1.1 Phương pháp tích phân số Các phương trình vi phân mô tả phần tử hệ thống điện phương trình phi tuyến với giá trị ban đầu biết có dạng sau: dx f ( x, t ) dt t t0 ; x x0 (3.6) Trong x vector trạng thái n biến độc lập t biến thời gian độc lập giá trị ban đầu biết x0 , t0 Có nhiều phương pháp tích phân số để giải tốn ổn định miền thời gian bao gồm: Euler, Euler cải tiến phương pháp áp dụng nhiều gần xác tất phần mềm mô miền thời gian phương pháp Runge – Kutta 1.1.1 Phương pháp Euler Nguyên lí phương pháp Euler cố gắng biểu diễn đường cong phi tuyến đường tiếp tuyến xấp xỉ gần Hình 3.1 Biểu diễn đường cong phi tuyến phương pháp tích phân số Hệ số góc đường thẳng tiếp tuyến với đường cong phi tuyến tính công thức: dx dt f ( x0 , t0 ) x x0 (3.7) Từ điểm ban đầu ( x0 , t0 ) , với độ dốc tính từ công thức bước nhảy tùy vào độ dài t t1 t2 chọn tùy ý, ta tính giá trị x1 thời điểm t1 công thức: x1 x0 x x0 dx dt t x x0 (3.8) Suy đường tiếp tuyến xấp xỉ với đường cong phi tuyến cần giải đoạn thẳng giới hạn hai giá trị x0 x1 Sau tính x1 , ta tính lại hệ số góc (độ dốc đoạn thẳng) cơng thức: dx dt f ( x1 , t1 ) x x1 Và lặp lại phép tính để tính tốn giá trị điểm cuối x2 Như lời giải cho phương trình vi phân đường tiếp tuyến xấp xỉ với đường cong cần giải Nhược điểm phương pháp kết nhận khơng xác Đường cong phi tuyến cần giải thường có dạng sau: Hoặc Hình 3.2 Nhược điểm phương pháp Euler Đường thẳng nhận từ phương pháp Euler nhỏ lớn đường cong phi tuyến thực tế, để giảm sai số thực phương pháp Euler, người ta lấy bước nhảy mức nhỏ (t ) Sai số phương pháp Euler phụ thuộc vào độ lớn bước, viết sau: e : c.(t ) (3.9) 1.1.2 Phương pháp Euler cải tiến Nhưng để nhận kết xác, ta phải thực phép toán với độ lớn bước nhỏ có thể, đồng nghĩa với việc máy tính thực số phép tính nhiều Và để cải thiện điều này, ta có phương pháp khác hiệu hơn, phương pháp gọi Euler cải tiến Sở dĩ gọi Euler cải tiến ý tưởng phương pháp tương tự với ý tưởng phương pháp Euler, phương pháp cải thiện hệ số góc phương trình đường thẳng tiếp tuyến cách lấy giá trị trung bình hệ số góc hai đường thẳng tiếp tuyến đường tiếp tuyến tiệm cận với đường cong phi tuyến cần giải, kết xác Hình 3.3 Phương pháp Euler cải tiến Với An , Bn hệ số góc Phương pháp Euler cải tiến có bước (Prediction step Correction step) có phép tính: x1p x0 dx dt t x x0 dx x1c x0 ( dt dx dt x x0 ) t x x1p (3.10) Sai số phương pháp Euler cải tiến hàm theo độ lớn bước, hàm bậc hai: e : c (t ) (3.11) Từ phương trình ta thấy rằng, giảm độ lớn bước sai số giảm bình phương lần Do phương pháp Euler cải tiến gọi phương pháp bậc hai, phương pháp Euler gọi phương pháp bậc 1.1.3 Phương pháp Runge – Kutta Phương pháp R-K gồm có R-K bậc R-K bậc Đối với phương pháp R-K bậc 2, phương pháp tương tự phương pháp Euler cải tiến, hệ số góc đường thẳng tuyến tính lấy trung bình, tức hệ số góc tính hai lần, sai số tỉ lệ với bình phương độ lớn bước tính, cơng thức phương pháp R-K bậc sau: xn 1 xn x xn k1 k2 k1 f ( xn , tn )t k2 f ( xn k1 , tn t ).t (3.12) Đối với phương pháp R-K bậc 4, hệ số góc tính lần, sai số tỉ lệ với mũ lần độ lớn bước tính, tức đáp án cho lời giải phương trình vi phân xác Và hầu hết máy tính vẽ đồ thị phương trình vi phân áp dụng phương pháp R-K bậc Công thức phương pháp sau: xn 1 xn (k1 2k2 2k3 k4 ) k1 f ( xn , t n )t k1 t , tn )t 2 k t k3 f ( xn , tn )t 2 k4 f ( xn k3 , tn t )t k2 f ( xn Sai số phương pháp R-K bậc e : c(t ) (3.13) (3.14) ... , Bn hệ s? ?? góc Phương pháp Euler cải tiến có bước (Prediction step Correction step) có phép tính: x1p x0 dx dt t x x0 dx x1c x0 ( dt dx dt x x0 ) t x x1p (3.10) Sai s? ?? phương... pháp Euler cải tiến, hệ s? ?? góc đường thẳng tuyến tính lấy trung bình, tức hệ s? ?? góc tính hai lần, sai s? ?? tỉ lệ với bình phương độ lớn bước tính, cơng thức phương pháp R-K bậc sau: xn 1 xn x... sai s? ?? thực phương pháp Euler, người ta lấy bước nhảy mức nhỏ (t ) Sai s? ?? phương pháp Euler phụ thuộc vào độ lớn bước, viết sau: e : c.(t ) (3.9) 1.1.2 Phương pháp Euler cải tiến Nhưng để nhận