ffffffffffffffffffffffffffff)Ví dụ 5.4. Cho A(1;2;3), B(4;4;5), C(2;1;-1). Tìm điểm
M thuộc Mp Oxy sao cho:
gggggggggggggggggggggggggggg) a) MA + MB nhỏ nhất. b) |MA-MC| lớn nhất.
hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài tốn iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) GV: Em đã gặp bài toán nào tương tự trước đây chưa?
Đó là bài tốn nào? Phương pháp giải bài tốn đó? Đối tượng của bài tốn có gì khác khơng, có vận dụng phương pháp giải đó để giải bài tốn này được khơng? MP trong khơng gian tương tự với đối tượng nào trong MP? Phát biểu cách làm nếu được.
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) HS: Đã gặp bài toán tương tự trong MP tọa độ Oxy. Đó là bài tốn: cho đt d và hai điểm A, B khơng thuộc d. Tìm điểm M thuộc d sao cho MA+MB nhỏ nhất. Phương pháp làm: Xét vị trí tương đối của hai điểm A, B so với đt d và dựa vào bất đẳng thức MA + MB ≥ AB, dấu”=” xảy ra khi M thuộc đoạn AB. Vì MP trong khơng gian tương tự với đt trong MP nên vận dụng phương pháp này được. Cách làm: Xét vị trí tương đối của 2 điểm A, B với MP Oxy và dựa vào bất đẳng thức MA + MB ≥ AB, dấu”=” xảy ra khi M thuộc đoạn AB.
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) Bước 3: Trình bày lời giải bài tốn
llllllllllllllllllllllllllll) Oxy: z=0, T=3.5>0 nên A, B nằm về cùng một phía so với MP(Oxy).
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) Gọi A’ đối xứng với A qua MP(Oxy), ta có A’(1;2;-3) và B nằm về hai phía của MP(Oxy) và AM = A’M nên AM + MB = A’M + MB ≥ A’B với mọi M thuộc MP(Oxy), dấu “=” xảy ra khi M thuộc đoạn A’B. Do đó AM + MB nhỏ nhất bằng A’B khi M là giao điểm của A’B và Oxy nên M (178;114;0).
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) Bước 4: Nhìn lại
oooooooooooooooooooooooooooo) Câu b) (Tương tự với ý a) đưa về bài toán tương tự trong MP tọa độ Oxy.
pppppppppppppppppppppppppppp) Tương tự với bài tốn trên ta có bài tốn:
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) Bài 5.4.1. Cho A(3;1;0), B(0;0;1), C(-9;4;9),
MP (P): 2x-y+z+1=0. Tìm tọa độ điểm M thuộc MP (P) sao cho:
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) a) MA + MB nhỏ nhất. b) | MA-MC| lớn nhất.
ssssssssssssssssssssssssssss)Khái quát hóa: Cho MP (P), hai điểm A,B khơng
thuộc MP (P). Tìm M thuộc MP (P) sao cho: a) MA + MB nhỏ nhất. b) |MA-MB| lớn nhất.
tttttttttttttttttttttttttttt) Nếu thay đổi bài tốn tìm điểm thuộc MP bởi điểm thuộc đt thì hướng giải quyết có gì thay đổi?
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) Ta biết nếu AB và d đồng phẳng thì thực hiện như bài tốn đã biết trong hình học phẳng. Trong trường hợp AB và d không đồng phẳng ta đưa về trường hợp đồng phẳng bằng cách tìm điểm A’ sao cho A’B và d đồng phẳng, A’ và B nằm về 2 phía của d và AM = A’M. Cụ thể: Nếu AB và d không đồng phẳng và:
vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) +) nếu AB vng góc với d thì hình chiếu của A, B trên d trùng nhau là điểm H. Khi đó mọi M thuộc d ta có: MA ≥ HA, MB ≥ HB nên MA + MB ≥ HA + HB. Do đó MA + MB nhỏ nhất khi M ≡ H.
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww)+) nếu AB không vng góc với d, gọi A1, B1 lần lượt là hình chiếu của A, B trên d; A’ là điểm sao cho A1A' cùng hướng với BB1 và A1A’ = A1A, khi đó A’, B và d đồng
phẳng, A’, B nằm về 2 phía của d và AM = A’M nên AM + MB = A’M + MB ≥ A’B, dấu”=” xảy ra khi M là thuộc đoạn A’B. Ta có tam giác MA1A’ đồng dạng với tam giác MB1B nên điểm M cần tìm thuộc đoạn A1B1 và MA1:MB1=AA1:BB1 hay MA1=-AA1BB1.MB1.
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) Bài tập vận dụng:
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) Bài 5.4.2. Tìm M thuộc đt d sao cho MA +
MB nhỏ nhất trong các trường hợp sau:
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)a) A(1;2;-1), B(7;-2;3), đt d: x+13=y-2-2=z-22.
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) b) A(3;1;1), B(4;3;4), đt d: x-71=y-3-2=z- 91.
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) c) A(1;-
1;0), B(3;-1;4), đt d: x+11=y+1-1=z+22.
ccccccccccccccccccccccccccccc) Ngồi cách giải trên, có thể gọi tọa độ điểm M thuộc d, tính MA + MB theo tham số t, đưa về bài tốn tìm GTNN của biểu thức có dạng:
ddddddddddddddddddddddddddddd) y=at2+bt+c+dt2+et+f (Đưa về xét hệ trục tọa độ trong Mp)
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) Thay đổi hình thức hỏi, ta có bài tốn:
fffffffffffffffffffffffffffff)Bài 5.4.3. Cho A(1;5;0), B(3;3;6), đt d: . Tìm M thuộc d
sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất.
ggggggggggggggggggggggggggggg) Bài 5.4.4. Cho E(2;1;5), F(4;3;9). Đt d là giao
tuyến của hai MP (P): 2x+y-z+1=0, (Q): x-y+2z-7=0. Tìm M thuộc d sao cho |ME-MF| lớn nhất.
hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) Mở rộng thành tìm 2 điểm trên hai đt song ta có bài tốn:
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) Bài 5.4.5. Cho A(1;1;4), B(-1;-5;-4), d: x+11=y+1-
1=z+22, d’: x-1=y1=z-1-2. Tìm điểm M thuộc d, N thuộc d’ sao cho:
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) Tìm hai điểm trên hai MP ta có bài tốn:
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) Bài 5.4.6. Cho A(1;1;2), B(2;4;3). Tìm tọa độ
điểm M thuộc MP (Oxz), N thuộc MP(Oxy) sao cho AM + MN + NB nhỏ nhất.
lllllllllllllllllllllllllllll) Bài 5.4.7. Cho mặt cầu (S): (x-2)2+(y+1)2+(z-3)2=9, MP (P): 2x+2y-z+16=0, đt d: x+11=y+1-1=z+22, điểm A(2;2;1). a) Tìm điểm M thuộc d sao cho AM nhỏ nhất.
b) Tìm điểm M thuộc MP (P) sao cho AM nhỏ nhất.
c) Tìm điểm M thuộc (S) sao cho AM nhỏ nhất, lớn nhất.
d) Tìm điểm M thuộc (S), N thuộc MP (P) sao cho MN nhỏ nhất.
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) Bài 5.4.8. Cho A(0;1;1), B(1;0;-3),
C(-1;-2;-3), (S):x2+y2+z2-2x+2z-2=0. Tìm điểm D thuộc mặt cầu (S) sao cho thể tích khối ABCD lớn nhất.
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) Ví dụ 5.5. Cho A(-2;1;0), B(1;0;1), MP (P): x
- y + 2z – 9 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc Mp (P) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.
ooooooooooooooooooooooooooooo) Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài tốn
ppppppppppppppppppppppppppppp) GV: Biểu thức MA2 + MB2 gợi cho em liên tưởng đến cơng thức nào trong tam giác? Nêu cơng thức đó, từ cơng thức đó nêu đk để MA2 + MB2 nhỏ nhất, vì sao?
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) HS: Cơng thức đường trung tuyến: MA2 + MB2 = 2MI2 + AB2 (*), (I là trung điểm của AB). Nên MA2+MB2 nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất (vì AB khơng đổi).
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) GV: Điểm cần tìm cịn phải thỏa mãn đk nào? Điểm I đã xác định chưa? Nêu vị trí điểm M cần tìm?
sssssssssssssssssssssssssssss) HS: M ∈(P), I cố định nên IM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên (P).
ttttttttttttttttttttttttttttt) GV: Cơng thức (*) cịn đúng khơng nếu A, B, M không lập thành tam giác? Để chứng minh cơng thức (*) em sẽ
dùng phương pháp gì và để biến đổi vế trái thành vế phải em nghĩ đến “chèn” điểm nào?
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) HS: Công thức (*) vẫn đúng nếu A, B, M không lập thành tam giác, dùng phương pháp véc tơ để chứng minh công thức (*) bằng cách “chèn” điểm I vào các véc tơ: .
vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) GV: Điểm I có vai trị như thế nào trong đẳng thức véc tơ liên hệ với A, B?
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) HS:
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) Bước 3: Trình bày lời giải bài tốn
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) Gọi I là trung điểm của AB thì I.
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) Ta có: MA2 + MB2 = ()2 + ()2 = 2MI2 + IA2 + IB2.
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) Do IA, IB không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất. Vì I cố định, M∈(P) nên MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên (P).
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)Đt IM qua I và vng góc với (P) có PT: .
cccccccccccccccccccccccccccccc) M là giao điểm của MI và (P) nên M(1;-1; ).
dddddddddddddddddddddddddddddd)Bước 4: Nhìn lại
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) Kiểm tra lời giải: +) Nếu nói áp dụng công
ffffffffffffffffffffffffffffff) Nghiên cứu lời giải: Ngoài cách giải trên cịn
cách giải khác khơng?
gggggggggggggggggggggggggggggg)Cách 2: (Dùng tọa độ đưa về tìm GTNN của
biểu thức đại số)
hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)Gọi M(a;b;c) ∈(P), ta có a- b+2c- 9=0 iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) MA2 + MB2 = (a+2)2 + (b-1)2 + c2 + (a-1)2 + b2 + (c-1)2
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) =12[(2a+1)2 + (2b-1)2 + (2c-1)2 + 11]
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
llllllllllllllllllllllllllllll) [.(2a+1)- .(2b-1)+1.(2c-1)]2
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) = 54
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)Dấu “=” xảy ra khi:
oooooooooooooooooooooooooooooo) . Vậy MA2 + MB2 nhỏ nhất bằng khi M(1;-1; ).
pppppppppppppppppppppppppppppp)Cách 3: (Kết hợp đại số hóa và hình học tọa
độ)
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)Tương tự cách 2: MA2+MB2 = 2[(a +)2 + (b -)2 + (c -)2] + . Do đó MA2 + MB2 nhỏ nhất khi (a +)2 + (b - )2 + (c -)2 nhỏ nhất hay MI2 nhỏ nhất với I().
ssssssssssssssssssssssssssssss) Nghiên cứu sâu bài toán:
tttttttttttttttttttttttttttttt) 1. Đặc biệt hóa: (Khi I thuộc MP (P), A≡B)
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)Cho A(-2;1;0), B(10;-3;4), MP (P): x-y+2z-
9=0. Tìm M thuộc (P) sao cho:
vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) a) MA2 nhỏ nhất. b) MA2 + MB2 nhỏ nhất.
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) 2. Cách phát biểu khác: Cho A(- 2;1;0), B(1;0;1), M(1;-1;), MP (P): x - y +2z-9=0. Chứng minh rằng MA2+MB2 NA2 + NB2 với mọi N thuộc (P).
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) 3. Tương tự hóa:
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) 1) Cho A(-2;1;1), B(2;-2;1), MP (P): x-y+2z- 9=0. Tìm tọa độ điểm M thuộc Mp (P) để :
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) a) MA2 + MB2 nhỏ nhất. b) MA2 + 2MB2 nhỏ nhất.
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) c) || nhỏ nhất. d) || nhỏ nhất.
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) 2) Cho A(-2;1;1), B(2;-2;1), mặt cầu (S): x2 + (y-2)2 + (z+1)2 = 9, đt d: . Tìm tọa độ điểm M sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất biết:
ccccccccccccccccccccccccccccccc) a) M bất kỳ. b) M thuộc d. c) M thuộc (S).
ddddddddddddddddddddddddddddddd) Khi thay cặp hệ số 1; 1 bởi cặp hệ số thực bất kỳ, thay 2 điểm bởi n điểm ta có:
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) 4. Khái quát hóa:
fffffffffffffffffffffffffffffff) Cho n điểm A1, A2,…An và Mp (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho:
ggggggggggggggggggggggggggggggg) a) k1MA12+ k2MA22+…+ knMAn2 nhỏ nhất với k1 + k2 +…+kn>0.
hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) b) k1MA12+ k2MA22+…+ knMAn2 lớn nhất với k1+ k2+…+kn<0.
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) c) |k1 | nhỏ nhất với k1+ k2 +…+kn 0.
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) Cũng có thể thay đổi điểm M thuộc (P) bởi M tùy ý trong không gian, M thuộc đt d hay M thuộc mặt cầu (S) cho trước.
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) 5. Đề xuất các bài toán khác: Xuất phát từ cơng thức (*) ta có bài tốn
lllllllllllllllllllllllllllllll) Bài 1: Trong không gian cho điểm A, B, MP (P), I là
trung điểm của AB. CMR:
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) a) 4MI2 = 2MA2 + 2MB2 - AB2 với mọi điểm M.
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) b) MA2+MB2 với mọi điểm M.
ooooooooooooooooooooooooooooooo) c) MA2+MB2 2d2 +2 IA2 với d = d(I,(P)), mọi M thuộc (P).
ppppppppppppppppppppppppppppppp) Xuất phát từ cách chứng minh công thức (*) bằng phương pháp véc tơ ta có
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) Bài 2: Cho A(-2;1;0), B(1;0;1). Tìm tọa
độ điểm M sao chonhỏ nhất
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) a) với M tùy ý.
ttttttttttttttttttttttttttttttt) c) với M thuộc Đt d: .
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) Xuất phát từ cách giải 3 ta có bài tốn:
vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) Bài 3: Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn: x-
y+2z-9=0, tìm GTNN của biểu thức:
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) F= 4x2 + 4y2 + 4z2 + 4x - 4y - 4z + 5.
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) Khái qt bài tốn trên ta có bài tốn:
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) 1) Tìm GTNN của biểu thức F = k(x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d) biết mx + ny + pz + q = 0 với a2 + b2 + c2 – d > 0, k > 0, m2 + n2 + p2 > 0.
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) 2) Cho x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0. Tìm GTLN của biểu thức
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)E = mx + ny + pz + q với a2 + b2 + c2 – d > 0, k > 0, m2 + n2 + p2 > 0.
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) Qua cách giải được trình bày trong ví dụ trên ta cũng suy ra cách chứng minh bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho 3 bộ số.
cccccccccccccccccccccccccccccccc) Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức
Bunhiacốpxki cho 3 bộ số.
dddddddddddddddddddddddddddddddd) Hướng dẫn: Xét MP (P) có PT: ax + by + cz = 0, điểm M(x; y; z). Ta có d(M,(P)) MO hay d2(M,(P)) MO2 (ax+by+cz)2 (a2+b2+c2)(x2+y2+z2). Dấu”=” xảy ra khi OM ⊥ (P) hay OM cùng phương với = (a;b;c).
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) Bài 5: Cho mặt cầu (S): x2 + (y-2)2 + (z+1)2 = 9. Tìm điểm M thuộc Mp (P): x-y+2z-9=0 sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 đầu đường kính nhỏ nhất.
ffffffffffffffffffffffffffffffff) Bài 6: Cho A(-2;1;0), B(1;0;1). Tìm tập hợp điểm