Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TẬP TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1 Tham số hóa các đường cong trong không gian sau đây 1 Giao tuyến của mặt phẳng z = 2y và paraboloid z = x2 + y2 x = cos t, y = 1 + sin t, z = 2 sin t, t ∈ [0, 2π] 2 Giao tuyế[.]
BÀI TẬP TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Tham số hóa đường cong không gian sau Giao tuyến mặt phẳng z = 2y paraboloid z = x2 + y x = cos t, y = + sin t, z = sin t, t ∈ [0, 2π] Giao tuyến trụ z = x2 trụ x2 + y = x = cos t, y = sin t, z = cos2 t, t ∈ [0, 2π] Giao tuyến mặt cầu x2 + y + z = mặt phẳng y = x x = y = √ cos t, z = sin t, t ∈ [0, 2π] p Giao tuyến mặt cầu z = − x2 − y trụ x2 + y = 2x t x = + cos t, y = sin t, z = sin , t ∈ [0, 2π] Giao tuyến paraboloid z = 2x2 + y mặt phẳng x + y = 1, lấy miền x ≥ 0, y ≥ x = t, y = − t, z = 3t2 − 2t + 1, ≤ t ≤ Giao tuyến trụ x = y = t, x = y2 mặt phẳng z + 2x = 1, lấy vùng z ≥ t2 , z = − t2 , t ∈ [−1, 1] y2 mặt phẳng x − z = 1, lấy vùng z ≤ √ √ t2 t2 y = t, x = , z = − 1, t ∈ [− 2, 2] 2 Giao tuyến trụ x = Tính tích phân đường loại sau Rp x2 + y dl, C phần tư đường tròn x2 + y = 2x từ (0, 0) đến (1, −1) √ ĐS : − 2 √ R 1−5 2 xdl, C cung parabol y = − x từ (0, 1) đến (−1, 0) ĐS : 12 C C I = R C x − 2y √ dl C cung parabol , y = − x2 từ A(1, 0) đến B(−2, −3) ĐS + 4x :− i R 1h 3 I = x2 dl, C đường cong y = ln x, ≤ x ≤ e ĐS : (e + 1) − 2 C p √ R zdl, C giao tuyến nón z = x2 + y trụ y = 2x, từ điểm từ C √ (0, 0, 0) đến (2, 2, 2) ĐS : 5.8139 p R (zy − 2x)dl C giao tuyến mặt nón z = x2 + y mặt phẳng y = x C lấy phần nằm mặt phẳng z = ĐS : Tính độ dài đường cong sau C cung parabol y = − x2 , −1 ≤ x ≤ ĐS : 4.1057 √ C cung cycloid x = 2(t − sin t), x = 2(1 − cos t), ≤ t ≤ π ĐS : 4 Tính tích phân đường loại hai theo cách tham số hóa đường cong R I = (x + y)dx + (x − y)dy , C cung parabol y = 2x2 + x − 1, từ A(1, 2) C đến B(−3, 14) ĐS : −136 I = R (1,−1) I = R (0,−2) (x2 + y )dx + ydy, theo phần tư đường tròn x2 + y = −2y ĐS : π + 2 xydx − (x2 + y − 2x)dy, C nửa đường tròn (x − 1)2 + y = 4, C lấy ngược chiều kim đồng hồ ĐS : −2π √ R I = x2 dx + xdy, C cung ellipse 3x2 + y = 9, từ điểm ( 3, 0) đến giao C √ √ √ − 9π + 2 + điểm với đường y = 3x, lấy theo chiều KĐH ĐS : R I = (2x2 + y)dx − xdy, C biên miền D, giới hạn y = x2 − 2x, y = x, C lấy theo chiều kim đồng hồ ĐS : I = R x2 zdx + 2zdy − (x + y)dz, C giao tuyến 2mặt phẳng z = 3, x + y = từ C A(1, 0, 3) đến B(−1, 2, 3) ĐS : −10 z x2 + y arctan dy, C giao tuyến paraboloid z = mặt phẳng y = x, x C lấy phần z ≤ 3, ngược chiều KĐH nhìn từ Ox+ ĐS : R I = (x + y)dx + zdz, C giao tuyến trụ x2 + y = 2x mặt phẳng z = x, R C lấy ngược chiều KĐH nhìn điểm (1, 0, 0) ĐS : 2π Tính tích phân sử dụng cơng thức Green định lý tích phân không phụ thuộc đường H (3x − 2y)dx + (2x2 − 9y)dy, với C biên miền D : y = x2 − 2x, y = x, lấy ngược C chiều KĐH ĐS : 36 x3 3x (1 + ln y)dx − 2xy − dy, C đường trịn (x − 1)2 + (y − 1)2 = , y C π lấy ngược chiều kim đồng hồ ĐS : − H x3 3x2 (1 + ln y)dx − 2xy − dy, C đường y = ex , x : −1 → ĐS : y C e2 + 3e−2 − − H H y3 2xy + x y + dx + (x2 + y ) dy, C biên định hướng âm miền D : x2 + y ≤ 2x, y ≥ ĐS : R 3π xdy − y(1 + xy)dy, C nửa đường tròn x2 + y = 2y, từ điểm (2, 0) đến C điểm (0, 0) theo chiều kim đồng hồ R x x x 2xy + e y dx + − e y dy, với C cung parabol y = − x2 từ điểm (−1, 3) y C đến điểm (1, 3) ĐS : − 3e R x x x e y dy, với C cung parabol y = − x2 từ điểm (−1, 3) đến 2x + e y dx + − y C − 31 điểm (0, 4) ĐS : − e R π x y π dy − dx, C cung y = cos x, x : − → ĐS : −π 2 x +y 2 C x +y H x e cos ydx+(−2xy−ex sin y)dy, với C biên tam giác ABC, O(−2, 0), B(1, −1), C(1, 1), C lấy ngược chiếu kim đồng hồ ĐS : Điều kiện để tích phân khơng phụ thuộc đường Tìm số tự nhiên m, n để tích phân sau không phụ thuộc đường đi: I= R xm y n+1 (3 − 2xy )dx + xm+1 y n (4 − 3xy )dy C ĐS : m = 2, n = Tìm hàm sơ h = h(x2 + y ) để tích phân sau khơng phụ thuộc đường đi: I= R (x − y) hdx + (x + y) hdy C ĐS : h = C x2 + y ... cung parabol y = 2x2 + x − 1, từ A(1, 2) C đến B(−3, 14) ĐS : −136 I = R (1,−1) I = R (0,? ?2) (x2 + y )dx + ydy, theo phần tư đường tròn x2 + y = −2y ĐS : π + 2 xydx − (x2 + y − 2x)dy, C nửa đường... y)dx − 2xy − dy, C đường tròn (x − 1 )2 + (y − 1 )2 = , y C π lấy ngược chiều kim đồng hồ ĐS : − H x3 3x2 (1 + ln y)dx − 2xy − dy, C đường y = ex , x : −1 → ĐS : y C e2 + 3e? ?2 − − H H y3 2xy... theo chiều KĐH ĐS : R I = (2x2 + y)dx − xdy, C biên miền D, giới hạn y = x2 − 2x, y = x, C lấy theo chiều kim đồng hồ ĐS : I = R x2 zdx + 2zdy − (x + y)dz, C giao tuyến 2mặt phẳng z = 3, x + y =