ccc) Theo chương trình hiện hành, trong sách giáo khoa khơng trình bày về PTTQ của đt (giao tuyến của hai Mp) nên việc xác định PT đt quy về xác định hai yếu tố: một điểm và một VTCP.
ddd) Với dạng tốn về lập PT đt, chúng tơi trình bày một số dạng tốn:
eee) 1. Viết ptđt qua một điểm và xác định VTCP thơng qua tích có hướng của 2 véc tơ.
fff) 2. Viết ptđt qua một điểm và xác định VTCP thông qua lập hệ pt.
ggg) 3. Viết ptđt liên quan đến cắt một đường thẳng khác.
hhh) 4. Viết ptđt chưa biết một điểm thuộc đt và liên quan đến khoảng cách
iii) và đề xuất một số câu hỏi, gợi ý, hướng dẫn HS như sau:
jjj) - Có thể xác định VTCP của đt bằng những cách nào?
kkk) Cách 1: Hai điểm phân biệt thuộc đt.
mmm) Cách 3: Giải hệ 2 PT với ba thành phần tọa độ của VTCP.
nnn) - Đk cần và đủ để hai đt cắt nhau? (Chúng có điểm chung duy nhất)
ooo) - Với bài tốn lập PT đường thẳng liên quan đến đt đó cắt một đt cho trước ta có thể đưa về bài tốn dạng nào?
ppp) Đưa về bài tốn tìm giao điểm của đt đó với đt cho trước.
qqq) - Với bài toán lập PT đt liên quan đến giao điểm của nó với một đt khác ta có thể xác định được tọa độ giao điểm đó bằng cách nào?
rrr) Gọi tọa độ của điểm theo PT tham số của đt đã cho và xác định giá trị của tham số đó.
sss)Ví dụ 2.1. Viết PT đt d đi qua điểm A(1;2;-3), song song với (P):
2x-y+z-1=0 đồng thời vng góc với d’: x-12=y1=z+22.
ttt) Bước 1: Hiểu bài tốn
uuu) Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài tốn
vvv) GV: Để viết PT đt d, em đã biết yếu tố nào và cần xác định yếu tố nào?
www) HS: Biết một điểm thuộc d, cần xác định tọa độ một VTCP của d.
xxx) GV: Xem xét các giả thiết cịn lại, có mối liên hệ nào giữa VTCP của d với các yếu tố của MP (P) và d’ khơng? Đó là liên hệ như thế nào?
yyy) HS: d//(P) thì VTCP của d vng góc với VTPT của (P); d⊥d’ thì VTCP của d vng góc với VTCP của d’.
zzz) GV: Tương tự với phần lập PT MP, mối liên hệ trên có giúp em xác định được tọa độ một VTCP của d khơng? Nếu có hãy nêu cách xác định?
aaaa) HS: Có, tích có hướng của một VTPT của (P) và một VTCP của d nếu khác véc tơ 0 sẽ là một VTCP của d.
bbbb) Bước 3: Trình bày lời giải bài tốn
cccc) nP=2;-1;1, u'=(2;1;2) lần lượt là một VTPT của (P) và một VTCP của d’.
eeee) d qua A(1;2;-3) và nhận u là một VTCP nên có PT: x-1-3=y-2- 2=z+34
ffff)Bước 4: Nhìn lại
gggg) Kiểm tra lời giải: Các đk đã được biến đổi tương đương chưa? Đt đã lập đã thỏa mãn bài tốn chưa? (Thử lại A khơng thuộc (P) nên d// MP (P)).
hhhh) Nghiên cứu lời giải:
iiii) GV: Đk nào để bài toán trên tồn tại PT đt d?
jjjj) HS: Nếu d’ vng góc với MP (P) hoặc A∈ MP (P) thì khơng tồn tại PT đt d. Tồn tại duy nhất trong các trường hợp còn lại.
kkkk) GV: Qua bài tốn trên, em rút ra nhận xét gì về cách tìm VTCP của đt d nếu VTCP của d vng góc với 2 véc tơ a,b không cùng phương?
llll) HS: [a,b] là một VTCP của d.
mmmm) Như đã trình bày trong ví dụ minh họa , ta có thể đề xuất các bài toán tương tự sau:
nnnn) Bài 2.1.1. Viết PT đt d đi qua điểm A(1;2;-3) và
oooo) a) vng góc với hai đt d1: x-12=y1=z+22 và d2: x- 23=y1=z-2-2.
pppp) b) nằm trong (P): 2x-y+z+3=0 và vng góc với d’: x- 23=y1=z-2-2.
qqqq) Bài 2.1.2. Viết PT đt d đi qua giao điểm của d’: x-23=y1=z-
2-2 và (P): x-y+2z-4=0 đồng thời nằm trong (P), vuông góc với d’.
rrrr)Khái quát: Viết PT đt d trong các trường hợp sau:
a) Đi qua điểm A, song song với Mp(P) và vng góc với đt d’ ((P) khơng vng góc với d’).
b) Đi qua điểm A và vng góc với hai đt d1 và d2 (d1, d2 phân biệt và không song song).
c) Đi qua điểm A, nằm trong MP (P) và vng góc với đt d’ (A nằm trong (P) và (P) khơng vng góc với d’).
ssss) Ví dụ 2.2. Cho MP (P): x-y+z-3=0, d1: x+21=y-32=z1. Viết
PT đt d qua điểm A(1;0;3), song song với MP (P) đồng thời tạo với đt d1 một góc 300.
tttt) Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán
uuuu) GV: Để viết PT đt, em đã biết yếu tố nào? Cần tìm yếu tố nào? Dựa vào đâu?
vvvv) HS: Đã biết một điểm thuộc d, cần phải xác định tọa độ một VTCP của d dựa vào các đk mà bài toán đã cho.
wwww) GV: Các đk đã cho có mối liên hệ như thế nào với VTCP của d?
xxxx) HS: d//(P) thì VTCP của d vng góc với VTPT của (P). Biết góc giữa d và d1 thì suy ra góc giữa hai VTCP của d và d1.
yyyy) GV: Từ mối liên hệ trên, nêu cách tìm VTCP của d.
zzzz) HS: Gọi tọa độ VTCP của d. Từ các đk trên lập hệ hai PT với ba ẩn là ba thành phần tọa độ của VTCP ta suy ra tọa độ VTCP của d.
aaaaa) Bước 3: Trình bày lời giải bài toán
bbbbb) Gọi u=(a,b,c) (a2+b2+c2≠0) là một VTCP của d.
ccccc) nP =(1;-1;1) là một VTPT của (P), u1=(1;2;1) là một VTCP của d1.
ddddd) Vì d//(P) nên u ⊥ nP hay a – b + c = 0 (1)
eeeee) |cos(u, u1)| = 12 ⇔ |a+2b+c|6.a2+b2+c2=12 ⇔ 4(a + 2b + c)2 = 6(a2 + b2 + c2) (2)
fffff) Từ (1): b = a + c thế vào (2): ta được a = -2c hoặc c = -2a.
ggggg) TH1: Chọn a = 2 thì c = -1, b = 1. TH2: Chọn a = 1thì c = -2, b = -1.
hhhhh) Vậy PT đt d: x=1+2ty=tz=3-t hoặc x=1+ty=-tz=3-2t.
iiiii)Vì A khơng thuộc (P) nên d//(P) nên hai PT trên là các PT cần lập.
jjjjj)Bước 4: Nhìn lại
kkkkk) Kiểm tra lời giải: Đk góc giữa hai đt là biến đổi tương đương
nên khơng phải thử lại. Đk d//MP (P) thì u⊥nP nhưng điều ngược lại có đúng khơng? Kiểm tra lại bằng cách nào? (Điều ngược lại
chưa chắc đã đúng vì d có thể nằm trong (P), kiểm tra bằng cách: Vì A khơng thuộc (P) nên d//(P)).
lllll)Như vậy nếu A thuộc (P) thì bài tốn có tồn tại khơng? (Khơng tồn tại)
mmmmm) Cách 2: Lập Mp(Q) qua A và song song với Mp(P), khi đó d
qua A nằm trong Mp(Q) và tạo với đt d1 góc 300.
nnnnn) Trong bài tốn trên giả thiết d tạo với d1 được sử dụng như thế nào? (góc giữa hai véc tơ u, u1)
ooooo) Bài 2.2.1. Viết PT đt d qua A(1;0;3), song song với (P): x-
y+z-3=0 đồng thời tạo với (Q):x+2y+z-3=0 một góc 600.
ppppp) Bài 2.2.2. Viết PT đt d qua điểm A(1;0;3), tạo với đt d1:
x+21=y-32=z1 một góc 300 đồng thời vng góc với d2: x1=y- 1=z1 .
qqqqq) Bài 2.2.3. Viết PT đt d qua điểm A(1;0;3), vng góc với đt
d1: x1=y-1=z1 đồng thời tạo với (Q):x+2y+z-3=0 một góc 600.
rrrrr) Thay đk d qua A và d//(P) trong bài 3 bởi đk d nằm trong (P) và cắt đt ∆ ta được bài toán
sssss) Bài 2.2.4. Cho đt d1: x-32=y-22=z-41 ; d2: x+21=y-32=z1.
Viết PT đt d nằm trong Mp(P): x-y+z-4=0, cắt đt d1, đồng thời tạo với d2 một góc 300
.
ttttt) Đặc biệt d1 và d2 trùng nhau ta có bài tốn
uuuuu) Bài 2.2.5. Cho d1: x-11=y2=z-31 , MP (P):x-y+z-4=0. Viết
PT đt d nằm trong MP (P), cắt và tạo với đt d1 một góc 300 .
vvvvv) Trong bài 2.2.4 nếu tách giả thiết d⊂(P), d cắt d1 và thay đk d⊂(P) bởi d qua A, các đk khác giữ nguyên ta được bài toán:
wwwww) Bài 2.2.6. Cho d1: x-32=y-12=z-21 và d2: x+21=y-32=z1.
Viết PT đt d qua A(1;0;3), cắt đt d1 và tạo với d2 một góc 300 .
xxxxx) Khi thay tọa độ điểm A, PT các đt, MP, góc bởi giá trị bất kỳ tương ứng ta có bài tốn:
yyyyy) Khái quát hóa: +) Viết PT đt d qua A và
2) d // (P), tạo với Mp(Q) một góc cho trước. ((P) khơng song song với (Q)).
3) vng góc với đt d1, tạo với đt d2 góc cho trước.(d1 khơng song song với d2)
4) vng góc với đt d1, tạo với Mp(P) góc cho trước. 5) cắt đt d1 và tạo với đt d2 góc cho trước.
zzzzz) +) Viết PT đt d nằm trong Mp(P), cắt đt d1 và tạo với d2 một góc cho trước.
aaaaaa) Nhận xét: Như vậy, với bài toán viết PT đt đi qua một điểm và liên quan đến góc, ta nên tìm VTCP thơng qua việc giải hệ 2 PT ba ẩn (là ba thành phần tọa độ của VTCP).
bbbbbb) Ví dụ 2.3. Viết PT đt d đi qua điểm A(1;-1;1) và cắt hai đt
d1:x=1+2ty=tz=3-t và d2: x+21=y-3-2=z1.
cccccc) Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài tốn
dddddd)GV: Để viết PT đt d đã biết yếu tố nào? cần xác định thêm yếu tố nào nữa?
eeeeee)HS: Biết một điểm, cần xác định một VTCP.
ffffff) GV: Trong bài tốn này, em có tìm được ngay một VTCP của d hay không? (Chưa)
gggggg)GV: Theo yêu cầu đề bài, đk để hai đt cắt nhau là gì?
hhhhhh)HS: Đk hai đt cắt nhau là chúng có điểm chung duy nhất?
iiiiii) GV: Nếu tìm được giao điểm của d với d1, d2 thì có thể tìm được VTCP của d khơng? Nêu một cách xác định VTCP của d.
jjjjjj) HS: Có, d qua A và qua hai giao điểm M, N nữa nên AM là một VTCP của d.
kkkkkk) GV: Như vậy, nếu tìm được một trong hai giao điểm M, N thì tìm được VTCP. Vấn đề bây giờ là ta có thể tìm được giao điểm đó khơng. Tạm thời bỏ qua đk duy nhất, nếu M là giao điểm của d với d1 thì M phải thỏa mãn những đk gì?
llllll) HS: M nằm trên d và d1, M nằm trên d1 thì tọa độ M thỏa mãn PT đt d1.
mmmmmm) GV: Em có thể nêu đk tương tự với điểm N khơng? Đó là đk gì?
nnnnnn)HS: N nằm trên d và d2, N nằm trên d2 thì tọa độ N thỏa mãn PTđt d2.
oooooo)GV: Quay lại đk M,N nằm trên d, đt d còn thỏa mãn đk nào nữa?
pppppp)HS: d qua A.
qqqqqq)GV: Đk ba điểm cùng nằm trên d là gì?
rrrrrr) HS: Hai véc tơ AM, AN cùng phương.
ssssss) GV: Tìm M, N đưa về tìm các ẩn nào? Dựa vào đk nào để có thể tìm được các ẩn này?
tttttt) HS: Đưa về tìm các tham số t, u của d1, d2. Dựa vào AM, AN cùng phương để tìm các tham số.
uuuuuu)GV: Đk AM, AN cùng phương là gì?
vvvvvv) HS: AM =k AN hoặc [AM, AN]=0.
wwwwww) GV: Khi đó em có hệ PT mấy ẩn? Hệ này có thể đưa về hệ quen thuộc đã biết cách giải không?
xxxxxx) HS: Nếu sử dụng AM = k AN thì hệ PT có 3 ẩn t, u, k. Có thể đưa về hệ bậc nhất với 3 ẩn t, u, ku. Nếu sử dụng [AM, AN] =0 thì hệ PT có 2 ẩn t, u, và hệ này có thể đưa về hệ PT bậc nhất với 3 ẩn t, u, tu.
yyyyyy) GV: Làm tiếp và trình bày cách giải.
zzzzzz) Bước 3: Trình bày lời giải bài tốn
aaaaaaa) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của d với d1, d2. Vì M ∈ d1 nên gọi M(1+2t; t; 3-t), N∈ d2 nên gọi N(-2+u; 3-2u; u)
bbbbbbb) AM=(2t; t+1; 2-t), AN=(-3+u; 4-2u; u-1)
ccccccc) Do A, M, N thẳng hàng nên AM, AN cùng phương ⟺AM = k AN
ddddddd) ⟺2t+3k-ku=0t-4k+2ku=-1 t-k+ku=2⟺t=- 32k=154ku=274. Vậy AM=(-3; - 12; 72).
eeeeeee) Do đó d: đi qua A và nhận 2. AM=(-6;-1; 7) là một VTCP nên d: x-1-6=y+1-1=z-17.
ggggggg) Kiểm tra lời giải: Thử lại: d đi qua M,N nên d và d1, d2 có
điểm chung, mà A khơng thuộc d1, d2 nên d khơng trùng với d1, d2 do đó d thỏa mãn bài tốn.
hhhhhhh) Ở lời giải trên, sau khi tìm được giá trị của tham số t khơng cần thay vào tọa độ M mà chỉ cần thay vào tọa độ AM.
iiiiiii) Sự tồn tại của bài toán: Liệu bài toán lúc nào cũng tồn tại và
tồn tại duy nhất một đt không? (ở đây chỉ xét d1 và d2 phân biệt)
jjjjjjj) Khi A nằm trên d1 hoặc d2 thì có vơ số đt d.
kkkkkkk) Khi A không nằm trên d1 và d2
lllllll) TH1: Nếu d1 và d2 chéo nhau thì tồn tại duy nhất đt d.
mmmmmmm) TH2: Nếu d1 và d2 song song có 2 khả năng:
nnnnnnn) i) Nếu A, d1 và d2 đồng phẳng thì có vơ số đt d.
ooooooo) ii) Nếu A, d1 và d2 khơng đồng phẳng thì khơng tồn tại đt d.
ppppppp) TH3: Nếu d1 và d2 cắt nhau tại I thì d là đt qua hai điểm A và I.
qqqqqqq) (Áp dụng định lí về giao tuyến của ba MP)
rrrrrrr) Xuất phát từ cách phân tích trên, bài tốn cịn có thể giải như thế nào?
sssssss) Cách 2: Từ đk [AM, AN]=0 cũng tìm được t, u và từ đó tìm
được VTCP của d.
ttttttt) Cách 3: Nếu sử dụng đk: “hai đt cắt nhau thì đồng phẳng”
thì đt d là giao tuyến của MP(A, d1) và MP(A, d2).
uuuuuuu) MP (A, d1): 3x-4y+2z-9=0, MP (A, d2): 4x+3y+2z-2=0
vvvvvvv)
wwwwwww)Hình 4
xxxxxxx) Cách 4: Sau khi lập xong PT MP(A, d1) em có thể tìm được
tọa độ N khơng? Khi đó em có cách khác giải khơng? (Tìm N là giao điểm của MP(A, d1) và d2, từ đó tìm được tọa độ của AN )
yyyyyyy) Nghiên cứu tiếp bài toán: Trong cách giải 1 của bài toán đk d
đi qua A được sử dụng ở những chỗ nào? (A, M, N thẳng hàng và d qua A.) Tương tự nếu thay đk d qua A bởi đk d⊥MP (P), d//∆, d nằm trong MP (P) thì ta có bài tốn như thế nào? Khi đó em sẽ giải như thế nào?
zzzzzzz) Bài 2.3.1. Cho hai đt d1:x=2+ty=1-tz=2t và d2: x=-
2ty=3z=1+t. Viết PT đt d :
aaaaaaaa) a) d vng góc với MP (P): x+y+z-2=0 và cắt hai đt d1 và d2.
bbbbbbbb) b) d song song với ∆: x-12=y1=z+22 và cắt hai đt d1 và d2.
cccccccc) c) d nằm trong MP (P): x+y+z-2=0 và cắt hai đt d1 và d2.
dddddddd) Hướng dẫn: Gọi M, N lần lượt là giao điểm của d với d1, d2.
eeeeeeee) a) Ta có d⊥(P) nên MN là VTPT của (P). Từ MN và nP cùng phương tìm được M, N.
ffffffff) b) Thay đk AM , AN cùng phương bởi MN là một VTCP của ∆.
gggggggg) c) Ta có d⊂(P) nên M ∈(P) và MN vng góc với một VTPT của (P). Hoặc giao điểm của d với d1, d2 chính là giao điểm của d1,d2 với MP (P) nên tìm M, N bằng cách đưa về tìm giao điểm của d1,d2 với Mp(P).
hhhhhhhh) Thay đk d qua A bởi d vuông góc với cả hai đt thì có những khả năng nào?
iiiiiiii) Nếu d1 và d2 chéo nhau thì có mấy đt d và đt d chính là đt có tên gọi như thế nào? (Có duy nhất và bài tốn đưa về viết PT đường vng góc chung của hai đt chéo nhau.)
jjjjjjjj) Nếu d1 và d2 cắt nhau thì có mấy đt d, đó là đt xác định như thế nào? (Có duy nhất và d là đt đi qua giao điểm của d1 và d2 đồng thời vng góc với MP(d1,d2).)
kkkkkkkk) Nếu d1 và d2 song song thì có mấy đt d, đt d xác định như thế nào? (Có vơ số đt d, là các đt nằm trong MP(d1,d2) và vng góc với hai đt d1,d2.)
mmmmmmmm) Viết PT đường vng góc chung của hai đt d1:x=1+2ty=2+tz=-3+3t và d2: .
nnnnnnnn) Hướng dẫn: Thay đk AM , AN cùng phương bởi đk MN vng góc với các VTCP của d1 và d2.
oooooooo) Cách 2: MN là đoạn vng góc chung khi MN nhỏ nhất.
pppppppp) Cách 3: MN là giao tuyến của (P) và (Q) với (P) chứa d1 và d, (Q) chứa d2 và d. Trong đó: d nhận tích có hướng của hai VTCP của d1 và d2 là một VTCP.
qqqqqqqq) Khi thay giả thiết cắt d2 bởi giả thiết vng góc với d2 thì ta có bài tốn và cách làm như thế nào?
rrrrrrrr) Bài 2.3.3. Viết PT đt d đi qua điểm A(1;-1;1), cắt đt
d1:x=1+2ty=tz=3-t và vng góc với d2: .
ssssssss) Hướng dẫn: Gọi M(1+2t;t;3-t)∈d1. Ta có d⊥d2 nên AM⊥u2=(1;-2;1) là một VTCP của d2.
tttttttt) Cách 2: d là giao tuyến của Mp(A,d1) và Mp(Q): qua A và
vng góc với d2.
uuuuuuuu) Khi d1 và d2 trùng nhau thì ta có bài tốn:
vvvvvvvv) Bài 2.3.4. Viết PT đt d đi qua điểm A(1;-1;1) vng góc và
cắt đt d1:x=1+2ty=tz=3-t.
wwwwwwww) Bây giờ khi giữ nguyên đk cắt d1, vng góc với d2 và thay đổi đk d qua A bởi d nằm trong Mp(P) ta có bài tốn:
xxxxxxxx) Bài 2.3.5. Viết PT đt d nằm trong Mp (P): x+y-z+2=0 cắt đt