O) E Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Page 13 of 17 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU c Chứng minh M A tiếp tuyến chung hai đường tròn Ƙ | Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU a Chứng minh HA = HC DCO = 90◦ b Chứng minh DH · DO = DE · DB c Trên tia đối tia EA lấy điểm F cho E trung điểm cạnh AF Từ F vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng AD K Đoạn thẳng F K cắt đường thẳng BC M Chứng minh M K = M F (Đề thi học kì Cầu Giấy, Hà Nội, 2018) Vẽ CH ⊥ AB (H ∈ AB) a Chứng minh ABC vng Tính độ dài CH số đo BAC (làm tròn đến độ); b Tiếp tuyến B C đường tròn (O) cắt D Chứng minh OD ⊥ BC; c Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt BC E Chứng minh CE · CB = AH · AB; d Gọi I trung điểm CH Tia BI cắt AE F Chứng minh F C tiếp tuyến đường tròn 56 (O) 19 (Đề thi học kì Đan Phượng, Hà Nội, 2018) 76 07 Bài Cho điểm M nằm đường trịn tâm O đường kính AB Tiếp tuyến M B (O) cắt D Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OD cắt M D C cắt BD N a Chứng minh DC = DN 09 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU Bài Cho đường tròn (O) đường kính AB = 10 cm C điểm đường tròn (O) cho AC = 8cm b Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn tâm O MATH.ND c Gọi H chân đường vng góc kẻ từ M xuống AB, I trung điểm M H Chứng minh B, C, I thẳng hàng Lớp TOÁN THẦY DŨNG d Qua O kẻ đường vng góc với AB, cắt (O) K (K M nằm khác phía với đường thẳng AB) Tìm vị trí M để diện tích tam giác M HK lớn (Đề thi học kì Đống Đa, Hà Nội, 2018) Bài Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định ngồi đường trịn Vẽ đường thẳng d vng góc với OA A Trên d lấy điểm M , qua M kẻ hai tiếp tuyến M E, M F tới đường tròn (O; R), tiếp điểm E F Nối EF cắt OM H, cắt OA B a Chứng minh OM vuông góc với EF b Cho biết R = cm, OM = 10 cm Tính OH c Chứng minh điểm A, B, H, M thuộc đường tròn d Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác M EF thuộc đường tròn cố định M chuyển động d Page 14 of 17 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Ƙ | Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU (Đề thi học kì Hà Đơng, Hà Nội, 2018) Bài Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Vẽ đường trịn tâm O đường kính AC cắt cạnh BC D (D = C) Gọi H K trung điểm AD DC Tia OH cắt cạnh AB E Chứng minh: a AD đường cao tam giác ABC c Tứ giác OHDK hình chữ nhật (Đề thi học kì Sở giáo dục Bến Tre, 2018) Bài Cho đường tròn tâm O đường kính BC, điểm A thuộc đường trịn (A = B, A = C) Vẽ bán kính OK song song với BA (K A nằm phía BC) Tiếp tuyến với đường tròn C cắt OK I, OI cắt AC H a Chứng minh tam giác ABC vuông A 56 b Chứng minh IA tiếp tuyến đường tròn (O) 07 19 c Cho BC = 30cm, AB = 18cm Tính độ dài OI, CI 76 d Chứng minh CK phân giác ACI 09 (Đề thi học kì Sở GD & ĐT Bình Phước, 2018) Bài Cho đường tròn (O) tâm O đường kính AB Lấy điểm C thuộc đường trịn (O), với C không trùng A B Gọi I trung điểm đoạn thẳng AC Vẽ tiếp tuyến đường tròn (O) tiếp điểm C cắt tia OI điểm D MATH.ND a Chứng OI song song với BC Lớp TOÁN THẦY DŨNG b Chứng minh DA tiếp tuyến đường trịn (O) c Vẽ CH vng góc với AB, H ∈ AB vẽ BK vng góc với CD, K ∈ CD Chứng minh CK = HA · HB (Đề thi học kì Sở GD & ĐT Đồng Nai, 2018) Bài 10 Cho đường trịn (O, R) đường thẳng d cố định khơng cắt đường trịn Từ điểm A đường thẳng d kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B tiếp điểm) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AO H, tia đối HB lấy điểm C cho HC = HB a Chứng minh C thuộc đường tròn (O, R) AC tiếp tuyến đường tròn (O, R) b Từ O kẻ đường thẳng vng góc với d I, OI ∩ BC = K Chứng minh OH · OA = OI · OK = R2 c Chứng minh A thay đổi đường thẳng d đường thẳng BC qua điểm cố định Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Page 15 of 17 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU b DE tiếp tuyến đường tròn (O) Ƙ | Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU (Đề thi học kì Sở GD & ĐT Nam Định, 2018) Bài 11 Cho đường trịn tâm O, bán kính R đường thẳng (∆) khơng có điểm chung với đường trịn (O), H hình chiếu vng góc O ∆ Từ điểm M ∆ (M = H), vẽ hai tiếp tuyến M A, M B đến đường tròn (O) (A, B hai tiếp điểm) Gọi K, I thứ tự giao điểm AB với OM OH a Chứng minh AB = 2AK năm điểm M, A, O, B, H nằm đường tròn c Trên đoạn OA lấy điểm N cho AN = 2ON Đường trung trực BN cắt OM E Tính tỷ số OE OM (Đề thi học kì Sở GD & ĐT Thái Bình, 2018) Bài 12 Cho đường trịn (O, R) đường thẳng d cố định không cắt đường trịn Từ điểm A đường thẳng d kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B tiếp điểm) Từ B kẻ đường thẳng vng góc với AO 56 H, tia đối tia HB lấy điểm C cho HC = HB 19 a Chứng minh C thuộc đường tròn (O, R) AC tiếp tuyến (O, R) 07 b Từ O kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng d I, OI cắt BC K Chứng minh 76 OH · OA = OI · OK = R2 09 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU b Chứng minh OI · OH = OK · OM = R2 (Đề thi học kì Tam Đảo, Vĩnh Phúc, 2018) Bài 13 Cho tam giác ABC vng A Vẽ đường trịn tâm O đường kính AC Đường trịn (O) cắt BC MATH.ND điểm thứ hai I a Chứng minh AI = BI · CI Lớp TOÁN THẦY DŨNG b Kẻ OM ⊥ BC M , AM cắt (O) điểm thứ hai N Chứng minh AM · M N = CM AIM CN M Từ suy c Từ I kẻ IH ⊥ AC H Gọi K trung điểm IH Tiếp tuyến I (O) cắt AB P Chứng minh ba điểm C, K, P thẳng hàng d Chứng minh OI tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp IM N (Đề thi học kì Thanh Trì, Hà Nội, 2018) Bài 14 Cho đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R Trên đường trịn lấy điểm C cho AC = R Vẽ tiếp tuyến Ax với đường tròn Gọi K giao điểm đường thẳng BC với Ax a Chứng minh tam giác ABC vng tính số đo góc ABC b Từ A kẻ AE vng góc với KO E Chứng minh KC · BC = OE · OK c Đường thẳng AE cắt đường tròn tâm O điểm thứ hai M Chứng minh KM tiếp tuyến (O) Page 16 of 17 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Ƙ | Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU d Đường thẳng vng góc với AB O cắt BK I cắt đường thẳng BM N Chứng minh IO = IN (Đề thi học kì Thuận An, Bình Dương, 2018) Bài 15 Cho (O; R), đường kính CD, dây BC khác đường kính Hai tiếp tuyến đường trịn B C a Chứng minh AO ⊥ BC b Giả sử R = 15 cm, dây BC = 24 cm Tính OA c Kẻ BH vng góc với CD H, gọi I giao điểm AD BH Chứng minh I trung điểm BH (Đề thi học kì Phịng GD & ĐT Ninh Bình, 2018) Bài 16 Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Qua A B vẽ hai tiếp tuyến (d) (d ) với đường tròn (O) Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) M cắt đường thẳng (d ) P Từ O kẻ 19 N M P cân 07 a Chứng minh OM = OP 56 tia vng góc với M P cắt đường thẳng (d ) N Kẻ OI ⊥ M N I 09 c Tính AIB 76 b Chứng minh OI = R M N tiếp tuyến đường tròn (O) d Tìm vị trí M để diện tích tứ giác AM N B nhỏ nhất? MATH.ND (Đề thi học kì Đống Đa, Hà Nội, 2018) Lớp TOÁN THẦY DŨNG Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Page 17 of 17 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU cắt A  ... dây cung AB, CD song song với có độ dài theo thứ tự 40 cm, 48 cm Tính khoảng cách hai dây cung DẠNG So sánh hai dây cung - Hai đoạn thẳng ○ Xác định khoảng cách từ tâm đến dây ○ Trong hai dây cung... lớn 09 • Trong đường trịn, hai dây cách tâm ngược lại • Trong đường trịn, dây lớn gần tâm ngược lại B MỘT SỐ DẠNG TOÁN MATH.ND DẠNG Chứng minh hai đoạn thẳng Hai dây Lớp TOÁN THẦY DŨNG ○ Trong đường... điểm P cho AP = 3−1 ä Vẽ dây DE vuông góc với AB P Chứng minh DE = AB Bài Trong đường tròn tâm O, hai dây AB CD song song với Biết AB = 30 cm, CD = 40 cm Khoảng cách AB CD 35 cm Tính bán kính