sáng kiến kinh nghiệm bất phương trình chứa căn thức bậc hai

giải bất phơng trình là bài toán khó với nhiều học sinh kể cả học sinh đợc cho là khá giỏi; trong đó có bất phơng trình chứa căn thức bậc hai đợc coi là khó hơn cả. nên tôi chọn đề tài: “ một số dạng bất phơng trình chứa căn thức bậc hai thờng gặp ” để làm sáng kiến kinh nghiệm. với mục đích mong muốn đề tài này sẽ góp phần giúp học sinh hiểu rõ hơn về mảng bất phơng trình chứa căn thức bậc hai nói riêng và bất phơng trình nói chung, đồng thời cũng mong muốn đây là tài liệu tham khảo cho những ai quan tâm đến môn toán. kiến thức thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm này hoàn toàn trong chơng trình toán đại số lớp 10 ban cơ bản, ban khoa học tự nhiên, ban khoa học xã hội và nhân văn. nội dung sáng kiến kinh nghiệm này có thể sử dụng để chuyển sang phần phơng trình cũng đợc; xong khi chuyển sang phơng trình có những phần sẽ đợc mở rộng để có bài toán hay hơn. do đó ngời nghiên cứu có thể sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào nhiều mục đích giáo dục khác nhau cũng đợc. nội dung sáng kiến kinh nghiệm này gồm có 9 dạng toán khác nhau. sáng kiến kinh nghiệm toán học

Trờng ThPt nguyễn gia thiều

Sáng kiến kinh nghiệm:

Tổ : Toán

Hà Nội, 5 / 2010

mở đầu

Giải bất phơng trình là bài toán khó với nhiều học sinh kể cả học sinh

đ-ợc cho là khá giỏi; trong đó có bất phơng trình chứa căn thức bậc hai đđ-ợc coi làkhó hơn cả Nên tôi chọn đề tài: “Một số dạng bất phơng trình chứa căn thức bậc hai thờng gặp” để làm sáng kiến kinh nghiệm Với mục đích mong muốn

đề tài này sẽ góp phần giúp học sinh hiểu rõ hơn về mảng bất phơng trình chứacăn thức bậc hai nói riêng và bất phơng trình nói chung, đồng thời cũng mongmuốn đây là tài liệu tham khảo cho những ai quan tâm đến môn toán.

Kiến thức thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm này hoàn toàn trong

ch-ơng trình Toán Đại số lớp 10 ban Cơ bản, ban Khoa học tự nhiên, ban Khoahọc xã hội và nhân văn Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này có thể sử dụng

để chuyển sang phần phơng trình cũng đợc; xong khi chuyển sang phơng trình

có những phần sẽ đợc mở rộng để có bài toán hay hơn Do đó ngời nghiên cứu

có thể sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào nhiều mục đích giáo dục khácnhau cũng đợc

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này gồm có 9 dạng toán khác nhau

Một số kiến thức cơ bản sau đã có trong sách giáo khoa đa ra sau

đây mà không nêu nội dung:

1 ôn tập hàm số bậc hai và đồ thị của nó

2 ôn tập định lý về dấu của nhị thức bậc nhất

3 ôn tập định lý về dấu của tam thức bậc hai

Sáng kiến kinh nghiệm:

“Một số dạng bất phơng trình chứa căn thức bậc hai thờng gặp ”

f(x) g(x)

g(x) 0f(x) > g(x)

11

x

x x

1) ⇔(1) x2 −8x 7+ ≤ 1 − 3x ⇔

2

2 2

2

9 1 04(9 8 ) (9 1)

x x x

94x 32x 36 81x 18x 1

x 99

x 1

7x

0x

Bµi to¸n Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:

1) −3x2 +10x 3 x 1− ≥ + (1)

2) (x 1)(3 x) 3 4 3x− − + + > (2)

3) 2x2 −8x 1 x+ > 2 +1 (3)

Gi¶i:

2 2

3

0 x 4

4x

34x x 9x 24x 16

2

4

0 x

34x310x 28x 16 0

34

x 25

x 23

⇔ ≤ <0 x 2

KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph¬ng tr×nh (2) lµ

S = [0 ; 2) 3) ⇔(3) 2x2 −8x 1 (x+ > 2 +1)2 ⇔2x2−8x 1 x+ > 4 +2x2 +1

Bµi to¸n Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:

⇔ − + <

5

x 24

⇔ < < ; tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph¬ng tr×nh (1) lµ

− ≤ ≤ ⇔(2) x 3+ + 5 2x− ≥ 3 3x− + 2x 5+

⇔( x 3+ + 5 2x− ) (2 ≥ 3 3x− + 2x 5+ )2

⇔ + + −x 3 5 2x 2 3 x 5 2x 3 3x 2x 5 2 3 3x 2x 5+ + − ≥ − + + + − + ⇔2 (3 x)(5 2x) 2 (3 3x)(2x 5)+ − ≥ − +

⇔ −2x2 −3x 9+ ≤ −6x2 +2x 8+

⇔ −2x2−3x 9+ ≤ −6x2 +2x 8+

⇔4x2 −5x 1 0+ ≤

⇔ ≤ ≤1 x 1

4 ; tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph¬ng tr×nh (3) lµ

Bµi to¸n 1 Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:

b) Tìm m để bất phơng trình (*) có nghiệm.

Bµi to¸n 3 Cho bÊt ph¬ng tr×nh:

+ − + + ≥ 2 +

2 (x 1)(x 7) 25 6x x m (1)a) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh (1) víi m = 3

2) (x 1)(x 9) 4 10 x− − ≥ + 2 −10x 11−

−

x 1(x 2) (x 1)(x 2) 6

x 24) (x 1)(x 2) 4 x x− + < − − 2

b) Tìm m để bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x ∈ −[ 5 ; 1]

Bài 3 Cho bất phơng trình:

2(x 1)(x 3)− + − x +2x 10 m+ ≤a) Giải bất phơng trình với m = 7

b) Tìm m để bất phơng trình có nghiệm

Dạng 6

f (x) + g(x) > h(x) ho c: ặ f (x) + g(x) ≥ h(x)

i u ki n: Đ ề ệ

f (x) 0g(x) 0h(x) 0

Bài toán Giải các bất phương trình sau :

⇔ 2 (5 x)(x 1)− − ≥ 2x + 2 – 4

⇔ − +x2 6x 5− ≥ x – 1

⇔ –x2 + 6x – 5 ≥ (x – 1)2 (Hai vế không âm, do: 1 ≤ x ≤ 5)

⇔ –x2 + 6x – 5 ≥ x2 – 2x + 1

⇔ 2x2 – 8x + 6 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3; thoả mãn điều kiện

Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (1) là

S = [1 ; 3]

2) Điều kiện: x ≥ 2

⇔(2) 1 x+ + x 2− < x 6+ ⇔ ( ) (2 )2

1 x+ + x 2− < 6 x+ ⇔ x + 1 + x − 2 + 2 1 x+ x 2− < 6 + x

⇔ 2 (x 1)(x 2)+ − < x + 6 − 2x + 1

⇔ 2 x2 − −x 2 < 7 − x

x 33

Chó ý : D¹ng nµy nÕu lµ ph¬ng tr×nh, ta cßn cã c¸ch gi¶i kh¸c lµ ®a vÒ hÖ

10 t

t 22

2 2

2 2

Chó ý: NÕu t×m ®iÒu kiÖn cho Èn phô t th×: − 10 ≤ ≤t 5.

2

x 2+ ≤ m + 7 x− + 14 5x x+ − (*)a) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh (*) víi m = −3

⇔ 14 5x x+ − 2 =

2

9 t2

c Bất phơng trình (*) nghiệm đúng với ∀x ∈ [−2 ; 7] ⇔ bất phơng trình (**)nghiệm đúng ∀t ∈ [−3 ; 3].

Theo kết quả trên, có: 6 ≤ 2m ⇔ m ≥ 3

+ + − ≥ + − 2 +2x 4 16 2x 2 16 6x x m (1)a) Giải bất phơng trình (1) với m = −2

c Bất phơng trình (1) nghiệm đúng ∀x ∈ [−2 ; 8] ⇔ bất phơng trình (2)nghiệm đúng ∀t ∈ 2 5 ; 2 10

Bài 2 Cho bất phơng trình:

3 x 2+ + 3 x− ≤ +m 6 x x+ −a) Giải bất phơng trình với m = 7

b) Tìm m để bất phơng trình có nghiệm

c) Tìm m để bất phơng trình nghiệm đúng ∀x ∈ [0 ; 1]

d) Tìm m để bất phơng trình vô nghiệm

Dạng 8

Dạng này có cách giải tơng tự dạng 7, sau đây là các bài toán minh hoạ

Bài toán 1.Giải các bất phơng trình sau:

§Æt: t= 5 2x− + x 2+ ; t > 0

2

t = 5 2x− + x 2+ ⇔ 2

t = −5 2x x 2 2 5 2x x 2+ + + − + ⇔ t2 = − +7 x 2 10 x 2x+ − 2

⇔ 2 10 x 2x+ − 2 ≥ +x 2 ⇔4(10 x 2x ) (x 2)+ − 2 ≥ + 2 (Hai vÕ kh«ng ©m) ⇔ 40 4x 8x+ − 2 ≥x2 +4x 4+ ⇔9x2 ≤36

⇔ x2 ≤4 ⇔ − ≤ ≤2 x 2; tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph¬ng tr×nh (1) lµ

a) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh (*) víi m = 11.

2+

Do đó (**) có nghiệm t ≥ 3 ⇔ 4 + 4 3 ≤ 2m ⇔ m ≥ 2 + 2 3

c) Theo phần trên, bất phơng trình (*) vô nghiệm khi m < 2 + 2 3

Bµi to¸n 1. Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:

1) ⇔  −  > − ⇔ − > −

 ÷

 

2 (1)

+ − − < x2 4 2x 4

0x

− − +

+) Trờng hợp 1: x ≤ −2

⇔(1) x2 − −4 2x 4 0+ > ⇔ x2 − + >4 4 2x; đúng ∀ ≤ −x 2+) Trờng hợp 2: x 2≥

S = (−∞ −; 4) (∪ 2 ;+ ∞) 6) §iÒu kiÖn: x 1

x 15

 ∀ >x 2+) Trêng hîp 2: x = 2, thay vµo bÊt ph¬ng tr×nh kh«ng tho¶ m·n.

+) Trờng hợp 1: x≤ −2, bất phơng trình (12) luôn đúng.

3131

2 2

S = [ ]1 ; 2 ∪(5 ;+ ∞).11) §iÒu kiÖn: − ≤ ≠2 x 7

Vậy tËp nghiệm bất phương trình (3) là: S = { 3 }.

4

t 2+ ≤ 1 +

4

2 = 3+) t 9+ ≥ 9 = 3

+) ⇔(4) t 9+ = t 6

t 2

++ = 3 ⇔ t = 0 ⇔ x2 – 6x + 9 = 0 ⇔ (x – 3)2 = 0 ⇔ x = 3

Vậy tËp nghiệm bất phương trình (4) là: S = { 3 }

⇒ x 3− + 4 x− ≥ 1 Dấu “=” xảy ra ⇔  =x 3x = 4

+) ⇔(5) x 3− + 4 x− = (x – 3)(5 – x) = 1 ⇔ x = 4

Vậy tập nghiệm bất phương trỡnh (5) là: S = { 4 }

Mục lục

Trang Dạng 1 2

Dạng 2 4

Dạng 3 6

Dạng 4 8

Dạng 5 10

Dạng 6 15

Dạng 7 18

Dạng 8 26

Dạng 9 30

Tài liệu tham khảo

1 Sách bài tập toán lớp 10

2 Các sách giới thiệu đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng

3 Các sách về phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình …

Kết luận

Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm do tôi đúc rút đợc trong quá trìnhgiảng dạy Toán lớp 10 Tôi thấy học sinh học tập rất hào hứng và say mê, nênkết quả thu đợc nh sau: về bản thân càng yêu thích công việc giảng dạy vànghiên cứu khoa học; về học sinh thì học tốt hơn, nhiều học sinh bình thờngtrở lên khá, học sinh khá giỏi càng giỏi hơn Và quan trọng hơn học sinh yêuthích môn toán và cố gắng học tốt các phần khác của môn toán nữa

Mặc dù bản thân đã rất cố gắng, nhng trong quá trình viết sáng kiếnkinh nghiệm có thể không tránh hết những thiếu sót đáng tiếc, rất mong nhận

đợc góp ý xây dựng của các thầy giáo cô giáo, những ngời quan tâm đến môntoán và sự nghiệp giáo dục để sáng kiến kinh nghiệm này ngày càng hoànthiện hơn và phổ biến hơn