de tuyen sinh lop 10 chuyen mon toan chuyen toan nam 2021 2022 so gddt quang nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn thi: TỐN (Chun Tốn) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Khóa thi ngày: 03 - 05/6/2021 Câu 1: (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A    x 1 x  x 1  x  4  x  x 4    x 3 x x  x 6  (với x  1, x  4, x  )   b) Tìm tất ba số nguyên tố p, q, r thỏa mãn pq  r  p  q  r  Câu 2: (1,0 điểm) Cho parabol (P): y  x đường thẳng (d) y    m  x  m (m tham số) Chứng 1  minh (d) cắt (P) hai điểm A, B cho M  ;1  trung điểm đoạn thẳng AB, hai 2  điểm H, K hình chiếu vng góc A, B trục hồnh Tính độ dài đoạn thẳng KH Câu 3: (2,0 điểm) a) Giải phương trình  x  1  x  x  x   x  y  xy   b) Giải hệ phương trình  2  x  y  x y  xy   Câu 4: (2,0 điểm) Cho hình vng ABCD tâm O, điểm E nằm đoạn thẳng OB (E khác O, B), H hình chiếu vng góc C đường thẳng AE Gọi F giao điểm AC DH a) Chứng minh HD tia phân giác góc AHC b) Chứng minh diện tích hình vng ABCD hai lần diện tích tứ giác AEFD Câu 5: (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) Đường trịn (O) đường kính BC cắt AB, AC F, E Gọi H giao điểm BE CF, đường thẳng AH cắt BC D a) Chứng minh tứ giác ODFE nội tiếp đường tròn b) Gọi K giao điểm AH EF, I trung điểm AH Đường thẳng CI cắt đường tròn (O) M (M khác C) Chứng minh CI vng góc với KM Câu 6: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xy  yz  zx  xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức H  x2 y2 z2   z  zx x  xy y  yz  HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A    x 1 x  x 1  x  4  x  x 4    x 3 x x  x 6   (với x  1, x  4, x  )  b) Tìm tất ba số nguyên tố p, q, r thỏa mãn pq  r  p  q  r  Lời giải a) Rút gọn biểu thức A    x 1 x  x 1  x  4  x  x 4    x 3 x x  x 6  (với x  1, x  4, x  ) Với x  1, x  4, x  ta có: A    x 1 x  x 1  x  4  x  x 4   x  x 6    x 1  x 1     x 2 x 2 x 2 x 4     x  x 3 8 x x  x 2 x x 8    2 x x 2  x 2   x   x  2  x  2  x  x  2   x   x          x  3  x 1  x   x  x  3    x   x x  8  x  3 x      x 3 x x 2 x4  x  4   b) Tìm tất ba số nguyên tố p, q, r thỏa mãn pq  r  p  q  r  S  p  q Đặt  ta có hệ:  P  p.q P  r  P  r   P  r   P  r       r  4r     2 2 r  4r  2 S  P  r  2 S  P  r   S  S   2      r  r  r  r      Vì p, q, r ba số nguyên tố nên ta có:  S    p  q   q   p  q   p P   p.q   p  p   p2  p         r     p  q   r   p  q   Câu 2: (1,0 điểm) Cho parabol (P): y  x đường thẳng (d) y    m  x  m (m tham số) Chứng 1  minh (d) cắt (P) hai điểm A, B cho M  ;1  trung điểm đoạn thẳng AB, hai 2  điểm H, K hình chiếu vng góc A, B trục hồnh Tính độ dài đoạn thẳng KH Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): x    2m  x  m  x    2m  x  m  1     2m   4.1  m   m  m    2m  1   m 2 Do phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m nên (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B với giá trị m Với m, theo định lý Vi-et ta có: b   x1  x2  a   m   x x  c  m  a x x  2m 1 1  Vì M  ;1  trung điểm đoạn thẳng AB nên   m 2 2 2   1 2 x y  1 2 Thay m  vào (1) ta có phương trình: x  x     2  1 2 y x   2 1   1    A ; ;  , B    2 2      1  1  Vì H, K hình chiếu A, B lên trục hoành nên  H  ;0  , K  ;0           HK  1 1   2 Câu 3: (2,0 điểm) a) Giải phương trình  x  1  x  x  x   x  y  xy   b) Giải hệ phương trình  2  x  y  x y  xy   Lời giải a) Giải phương trình  x  1  x  x  x  Điều kiện: x    x  1  x   x  1 x     x  1  x   x  1 x      x  1    2x  x   x  x  x 1        x    x     2x  x   7  x  x  2     x  x     x   x  x      x  x      x  1 Vậy tập nghiệm phương trình: S  1;3  x  y  xy   1 b) Giải hệ phương trình  2 2  x  y  x y  xy     Giải (1) ta có: x  y  xy    x 1  y   1  y    x 1  y   1  y    1  y  x    x   y  Với x = thay vào phương trình (2) ta có:  y2  y  y2    3y  y    y  1   y  5  Với y = thay vào phương trình (2) ta có: x  x   x  x    3x  x     x  2  2   5   2   Vậy nghiệm hệ phương trình là:  x; y    2; 1 ;  2;  ;  0;1 ;  ;1        Câu 4: (2,0 điểm) Cho hình vng ABCD tâm O, điểm E nằm đoạn thẳng OB (E khác O, B), H hình chiếu vng góc C đường thẳng AE Gọi F giao điểm AC DH a) Chứng minh HD tia phân giác góc AHC b) Chứng minh diện tích hình vng ABCD hai lần diện tích tứ giác AEFD Lời giải A B E H O F D a) C Ta có  ADC  900 (ABCD hình vng)  AHC  900 (H hình chiếu C AE)   1800 Xét tứ giác ADCH có:  ADC  AHC Mà hai góc vị trí đối  Tứ giác ADCH nội tiếp   450   DHC   450 (cùng chắn cung CD) mà AHD   DHC   900  AHD  DAC  HD tia phân giác góc AHC b)   EHC   1800 Xét tứ giác OEHC có: EOC Mà hai góc vị trí đối  Tứ giác OEHC nội tiếp  AEO   ACH (góc ngồi góc đối trong) (1)  (cùng chắn cung AH) (2) Tứ giác ADCH nội tiếp (cmt)   ADF  ACH Từ (1) (2) suy   AED   ADF Xét ADE FAD có:    450  ADE = FAD    ADE ∽ FAD  g.g    AED  ADF  cmt      AF AD   AF DE  AD2 AD DE Ta có: S AEFD  1 AF DE  AD2  S ABCD 2 Câu 5: (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) Đường trịn (O) đường kính BC cắt AB, AC F, E Gọi H giao điểm BE CF, đường thẳng AH cắt BC D a) Chứng minh tứ giác ODFE nội tiếp đường tròn b) Gọi K giao điểm AH EF, I trung điểm AH Đường thẳng CI cắt đường tròn (O) M (M khác C) Chứng minh CI vng góc với KM Lời giải A I E M K F H B a) D O   900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Ta có BFC   900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) BEC C Xét tam giác ABC có: BE CF đường cao cắt H  H trực tâm tam giác ABC  AH  BC D  (góc ngồi góc đối trong) Ta có tứ giác BCEF nội tiếp (O)   AFE  OCE Xét tứ giác ACDF có:  ADC  900 (cmt)  AFC  900 (cmt)   OCE  (góc ngồi góc đối trong)  tứ giác ACDF nội tiếp  BFD Xét tam giác BEC vng E có EO trung tuyến  EO  BC  CO  BO (định lý đường trung tuyến tam giác vuông)   OEC   COE   1800  2OCE   OCE   cmt    AFE  OCE   1800  AFE   BFD   EFD  Ta có   COE    BFD  OCE  cmt    EFD   cmt  Xét tứ giác ODFE có COE Mà hai góc vị trí góc ngồi góc đối  tứ giác ODFE nội tiếp b) Xét tam giác AEH vng E có EI trung tuyến  EI  AH  AI  HI (định lý đường trung tuyến tam giác vuông)   OEC   cmt  IAE   IEA  , có OCE   IEA  phụ OEC   OEI   900  phụ OCE  IAE   900 Chứng minh tương tự ta có OFI   OFI   1800 Xét tứ giác OEIF có OEI Mà hai góc vị trí đối  tứ giác OEIF nội tiếp Ta có tứ giác ODFE nội tiếp (cmt), tứ giác OEIF nội tiếp (cmt)  điểm O, D, F, I, E thuộc đường trịn đường kính ID Xét IEK IDE có:  chung DIE   IDE   ECF  IDK        IEK ∽ IDE  g.g   IE IK   IE  ID IK 1 ID IE Xét IEM ICE có:  chung ICE       IEM ∽ ICE  g.g    IEM  ICE   sd cung EM      IE IM   IE  IC.IM   IC IE Từ (1) (2)  IK ID  IC.IM  IK IC  IM ID Xét IMK IDC có:  chung  DIC  0     IK IC   IMK ∽ IDC  c.g.c   IMK  IDC mà IDC  90  IMK  90  CI  KM   IM ID  Câu 6: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xy  yz  zx  xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức H  x2 y2 z2   z  zx x  xy y  yz Lời giải Theo đề ta có: Đặt 1   1 x y z 1  a ,  b ,  c  a, b, c    a  b  c  x z y Khi H  Ta có: c b a  b  9c   c 9a2   a    c 9a   a c 9a  Vì 9a   a  c  9a c 9a  9a c 9a c  c   c  ac 9a  6a Chứng minh tương tự ta có:  H  abc c a b  a  ba ;  b  cb 9b  9c  2  ab  bc  ca  a  b  c Mà ab  bc  ca  3 1  H  1  Vậy Hmin  Dấu xảy x  y  z   ... suy   AED   ADF Xét ADE FAD có:    450  ADE = FAD    ADE ∽ FAD  g.g    AED  ADF  cmt      AF AD   AF DE  AD2 AD DE Ta có: S AEFD  1 AF DE  AD2  S ABCD 2 Câu 5:...  điểm O, D, F, I, E thuộc đường trịn đường kính ID Xét IEK IDE có:  chung DIE   IDE   ECF  IDK        IEK ∽ IDE  g.g   IE IK   IE  ID IK 1 ID IE Xét IEM ICE có: 