BÀI GIẢNG một số luật phân phối xác suất

Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Chương Phân phối liên tục Phân phối chuẩn Các phân phối khác Một số luật phân phối xác suất thông dụng Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê tốn Lê Phương Bộ mơn Tốn kinh tế Đại học Ngân hàng Tp Hồ Chí Minh Homepage: http://docgate.com/phuongle 3.1 Nội dung Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối liên tục Phân phối chuẩn Các phân phối khác Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối liên tục Phân phối chuẩn Các phân phối khác 3.2 Phân phối nhị thức Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối liên tục Phân phối chuẩn Các phân phối khác Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi có phân phối nhị thức (binomial distribution) với tham số n, p, kí hiệu X ∼ B(n, p), tập giá trị X (Ω) = {0, 1, , n} P(X = k ) = Cnk pk q n−k với k ∈ X (Ω), q = − p X gọi có phân phối Bernoulli hay phân phối không – X ∼ B(1, p) 3.4 Phân phối nhị thức Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối liên tục Phân phối chuẩn Các phân phối khác Tình vận dụng Gọi X số lần xuất biến cố A dãy n phép thử Bernoulli với P(A) = p X ∼ B(n, p) Ví dụ Một phân xưởng có 10 máy hoạt động độc lập Xác suất để ngày máy bị hỏng 10% Tính xác suất ngày có máy bị hỏng Tính xác suất ngày có khơng q máy bị hỏng Trong ngày có khơng q máy bị hỏng, tính xác suất có máy bị hỏng vào ngày hơm 3.5 Phân phối nhị thức Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối liên tục Phân phối chuẩn Các phân phối khác Các số đặc trưng Nếu X ∼ B(n, p) • EX = np, • VX = npq, • np − q ≤ ModX ≤ np + p Ví dụ Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, câu hỏi có câu trả lời, có câu trả lời Sinh viên An khơng học nên chọn câu trả lời ngẫu nhiên cho câu hỏi Tính số câu hỏi trung bình độ lệch chuẩn số câu hỏi mà An trả lời Khả cao An trả lời câu hỏi? 3.6 Phân phối Poisson Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối liên tục Phân phối chuẩn Các phân phối khác Định nghĩa Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi có phân phối Poisson (Poisson distribution) với tham số λ (λ > 0), kí hiệu X ∼ P(λ), tập giá trị X (Ω) = {0, 1, 2, 3, } P(X = k ) = λk e−λ k! với k ∈ X (Ω) Tình vận dụng Gọi X số biến cố ngẫu nhiên, độc lập xuất khoảng thời gian khơng gian xác định X có phân phối Poisson 3.8 Phân phối Poisson Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối liên tục Phân phối chuẩn Các phân phối khác Các số đặc trưng Nếu X ∼ P(λ) • EX = VX = λ, • λ − ≤ ModX ≤ λ Ví dụ Cho biết gọi đến tổng đài điện thoại ngẫu nhiên, độc lập trung bình có 6,5 gọi phút Tính xác suất có gọi đến tổng đài phút Tính xác suất có từ đến gọi đến tổng đài phút Khả cao có gọi đến tổng đài phút? 3.9 Phân phối Poisson Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối liên tục Phân phối chuẩn Các phân phối khác Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối Poisson Cho X ∼ B(n, p) Nếu n lớn (n > 50) p bé (p < 0, 1) ta xấp xỉ X ≈ P(λ) với λ = np Do P(X = k ) ≈ (np)k e−np k! Ví dụ Xác suất để máy sản xuất phế phẩm 0,1% Cho máy sản xuất 1000 sản phẩm Tính xác suất có phế phẩm số 1000 sản phẩm sản xuất 3.10 Phân phối chuẩn Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối liên tục Phân phối chuẩn Định nghĩa Các phân phối khác Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân phối chuẩn (normal distribution) với tham số µ σ (σ > 0), kí hiệu X ∼ N(µ, σ ), hàm mật độ xác suất − f (x) = √ e σ 2π (x − µ)2 2σ X gọi có phân phối chuẩn tắc X ∼ N(0, 1) Các số đặc trng ã EX = ModX = MedX = à, ã VX = σ 3.12 Phân phối chuẩn Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối liên tục Hàm Gauss Phân phối chuẩn x2 − f (x) = √ e 2π Các phân phối khác Hàm Gauss hàm mật độ phân phối chuẩn tắc 3.13 Phân phối chuẩn Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối liên tục Hàm Laplace Phân phối chuẩn Các phân phối khác x ϕ(x) = f (t)dt = √ 2π t x − e dt Giá trị hàm Laplace diện tích miền sau x > 3.14 Phân phối chuẩn Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối liên tục Phân phối chuẩn Các phân phối khác Một số tính chất hàm Laplace ϕ hàm số lẻ: ϕ(−x) = −ϕ(x), ϕ hàm số tăng, −0, ≤ ϕ(x) ≤ 0, 5, Với x ≤ ϕ(x) ≈ 0, Với x ≥ ϕ(x) ≈ −0, (Chính xác đến chữ số thập phân) Giá trị hàm Laplace tra Bảng cuối giáo trình 3.15 Phân phối chuẩn Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối liên tục Phân phối chuẩn Các phân phối khác Cơng thức tính xác suất biến cố (a 0, hàm mật độ xác suất f (x) = αx0α , với x ≥ x0 ; x α+1 0, với x < x0 Tình vận dụng Phân phối Perato thường sử dụng để mô tả phân bố cải hiệu lao động xã hội Nó sở quy luật 80/20 (quy luật thiểu số quan trọng phân bố nhân tố) 3.22 Phân phối mũ Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối liên tục Phân phối chuẩn Các phân phối khác Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối mũ (exponential distribution) với tham số λ (λ > 0), kí hiệu X ∼ E(λ), hàm mật độ xác suất f (x) = λe−λx , với x ≥ 0; 0, với x < Tình vận dụng Nếu số lần xuất biến cố khoảng thời gian có phân phối Poisson thời gian lần xuất biến cố có phân phối mũ 3.23 Phân phối Khi bình phương Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định nghĩa Phân phối liên tục Biến ngẫu nhiên X có phân phối Khi bình phương (chi-squared distribution) với n bậc tự do, kí hiệu X ∼ χ2 (n), hàm mật độ xác suất  x n  e− x −1 , với x > 0; n n f (x) = Γ( )  0, với x ≤ với Γ(x) = ∞ x−1 −t t e dt Phân phối chuẩn Các phân phối khác gọi hàm Gamma Tình vận dụng X ∼ χ2 (n) n Zi2 , X = i=1 biến ngẫu nhiên Zi độc lập có phân phối chuẩn tắc 3.24 Phân phối Student Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Định nghĩa Phân phối liên tục X gọi có phân phối Student (Student’s t-distribution) với n bậc tự do, kí hiệu X ∼ t(n), hàm mật độ xác suất  − n+1   Γ n+1 x2 √ + , với x > 0; n f (x) = n πn Γ   0, với x ≤ Phân phối chuẩn Các phân phối khác Γ(x) hàm Gamma Tình vận dụng X ∼ t(n) X = Z Y n , với Z ∼ N(0, 1), Y ∼ χ2 (n) Z , Y độc lập 3.25 Phân phối F Phân phối rời rạc Định nghĩa Phân phối liên tục Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối chuẩn X gọi có phân phối F (Snedecor’s F distribution) có bậc tự n m, kí hiệu X ∼ F (n, m), hàm mật độ xác suất  n m n+m n+m  n m Γ( ) n−2 x (m + nx)− , với x > 0; f (x) = Γ( n2 )Γ( m2 )  0, với x ≤ Các phân phối khác Γ(x) hàm Gamma Tình vận dụng X ∼ F (n, m) X = X1 /n , X2 /m với X1 ∼ χ2 (n), X2 ∼ χ2 (m) X1 , X2 độc lập 3.26 ... dung Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối liên tục Phân phối chuẩn Các phân phối khác Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối liên tục Phân phối. .. bị bao lâu? 3.19 Phân phối chuẩn Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối liên tục Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Các phân phối khác Cho X ∼... xác suất có từ 30 đến 80 hạt nảy mầm Tính xác suất có 70 hạt nảy mầm 3.20 Phân phối Perato Phân phối rời rạc Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối liên tục Phân phối chuẩn Các phân phối