PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ VINH ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG CUỐI NĂM NĂM HỌC 2020-2021 Môn: Toán lớp Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1: (2,0 điểm) 2 x y 0,5 3 x y a, Giải hệ phương trình: b, Cho đường thẳng (d) y x Parabol (P) y x Tìm giao điểm (d) (P) Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: x 2(m 1) x m ( với m tham số) a, Giải phương trình với m b, Chứng minh với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt c, Tìm giá trị tham số m để biểu thức A 2 x1 x2 x1 x2 đạt giá trị x1 x2 nhỏ Câu 3: (1.5 điểm) Hai công nhân làm cơng việc sau ngày hồn thành cơng việc Nếu người thứ làm ngày, người thứ hai làm ngày hồn thành cơng việc Hỏi làm người hồn thành cơng việc bao 40 lâu? Câu 4: (4,5 điểm) Cho đường trịn tâm O bán kính R đường thẳng d khơng có điểm chung với (O;R) Từ điểm P thuộc đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với (O;R) (A, B thuộc (O;R)) Vẽ đường kính BC, gọi H hình chiếu A BC a, Chứng minh tứ giác PAOB nội tiếp b, Cho OP = 2R Tính độ dài cung nhỏ AB (O; R) theo R c, Cho R = 5cm, AH = 3cm Tính OP d, Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt (O;R) điểm thứ hai N Gọi E giao điểm CP AH; F giao điểm thứ hai đường thẳng CP (O;R) FN cắt AB I Chứng minh rằng: d1, E trung điểm AH d2, P, O, I thẳng hàng Hết PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ VINH KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG CUỐI NĂM NĂM HỌC 2020-2021 HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn: Tốn Câu Nội dung Điểm Câu 1: (2,0 điểm) 2 x y 0,5 3 x y a, Giải hệ phương trình: b, Cho đường thẳng (d) y x Parabol (P) y x Tìm giao điểm (d) (P) a, 1,0 đ 2 x y 0,5 2 x 7(1 x) 0,5 3 x y y 3x 23 x 0,5 y 3x 23 x 7,5 y 3x 15 15 x 46 x 46 y 15 y 46 46 hệ có nghiệm ( x, y ) ( b, 1,0đ 0,25 Ta có hệ pt: 0,25 0,25 0,25 15 ; ) 46 46 Gọi A ( x0 ; y0 ) giao điểm đường thẳng (d) y x Parabol (P) y x 0,25 Khi điểm A thuộc đồ thị hai hàm số y x y x y x0 y0 x0 x0 x0 hay x0 nghiệm pt: x x 4 x 8x Mà pt: x x có ' 4.1 12 nên pt có hai nghiệm phân biệt: x1, 12 0,25 0,25 Với x1 12 y1 12 x1 12 y1 12 Suy đường thẳng (d) y x cắt Parabol (P) y x hai điểm phân biệt A1( 12; 12 ); A2( 12 ;7 12 ); Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: x 2(m 1) x m ( với m tham số) a, Giải phương trình với m 0,25 b, Chứng minh với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt c, Tìm giá trị tham số m để biểu thức A 2 x1 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ với x1 x2 x1 , x2 hai nghiệm phương trình cho a, 0,75đ b, 0,75đ Khi m ta có pt trở thành: x x Pt có ' 42 8.1 24 nên pt có hai nghiệm phân biệt x1,2 Pt cho có ' (m 1) m m m 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 15 ( m ) với m nên pt cho ln có hai nghiệm phân biệt với m Theo câu b ta có pt ln có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với m c, x1 x2 2(m 1) x1 x2 (m 3) 0,25 thỏa mãn: 0,5đ 0,25 2 x x2 x1 x2 ( x x ) x1 x2 Khi : A 2 x1 x2 x1 x2 4(m 1) 3(m 3) 4m 5m 13 2(m 1) m 1 4m(m 1) (m 1) 12 12 4m m 1 m 1 12 4(m 1) 3 m 1 2 12 Do m nên áp dụng bđt cô si cho hai số khơng âm 4(m 1); ta có: m 1 12 A 4(m 1) 48 m 1 12 Dấu có 4(m 1) (m 1) m 1 m m 0,25 m 1 (t/m) Vậy A nhỏ m 1 Câu 3: (1.5 điểm) Hai công nhân làm cơng việc sau ngày hồn thành làm ngày, người thứ hai làm ngày hồn thành cơng việc Nếu người thứ cơng việc Hỏi làm 40 người hồn thành cơng việc bao lâu? Gọi thời gian người thứ hồn thành cơng việc x (ngày) ( x >0) Gọi thời gian người thứ hai hồn thành cơng việc y (ngày) ( y >0) Suy 1ngày người thứ nhất, người thứ hai làm Do hai công nhân làm sau ngày hồn thành cơng việc 0,25 1 ; (cv) x y 0,25 x y nên ta có pt: 8( ) (1) Do người thứ làm ngày, người thứ hai làm ngày hồn thành 1 9 cơng việc nên ta có pt: (2) 40 x y 40 5 x y 40 Từ (1) (2) ta có hệ pt : 8( ) x y 5 5 x y 40 x y 40 1 5 x y 24 x y 24 1 y 60 1 x y 24 y 60 (t/m đk) x 40 0,25 0,25 0,25 0,25 làm người thứ nhất, người thứ hai hồn thành cơng việc hết 40 ngày, 60 ngày Câu 4: (4,5 điểm) Từ điểm P nằm ngồi đường trịn tâm O bán kính R kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với (O;R) (A, B thuộc (O;R)) Vẽ đường kính BC, gọi H hình chiếu A BC a, Chứng minh tứ giác PAOB nội tiếp b, Cho OP = 2R Tính độ dài cung nhỏ AB (O; R) theo R c, Cho R = 5cm, AH = 3cm Tính OP d, Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt (O;R) điểm thứ hai N Gọi E giao điểm CP AH; F giao điểm thứ hai đường thẳng CP (O;R) FN cắt AB I Chứng minh rằng: d1, E trung điểm AH d2, P, O, I thẳng hàng N B I P F O M E H A a, 1,0đ b, 1,0đ C Do PA, PB tiếp tuyến (O) nên PA OA; PB OB OAP = 900 OBP =900 Suy OAP + OBP =1800 Suy tg OAPB nội tiếp Do OP = 2R POA vuông P cosAOP = OA/OP=1/2 nên OPA =600 AOB =1200 (do OP phân giác AOB) độ dài cung nhỏ AB : 0,5 R.120 R 180 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 c, 0,25 Xét AHO vng H có AH =3 cm; AO = 5cm nên OH = OA AH Suy HC = 1cm, BH = 9cm Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC vuông A (do BC đk (O)) có AH vng góc với BC : AB2 = BH.BC = 9.10= 90 0,25 Suy AB = 90 (cm) 0,75 đ Do PA, PB tt (O) nên OP trung trực AB (PA=PB; OA=OB) Gọi M giao điểm OP AB suy M trung điểm AB nên MA = MB =1/2AB = 45 (cm) Ta có MOA vng M có OM = OA2 AM 25 d1, 45 2 0,25 Xét tam giác PAO vng A, AM vng góc với OP nên: OA2= OM.OP OP = OA2/OM = 25 : / 10 (cm) Do HA //PB ( vng góc với BC) HE HC (1) PB BC 0,25 0,75đ mà AC//PO (vì vng góc với AB) d2, HA HC (2) PB OC Từ (1); (2) OC =1/2 BC HA = 2HE E trung điểm AH Xét BFI CFA có 0,25 0,25 0,5đ FBI= FCA (hai góc nt chắn cung FA (O) BFI= CFA (do AB//CN nên cung BN =cung AC) FI FA BFI đồng dang CFA IB AC FI FB Tương tự ta có : IA BC Xét PFA PAC có : PAF= PCA (góc nt góc tạo tia tt dây cung chắn cung AF) FPA chung PA FA (3) PFA đồng dang PAC PC AC PB FB tương tự (4) PC BC FB FA Từ (3) (4) PA =PB BC AC FI FI hay IA = IB nên I trung điểm AB IA IB Mà PO trung trực AB Suy P, I, O thẳng hàng Lưu ý : Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa 0,25 0,25 ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ VINH KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG CUỐI NĂM NĂM HỌC 202 0 -202 1 HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn: Tốn Câu Nội dung Điểm Câu 1: (2,0 điểm) 2 x y... nên PA OA; PB OB OAP = 90 0 OBP =90 0 Suy OAP + OBP =1800 Suy tg OAPB nội tiếp Do OP = 2R POA vuông P cosAOP = OA/OP=1/2 nên OPA =600 AOB = 1200 (do OP phân giác AOB) ... thức lượng cho tam giác ABC vuông A (do BC đk (O)) có AH vng góc với BC : AB2 = BH.BC = 9. 10= 90 0,25 Suy AB = 90 (cm) 0,75 đ Do PA, PB tt (O) nên OP trung trực AB (PA=PB; OA=OB) Gọi M giao điểm