ly thuyet va bai tap mon toan 9 hoc ki 2 do van dat

TOÁN GV: Đỗ Văn Đạt MỤC LỤC CHƯƠNG : Hệ phương trình Bài : Hệ phương trình bậc hai ẩn Bài : Giải hệ phương trình phương pháp - phương pháp cộng đại số Bài : Rút gọn đưa dạng Bài : Phương pháp đặt ẩn phụ 10 Bài : Giải biện luận hệ phương trình 15 Bài : Tìm m thỏa mãn điều kiện cho trước 16 Bài : Ôn tập 20 CHƯƠNG : Giải tốn cách lập phương trình 24 Bài : Tìm hai số 24 Bài : Tốn liên quan đến hình học 26 Bài : Bài toán chuyển động 30 Bài : Bài tốn chuyển động dịng nước 36 Bài : Làm chung – làm riêng 42 Bài : Làm chung – làm riêng 48 CHƯƠNG : Phương trình bậc hai 53 Bài : Hàm số y  ax 53 Bài : Phương trình bậc hai 59 Bài : Tìm m hệ thức vi ét 64 Bài : Tìm m thỏa mãn điều kiện cho trước 69 Bài : Bài tập giao điểm 74 Bài : Bài tập giao điểm 78 Bài : Tổng hợp đề thi vào 10 82 CHƯƠNG : Góc đường trịn 91 Bài : Góc tâm - Số đo cung 91 Bài : Liên hệ cung dây 96 Bài : Góc nội tiếp 99 Bài : Góc tạo tiếp tuyến dây 104 Bài : Góc có đỉnh bên đường tròn 108 Bài : Tứ giác nội tiếp 113 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 Bài : Độ dài đường tròn – cung tròn 119 Bài : Luyện tập 125 Bài : Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào 10 128 096.654.8683 Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton TOÁN GV: Đỗ Văn Đạt CHƯƠNG : Hệ phương trình Bài : Hệ phương trình bậc hai ẩn I Lí thuyết : Khái niệm phương trình bậc hai ẩn  Phương trình bậc hai ẩn x, y hệ thức dạng: ax  by  c  1 a, b, c số biết ( a  b  )  Nếu x0 , y0 thoả  1 cặp số ( x0 ; y0 ) nghiệm phương trình  1  Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nghiệm  1 biểu diễn điểm Nghiệm ( x0 ; y0 ) biểu diễn điểm ( x0 ; y0 ) Khái niệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn a x  b1 y  c1 Cho hệ hai phương trình bậc hai ẩn:  (I) a2 x  b2 y  c2  Nếu hai phương trình có nghiệm chung ( x0 ; y0 ) ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ (I)  Nếu hai phương trình khơng có nghiệm chung hệ (I) vơ nghiệm Minh hoạ hình học tập nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn Tập nghiệm hệ phương trình (I) biểu diễn tập hợp điểm chung hai đường thẳng (d1 ) : a1x  b1 y  c1 (d2 ) : a2 x  b2 y  c2  a b  Nếu (d1 ) cắt (d2 ) cần    hệ (I) có nghiệm  a2 b2   a b c  Nếu (d1 ) // (d2 ) cần     hệ (I) vô nghiệm  a2 b2 c2   a b c  Nếu (d1 )  (d2 ) cần     hệ (I) có vơ số nghiệm  a2 b2 c2  Hệ phương trình tương đương Hai hệ phương trình tương đương chúng có tập nghiệm d f trùng d f song song Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor d f cắt Thanh Trì – Hà Nội HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 GV: Đỗ Văn Đạt II Bài tập Bài : Tìm nghiệm phương trình sau cách ghép :  2;  3x  y   1; 3  ……………… ……………… 2 x  y  5 ……………… 3 y  x  4  7  2;     Bài : Dựa vào tương giao hai đường thẳng đốn nghiệm hệ phương trình sau :  x  y  1 ❶   xy  ………………………… 3 x  y  1 ❷   6x  y  ………………………… Giải thích : ………………………… Giải thích : …………………………………… ……………………………………… ……… ……………………………………… ………… ………………………………………………… …………………………………………………… ………………………………………………… ……………………………………………………  x  y  1 ❸   x  y  2 ……………………… 3x  y  1 ❹   2 x  y  ………………………… Giải thích : ………………………… Giải thích : ………………………… ……………………………………… ……… ……………………………………… ……… … ………………………………………………… …………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………… 096.654.8683 Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton TOÁN GV: Đỗ Văn Đạt Bài : Giải hệ phương trình phương pháp - phương pháp cộng đại số I Lí Thuyết : Phương pháp : Chú ý : Khi biểu diễn ẩn theo ẩn chọn phương trình rút ẩn mà HỆ SỐ TRƯỚC ẨN BẰNG Từ PT (1) ta biểu diễn ẩn theo ẩn Thế ẩn phương trình (2) Kết luận Giải phương trình ẩn để tìm x y Bài : Giải hệ phương trình sau : 3 x  y  2 ❶   x  y  1  x  y  2 ❷  3x  y  ………………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………… Cách kiểm tra xem bạn giải hệ phương trình hay sai ?????? DÙNG MÁY TÍNH CASIO ẤN MODE VÀ NHẬP HỆ SỐ Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 GV: Đỗ Văn Đạt Phương pháp cộng đại số : Kết luận Nhân vế phương trình với số để hệ số trước ẩn phương trình Cộng trừ hai vế phương trình phương trình tìm x y Bài : Giải hệ phương trình sau :  4x  y  ❶   x  y  5 2 x  y  1 ❷   3x  y  ………………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… Bài : Giải hệ phương trình sau hai cách :  x  y  17 ❶  5 x  y  23 Lời giải :  x  y  17  x  y  17 Cách :  Cách :  ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… 5 x  y  23 5 x  y  23 096.654.8683 Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton TOÁN GV: Đỗ Văn Đạt ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………  2x  5y  ❷  3x  y  14 Lời giải :  2x  5y   2x  5y  Cách :  Cách :  ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… 3x  y  14 3x  y  14 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 GV: Đỗ Văn Đạt ………………………………………………………… ………………………………………………………… Trong cách giải cách tối ưu :  Khi nên áp dụng cách : Hệ số trước x y rút ẩn khơng có phân số  Khi nên áp dụng cách : Hệ số trước x y khác ( Gợi ý : Hệ số trước x, y ) Bài tập nhà Bài : Giải hệ phương trình sau : 4 x  y    2x  y   x  y  2   x  y  3 7 x  y  74  3 x  y  32 5 x  y    x  y  7  x  2y   2 x  y  4  x  3y   2 x  y  12  x  3y   2 x  y  2 x  y    xy  3x +y  3   xy  10  x  3y   x  5y  11  2x  y   2 x  y  12  x  y  2   x  y  14 Bài : Giải hệ phương trình sau :  2x   x  y   x  y   y  096.654.8683 x  y  y    x  y    5x y    19  4x  y  21  Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton TOÁN GV: Đỗ Văn Đạt Bài : Rút gọn đưa dạng II Bài tập : I Lý thuyết : Bài : Giải hệ phương trình sau : Thu gọn phương trình (3 x  2)(2 y  3)  xy a  (4 x  5)( y  5)  xy …………………………………………………………… …………………………………………………………… Giải hệ cộng đại số …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… Kết luận nghiệm hệ …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 2( x  y)  3( x  y)  b  ( x  y)  2( x  y)  ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………  y  5x y  27     x c   x   y  y  5x  …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 GV: Đỗ Văn Đạt …………………………………………………………… Bài : Phương pháp đặt ẩn phụ I Lí thuyết : ĐK Hệ Giải hệ phương trình Đặt ẩn phụ - ĐK Giải hệ áp ĐK Kết luận Bài : Giải hệ phương trình : 1 x  y   a  3    x y 6 x  y   b    10   x y ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… 096.654.8683 Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton 10 HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 GV: Đỗ Văn Đạt ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… Bài : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  O  , M giao điểm AB CD , N giao điểm AD BC Chứng minh : a MN  MC.MD  NA.ND b MON không vuông Lời giải :  Vẽ hình a …………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… b …………………………………………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… 096.654.8683 ……………………………………… Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton 118 TOÁN GV: Đỗ Văn Đạt ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… Bài : Độ dài đường tròn – cung tròn Diện tích hình trịn – Hình quạt trịn – Hình viên phân I Lí thuyết : ❶ Độ dài đường trịn – cung trịn: ❷ Diện tích hình trịn – Hình quạt trịn – Hình viên phân: Chu vi (C) C  2 R   d Diện tích (S) S   R2 độ dài cung n0  Diện tích hình quạt : cung n0  Rn 1800 Squạt   R2n  R 360 Diện tích hình viên phân: R O Sviên phân = Squạt AmB – SOAB α n l A O B II Bài tập : Bài : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O ; R  vẽ dây cung AB  2R, BC  3R,AC  R a Tính độ dài cung nhỏ AB, BC CA b Tính diện tích hình quạt tròn AOB, BOC ứng cung nhỏ AB BC c Tính diện tích hình viên phân ứng với cung nhỏ AB, BC CA Lời giải :  Vẽ hình a …………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… 119 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 GV: Đỗ Văn Đạt ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… b …………………………………………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… c …………………………………………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………… 096.654.8683 Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton 120 TOÁN GV: Đỗ Văn Đạt Bài : Cho đường tròn (O) có dây BC  2R cố định Kẻ đường kính BM, điểm A tia CB ( CA  CB ) Gọi E giao điểm AM với (O), gọi H giao điểm của OA với đường tròn (O’) ngoại tiếp tam giác ABM Gọi K giao điểm OA CE a Chứng minh tứ giác BKHC nội tiếp b Chứng minh AEK ~ AHM c Chứng minh AO ' M có dộ lớn khơng phụ thuộc vào vị trí A d Xác định vị trí điểm A tia CB để AO  4HO có giá trị nhỏ Lời giải : ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… 121 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 GV: Đỗ Văn Đạt ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… Bài : Cho đường tròn  O ; R  Qua điểm A cố định nằm ngồi đường trịn kẻ đường thẳng d vng góc với OA Từ điểm B đường thẳng d ( B không trùng với A ) kẻ tiếp tuyến BD , BC với đường tròn  O  ( D ,C tiếp điểm) Dây CD cắt OB N , cắt OA P a Chứng minh tứ giác OCBD tứ giác BNPA nội tiếp đường tròn b Chứng minh OA.OP  OB.ON  R c Cho CBO  300 R  6cm Tính diện tích tứ giác BCOD diện tích hình giới hạn cung nhỏ DC dây DC Lời giải : ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… 096.654.8683 Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton 122 TOÁN GV: Đỗ Văn Đạt ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… Bài tập nhà Bài : Cho  O , R  , đường kính AB Gọi I điểm cố định nằm hai điểm O B Lấy điểm C thuộc đường tròn tâm O thỏa mãn CA > CB Qua I vẽ đường thẳng vng góc với AB, d cắt BC E, cắt AC F a Chứng minh : Bốn điểm A, I, C, E thuộc đường tròn b Chứng minh rằng: IE.IF = IA.IB c Đường tròn ngoại tiếp CEF cắt AE N CMR: điểm N nằm đường tròn  O , R  , d Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh : C chuyển động đường trịn tâm O K ln thuộc đường thẳng cố định Bài : Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) cát tuyến AMN (M nằm A N) Gọi I, P, K hình chiếu vng góc M xuống cạnh AB, AC BC Gọi E điểm cung nhỏ BC a Chứng minh tứ giác BIMP CPMK nội tiếp b Gọi H trung điểm BC Chứng minh AM.AN  AH.AO c Chứng minh E tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 123 Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 d Xác định vị trí cát tuyến AMN để MI  MK  MP đạt giá trị nhỏ 096.654.8683 Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton 124 TOÁN GV: Đỗ Văn Đạt Bài : Luyện tập Bài : Cho đường tròn  O  có dây cung CD cố định Gọi M điểm nằm cung nhỏ CD Đường kính MN đường tròn  O  cắt dây CD I Lấy điểm E cung lớn CD (E khác C,D,N); ME cắt CD K Các đường thẳng NE CD cắt P a Chứng minh :Tứ giác IKEN nội tiếp b Chứng minh: EI.MN=NK.ME c NK cắt MP Q Chứng minh: IK phân giác EIQ d Từ C vẽ đường thẳng vng góc với EN cắt đường thẳng DE H Chứng minh E di động cung lớn CD (E khác C, D, N) H ln chạy đường cố định SẮP ĐẾN ĐÍCH RỒI !!! Lời giải : ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… 125 Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 GV: Đỗ Văn Đạt ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… Bài : Cho đường trịn tâm O hai đường kính AB CD vng góc với Điểm M thuộc cung nhỏ BC (với M khác B C ) Gọi I giao điểm AM BC, J hình chiếu I AB Chứng minh rằng: a Tứ giác BMIJ tứ giác nội tiếp b JI phân giác CJM c M, J, D thẳng hàng d Tìm vị trí điểm M cung nhỏ BC để tứ giác BOCM có diện tích lớn Lời giải : ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… 096.654.8683 Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton 126 TOÁN GV: Đỗ Văn Đạt ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… Bài tập nhà Bài : Cho đường trịn (O; R), dây CD có trung điểm E Trên tia đối CD lấy điểm M Kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm) Đường thẳng MO cắt AB H, cắt đường tròn I (I nằm M O) a Chứng minh: năm điểm M, A, O, E, B thuộc đường tròn b Chứng minh: OH.OM  OA từ suy OH.OM + MC.MD = MO c Chứng minh: CI phân giác MCH d Đường thẳng AB cắt OE K Khi M di chuyển tia đối tia CD AB ln qua điểm cố định 127 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 GV: Đỗ Văn Đạt Bài : Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào 10 Bài : (Tuyển sinh năm 2008 – 2009 ) Cho đường trịn (O) , đường kính AB = 2R E điểm nằm đường trịn ( E khác A B ) Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB F cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K a Chứng minh KAF đồng dạng KEA b Gọi I giao điểm đường trung trực đoạn EF với OE Chứng minh đường trịn (I) bán kính IE tiếp xúc với đường trịn (O) E tiếp xúc với đường thẳng AB F c Chứng minh MN //AB , M N giao điểm thứ hai AE BE với đường tròn (I) d Tính giá trị nhỏ chu vi KPQ theo R E di chuyển đường tròn (O) , với P giao điểm NE AK , Q giao điểm MF BK Bài : (Tuyển sinh năm 2009 – 2010 ) Cho (O;R) điểm A nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) a Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp b Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vng góc với OA OE.OA = R2 c Trên cung nhỏ BC (O;R) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự P Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi K chuyển động cung nhỏ BC d Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự M, N Chứng minh PM + QN  MN Bài : (Tuyển sinh năm 2010 – 2011 ) Cho đường trịn (O) có đường kính AB = 2R điểm C thuộc đường trịn (C khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt tia BE điểm F a Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp b Chứng minh DA.DE = DB.DC c Chứng minh CFD = OCB Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC tiếp tuyến đường tròn (O) 096.654.8683 Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton 128 TOÁN GV: Đỗ Văn Đạt d Cho biết DF = R, chứng minh tg AFB = Bài : (Tuyển sinh năm 2011 – 2012 ) Cho đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi d1 d2 hai tiếp tuyến đường tròn (O) hai điểm A B.Gọi I trung điểm OA E điểm thuộc đường trịn (O) (E khơng trùng với A B) Đường thẳng d qua điểm E vng góc với EI cắt hai đường thẳng d1 d2 M, N a Chứng minh AMEI tứ giác nội tiếp b Chứng minh ENI  EBI MIN  900 c Chứng minh AM.BN = AI.BI d Gọi F điểm cung AB khơng chứa E đường trịn (O) Hãy tính diện tích tam giác MIN theo R ba điểm E, I, F thẳng hàng Bài : (Tuyển sinh năm 2012 – 2013 ) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB a Chứng minh CBKH tứ giác nội tiếp b Chứng minh ACM  ACK c Trên đọan thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C d Gọi d tiếp tuyến (O) điểm A; cho P điểm nằm d cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB AP.MB  R Chứng minh đường thẳng MA PB qua trung điểm đoạn thẳng HK Bài : (Tuyển sinh năm 2013 – 2014 ) Cho đường tròn (O) điểm A nằm bên (O) Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) hai điểm B C (AB < AC, d không qua tâm O) a Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp b Chứng minh AN2 = AB.AC Tính độ dài đoạn thẳng BC AB = cm, AN = cm 129 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 GV: Đỗ Văn Đạt c Gọi I trung điểm BC Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai T Chứng minh MT // AC d Hai tiếp tuyến đường tròn (O) B C cắt K Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định d thay đổi thỏa mãn điều kiện đề Bài : (Tuyển sinh năm 2014 – 2015 ) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến đường tròn (O; R) B cắt đường thẳng AM, AN điểm Q, P a Chứng minh tứ giác AMBN hình chữ nhật b Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn c Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vng góc với OE O cắt PQ điểm F Chứng minh F trung điểm BP ME // NF d Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ Bài : (Tuyển sinh năm 2015 – 2016 ) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB Lấy điểm C đoạn thẳng AO ( C khác A , C khác O ) Đường thẳng qua C vng góc với AB cắt nửa đường tròn K Gọi M điểm cung KB ( M khác K , M khác B ) Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM , BM H D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn điểm thứ hai N a Chứng minh tứ giác ACMD tứ giác nội tiếp b Chứng minh CA CB = CH CD c Chứng minh ba điểm A, N , D thẳng hàng tiếp tuyến N nửa đường tròn qua trung điểm DH d Khi M di động cung KB , chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài : (Tuyển sinh năm 2016 – 2017 ) Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) ( B tiếp điểm ) đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I khác C , I khác O ) Đường thẳng AI cắt (O) hai điểm D E ( D nằm A E ) Gọi H trung điểm DE 096.654.8683 Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton 130 TOÁN a Chứng minh bốn điểm A,B,O,H nằm đường tròn b Chứng minh c GV: Đỗ Văn Đạt AB BD  AE BE Đường thẳng d qua điểm E song song với AO , d cắt BC điểm K Chứng minh HK // DC d Tia CD cắt AO điểm P , tia EO cắt BP điểm F Chứng minh tứ giác BECF hình chữ nhật Bài 10 : (Tuyển sinh năm 2017 – 2018 ) Cho đường tròn  O  ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M N điểm cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN CM cắt điểm I Dây MN cắt cạnh AB BC điểm H K a Chứng minh bốn điểm C , N , K , I thuộc đường tròn b Chứng minh NB2  NK.NM c Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi d Gọi P ,Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK E trung điểm đoạn PQ Vẽ đường kính ND đường trịn  O  Chứng minh ba điểm D , E , K thẳng hàng Bài 11 : (Tuyển sinh năm 2018 – 2019 ) Cho đường trịn (O; R) với dây cung AB khơng qua tâm Lấy S điểm tia đối tia AB (S khác A) Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) cho điểm C nằm cung nhỏ AB (C, D tiếp điểm) Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB a Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO b Khi SO = 2R, tính độ dài đoạn thẳng SD theo R tính số đo CSD c Đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD điểm K Chứng minh tứ giác ADHK tứ giác nội tiếp đường thẳng BK qua trung điểm đoạn thẳng SC d Gọi E trung điểm đoạn thẳng BD F hình chiếu vng góc điểm E đường thẳng AD Chứng minh rằng, điểm S thay đổi tia đối tia AB điểm F ln thuộc đường trịn cố định 131 Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 GV: Đỗ Văn Đạt Bài 12 : (Tuyển sinh năm 2019 – 2020 ) Cho tam giác ABC có góc nhọn  AB  AC  nội tiếp đường tròn  O  Hai đường cao BE CF tam giác ABC cắt điểm H a Chứng minh bốn điểm B, C, E, F thuộc đường tròn b Chứng minh đường thẳng OA vng góc với đường thẳng EF c Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH điểm P Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB đường thẳng KH song song với đường thẳng IP 096.654.8683 Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương - Newton 132 ... (d2 ) : a2 x  b2 y  c2  a b  Nếu (d1 ) cắt (d2 ) cần    hệ (I) có nghiệm  a2 b2   a b c  Nếu (d1 ) // (d2 ) cần     hệ (I) vơ nghiệm  a2 b2 c2   a b c  Nếu (d1 )  (d2...  2  x  y  2 2x  y  g  2 3x  y  i f j 3 x  y     x y   l ? ?2 x  2x  y     x  2x  y          1  ( x  2) ( y  3)  xy  50 n   xy  ( x  2) ( y  2) ... y    2x  y   x  y  ? ?2   x  y  3 7 x  y  74  3 x  y  32 5 x  y    x  y  7  x  2y   ? ?2 x  y  4  x  3y   ? ?2 x  y   12  x  3y   ? ?2 x  y  ? ?2 x  y