Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” LỜI GIẢI ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI Tập Thể Giáo Viên Nhóm Toán “Tiểu Học – THCS – THPT VIỆT NAM” Tạ Thị Huyền Trang Nguyễn Trí Chính Hồng Dương Thắng Vũ Phạm Thụ Trần Lệnh Ánh Phạm Thu Hà Việt Dũng Lê Hợp Nguyễn Lan Anh Phạm Văn Tuân Lê Hường Ngô Nguyễn Quốc Mẫn Võ Quang Mẫn Trần Hùng Quân Lê Quỳnh Trang Lê Minh Đức Lê Thị Hoàng Hạnh Bùi Quốc Trọng Phạm Duy Nguyên Nguyễn Hưng Nguyễn Minh Toàn Bài (2,5 điểm) Cho a = 1+ a) Tìm đa thức bậc hai Q( x) với hệ số nguyên cho α nghiệm Q( x) b) Cho đa thức: P( x) = x5 − x − x + Tính giá trị P(α ) Lời giải a).Tìm đa thức bậc hai Q( x) với hệ số nguyên cho α nghiệm Q( x) Cách 1: Có α = 1+ ⇔ 2α − = ⇒ 4α − 4α − = ⇔ α − α − = NHÓM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Phương trình x − x − =0 có hệ số nguyên có nghiệm α = 1− 1+ , β= 2 Vậy Q ( x ) = x − x − thỏa yêu cầu Cách 2: Có α = 1+ 1− , đặt β = 2 α + β = Ta có α β = −1 Phương trình có hệ số ngun nhận α , β làm nghiệm x − x − =0 Vậy Q ( x ) = x − x − thỏa yêu cầu b) P( x) = x5 − x − x + = x5 − x − x3 + x3 − x + P (= x) x ( x − x − 1) + x − x − x + x + P( x)= ( x − x − 1)( x3 + x) + x + P(α )= (α − α − 1)(α + α ) + α + P(α ) =0 + α + (Do α nghiệm phương trình: x − x − ) Mà α + = α + nên P(α ) = α + = α + = Vậy P(α ) = Bài 1+ 5+ +2= 2 5+ (3,0 điểm) Cho A, B hai điểm cố định nằm đường tròn tâm O , bán kính R Giả sử C điểm cố định tia đối tia BA Một cát tuyến thay đổi qua C cắt đường tròn ( O ) D E ( D nằm C , E ) Các đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACE cắt giao điểm thứ hai M Biết bốn điểm O, B, M , E tạo thành tứ giác OBME Chứng minh rằng: a) Tứ giác OBME nội tiếp CE CO − R b) CD.= c) M di chuyển đường tròn cố định Lời giải NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” E T M D O C B A F a) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp ( 2= 2= BMC − EMB = EOB BAE BDC = EMC ( − EMB = 180° − EAB ) ) − EMB = 360° − EOB + EMB = suy EOB 180° hay tứ giác OBME nội tiếp b) Chứng minh CD.= CE CO − R Cách Kẻ CF tiếp tuyến ( O ) , suy CF ⊥ OF ⇒ CF = CO − OF = CO − R (1) Mặt khác: ∆CDF ∽ ∆CFE (g.g) ⇒ CD CF = ⇒ CF = CD.CE (2) CF CE Từ (1) (2) ta có CD.= CE CO − R Cách Gọi T trung điểm DE TE Có CD.CE = ( CT − TD )( CT + TE ) , TD = = CT − TD = CO − OT − TD = CO − OD = CO − R NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” c) Chứng minh M di chuyển đường tròn cố định = + BMC = + EAB = OMC OMB OEB 90° hay M ln di chuyển đường trịn đường kính OC cố định Bài (2,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương N cho N biểu diễn cách dạng x2 y + với x, y hai số nguyên dương xy + Lời giải N= x2 + y ⇔ x − Nxy − N + y = ⇔ x ( Ny − x ) = y − N (1) xy + Với N = dễ thấy có vô số cách biểu diễn N theo x, y số dạng ( x, y ) = ( a, a + 1) ( a ∈ * ) Với N ≥ Nếu y = N ⇒ x = N Nếu y ≠ N (1) ⇒ y − N x ⇒ y − N ≥ x suy hai số y; N có số lớn x ⇒ Ny − x > ⇒ y − N > ⇒ y > N ⇒ y > x Từ (1) ⇒ y − N Ny − x ⇒ y − N ≥ Ny − x ≥ y − x ≥ y + ( y − x ) ≥ y ⇒ N ≤ ( loại) Vậy với N ≥ ta có biểu diễn dạng x2 + y xy + Cách khác +) N = có vơ số ( x; y ) có dạng ( k ; k + 1) ( k ∈ N ) thỏa mãn x2 + y =N xy + Suy N = loại +) N ≠ x + y xy + ⇒ y ( x + y ) − x ( xy + 1) xy + ⇒ y − x xy + NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” +) x < y ⇒ x + y ≤ xy + y < xy + ⇒ x + y ≤ xy + xy= xy < xy + ⇒ x2 + y < ⇒ N < vô lý xy + +) x ≥ y ⇒ − ( xy + 1) < − x < y − x < y < xy + ⇒ y2 − x = ⇒ x = y2 ⇒= N y4 + y = y y2 + ⇒x= N2 ( ) Với N > cặp N ; N Bài (2,5 điểm) Cho a , b , c ba số nguyên dương cho số ba số biểu diễn dạng lũy thừa với số mũ tự nhiên Biết phương trình bậc hai ax − bx + c = (1) có hai nghiệm số nguyên Chứng minh hai nghiệm phương trình (1) Lời giải Cách 1: k n a 2= ; b 2= ; c 2m ( k , m, n ∈ ) Đặt= Gọi x1 ; x2 nghiệm nguyên phương trình ax − bx + c = Ta có ax12 − bx1 + c = ⇒ c = x1 ( b − ax1 ) > ⇒ c x1 ⇒ 2m x1 tương tự 2m x2 (1) x1 + x2 2n − k x1 > = Theo hệ thức Vi-et: ⇒ ( 2) m−k x2 > x1.x2 = Từ (1) ; ( ) ⇒ x1 ; x2 lũy thừa với số mũ tự nhiên p = x1 2= , x2 2q ( p, q ∈ ) khơng tính tổng quát giả sử p ≥ q Đặt Khi x1 + x= 2n − k ⇔ 2q ( p − q + 1= ) 2n−k ⇒ p−q +=1 2n−k −q Vì p − q + ≥ ⇒ 2n − k − q ≥ ⇒ 2n − k − q số chẵn ⇒ p − q + số chẵn ⇒ p − q =1 ⇒ p − q =0 ⇔ p = q ⇒ x1 = x2 (đpcm) NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Cách 2: n m = a 2= ; b 2= ; c p ( m; n; p ∈ ) Đặt (1) có ∆= b − 4ac= 22 m − 2n + p + Xét phương trình ax + bx + c = Để phương trình (1) có nghiệm ngun ∆ số phương ⇒ 22 m − 2n + p += k2 ( k ∈ ) ⇔ 2n + p + = ( 2m − k )( 2m + k ) 2m − k = 2u 2u + v m ⇒ m = 2u −1 (1 + 2v −u ) ( u < v ) ⇒ 2= v 2 2 − k = Nếu u ≠ v + 2v −u số lẻ khác (vô lý) Suy u = v ⇒ k = ⇒ ∆ = Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm HẾT NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang ... điểm DE TE Có CD.CE = ( CT − TD )( CT + TE ) , TD = = CT − TD = CO − OT − TD = CO − OD = CO − R NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM? ??... số biểu diễn dạng lũy thừa với số mũ tự nhiên Biết phương trình bậc hai ax − bx + c = (1) có hai nghiệm số nguyên Chứng minh hai nghiệm phương trình (1) Lời giải Cách 1: k n a 2= ; b 2= ; c 2m... = ⇒ 4α − 4α − = ⇔ α − α − = NHÓM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM? ?? Phương trình x − x − =0 có hệ số nguyên có nghiệm α = 1− 1+ ,