Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12

Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phát triển năng lực vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM ĐỘC LẬP- TỰ DO- HẠNH PHÚC - - ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG QUY TRÌNH BỐN BƯỚC CỦA G.POLYA VÀO GIẢI TỐN TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 12 Các tác giả: Th.s Trần Quang Vinh Th.s Lê Thị Hịa Bình Đơn vị cơng tác: Trường THPT Đinh Tiên Hồng Ninh Bình, tháng năm 2015 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT GTLN : giá trị lớn GTNN : giá trị nhỏ GV : Giáo viên HS : Học sinh Mp : mặt phẳng Đt : Đường thẳng Đk : Đk PT : phương trình PTTQ : phương trình tổng quát TH : trường hợp THPT : Trung học phổ thông VTCP : Véc tơ phương VTPT : Véc tơ pháp tuyến MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài .5 Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu .6 Phương pháp nghiên cứu .6 Đối tượng nghiên cứu 6 Giả thuyết khoa học .6 Cấu trúc Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .7 1.1 Năng lực giải toán 1.1.1 Quan niệm lực lực giải toán .7 1.1.2 Nhiệm vụ phát triển lực giải toán cho HS 1.2 Dạy học giải toán 1.2.1 Vai trị tập Tốn 1.2.2 Quy trình giải tốn G.Polya .8 Chương 17 HƯỚNG DẪN HS VẬN DỤNG QUY TRÌNH CỦA G.POLYA 17 TRONG GIẢI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 17 2.1 Dạng toán viết PT mặt phẳng .18 bbb)2.2 Dạng toán viết phương trình đường thẳng 39 wwwwwwwwwwwwwwww)2.4 Dạng tốn tìm tọa độ điểm 63 xxxxxxxxxxxxxxxx)Ở mục tơi xin trình bày 03 ví dụ tìm tọa độ điểm: tìm điểm thuộc đt; lập ptđt qua điểm cần tìm; gọi tọa độ điểm cần tìm lập hệ 03 pt với ẩn thành phần tọa độ điểm cần tìm .63 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)2.5 Dạng tốn cực trị hình học 72 cccccccccccccccccccccc)2.5.1 Lập PT MP 72 wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww)2.5.2 Lập phương trình đường thẳng .80 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)2.5.3 Lập PT mặt cầu 82 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)2.5.4 Dạng tốn tìm điểm 85 gggggggggggggggggggggggggggggggg)2.6 Tiểu kết chương 94 zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)KẾT LUẬN 94 hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)TÀI LIỆU THAM KHẢO 97 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tập tình dạy học điển hình Nhờ trình này, người học hiểu chất kiến thức, có khả vận dụng linh hoạt tri thức phương pháp học, qua phát triển lực tư Chỉ có thơng qua tập hình thức hay hình thức khác, tạo đk cho HS vận dụng linh hoạt kiến thức học để giải thành cơng tình cụ thể khác kiến thức trở nên sâu sắc, trở thành vốn riêng HS Yêu cầu phát triển đất nước thời kì đòi hỏi nhà trường phải đào tạo người có kiến thức, có lực tư duy, hoạt động cách tự giác, tích cực chủ động sáng tạo Để đạt mục tiêu trên, cần đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục nói chung phương pháp giảng dạy mơn nói riêng theo hướng tiếp cận lực HS Trong dạy học mơn tốn, nói riêng giảng dạy hình học tọa độ không gian, thân nội dung mơn học có tính chất khái qt, trừu tượng cao, môi trường tốt để người thầy khơi dậy trị khả tư linh hoạt, trí tưởng tượng phong phú Bởi vậy, trình dạy học giải tập nói chung, giải tập hình học tọa độ khơng gian nói riêng có phương pháp tốt tạo đk thuận lợi cho việc rèn luyện, phát triển tư phẩm chất, nhân cách người học Để dạy tập hình tọa độ khơng gian nói riêng tập tốn THPT nói chung, thơng thường GV trình bày, giảng giải viết lời giải, có hướng dẫn để HS tự tìm lời giải, đơi có hướng dẫn song sơ sài, hay hướng dẫn theo kiểu dắt tay việc, đặt vấn đề để HS tạo tập tương tự, đặc biệt, tổng quát hay tạm thời bỏ yêu cầu Ngồi ra, thời lượng phân phối cho phân mơn khơng nhiều, tập sách giáo khoa chưa đa dạng, có hệ thống chưa cao Với mong muốn, giúp học sinh phát triển lực giải tập theo bốn bước G.Polya chương PPTĐ Không Gian nên chọn đề tài: “ Phát triển lực vận dụng quy trình bốn bước G.Polya vào giải tốn tọa độ khơng gian cho HS lớp 12” Mục đích nghiên cứu Đề xuất câu hỏi, hoạt động nhằm hướng dẫn HS tìm lời giải tốn tọa độ khơng gian theo quy trình G.Polya, từ phát triển lực vận dụng quy trình giải tốn cho HS Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận phát triển lực, lực giải toán cho HS, phương pháp dạy học giải tập toán học, quy trình giải tốn theo bốn bước G.Polya - Đề xuất câu hỏi, hoạt động nhằm hướng dẫn HS tìm lời giải tốn “Tọa độ khơng gian” theo quy trình G.Polya, từ phát triển lực vận dụng quy trình giải toán cho HS Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp điều tra – khảo sát - Thực nghiệm sư phạm Đối tượng nghiên cứu Q trình dạy học có vận dụng quy trình bốn bước G.Polya để giải tốn “Tọa độ khơng gian” lớp 12 THPT Giả thuyết khoa học Nếu GV biết cách hướng dẫn HS tìm lời giải tốn tọa độ khơng gian theo bốn bước G.Polya góp phần phát triển lực giải toán cho HS: HS có kĩ giải tốn tốt học cách suy nghĩ tìm lời giải dạng tốn trường THPT Cấu trúc Ngoài phần Mở đầu Kết luận, sáng kiến gồm hai chương Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Chương 2: HƯỚNG DẪN HS TÌM LỜI GIẢI BÀI TỐN VỀ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN THEO QUY TRÌNH BỐN BƯỚC CỦA G.POLYA Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực giải toán 1.1.1 Quan niệm lực lực giải toán Năng lực thường xét đến lực hành động, khả thực hiệu nhiệm vụ/một hành động cụ thể, liên quan đến lĩnh vực định dựa sở hiểu biết, kĩ năng, kĩ xảo Bởi vậy, lực thể qua kĩ nhằm hoàn thành cơng việc Năng lực xây dựng sở tri thức Năng lực: khả ứng phó thành cơng hay lực thực hiệu loại/lĩnh vực hoạt động sở hiểu biết (tri thức), biết cách lựa chọn vận dụng tri thức, kinh nghiệm, kĩ năng/kĩ xảo để hành động phù hợp với mục tiêu đk thực tế hay hồn cảnh thay đổi Nhóm lực chun mơn mơn Tốn bao gồm lực sau đây: +) Giải vấn đề tốn học; +) Lập luận tốn học; +) Mơ hình hóa tốn học; +) Giao tiếp tốn học; +) Tranh luận nội dung toán học; +) Vận dụng cách trình bày tốn học; +) Sử dụng ký hiệu, cơng thức, yếu tố thuật tốn 1.1.2 Nhiệm vụ phát triển lực giải toán cho HS Xu đổi phương pháp dạy học năm tới dạy học định hướng phát triển lực, nhiệm vụ phát triển lực giải toán cho HS cần thiết phù hợp với xu hướng đổi phương pháp dạy học Năng lực giải toán khả thực bốn bước phương pháp chung để giải toán G.Polya Phát triển lực giải tốn cho HS rèn luyện cho họ có ý thức, thói quen thực có hiệu bước giải Phát triển lực giải tốn hình học cho HS phương pháp tọa độ đóng góp phần vào phát triển lực giải tốn nói chung Cần phải tập luyện cho HS biết phân loại toán, rèn luyện để họ thực linh hoạt, độc lập sáng tạo bước quy trình giải loại tốn Một điểm đáng ý là: "Trong q trình giải tập tốn, cần khuyến khích HS tìm nhiều cách giải cho tốn Mọi cách giải dựa vào số đặc điểm kiện, tìm nhiều cách giải luyện tập cho HS biết cách nhìn nhận vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều bổ ích cho việc phát triển lực tư Mặt khác, tìm nhiều cách giải tìm cách giải hay nhất, đẹp ” [6] 1.2 Dạy học giải tốn 1.2.1 Vai trị tập Toán Theo Nguyễn Bá Kim [2, tr.386], tập có vai trị quan trọng mơn Tốn Bài tập toán nhằm phát triển tư cho HS, đặc biệt rèn luyện thao tác trí tuệ Vì vậy, trình dạy học người thầy giáo phải trọng phát triển lực giải toán cho HS 1.2.2 Quy trình giải tốn G.Polya Theo G.PoLya [12], quy trình giải tốn gồm bốn bước sau: Bước 1: Hiểu tốn Trước tìm lời giải toán, cần hiểu rõ: - Đâu ẩn? Đâu kiện? Đâu đk? Có thể thỏa mãn đk tốn? Đk có đủ để xác định ẩn? Hay thừa, hay cịn thiếu? Hay có mâu thuẫn? - Vẽ hình - Sử dụng kí hiệu thích hợp, biểu diễn đk, kiện thành công thức không? Phân biệt rõ phần đk Bước 2: Xây dựng chương trình giải tốn Sau gợi ý cho việc tìm lời giải toán: - Bạn gặp toán tương tự chưa? Hay dạng khác? - Bạn có biết định lý, tốn liên quan đến tốn khơng? - Hãy xét kỹ chưa biết, thử nhớ xem có tốn có chưa biết khơng? - Đây tốn mà bạn có lần giải rồi, bạn áp dụng nó? Phương pháp? Kết quả? Hay phải đưa thêm yếu tố phụ vào áp dụng được? - Hãy xét kỹ khái niệm có tốn cần quay định nghĩa? - Nếu bạn chưa giải toán này, thử giải tốn phụ dễ có liên quan, trường hợp riêng, tương tự, tổng quát hơn? Hãy giữ lại phần giả thiết ẩn xác định đến chừng mực nào? Từ điều bạn rút điều có ích cho việc giải tốn? Với giả thiết bạn giải toán này? - Bạn tận dụng hết giả thiết toán chưa? Bước 3: Trình bày lời giải tốn Thực lời giải mà bạn đề Bạn có nghĩ bước đúng? Bạn chứng minh đúng? Bước 4: Nhìn lại - Bạn có nghĩ hướng khác để giải tốn? Lời giải có ngắn hơn, đặc sắc - Bạn áp dụng cách giải cho tốn chưa? - Bạn áp dụng toán để giải toán khác biết? 1.3 Giải pháp cũ thường làm Khi dạy học giải tập tốn thơng thường GV không tuân thủ theo bước giải tập: Ở bước 1, thường dừng lại việc đọc đề bài, khơng tìm hiểu rõ cho, cần tìm Ở bước 2, GV thường cung cấp lời giải sau giải thích gọi HS nêu hướng làm, có gợi ý, hướng dẫn để HS tìm lời giải hướng dẫn theo kiểu dắt tay việc Ở bước 4, đa phần GV không hướng dẫn HS kiểm tra lại kết toán lời giải, khơng hướng dẫn để HS tìm nhiều cách giải, khơng xét tốn đặc biệt, tương tự, khái quát hay đề xuất toán khác *) Ưu điểm: Nhanh chóng, đỡ tốn thời gian, GV khơng phải chuẩn bị nhiều, không cần chuẩn bị hệ thống câu hỏi gợi ý, tạo tốn khác liên quan, khơng phải đầu tư q nhiều công sức để dạy tập Một tiết học chữa nhiều tập *) Hạn chế: +) Do khơng tìm hiểu kĩ đề bước nên HS khơng hiểu rõ tốn, có hứng thú, khơng rèn thói quen đọc kĩ đề làm bài, khó hướng dẫn bước +) HS khơng tham gia nhiều vào q trình tìm lời giải, làm cho HS khơng hiểu rõ cách tìm lời giải tốn, có hứng thú, lười suy nghĩ, giảm khả sáng tạo người học +) HS không tập luyện với câu hỏi, cách suy nghĩ để tự đặt câu hỏi, cách nghĩ với toán khác +) HS không kiểm tra lại kết dẫn đến kết thừa, thiếu, chưa thỏa mãn hết điều kiện tốn; Các bước trình bày, lập luận khơng lơgic, thiếu xác; Khơng rèn tính cẩn thận cho người học +) HS khơng phát triển tìm nhiều lời giải nên không chọn cách tối ưu nhất, dễ hiểu nhất, có hội sáng tạo tìm cách giải độc đáo, đặc sắc, giảm khả nhìn nhận khía cạnh, suy nghĩ khác tốn, cách nghĩ chưa bao qt +) Khơng giúp HS thấy mối liên hệ toán với toán đặc biệt, tương tự, khái quát, toán khác nên giải tốn thay giải nhiều 1.4 Giải pháp cải tiến: Dạy học theo quy trình bốn bước G.Polya 10 lllllllllllllllllllllllllll) c) qua điểm A(0;-3;3) (S) có tâm thuộc mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) i) đt d: x-3-2=y+52=z-11 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) ii) MP (P): x+y-z+2=0 ooooooooooooooooooooooooooo) Tiếp tục thay đổi đk, (P) qua hai điểm A, B; qua ba điểm A, B, C; qua hai điểm tiếp xúc với đt ta có: ppppppppppppppppppppppppppp) Bài 5.3.2 Cho A(1;1;3), B(1;1;5) Viết PT mặt cầu có bán kính nhỏ qua A, B qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) Bài 5.3.3 Cho A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3) Viết PT mặt cầu có bán kính nhỏ qua điểm A, B, C rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) Bài 5.3.4 Viết PT mặt cầu (S) có bán kính nhỏ qua hai điểm A, B tiếp xúc với đt d trường hợp sau: a) A(0;3;-3), B(1;1;3), đt d: x-3-2=y+52=z-11 b) A(1;1;0), B(1;3;2), đt d: x-11=y-1=z-21 c) A(1;2;1), B(1;32;12), đt d: x-11=y-1=z-21 sssssssssssssssssssssssssss) Các toán thay đổi câu hỏi (S) có bán kính nhỏ thành khối cầu (S) tích nhỏ ttttttttttttttttttttttttttt) Hướng dẫn: uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) 5.3.1 vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) a) Ta có: 2R = IA + IH ≥ AH ≥ AK = d(A,d) với H, K hình chiếu tâm I, A d Do đó: 2R nhỏ AK AK đường kính mặt cầu wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) b) R nhỏ (S) nhận AK đường kính với K hình chiếu A (P) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) c) i) R = IA ≥ AK = d(A,d) với I tâm mặt cầu, K hình chiếu A d Do đó: R nhỏ K tâm mặt cầu (S) yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) ii)(Tương tự i.) Tâm mặt cầu hình chiếu A (P) zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) 5.3.2 (S) nhận AB đường kính aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) 5.3.3 (S) nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường tròn lớn 84 5.3.4 a) Mặt cầu (S) tiếp xúc với d K bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) (S) có bán kính nhỏ tâm I mặt cầu tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABK Mà AB ⊥ d, IK ⊥ d nên d ⊥ (ABK) suy K hình chiếu A, B d cccccccccccccccccccccccccccc) b) Gọi I trung điểm AB IA = d(I,d) nên (S) cần tìm nhận I tâm dddddddddddddddddddddddddddd) c) Gọi I trung điểm AH với H hình chiếu A d, ta có IB=IA nên (S) cần tìm nhận I tâm eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) ffffffffffffffffffffffffffff) 2.5.4 Dạng tốn tìm điểm Ví dụ 5.4 Cho A(1;2;3), B(4;4;5), C(2;1;-1) Tìm điểm M thuộc Mp Oxy cho: gggggggggggggggggggggggggggg) a) MA + MB nhỏ b) |MA-MC| lớn hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) Bước 2: Xây dựng chương trình giải tốn GV: Em gặp tốn tương tự trước chưa? iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) Đó tốn nào? Phương pháp giải tốn đó? Đối tượng tốn có khác khơng, có vận dụng phương pháp giải để giải tốn không? MP không gian tương tự với đối tượng MP? Phát biểu cách làm HS: Đã gặp toán tương tự MP tọa độ Oxy Đó jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) tốn: cho đt d hai điểm A, B khơng thuộc d Tìm điểm M thuộc d cho MA+MB nhỏ Phương pháp làm: Xét vị trí tương đối hai điểm A, B so với đt d dựa vào bất đẳng thức MA + MB ≥ AB, dấu”=” xảy M thuộc đoạn AB Vì MP khơng gian tương tự với đt MP nên vận dụng phương pháp Cách làm: Xét vị trí tương đối điểm A, B với MP Oxy dựa vào bất đẳng thức MA + MB ≥ AB, dấu”=” xảy M thuộc đoạn AB kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) Bước 3: Trình bày lời giải toán Oxy: z=0, T=3.5>0 nên A, B nằm phía so llllllllllllllllllllllllllll) với MP(Oxy) 85 mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) Gọi A’ đối xứng với A qua MP(Oxy), ta có A’(1;2;-3) B nằm hai phía MP(Oxy) AM = A’M nên AM + MB = A’M + MB ≥ A’B với M thuộc MP(Oxy), dấu “=” xảy M thuộc đoạn A’B Do AM + MB nhỏ A’B M giao điểm A’B Oxy nên M (178;114;0) nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) oooooooooooooooooooooooooooo) Bước 4: Nhìn lại Câu b) (Tương tự với ý a) đưa toán tương tự MP tọa độ Oxy pppppppppppppppppppppppppppp) Tương tự với toán ta có tốn: qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) Bài 5.4.1 Cho A(3;1;0), B(0;0;1), C(-9;4;9), MP (P): 2x-y+z+1=0 Tìm tọa độ điểm M thuộc MP (P) cho: rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) a) MA + MB nhỏ b) | MA-MC| lớn ssssssssssssssssssssssssssss) Khái quát hóa: Cho MP (P), hai điểm A,B khơng thuộc MP (P) Tìm M thuộc MP (P) cho: a) MA + MB nhỏ b) |MA-MB| lớn tttttttttttttttttttttttttttt) Nếu thay đổi tốn tìm điểm thuộc MP điểm thuộc đt hướng giải có thay đổi? uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) Ta biết AB d đồng phẳng thực tốn biết hình học phẳng Trong trường hợp AB d không đồng phẳng ta đưa trường hợp đồng phẳng cách tìm điểm A’ cho A’B d đồng phẳng, A’ B nằm phía d AM = A’M Cụ thể: Nếu AB d không đồng phẳng và: vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) +) AB vng góc với d hình chiếu A, B d trùng điểm H Khi M thuộc d ta có: MA ≥ HA, MB ≥ HB nên MA + MB ≥ HA + HB Do MA + MB nhỏ M ≡ H wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) +) AB khơng vng góc với d, gọi A1, B1 hình chiếu A, B d; A’ điểm cho A1A' hướng với BB1 A1A’ = A1A, A’, B d đồng 86 phẳng, A’, B nằm phía d AM = A’M nên AM + MB = A’M + MB ≥ A’B, dấu”=” xảy M thuộc đoạn A’B Ta có tam giác MA1A’ đồng dạng với tam giác MB1B nên điểm M cần tìm thuộc đoạn A1B1 MA1:MB1=AA1:BB1 hay MA1=-AA1BB1.MB1 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) Bài tập vận dụng: yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) Bài 5.4.2 Tìm M thuộc đt d cho MA + MB nhỏ trường hợp sau: zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) a) A(1;2;-1), B(7;-2;3), đt d: x+13=y-2-2=z-22 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) b) A(3;1;1), B(4;3;4), đt d: x-71=y-3-2=z- 91 c) bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) A(1;- 1;0), B(3;-1;4), đt d: x+11=y+1-1=z+22 ccccccccccccccccccccccccccccc) Ngồi cách giải trên, gọi tọa độ điểm M thuộc d, tính MA + MB theo tham số t, đưa tốn tìm GTNN biểu thức có dạng: ddddddddddddddddddddddddddddd) y=at2+bt+c+dt2+et+f (Đưa xét hệ trục tọa độ Mp) eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) fffffffffffffffffffffffffffff) Thay đổi hình thức hỏi, ta có tốn: Bài 5.4.3 Cho A(1;5;0), B(3;3;6), đt d: Tìm M thuộc d cho chu vi tam giác MAB nhỏ ggggggggggggggggggggggggggggg) Bài 5.4.4 Cho E(2;1;5), F(4;3;9) Đt d giao tuyến hai MP (P): 2x+y-z+1=0, (Q): x-y+2z-7=0 Tìm M thuộc d cho |ME-MF| lớn hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) Mở rộng thành tìm điểm hai đt song ta có toán: iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) Bài 5.4.5 Cho A(1;1;4), B(-1;-5;-4), d: x+11=y+1- 1=z+22, d’: x-1=y1=z-1-2 Tìm điểm M thuộc d, N thuộc d’ cho: a) AM + MN + NB nhỏ b) AM + MN + NB nhỏ MN vng góc với d 87 Tìm hai điểm hai MP ta có tốn: jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) Bài 5.4.6 Cho A(1;1;2), B(2;4;3) Tìm tọa độ điểm M thuộc MP (Oxz), N thuộc MP(Oxy) cho AM + MN + NB nhỏ lllllllllllllllllllllllllllll) Bài 5.4.7 Cho mặt cầu (S): (x-2)2+(y+1)2+(z-3)2=9, MP (P): 2x+2y-z+16=0, đt d: x+11=y+1-1=z+22, điểm A(2;2;1) a) Tìm điểm M thuộc d cho AM nhỏ b) Tìm điểm M thuộc MP (P) cho AM nhỏ c) Tìm điểm M thuộc (S) cho AM nhỏ nhất, lớn d) Tìm điểm M thuộc (S), N thuộc MP (P) cho MN nhỏ mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) Bài 5.4.8 Cho A(0;1;1), B(1;0;-3), C(-1;-2;-3), (S):x2+y2+z2-2x+2z-2=0 Tìm điểm D thuộc mặt cầu (S) cho thể tích khối ABCD lớn nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) Ví dụ 5.5 Cho A(-2;1;0), B(1;0;1), MP (P): x - y + 2z – = Tìm tọa độ điểm M thuộc Mp (P) cho MA + MB2 nhỏ ooooooooooooooooooooooooooooo) Bước 2: Xây dựng chương trình giải tốn ppppppppppppppppppppppppppppp) GV: Biểu thức MA2 + MB2 gợi cho em liên tưởng đến công thức tam giác? Nêu cơng thức đó, từ cơng thức nêu đk để MA2 + MB2 nhỏ nhất, sao? qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) HS: Cơng thức đường trung tuyến: MA2 + MB2 = 2MI2 + AB2 (*), (I trung điểm AB) Nên MA 2+MB2 nhỏ MI nhỏ (vì AB khơng đổi) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) GV: Điểm cần tìm cịn phải thỏa mãn đk nào? Điểm I xác định chưa? Nêu vị trí điểm M cần tìm? sssssssssssssssssssssssssssss) HS: M ∈(P), I cố định nên IM nhỏ M hình chiếu I (P) ttttttttttttttttttttttttttttt) GV: Cơng thức (*) cịn khơng A, B, M không lập thành tam giác? Để chứng minh công thức (*) em 88 dùng phương pháp để biến đổi vế trái thành vế phải em nghĩ đến “chèn” điểm nào? uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) HS: Công thức (*) A, B, M không lập thành tam giác, dùng phương pháp véc tơ để chứng minh công thức (*) cách “chèn” điểm I vào véc tơ: vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) GV: Điểm I có vai trị đẳng thức véc tơ liên hệ với A, B? wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) HS: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) Bước 3: Trình bày lời giải toán yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) Gọi I trung điểm AB I zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) Ta có: MA2 + MB2 = ()2 + ()2 = 2MI2 + IA2 + IB2 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) Do IA, IB không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ MI nhỏ Vì I cố định, M∈(P) nên MI nhỏ M hình chiếu I (P) bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) Đt IM qua I vng góc với (P) có PT: cccccccccccccccccccccccccccccc) M giao điểm MI (P) nên M(1;-1; ) dddddddddddddddddddddddddddddd) Bước 4: Nhìn lại eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) Kiểm tra lời giải: +) Nếu nói áp dụng cơng thức độ dài đường trung tuyến để có cơng thức (*) có khơng? Vì sao? (Khơng M, A, B thẳng hàng) 89 ffffffffffffffffffffffffffffff) Nghiên cứu lời giải: Ngoài cách giải cịn cách giải khác khơng? gggggggggggggggggggggggggggggg) Cách 2: (Dùng tọa độ đưa tìm GTNN biểu thức đại số) hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) Gọi M(a;b;c) ∈(P), ta có a- b+2c- 9=0 iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) MA2 + MB2 = (a+2)2 + (b-1)2 + c2 + (a-1)2 + b2 + (c-1)2 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) =12[(2a+1)2 + (2b-1)2 + (2c-1)2 + 11] kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) llllllllllllllllllllllllllllll) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki ta có: [.(2a+1)- (2b-1)+1.(2c-1)]2 mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) = 54 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) Dấu “=” xảy khi: oooooooooooooooooooooooooooooo) Vậy MA2 + MB2 nhỏ M(1;-1; ) pppppppppppppppppppppppppppppp) Cách 3: (Kết hợp đại số hóa hình học tọa độ) qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) Tương tự cách 2: MA2+MB2 = 2[(a +)2 + (b -)2 + (c -)2] + Do MA2 + MB2 nhỏ (a +)2 + (b - )2 + (c -)2 nhỏ hay MI2 nhỏ với I() rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) 90 Vậy M hình chiếu I (P) nên M(1;-1; ) ssssssssssssssssssssssssssssss) tttttttttttttttttttttttttttttt) Nghiên cứu sâu tốn: Đặc biệt hóa: (Khi I thuộc MP (P), A≡B) uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) Cho A(-2;1;0), B(10;-3;4), MP (P): x-y+2z- 9=0 Tìm M thuộc (P) cho: vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) a) MA2 nhỏ b) MA2 + MB2 nhỏ wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) Cách phát biểu khác: Cho A(- 2;1;0), B(1;0;1), M(1;-1; ), MP (P): x - y +2z-9=0 Chứng minh MA2+MB2 NA2 + NB2 với N thuộc (P) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) Tương tự hóa: yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) 1) Cho A(-2;1;1), B(2;-2;1), MP (P): x-y+2z- 9=0 Tìm tọa độ điểm M thuộc Mp (P) để : zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) a) MA2 + MB2 nhỏ b) MA2 + 2MB2 nhỏ aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) c) || nhỏ d) || nhỏ bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) 2) Cho A(-2;1;1), B(2;-2;1), mặt cầu (S): x2 + (y-2)2 + (z+1)2 = 9, đt d: Tìm tọa độ điểm M cho MA + MB2 nhỏ biết: ccccccccccccccccccccccccccccccc) a) M b) M thuộc d c) M thuộc (S) ddddddddddddddddddddddddddddddd) Khi thay cặp hệ số 1; cặp hệ số thực bất kỳ, thay điểm n điểm ta có: eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) fffffffffffffffffffffffffffffff) Cho n điểm A1, A2,…An Mp (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho: 91 Khái quát hóa: ggggggggggggggggggggggggggggggg) a) k1MA12+ k2MA22+…+ knMAn2 nhỏ với k1 + k2 +…+kn>0 hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) b) k1MA12+ k2MA22+…+ knMAn2 lớn với k1+ k2+…+kn 0, k > 0, m2 + n2 + p2 > zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) 2) Cho x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = Tìm GTLN biểu thức aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) E = mx + ny + pz + q với a + b2 + c2 – d > 0, k > 0, m2 + n2 + p2 > Qua cách giải trình bày bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) ví dụ ta suy cách chứng minh bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho số cccccccccccccccccccccccccccccccc) Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho số dddddddddddddddddddddddddddddddd) Hướng dẫn: Xét MP (P) có PT: ax + by + cz = 0, điểm M(x; y; z) Ta có d(M,(P)) MO hay d2(M,(P)) MO2 (ax+by+cz)2 (a2+b2+c2)(x2+y2+z2) Dấu”=” xảy OM ⊥ (P) hay OM phương với = (a;b;c) eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) Bài 5: Cho mặt cầu (S): x2 + (y-2)2 + (z+1)2 = Tìm điểm M thuộc Mp (P): x-y+2z-9=0 cho tổng khoảng cách từ M đến đầu đường kính nhỏ ffffffffffffffffffffffffffffffff) Bài 6: Cho A(-2;1;0), B(1;0;1) Tìm tập hợp điểm M cho MA2 + MB2 = k 93 gggggggggggggggggggggggggggggggg) 2.6 Tiểu kết chương Chương trình bày việc hướng dẫn hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) HS giải số mẫu PT đt, Mp, mặt cầu, tìm điểm, cực trị theo quy trình bốn bước G.Polya Qua hình thành cho HS cách thức tiếp cận toán, kinh nghiệm việc suy nghĩ, tự đặt câu hỏi, trả lời câu hỏi, tìm lời giải toán, thấy mối liên hệ toán, tự tạo toán Như vậy, HS học tri thức phương pháp giải tập toán, phương pháp giải vấn đề Các ví dụ làm sáng tỏ ưu điểm phương pháp dạy học tập theo bước G Polya cho dạy học tập chương tọa độ không gian iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) llllllllllllllllllllllllllllllll) mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) oooooooooooooooooooooooooooooooo) pppppppppppppppppppppppppppppppp) qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) ssssssssssssssssssssssssssssssss) tttttttttttttttttttttttttttttttt) uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu, áp dụng sáng kiến thu kết sau: 94 Minh họa làm sáng tỏ lý luận bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) phương pháp giải toán vận dụng theo bảng gợi ý G.Polya Trình bày việc vận dụng quy trình bốn bước G.Polya hướng dẫn HS tìm lời giải tốn tọa độ khơng gian qua phát triển lực vận dụng quy trình vào số dạng tốn thường gặp trường THPT ccccccccccccccccccccccccccccccccc) Hiệu quả: ddddddddddddddddddddddddddddddddd) Hiệu kinh tế: eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) +) Để soạn giảng theo cách thơng thường thời gian so với soạn giảng vận dụng quy trình bốn bước G.Polya, nhiên lợi ích xã hội dạy theo quy trình bốn bước nhiều so với cách dạy thông thường fffffffffffffffffffffffffffffffff) +) Để soạn theo quy trình bốn bước G.Polya, khoảng tiết, sáng kiến đưa khoảng 25 toán gốc, để soạn hệ thống toán khoảng 75 tiết Một tiết GV trung bình khoảng 80.000đ Số GV dạy tốn THPT tỉnh khoảng 300 GV Như vậy, tất GV dạy toán THPT tỉnh áp dụng sáng kiến sáng kiến tiết kiệm khoảng 80.000 x 75 x 300 = 1.800.000.000đ ggggggggggggggggggggggggggggggggg) Hiệu xã hội: Giúp HS hứng thú học tập, lôi HS vào hoạt động củng cố kiến thức bản, lĩnh hội kiến thức Đặc biệt, HS thích thú khám phá kiến thức câu hỏi dẫn dắt GV từ HS dần gạt bỏ thói quen lười suy nghĩ, tiếp thu kiến thức cách thụ động Quan trọng hơn, thông qua hệ thống câu hỏi dẫn dắt, cách tạo tập khác HS có phương pháp tự học tốt, biết tự đặt câu hỏi trả lời câu hỏi, nắm cách giải cách chất để cần học giải nhiều Hệ thống toán mà thầy cô phát triển, tự nghiên cứu thể gương tự học, tự bồi dưỡng qua bồi dưỡng phương pháp tự học cho người học hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) Sáng kiến tài liệu tham khảo hữu ích cho GV, giúp khắc phục hạn chế thời lượng 95 chương trình Việc chọn lựa tập phù hợp để dạy, việc phát triển hệ thống tập giúp GV đỡ thời gian nghiên cứu Sáng kiến tài liệu tham khảo để GV tiếp tục mở rộng để dạy cho tập khác, phần khác Sáng kiến phù hợp với cách dạy chuyên đề, phân phối chương trình mở Sở Giáo Dục Ninh Bình Khả áp dụng sáng kiến khả thi, cao, có iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) thể thực cho tất trường THPT tỉnh Ninh Bình nước Sáng kiến tài liệu tham khảo bổ ích cho GV toán sinh viên toán trường Đại học-Cao đẳng Sư phạm jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) Tuy nhiên để viết tài liệu này, tác giả thực phải dày công suy nghĩ, nhiều thời gian, để áp dụng tốt phải phụ thuộc vào HS, HS tự giác khả áp dụng cao hơn, đồng thời GV phải linh động điều chỉnh theo lực học HS, tùy vào mức độ nhận thức mà phát triển toán cho phù hợp Sáng kiến áp dụng vào dạy học chuyên đề năm học 2012- 2013; 2013 – 2014; 2014 – 2015 kết cho thấy số lượng điểm khá, giỏi tăng lên Sáng kiến số trường THPT Hà Nội, số tỉnh thành khác áp dụng thử nghiệm kết thu được: HS hứng thú học, điểm khá, giỏi tăng GV thấy hăng say, hài lịng với giảng kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) lllllllllllllllllllllllllllllllll) mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) Xác nhận quan, đơn vị Các tác giả ooooooooooooooooooooooooooooooooo) ppppppppppppppppppppppppppppppppp) qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) Trần Quang Vinh rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) sssssssssssssssssssssssssssssssss) 96 ttttttttttttttttttttttttttttttttt) uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) Lê Thị Hịa Bình vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) cccccccccccccccccccccccccccccccccc) dddddddddddddddddddddddddddddddddd) eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) ffffffffffffffffffffffffffffffffff) gggggggggggggggggggggggggggggggggg) hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt Nguyễn Mạnh Cường (2009), Phát triển tư sáng tạo cho học sinh qua dạy học Phương pháp tọa độ không gian, lớp 12 THPT, luận văn thạc sĩ, ĐHSP HN Nguyễn Bá Kim (2011), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Giáo dục Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Thường (1994), Phương pháp dạy học mơn Tốn- Phần hai, NXB Giáo dục Phạm thị Trà My (2013), Vận dụng bảng gợi ý Polya hướng dẫn học sinh tìm lời giải tốn tọa độ mặt phẳng, luận văn thạc sĩ, ĐHSP-ĐH Thái Nguyên Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn Tốn, Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội 97 Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học mơn Tốn, Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội G.Polya (1997), Giải toán nào, Nhà xuất Giáo dục G.Polya (2010), Sáng tạo toán học, Nhà xuất Giáo dục 10 G.Polya (1995), Tốn học suy luận có lí, NXB Giáo dục 11 Phí Thị Thùy Vân (2005), Vận dụng quy trình giải tốn G.Polya để dạy học số dạng tốn hình học khơng gian lớp 11 THPT, luận văn thạc sĩ, Trường ĐHSP Hà Nội Tiếng Anh jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) 12 G Polya (1957), How to Solve It, 2nd ed, Princeton University Press kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) llllllllllllllllllllllllllllllllll) mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) 98 ... TRÌNH CỦA G.POLYA TRONG GIẢI TỐN VỀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Năng lực thể qua kỹ năng; Năng lực vận dụng quy trình giải toán G.Polya vào giải toán ? ?Tọa độ không gian? ?? 17 cho HS lớp 12 THPT thể... sinh phát triển lực giải tập theo bốn bước G.Polya chương PPTĐ Không Gian nên chọn đề tài: “ Phát triển lực vận dụng quy trình bốn bước G.Polya vào giải tốn tọa độ khơng gian cho HS lớp 12? ?? Mục... DẪN HS TÌM LỜI GIẢI BÀI TỐN VỀ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN THEO QUY TRÌNH BỐN BƯỚC CỦA G.POLYA Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực giải toán 1.1.1 Quan niệm lực lực giải toán Năng lực