NGUYÊN HÀM
Định nghĩa nguyên hàm
a Giả sử hàm liên tục trên khoảng Khi đó hàm số được gọi là một nguyên hàm của hàm số khi và chỉ khi b Nếu là một nguyên hàm của hàm số thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số là tập và tập này còn được kí hiệu là:
Các tính chất của nguyên hàm
a Nếu là hàm số có nguyên hàm thì b Nếu có đạo hàm thì c Phép cộng
Nếu và có nguyên hàm thì d Phép trừ
Nếu và có nguyên hàm thì e Phép nhân với một hằng số khác 0 f Công thức đổi biến số
Một số phương pháp tính nguyên hàm
Ví dụ: b Một số ví dụ Ví dụ 1.1.1
1.4.2 Nguyên hàm các hàm phân thức hữu tỉ a Các định nghĩa
Phân thức hữu tỉ là biểu thức dạng với là các đa thức với hệ số thực.
Phân thức thực sự là phân thức hữu tỉ với
Phân thức đơn giản là 1 trong 4 dạng phân thức sau: Định lí tổng quát về tích phân đa thức
Mọi đa thức với hệ số thực đều có duy nhất một cách phân tích thành các nhân tử (không tính theo thứ tự sắp xếp các nhân tử) gồm các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai có biệt thức tức là ta có trong đó: là các nghiệm thực phân biệt của là các số thực thỏa mãn b Phương pháp tính
Nguyên hàm các hàm phân thức cơ bản: + +
Với ta sẽ tính theo 2 cách sau đây:
Cách 1: Phương pháp lượng giác Đặt Đến đây ta tính tiếp theo kĩ thuật tính tích phân hàm lượng giác Cách 2: Phương pháp tích phân từng phần với Đặt và
Vậy thay vào ta có
Nguyên hàm hàm phân thức với và thì c Một số ví dụ Ví dụ 1.2.1.
Cách 1: Phương pháp hệ số bất định
Cách 2: Phương pháp gán các giá trị đặc biệt
1.4.3 Nguyên hàm theo từng phần a Công thức tính nguyên hàm từng phần
Giả sử có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có
Nhận dạng: Hàm số dưới nguyên hàm thường là tích 2 loại hàm số khác nhau. Ý nghĩa: Đưa một nguyên hàm phức tạp về nguyên hàm đơn giản hơn (trong nhiều trường hợp việc sử dụng nguyên hàm từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu nguyên hàm và cuối cùng chỉ còn 1 loại hàm số dưới nguyên hàm).
Chú ý: Cần chọn sao cho đơn giản và dễ tính được đồng thời nguyên hàm đơn giản hơn nguyên hàm b Các dạng nguyên hàm từng phần cơ bản và cách chọn u , dv
Nguyên hàm c Một số ví dụ minh họa
Cách làm chậm: Đặt Khi đó, ta có: Đặt Khi đó ta có: Đặt Khi đó ta có
Cách làm nhanh: Biến đổi về dạng
1.4.4 Nguyên hàm hàm số có căn thức a Nguyên hàm dạng với m, n, p hữu tỉ
Nếu thì gọi là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số tối giản biểu thị bởi Khi đó đặt
Nếu thì gọi là mẫu số của và đặt
Nếu thì gọi là mẫu số của và đặt b Nguyên hàm hàm vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa
+ Bước 1: Đặt trong đó là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác định (nếu có thể).
+ Bước 3: Biểu thị theo và Giả sử rằng
Các dạng nguyên hàm và các phép đổi biến số thông thường
Cách 1: Đặt với suy ra
Cách 2: Đặt với suy ra
Với đặt suy ra Khi đó, ta có:
1.4.5 Nguyên hàm hàm lượng giác d Các dạng nguyên hàm cơ bản của hàm lượng giác
+ Nếu chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc
+ Nếu thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo dấu cộng thứ ba
+ Nếu lẻ thì thực hiện biến đổi:
Trường hợp 1: là các số nguyên
+ Nếu chẵn, chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.+ Nếu chẵn, lẻ thì biến đổi:
+ Nếu lẻ, chẵn thì biến đổi:
+ Nếu lẻ, lẻ thì sử dụng biến đổi ở trường hợp 2 hoặc trường hợp 3 cho số mũ bé hơn.
Trường hợp 2: Nếu là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt
Tích phân (*) tính được 1 trong 3 số nguyên
TÍCH PHÂN
Định nghĩa
Cho hàm số liên tục trên đoạn Giả sử là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn hiệu số được gọi là tích phân từ đến (hay tích phân xác định trên đoạn của hàm số
Chú ý: Trong trường hợp ta quy ước:
Trường hợp ta định nghĩa:
Nhận xét: Tích phân của hàm số từ đến có thể kí hiệu bởi hay
Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào và các cận mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Tính chất
Giả sử cho hai hàm số và liên tục trên Cho là ba số bất kì thuộc Khi đó, ta có:
Phương pháp tính tích phân
2.3.1 Phương pháp đổi biến a Phương pháp đổi biến số loại 1 Định lí: Cho hàm số liên tục trên Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn sao cho và với mọi Khi đó:
+ Bước 2: Tính vi phân 2 vế: Đổi cận:
+ Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến
Vậy b Phương pháp đổi biến loại 2 Định lí: Cho hàm số liên tục trên đoạn Để tính đôi khi ta chọn hàm số làm biến số mới, trong đó trên đoạn có đạo hàm liên tục và
Giả sử có thể viết: với liên tục trên đoạn Khi đó ta có:
+ Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến
Vậy c Các cách đặt cho các dạng toán tích phân thường gặp: Đặt trừ một số trường hợp đổi biến dạng2. Đặt Đặt Đặt Đặt Đặt Đặt Đặt Đặt Đặt Đặt Đặt với BCNN d Một số ví dụ Ví dụ 2.1.1.
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 3: Thực hiện phép biến đổi:
Cách 3 được trình bày dựa trên ý tưởng đổi biến của cách 2.
2.3.2 Phương pháp tính tích phân từng phần Định lí: Nếu và là các hàm số có đạo hàm liên tục trên thì:
+ Bước 1: Viết dưới dạng bằng cách chọn một phần thích hợp của làm và phần còn lại
Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần (cơ bản) Đặt theo thứ tự ưu tiên
Chú ý: Nên chọn là phần của mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn là phần của là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản
2.4.1 Tích phân hàm hữu tỉ
(trong đó liên tục trên đoạn
Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm và sao cho
Tính tích phân với và là hai đa thức của
Nếu bậc của lớn hơn hoặc bằng bậc của thì dùng phép chia đa thức. Nếu bậc của nhỏ hơn bậc của thì xét các trường hợp:
+ Khi chỉ có nghiệm đơn thì đặt
+ Khi có nghiệm đơn và vô nghiệm thì đặt
+ Khi có nghiệm bội với thì đặt: với thì đặt:
2.4.2 Tích phân hàm vô tỉ trong đó có dạng:
+ gọi BSCNN Đặt a Tích phân dạng:
Căn cứ vào phân tích trên, ta có một số cách giải sau:
+ Bước 2: Quy đồng mẫu số, sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số
+ Bước 3: Giải hệ tìm A,B thay vào (1)
Trong đó đã biết cách tính ở trên. c Tích phân dạng
+ Bước 3: Thay tất cả vào (1) thì có dạng:
Tích phân này chúng ta biết cách tính. d Tích phân dạng:
(Trong đó: là hàm số hữu tỉ đối với hai biến số và là các hằng số đã biết).
+ Bước 2: Tính theo bằng cách nâng lũy thừa bậc hai vế của (1) ta có dạng
+ Bước 3: Tính vi phân hai vế: và đổi cận
2.4.3 Tích phân hàm lượng giác a Một số dạng tích phân lượng giác
Dạng 1: Đặt Khi: và Đổi cận:
(tích phân hữu tỉ) đã biết cách tính.
Tìm bằng phương pháp đồng nhất thức:
Tìm bằng phương pháp đồng nhất thức:
Biến đổi: Đặt Đổi cận: đã tính được. b Một số ví dụ Ví dụ 2.3.1.
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Diện tích hình phẳng
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên đoạn trục hoành và hai đường thẳng được xác định: b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên đoạn và hai đường thẳng được xác định:
Trên hàm số không đổi dấu thì
Nắm vững cách tính tích phân của hàm số chưa giá trị tuyệt đối
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường và hai đường thẳng được xác định:
Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục tại các điểm và là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm Giả sử là hàm số liên tục trên đoạn b) xoay:
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường trục hoành và hai đường thẳng quanh trục
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường trục hoành và hai đường thẳng quanh trục
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường và hai đường thẳng quanh trục
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài tập 1: Tính các nguyên hàm sau: a. b. c. d.
Bài tập 2: Tính các nguyên hàm sau: a
Bài tập 3: Tính các nguyên hàm sau: a Tính
Bài tập 4: Tìm nguyên hàm của
Bài tập 5 Cho biết Tính giá trị của
Giải: Để tính ta đặt: Đổi cận:
Bài tập 6 Biết rằng Trong đó là những số nguyên Khi đó bằng?
Bài tập 7 Cho Khi đó giá trị của số thực là?
Bài tập 8 Tính các tích phân sau: a) b)
Bài tập 9 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đường thẳng trục tung và trục hoành là:
Theo công thức ta có:
Xét phương trình trên đoạn có nghiệm
Bài tập 10 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và là
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
Bài tập 11 Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn (nằm trong mặt phẳng cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục ta được thiết diện là tam giác đều Thể tích của vật thể là:
Giao điểm của thiết diện và là Đặt suy ra cạnh của thiết diện là
Diện tích thiết diện tại là
Vậy thể tích của vật thể là
Bài tập 12 Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình “hình chóp lục giác đều” như hình vẽ bên Đáy của (H) là một hình lục giác đều cạnh
Chiều cao ( vuông góc so với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên của
(H) là các sợi dây nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt phẳng
(P) vuông góc với là một lục giác đều và khi (P) qua trung điểm của thì lục giác đều có cạnh bằng Tính thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều (H) đó.
Giải: Đặt hệ tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua 3 điểm có tọa độ lần lượt là nên có phương trình là Theo hình vẽ ta có cạnh của thiết diện là
