thẳng
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) Tương tự với phần lập PT mặt phẳng ta có một số bài tốn lập PT đt sau:
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) Ví dụ 5.2.
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) 1) Cho A(1;4;2), B(-1;2;4), ∆: x-1-1=y+21=z2.
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) Viết PT đt d trong các trường hợp sau:
a) d qua A, cắt đt ∆ sao cho khoảng cách từ B đến d lớn nhất, nhỏ nhất.
b) d qua A, vng góc với đt ∆ sao cho khoảng cách từ B đến d lớn nhất.
c) d qua A, cắt đt ∆ sao cho khoảng cách từ d’: x-12=y+11=z-11 đến d lớn nhất.
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)2) Viết PT đt d trong các trường hợp sau:
a) d nằm trong (P): x+y-z-2=0, vng góc với đt ∆: x+1-2=y-41=z-12 và cách điểm M(1;-1;0) một khoảng nhỏ nhất.
b) d nằm trong Oxy, qua A(1;4;0) và khoảng cách từ B(-1;2;4) đến d lớn nhất, nhỏ nhất.
c) d qua M(0;0;1), nằm trên MP (P): x+y+z-1=0 và cắt mặt cầu (S):
cccccccccccccccccccccccccc) (x-3)2+(y-2)2+(z-2)2=16 tại hai điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất.
d) (B-09) d qua A(-3;0;1), song song với (Q): x-2y+2z-5=0 sao cho
e) d nằm trong MP (P): x+y-z-2=0, cắt đt ∆: x=2ty=tz=1 và tạo với ∆ góc nhỏ nhất.
f) d qua A(2;-1;1), song song với (Q): x+y-z+1=0 và tạo Oxy góc lớn nhất.
dddddddddddddddddddddddddd) Kết hợp các bài tốn trên ta có thể tạo ra nhiều bài tốn khác tương tự
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) Hướng dẫn chung: Vì cơng thức khoảng cách từ một điểm đến đt không đơn giản nên ở phần lập PT đt này chủ yếu ta dùng cách 2.
ffffffffffffffffffffffffff) 1) a) Vì d qua A và cắt ∆ nên d nằm trong MP (P) chứa A và ∆. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B trên d, MP (P).
gggggggggggggggggggggggggg)Ta có: d(B,d)=BH và BH ≤ BA (Dấu “=” xảy ra khi d qua A, cắt ∆ và vng góc với AB); BH ≥ BK (Dấu “=” xảy ra khi d qua A, cắt ∆ và vng góc với BK)
hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) b)Tương tự a) Gọi (P) qua A và vng góc với ∆.
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) BH ≤ BA. Dấu “=” xảy ra khi d qua A, vng góc với ∆, AB.
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) BH ≥ BK. Dấu “=” xảy ra khi d qua A, cắt ∆ và vng góc với AH.
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) c) Ta có: d(d,d’) ≤ d(A,d’) = AH: khơng đổi. (H là hình chiếu của A trên d’) Dấu “=” xảy ra khi d//d’ hoặc d chéo d’ và AH là đoạn vng góc chung của d và d’. Do đó đt d nhận AI là một VTCP với I là giao điểm của d và ∆ trong đó AI cùng phương với u' (u' là một VTCP của d’) hoặc AI vng góc với AH.
llllllllllllllllllllllllll) 2)
a) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên d, (P). Ta có d(M,d) = MH, MH ≤ MK: khơng đổi. Dấu “=” xảy ra khi d qua K và vng góc với MK, ∆.
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) BK ≤ BH ≤ BA. BH lớn nhất bằng BA khi d qua A, nằm trong Oxy và vng góc với BA; BH nhỏ nhất bằng BK khi d qua A và K.
c) Đưa về bài 2 trên.
d) Gọi (P) qua A và song song với (Q) thì (P) chứa d. Bài toán đưa về bài 5.
e) Tương tự phần lập PT MẶT PHẲNGthì d qua giao điểm I của ∆ và (P), d ⊂ (P), góc giữa d và ∆ bằng góc giữa ∆ và (P).
f) (Tương tự 5) Gọi (P) qua A và song song với (Q). d qua A, d ⊂ (P), góc giữa d và (Oxy) bằng góc giữa (Oxy) và (P).
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) 2.5.3. Lập PT mặt cầu
oooooooooooooooooooooooooo) Ví dụ 5.3. Viết phương trình mặt cầu (S) có bán
kính nhỏ nhất và tiếp xúc với hai đt
pppppppppppppppppppppppppp)d1: x=1-ty=tz=-1 và d2: x=2ty=1+tz=t
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) Bước 1: Hiểu bài toán
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) GV: Xác định cái cần tìm, cái cần tìm đó thỏa mãn những đk gì?
ssssssssssssssssssssssssss) HS: Cần lập PT mặt cầu thỏa mãn 3 đk: tiếp xúc với d1, d2, bán kính nhỏ nhất.
tttttttttttttttttttttttttt) GV: Em có thể vẽ hình minh họa được khơng?
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) HS: Vẽ hình.
vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) Hình 9
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài tốn
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) GV: d1 và d2 có vị trí tương đối như thế nào? (chéo nhau)
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) GV: Giả sử (S) có tâm I, bán kính R. (S) tiếp xúc với d1, d2 tương đương với đk nào? (d(I,d1) = d(I,d2) = R).
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) GV: Giả sử các tiếp điểm của (S) với d1, d2 lần lượt là A, B hãy liên hệ IA, IB với R
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) HS: IA=IB=R.
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) GV: Liên hệ GTNN của R với IA, IB, IA+IB? (R nhỏ nhất khi và chỉ khi IA, IB, IA+IB nhỏ nhất.)
ccccccccccccccccccccccccccc) GV: So sánh IA+IB với AB, mà A, B lần lượt thuộc d1, d2 thì GTNN của AB bằng bao nhiêu? Khi nào xảy ra dấu bằng?
ddddddddddddddddddddddddddd) HS:IA+IBABd(d1, d2). Dấu “=” xảy ra khi AB là đoạn vng góc chung của d1, d2.
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) GV: Như vậy em đã tìm được GTNN của R chưa? Khi đó (S) cần lập có tâm và bán kính xác định như thế nào? (Tìm được GTNN của R, khi đó mặt cầu (S) có đường kính là AB với AB là đoạn vng góc chung của d1, d2).
fffffffffffffffffffffffffff) Bước 4: Nhìn lại
ggggggggggggggggggggggggggg) Kiểm tra kết quả bài toán: Trong bài toán
trên d1 và d2 chéo nhau nên tồn tại duy nhất một mặt cầu (S). Nếu d1 và d2 song song, cắt nhau hoặc trùng nhau thì có tồn tại mặt cầu (S) khơng? Có bao nhiêu mặt cầu (S) thỏa mãn? (d1 và d2 song song thì tồn tại vô số mặt cầu (S), nhận AB là đường kính với AB vng góc với d1, d2. Nếu d1 và d2 cắt nhau hoặc trùng nhau thì khơng tồn tại mặt cầu (S).)
hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) Giữ nguyên giả thiết qua A, nếu thay giả thiết (S) tiếp xúc với hai đt thành (S) tiếp xúc với một đt; tiếp xúc với một MP; tâm của (S) thuộc đt; tâm của (S) thuộc một MP ta có một số bài tốn:
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)5.3.1. Viết PT mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất và (S)
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)a) đi qua điểm A(0;-3;3), tiếp xúc với đt d: x-3-2=y+52=z-11.
lllllllllllllllllllllllllll)c) đi qua điểm A(0;-3;3) và (S) có tâm thuộc
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) i) đt d: x-3-2=y+52=z-11.
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) ii) MP (P): x+y-z+2=0.
ooooooooooooooooooooooooooo) Tiếp tục thay đổi đk, khi (P) qua hai điểm A, B; qua ba điểm A, B, C; qua hai điểm và tiếp xúc với một đt ta có:
ppppppppppppppppppppppppppp) Bài 5.3.2. Cho A(1;1;3), B(1;1;5). Viết PT mặt
cầu có bán kính nhỏ nhất và đi qua A, B.
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) Bài 5.3.3 Cho A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3).
Viết PT mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và đi qua điểm A, B, C.
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) Bài 5.3.4. Viết PT mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đt d trong các trường hợp sau:
a) A(0;3;-3), B(1;1;3), đt d: x-3-2=y+52=z-11. b) A(1;1;0), B(1;3;2), đt d: x-11=y-1=z-21. c) A(1;2;1), B(1;32;12), đt d: x-11=y-1=z-21.
sssssssssssssssssssssssssss) Các bài tốn trên có thể thay đổi câu hỏi (S) có bán kính nhỏ nhất thành khối cầu (S) có thể tích nhỏ nhất.
ttttttttttttttttttttttttttt) Hướng dẫn:
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) 5.3.1.
vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) a) Ta có: 2R = IA + IH ≥ AH ≥ AK = d(A,d) với H, K lần lượt là hình chiếu của tâm I, A trên d. Do đó: 2R nhỏ nhất bằng AK khi AK là đường kính của mặt cầu.
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) b) R nhỏ nhất khi (S) nhận AK là đường kính với K là hình chiếu của A trên (P).
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) c) i) R = IA ≥ AK = d(A,d) với I là tâm mặt cầu, K là hình chiếu của A trên d. Do đó: R nhỏ nhất khi K là tâm mặt cầu (S).
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) ii)(Tương tự như i.) Tâm mặt cầu là hình chiếu của A trên (P).
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) 5.3.2. (S) nhận AB là đường kính.
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)5.3.3. (S) nhận đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn lớn.
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) 5.3.4. a) Mặt cầu (S) tiếp xúc với d tại K thì (S) có bán kính nhỏ nhất khi tâm I của mặt cầu là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABK. Mà AB ⊥ d, IK ⊥ d nên d ⊥ (ABK) suy ra K là hình chiếu của A, B trên d.
cccccccccccccccccccccccccccc) b) Gọi I là trung điểm của AB thì IA = d(I,d) nên (S) cần tìm nhận I là tâm.
dddddddddddddddddddddddddddd) c) Gọi I là trung điểm của AH với H là hình chiếu của A trên d, ta có IB=IA nên (S) cần tìm nhận I là tâm.