giai tich 1 vu gia te toana1qtkd cuuduongthancong com (1)

H C VI N CƠNG NGH B U CHÍNH VI N THƠNG ===== ===== GI I TÍCH (Dùng cho sinh viên h đào t o đ i h c t xa ngành QTKD) L u hành n i b HÀ N I - 2007 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt H C VI N CƠNG NGH B U CHÍNH VI N THƠNG GI I TÍCH Biên so n : CuuDuongThanCong.com TS V GIA TÊ https://fb.com/tailieudientucntt L I NĨI U Gi i tích (Toán cao c p A1) h c ph n đ u tiên c a ch ng trình tốn dành cho sinh viên nhóm ngành Qu n tr kinh doanh h c t t mơn Tốn cao c p theo ph ng th c t o t xa, bên c nh h c li u: sách, giáo trình in, b ng đ a hình, , sách h ng d n cho ng i h c toán cao c p r t c n thi t T p sách h ng d n đ c biên so n nh m m c đích T p sách đ c biên so n theo ch ng trình qui đ nh n m 2001 c a B Giáo d c t o theo đ c ng ch ng trình đ c H c vi n Công ngh BC-VT thông qua n m 2007 Sách h ng d n h c toán cao c p A1 bám sát giáo trình c a tr ng đ i h c gi ng d y chuyên ngành Qu n tr kinh doanh, giáo trình dành cho h qui c a H c vi n Cơng ngh BC-VT biên so n n m 2001 kinh nghi m gi ng d y nhi u n m c a tác gi Chính th , tài li u có th dùng đ h c t p tham kh o cho sinh viên c a t t c tr ng, ngành đ i h c cao đ ng Cách trình bày sách thích h p cho ng i t h c, đ c bi t ph c v đ c l c công tác đào t o t xa Tr c nghiên c u n i dung chi ti t, ng i đ c nên xem ph n gi i thi u c a m i ch ng đ th y đ c m c đích, yêu c u c a ch ng Trong m i ch ng, m i n i dung, ng i đ c có th t đ c hi u đ c thơng qua ví d minh ho Sau ch ng, ng i đ c ph i t tr l i đ c câu h i ôn t p d i d ng tr c nghi m Nh ví d minh ho đ c đ a t đ n gi n đ n ph c t p, ng i đ c có th coi t p m u đ t gi i t p có tài li u Ng i đ c có th t ki m tra, đánh giá ki n th c, kh n ng thu nh n d a vào ph n h ng d n đáp s đ c cung c p nh ng trang cu i sách C ng c n nh n m nh r ng, n i dung c a tốn cao c p phép tính vi phân phép tính tích phân mà n n t ng c a phép tính gi i h n c a hàm s Chính th chúng tơi trình bày t m hai ch ng đ u c a tài li u đ ng i h c t đ c c ng có th có đ c ki n th c v ng vàng đ đ c ti p ch ng sau Trong trình t đ c h c qua m ng, tu theo kh n ng ti p thu, h c viên có th ch c n nh đ nh lý b qua ph n ch ng minh c a Nhân tác gi c ng l u ý r ng b c trung h c ph thông c a n c ta, ch ng trình tốn c ng bao hàm ki n th c v vi, tích phân Tuy nhiên n i dung ch mang tính ch t gi i thi u l ng th i gian h n ch , c u t o ch ng trình Vì th n u khơng t đ c m t cách nghiêm túc đ nh ngh a, đ nh lý c ng s v n ch n m đ c m t cách h i h t nh v y r t g p khó kh n vi c gi i t p toán cao c p Sách g m ch ng t ng ng v i h c ph n g m 45 đ n 60 ti t: Ch ng I: Hàm s gi i h n Ch ng II: Ch ng III: Hàm s nhi u bi n s Ch ng IV: Phép tính tích phân Ch ng V: Ph o hàm vi phân ng trình vi phân CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tuy r ng tác gi c g ng r t nhi u, song th i gian b h n h p.Vì v y thi u sót cịn t n t i cu n sách u khó tránh kh i Tác gi chân thành ch đón s đóng góp ý ki n c a b n đ ng nghi p, h c viên xa g n xin c m n v u Chúng tơi bày t s cám n đ i v i Ban Giám đ c H c vi n Công ngh BC-VT, Trung tâm t o BC-VT1, Phòng t o i h c t xa b n đ ng nghi p B mơn Tốn c a H c vi n Cơng ngh BC-VT khuy n khích đ ng viên, t o u ki n cho t p tài li u Hà N i, ngày tháng n m 2006 Tác gi CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch CH ng 1: Hàm s m t bi n s NG I: HÀM S VÀ GI I H N M C ÍCH, YÊU C U M i v t xung quanh ta đ u bi n đ i theo th i gian Chúng ta có th nh n th y u qua s chuy n đ ng c h c c a v t th : ô tô, máy bay; s thay đ i c a đ i l ng v t lý: nhi t đ , t c đ , gia t c; s bi n đ ng kinh t m t xã h i: Giá c phi u, lãi su t ti t ki m, T t c lo i hình đ c gán m t tên chung đ i l ng hay hàm s , ph thu c vào đ i s đó, ch ng h n th i gian Xem xét hàm s t c quan tâm đ n giá tr , tính ch t bi n thiên c a Vi c đ t nh m t nhu c u khách quan c a ng i xã h i ng này, c n n m đ Trong ch Mơ t đ nh tính đ nh l ch t gi i h n liên t c c a c n i dung sau: ng hàm s s c p c b n Nh n bi t hàm s s c p, tính Khái ni m gi i h n c a hàm s trình khác nhau, tính ch t v gi i h n thành th o ph ng pháp kh d ng b t đ nh d a phép thay th VCB, VCL t ng đ ng, đ c bi t gi i h n đáng nh : x x sin x x ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ = lim = , lim ⎜1 + ⎟ = lim ⎜1 + ⎟ = e x → +∞ x → −∞ x →0 x → sin x x⎠ x⎠ x ⎝ ⎝ lim Khái ni m liên t c, gián đo n c a m t hàm s Các tính ch t hàm s liên t c m t đo n kín Các hàm s th ng dùng phân tích kinh t N I DUNG 1.1 CÁC KHÁI NI M C B N V HÀM S 1.1.1 Các đ nh ngh a c b n A nh ngh a hàm s Cho X t p không r ng c a M t ánh x f t X vào g i m t hàm s m t bi n s f :X → x f ( x) X g i t p xác đ nh c a f , f ( X ) g i t p giá tr c a f ôi ký hi u y = f ( x ), x ∈ X , x g i đ i s ( bi n đ c l p), y g i hàm s (bi n ph thu c) B Hàm s ch n, hàm s l Cho X đ i x ng v i t c ∀x ∈ X ,− x ∈ X Hàm s f (x) ch n ch f ( x) = f ( − x) Hàm s f (x) l ch f ( x) = − f ( − x) C Hàm s tu n hoàn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch f (x) g i tu n hoàn X n u t n t i τ ∈ Hàm s d ng 1: Hàm s m t bi n s * + ,( * + đ c kí hi u t p s ng) cho ∀x ∈ X x+ τ ∈ X f (x+ τ )= f (x) ng bé nh t s τ g i chu kì c a hàm s tu n hoàn f(x) S Td D Hàm s đ n u Cho f (x) v i x ∈ X Nói r ng f (x) t ng n u ∀x1 , x ∈ X , x1 ≤ x ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x ) f (x) t ng ng t n u ∀x1 , x ∈ X , x1 < x ⇒ f ( x1 ) < f ( x ) Nói r ng f (x) gi m n u ∀x1 , x ∈ X , x1 ≤ x ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x ) f (x) gi m ng t n u ∀x1 , x ∈ X , x1 < x ⇒ f ( x1 ) > f ( x ) Nói r ng f (x) đ n u n u t ng ho c gi m Nói r ng f (x) đ n u ng t n u t ng ng t ho c gi m ng t E Hàm s b ch n Hàm s f (x) b ch n X n u t n t i s A cho : ∀x ∈ X , f ( x ) ≤ A Hàm s f (x) b ch n d i X n u t n t i s B cho: Hàm s f (x) b ch n X n u t n t i s A,B cho: ∀x ∈ X , B ≤ f ( x) ∀x ∈ X , B ≤ f ( x ) ≤ A F Hàm s h p Cho f : X → g: Y → v i f ( X ) ⊂ Y g i ánh x g0 f : X → x g ( f ( x)) Hay y = g( f (x)) hàm s h p c a hai hàm f g G Hàm s ng c Cho song ánh Ánh x ng f : X → Y, c f −1 : Y → X g i hàm s ng y Thông th X ,Y ⊂ cc a f x = f −1 ( y ) ng đ i s kí hi u x, hàm s kí hi u y, v y hàm ng c c a y = f (x ) −1 hàm s y = f ( x ) Vì th m t ph ng to đ Oxy, đ th c a hai hàm s đ i x ng qua đ f f −1 ng phân giác c a góc ph n t th I III 1.1.2 Các hàm s s c p c b n A Hàm lu th a Cho α ∈ Hàm lu th a v i s m α ,đ đ nh nh sau ∀x ∈ * + c kí hi u Pα , ánh x t * + vào , Pα ( x) = xα CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt , xác Ch ng 1: Hàm s m t bi n s N u α > , coi r ng Pα (0) = N u α = , coi r ng P0 (0) = th c a Pα ( x ) cho b i h.1.1 y α >1 α =1 0, Δ (−2,2) = −4e −8 < 0, z //yy (−4,2) = −2e < 0, V y z max = z (−4,2) = 4e −4 b Δ (1,1) = −27 < 0, c Δ ( x, y ) = − 36 xy , i m d ng: (0,0), (1,1), Δ (0,0) = > 0, // z xx (1,1) = > 0, v y z = z (1,1) = −1 Có m d ng: (0,0), (0,2b ), ( 2a,0), ( 2a,2b), ( a, b ), Δ( x, y ) = 16(a − x )(b − y ) − xy(2a − x)(2b − y ), Δ(0,0) = Δ(0,2b) = Δ(2a,0) = Δ(2a,2b) > 0, Δ(a, b) = −4a b < // z xx (a, b) = −2b < 0, V y z max = z (a, b) = a b d i m d ng: (1,2), Δ( x, y ) = − 4(1 + x )(1 + y2 ), Δ (1,2) = −26 < // z xx (1,2) = > 0, v y z = z (1,2) = − 10 ln e T n t i m d ng: (± ,± ), Δ ( x, y ) = −36 xy , 193 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ng d n đáp án H Δ( Δ(− // z xx ( ) = 12 > 0, Δ(− 1 ,− V y z max = z (− f ,− , 3 ,− ) = −12 < 0, Δ ( , 3 ) = 12 > 0, , ) = −12 < 0, // z xx (− ,− ) < 0, ) > 0, )= z = z ( , )=− T n t i m d ng: (0,0), ( − , ), ( ,− ), Δ( x, y ) = 16 − 16(3x − 1)(3 y − 1), Δ ( − , ) = Δ ( ,− ) = −384 < 0, // // z xx (− , ) = z xx ( ,− ) = 20 > 0, z = z ( − , ) = z ( ,− ) = −8 Ngoài z (0,0) = 0, z ( x, x) = x > 0, ∀x ≠ 0, z ( x,0) = x − x < 0, x đ bé V y hàm s không đ t c c tr tai (0,0) i m d ng: (5,2) g // z xx (5,2) = h Δ ( x, y ) = − 4000 x3 y3 , Δ (5,2) = −3 < > , z = z (5,2) = 30 i m d ng: (0,0), Δ( x, y ) = x − 12 y (3x − y ), Δ (0,0) = 0, Nh n xét: z (0,0) = 0, z ( x, x) = x , đ i d u x đ i d u, ch ng t hàm s không đ t c c tr 3.22 d=1 3.23 x=± , y=± 5 194 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt H H ng d n đáp án NG D N VÀ ÁP ÁN BÀI T P CH NG IV 4.15 a c 4.16 ax − +C, ln a x aαxb βx +C , α ln a + β ln b a ln x + x10 − + C , a − b x − x + arctgx + C , d 3(b − a) b (1 + ln x)3 + C , { ( x − a) } − ( x − b) + C d tg (1 + ln x) + C c x + x − + C , 4.17 b + 30 x (2 − x) + C , ( 375 − 5x = t ) t 1⎫ 1 ⎧1 20 10 110 ⎨ (1 + x ) − (1 + x ) + ⎬(1 + x ) + C , ( 11⎭ 16 ⎩13 t t = (1 + x )10 ) ⎛1⎞ d⎜ ⎟ ⎜ x⎟ + + x2 dx c − ln + C , (Bi n đ i = ⎝ ⎠ ) x x + x2 1+ x d − arcsin +C x a arcsin x + C , 4.18 b ln ln(ln x) + C , ( t ln(ln x) = t ) c arctg x + + C , ( t t = 3x + ) 3x − x d ln +C 2(ln − ln 2) 3x + x 4.19 a − x + (1 + x)arctg x + C , b x(arcsin x) + − x arcsin x − x + C , { } c xchx − shx + C , d x (ln x − 1) + + C , e − x cot gx + ln sin x + C , f + x arcsin x + − x + C 195 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ng d n đáp án H 4.20 x (cos ln x + sin ln x) + C , b − 1⎛ x ⎞ c − ⎜ + cot gx ⎟ + C , ⎝ sin x ⎠ d − a ln x + x (ln x + ln x + 2) + C x − x2 + x ln +C , e x − 1− x b tgx + C , t t = tgx c x x +C, + 2arctg cos − ln x x − cos cos 2 + cos d 2t − 1 (1 + t ) arctg + +C ln 4 t − t +1 a ln − ln − , 4.22 π 4.23 2x − +C f xarctg x − − (1 + t ) (t + t − 1) 3t arctg + + C , V i t = sin x ln 2 (1 − t ) (t − t + 1) 1− t a 4.21 +C , b 1, c 2− arctg a d , 24 , b e π ab , t t = cos x t t = tgx d π π π2 2, c arctg ( 2 t t = x− , ), x f π π 4.24 a e −1 , b 2(1 − e −1 ) , 5π ⎞ ⎛ 2π c 2⎜ − ln tg ⎟, 12 ⎠ ⎝ 4.25 , a b − , ln d c 4a , π (9 − ) 36 + ln 2 d 3πa 196 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ng d n đáp án H ⎛π a ⎞ a ln tg ⎜ + ⎟ , ⎝ 2⎠ 4.26 a 4.27 3π ab , a ln 4.29 a Phân kì, H b 2π , + + a4 , a2 4.28 b π b −1 , b H i t , 4( a − b ) , ab c 2π a c 2π a 2b , c π , d 128 π d f H i t NG D N VÀ ÁP ÁN BÀI T P CH NG V 5.11 [ ] a y = x − ln( x + 1) + C b y = e x ( x − x + 2) + C c ⎛x π⎞ ln y = ln tg ⎜ + ⎟ + C ⎝2 4⎠ )( ( ) d − − x − − y = Cxy e sin x + ln tg f x + cot g y =C x− y =C 5.12 a x + y + ln x − ln y = b y = 3arctge x − 3π c M i nghi m đ u th a mãn d y = 2( x − 1) + x − x + 2x 5.13 197 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt H ng d n đáp án a + 2Cy − C x = b y = ± x + C x c xy cos y =C x d y + xy − x = C 5.14 a y = Cx + (1 + C ) x ⎛ x2 ⎞ ⎟ b y = e − x ⎜⎜ C + ⎟⎠ ⎝ c y = (1 + x )( x + C ) d y − x = Cy (gi i x theo y) 5.15 ⎛ x2 1⎞ + x + ⎟⎟ a y = ( x + 1) ⎜⎜ 2⎠ ⎝ b y = ( ln x + x + ) x2 +1 5.17 a y ( x + + Ce x ) = 1 − y2 b = Ce − y + (gi i x theo y) x 1 c y ( ln x + + Cx ) = d x = (gi i x theo y) y (ln y + C ) 5.18 a ln y xy − =C x x− y b ln x + y − x =C x+ y 198 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ng d n đáp án H c sin y x − cos + x − = C x y y d x (1 + ln y ) − y = C 5.19 x a α = e , x y e x = C ⎛ y2 b α = e x , ye x ⎜⎜ x + ⎝ ⎞ ⎟⎟ = C ⎠ c α = 2x + x2 = C , y y d α = 1 =C , ln x + xy x y 2 5.20 a y = C1 x + C ln x ⎡ (2 x + 1) ⎤ − x⎥ b y = C1 e − x + C ⎢ ⎣ ⎦ ⎡ 3x( x − 1) x +1⎤ ln c y = C1 ( x − x) + C ⎢1 − x + ⎥ x −1 ⎦ ⎣ d y = C1 x + C ( x − 1) + 5.21 a y = C1 x + C x + x b y = C1 e x + C x − ( x + 1) dx ⎞ ⎛ c y = ln x⎜ C1 + C ∫ + e x ⎟ ln x ⎠ ⎝ 5.22 a y = [ ] [ ex e−x x − ln(e x + 1) + C1 − x − ln(e x + 1) + C 2 ] ⎡ ⎤ b y = e − x ⎢C1 + C x + ( x + 1) ⎥ ⎣ ⎦ 199 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt H ng d n đáp án ⎛x π⎞ c y = C1 cos x + C sin x − cos x ln tg ⎜ + ⎟ ⎝2 4⎠ d y = C1 cos x + C sin x − cos x 5.23 a y = C1 e x + C e x + sin x + cos x 74 b y = C1 + C e x + x ( ) e−x c y = e C1 cos x + C sin x + (5 cos x − sin x) 41 x d y = (C1 + C x )e − x + x e − x ⎞ ⎛1 e y = C1 e x + C e x − ⎜ x + x + x ⎟e x ⎠ ⎝3 x2 x cos x x sin x 13 cos x f y = C1 cos x + C sin x + −1− + + 27 5.24 a y = cos x + 2(e x − 1) sin x b y = (cos x − cos 3x ) + 3x sin x 32 200 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tài li u tham kh o TÀI LI U THAM KH O G M FICHTENGƠN, Giáo trình phép tính vi tích phân, T p 1,2,3 Nauka, Moskva,1969 (ti ng Nga) G M FICHTENGƠN, C s gi i tích tốn h c, T p 1,2,3 NXB h c chuyên nghi p, Hà n i, 1977 K MAURIN, Analiza, i h c Trung Czes , c , PWN, Warszawa, 1976 R A ADAMS, Calculus-a complete, Addison,Wesley, New York,Don Mills, 1991 NGUY N ÌNH TRÍ (ch biên), Tốn h c cao c p ,T p 1,2,3 NXB Giáo d c chuyên nghi p, Hà n i, 1990 i h c JEAN-MARIE MONIER, Giáo trình tốn, T p 1,2,3,4 NXB Giáo d c, Hà n i, 1999 (d ch t ti ng Pháp, DUNOD, Paris,1999) 7.LÊ ÌNH THUÝ (ch biên), Toán cao c p cho nhà knh t , Ph n NXB Th ng kê, Hà n i,2004 201 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt M CL C L I NÓI U CH NG HÀM S VÀ GI I H N 1.1.Các khái ni m c b n v hàm s 1,1.1 Các đ nh ngh a c b n 1.1.2 Các hàm s s c p c b n 1.1.3 Hàm s s c p 13 1.1.4 Các hàm s phân tích kinh t .13 1.2 Gi i h n c a hàm s .15 1.2.1 Khái ni m v gi i h n .15 1.2.2 Tính ch t c a hàm có gi i h n 16 1.2.3 Các gi i h n đáng nh 20 1.3 i l ng vô bé(VCB) đ i l ng vô l n(VCL) 22 1.3.1 i l ng VCB 22 1.3.2 i l ng VCL 23 1.4 S liên t c c a hàm s 24 1.4.1 Các khái ni m c b n 24 1.4.2 Các phép toán đ i s c a hàm liên t c 26 1.4.3 Tính ch t c a hàm s liên t c m t đo n 27 TÓM T T N I DUNG CH NG I 27 CÂU H I VÀ BÀI T P CH NG I 32 CH NG 1I O HÀM VÀ VI PHÂN ……………………… .36 2.1 o hàm .36 2.1.1 o hàm t i m t m 36 2.1.2 Các phép tính đ i s c a hàm kh vi t i m t m 41 2.1.3 o hàm m t kho ng (ánh x đ o hàm) .43 2.1.4 o hàm c a hàm s thông th ng .43 2.2 Vi phân c a hàm s .48 2.2.1 nh ngh a vi phân t i m t m 48 2.2.2 Vi phân m t kho ng 49 2.3 o hàm vi phân c p cao 50 2.3.1 o hàm c p cao 50 2.3.2 Vi phân c p cao 51 2.4 Các đ nh lí v giá tr trung bình 53 2.4.1 nh lí Phéc ma (Fermat) 53 2.4.2 nh lí Rơn (Rolle) 54 2.4.3 nh lí s gia h u h n 55 2.4.3 nh lí s gia h u h n suy r ng .57 2.5 ng d ng đ nh lí v giá tr trung bình 58 2.5.1 Công th c Taylo, công th c Maclôranh 58 2.5.1 Qui t c Lôpitan .61 202 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.6 S bi n thiên c a hàm s 64 2.6.1 Tính đ n u c a hàm s kh vi 64 2.6.2 i u ki n hàm s đ t c c tr 65 2.7 Bài tốn tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t 67 2.7.1 Hàm liên t c đo n kín [ a, b ] 67 2.7.2 Hàm liên t c kho ng m , kho ng vô h n .67 2.8 Hàm l i 68 2.8.1 Khái ni m v hàm l i,hàm lõm m u n 68 2.8.2 i u ki n hàm l i 70 TÓM T T N I DUNG CH NG II 71 CÂU H I VÀ BÀI T P CH NG II 77 CH NG 1II HÀM S NHI U BI N S 82 3.1.Các khái ni m c b n 82 3.1.1 Không gian n chi u 82 3.1.2 nh ngh a hàm nhi u bi n s 84 3.1.3 Mi n xác đ nh c a hàm nhi u bi n s .84 3.1.4 Ý ngh a hình h c c a hàm hai bi n s .85 3.1.5 Gi i h n c a hàm s nhi u bi n s 87 3.1.6 S liên t c c a hàm s nhi u bi n s .88 3.2 o hàm vi phân .89 3.2.1 o hàm riêng 89 3.2.2 Vi phân toàn ph n 90 3.2.3 o hàm riêng c p cao 92 3.2.4 Vi phân c p cao 93 3.2.5 o hàm c a hàm s h p 94 3.2.6 Vi phân c a hàm h p 95 3.2.7 o hàm c a hàm s n 96 3.2.8 o hàm theo h ng Građiên (Gradient) 98 3.3 C c tr .100 3.3.1 C c tr t 100 3.3.2 C c tr có u ki n .102 TÓM T T N I DUNG CH NG III 104 CÂU H I VÀ BÀI T P CH NG III 106 CH NG IV PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN .109 4.1 Khái ni m v tích phân xác đ nh 109 4.1.1 nh ngh a tích phân xác đ nh .109 4.1.2 i u ki n t n t i tích phân xác đ nh .111 4.1.3 Các tính ch t c a tích phân xác đ nh .111 4.1.4 Công th c Niut n-Lépnit .113 4.2 Hai ph ng pháp c b n tính tích phân xác đ nh 115 203 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4.2.1 Phép đ i bi n 115 4.2.2 Phép tích phân t ng ph n 116 4.3 Ph ng pháp tính tích phân b t đ nh .118 4.3.1 B ng nguyên hàm thông d ng 118 4.3.2 Hai ph ng pháp c b n tính tích phân b t đ nh 119 4.3.3 Cách tính tích phân b t đ nh c a hàm s h u t 121 4.3.4 Tính nguyên hàm phân th c h u t th ng g p 123 4.4 M t s ng d ng c a tích phân xác đ nh 125 4.4.1 Tính di n tích hình ph ng 125 4.4.2 Tính đ dài đ ng cong ph ng .127 4.4.3 Tính th tích v t th 128 4.5 Tích phân suy r ng 130 4.5.1 Tích phân suy r ng v i c n vô h n 130 4.5.2 Tích phân suy r ng v i hàm d i d u tích phân có c c m 136 TÓM T T N I DUNG CH NG IV 139 CÂU H I VÀ BÀI T P CH NG IV 148 CH NG V PH NG TRÌNH VI PHÂN 152 5.1 Ph ng trình vi phân c p 153 5.1.1 Các khái ni m c b n 154 5.1.2 Các PTVP c p m t th ng g p 154 5.2 T ng quan v s ph c 163 5.2.1 nh ngh a d ng s ph c 163 5.2.2 Các phép toán t p s ph c 164 5.3 Ph ng trình vi phân n tính c p hai 167 5.3.1 Tính ch t nghi m c a PTVP n tính thu n nh t 168 5.3.2 Tính ch t nghi m c a PTVP n tính không thu n nh t 172 5.4 Ph ng trình vi phân n tính c p có h s khơng đ i 174 5.4.1 Các d ng nghi m c a ph ng trình thu n nh t 174 5.4.2 Ph ng pháp tìm nghi m riêng c a ph ng trình khơng thu n nh t 175 TĨM T T N I DUNG CH NG V 181 CÂU H I VÀ BÀI T P CH NG V 184 H NG D N VÀ ÁP ÁN 188 TAI LI U THAM KH O 201 M C L C 202 204 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... cho hình 1. 7 11 CuuDuongThanCong. com https://fb .com/ tailieudientucntt π x Ch ng 1: Hàm s m t bi n s y tg π arctg π x H .1. 6 y π π arccotg π π x H .1. 7 12 CuuDuongThanCong. com https://fb .com/ tailieudientucntt... −x−2 ) 20 − 12 x + 16 ) 10 , x + x + + x n − n , x ? ?1 x ? ?1 b lim 33 CuuDuongThanCong. com https://fb .com/ tailieudientucntt Ch ng 1: Hàm s m t bi n s x100 − x + , x ? ?1 x 50 − x + c lim 1. 22 x→a x+... ∀x ∈ [− 1, 1] y''= y = arc cot gx ∀x ∈ ∀x ∈ 1 y''= − ∀x ∈ (? ?1, 1) − x2 1 + x2 1 + x2 * + ∀x ∈ (? ?1, 1) − x2 y'' = − ∀x ∈ ∀x ∈ x ln a y'' = ∀x ∈ [− 1, 1] y = arccos x y = arctgx }, ∀x ∈ ∀x ∈ Ví d 1: Hãy