PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI §2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (TIẾP THEO) Các tính chất tích phân xác định b ∫ ∫ g ( x ) dx a a b a) Tuyến tính ∃ f ( x ) dx , ∃ b ⇒ b b ∫ [α f ( x ) + β g ( x ) ] dx = α ∫ f ( x ) dx + β ∫ g ( x ) dx , a a α, β ∈ » a b) Cộng tính f(x) khả tích khoảng có độ dài lớn từ [a ; b], [a ; c], [c ; b] b c b a a c ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ⇒ f(x) khả tích khoảng cịn lại có c) Bảo tồn thứ tự b +) f(x) khả tích khơng âm [a ; b] ⇒ ∫ f ( x ) dx ≥ a b +) f(x), g(x) khả tích [a ; b] f(x) ≤ g(x) ⇒ ∫ b f ( x ) dx ≤ a +) f(x) khả tích [a ; b] ⇒ b b a a ∫ g ( x ) dx a ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx b +) Nếu m ≤ f(x) ≤ M [a ; b] ⇒ m(b − a) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M(b − a) a d) Các định lí trung bình - Định lí trung bình thứ f(x) khả tích [a ; b], m ≤ f(x) ≤ M ⇒ ∃µ ∈ [m ; M] b để có ∫ f ( x ) dx = µ(b − a) a b Nếu thêm f(x) liên tục [a ; b] ∃ c ∈ [a ; b]: ∫ f ( x ) g ( x )dx = f (c )(b − a) a - Định lí trung bình thứ hai f(x), g(x) khả tích [a ; b], m ≤ f(x) ≤ M có g(x) khơng đổi dấu [a ; b] ⇒ ∃ µ ∈ [m ; M]: b b a a ∫ f ( x ) g ( x ) dx = µ ∫ g ( x ) dx Nếu thêm f(x) liên tục [a ; b] ∃ c ∈ [a ; b]: 35 b b a a ∫ f ( x ) g ( x ) dx = f ( c ) ∫ g ( x ) dx PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn e) Tính chất 1°/ Tích phân hàm chẵn, lẻ a a f ( x ) dx, nÕu f ( x ) hàm chẵn f ( x ) dx = −a nÕu f ( x ) hàm lẻ 0, (n 1) !! π π /2 π /2 n !! , n ch½n n n 2°/ sin xdx = cos xdx = (Warllis) ( n − 1) !! 0 n lỴ , n !! III Công thức đạo hàm theo cận , công thức Newton – Leibnitz ∫ ∫ ∫ ∫ x Định lí f(x) khả tích [a ; b] ⇒ I ( x ) = ∫ f ( t ) dt liên tục [a ; b] a Nếu thêm f(t) liên tục t = x ∈ [a ; b] ⇒ I’(x) = f(x) Ví dụ d a) dx x ∫e −t d b) dx dt 1 ∫ d c) dx + t dt x x2 ∫ ∫ (0) x3 x2 ∫ tan t dt ∫ ln (1 − 2t ) dt x x →0 ∫ sin t dt π /2 ( π − 2t ) cos t dt e ) lim tan x x →0 x x d ) lim cot x t sin t dt ( ) x →0 f ) lim x3 sin3 x x → x ln(1 + (−1) g ) lim ( ) x4 ) a h ) Tìm a để tích phân đạt giá trị nhỏ ∫ e x arctan (1 + x ) dx (a = −1) a i ) Tìm a để tích phân đạt giá trị nhỏ ∫ e− x arctan (1 − x ) dx (a = 1) x x ∫t k) lim sin2 ∫ t sin3 3t dt 2t dt x →0 x x x →0 (2) l) lim ∫ ln (1 + 2t ) dt (0) ∫ ln (1 − 3t ) dt 0 Công thức Newton – Leibnitz: f(x) liên tục [a ; b] có nguyên hàm F(x) b ⇒ ∫ f ( x ) dx = F(b) − F(a) a Ví dụ 1 π 2π + sin + sin n →∞ n n n 36 d) lim + sin ( n − 1) π n PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn π /2 ∫ a) e) lim x cos x dx ; ∫ + + np ,p>0 n p +1 n k kπ f ) lim sin n →∞ n 2n k =1 ∑ x 3e x dx n c) + 2p n →∞ b) 1p ( kπ k ∑ n2 cos 2n n →∞ g ) lim ∫ − x dx π2 ( k =1 ) 2π − π2 ) Ví dụ Cửa thẳng đứng đập có dạng hình vuông với cạnh 4ft ngập nước cách mặt nước 2ft Hãy tính áp lực nước tác động lên cửa đập Ví dụ Một thùng hình trụ có bán kính r, chiều cao h, chứa nước có chiều cao D Tính cơng sản bơm nước qua đáy thùng Ví dụ Trong buồng đốt xi lanh hình trụ chứa lượng khí định với áp suất ban đầu p = 101325N/m2 thể tích ban đầu V1 = 0,4m3 Tính cơng sản pittơng chuyển động đến vị trí cho buồng đốt tích V2 = 0,8m3 (coi nhiệt độ khơng khí khơng thay đổi) IV Các phương pháp tính b a) Đổi biến số Xét ∫ f ( x ) dx , f(x) liên tục [a ; b] a Định lí Xét x = ϕ(t) thoả mãn: +) ϕ′ (t) liên tục [α ; β] +) ϕ(α) = a, ϕ(β) = b +) Khi t biến thiên [α ; β] ϕ(t) biến thiên [a ; b] Khi ta có b β a α ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) dt Định lí Xét t = ϕ(x) thoả mãn: +) ϕ(x) biến thiên đơn điệu [a ; b] có đạo hàm liên tục +) f(x)dx trở thành g(t)dt, g(t) liên tục [ϕ(a) ; ϕ(b)] Khi ta có b ϕ(b) a ϕ a ∫ f ( x ) dx = (∫ ) g ( t ) dt Ví dụ 1 a) ∫ b) ∫ ln c) ∫ π ex e x + e− x h) dx x2 − dx x ex ex −1 dx −e x + ∫ x sin x dx + cos2 x π /2 i) ∫ −π / 2/3 k) ∫ 1/ 37 ( π2 ) sin x ( sin x + cos x ) dx (1) + sin x dx x ( x + 1) ( + ln ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo 29 ( x − )2 / dx ( x − )2 / + ∫ d) thaonx-fami@mail.hut.edu.vn −1 ( − x )n dx, n ∈ » ∫ e) 2 e x arctan x dx + x + sin x ∫ f) −π π /2 ∫ g) ∫ m) π ( x + 2)dx ∫ l) ( x − 2)dx x2 − x + 10 xdx ( xdx ∫ ( x + x + )2 o) (0) ( − ln ) ∫ ( x − x + )2 n) + cos3 x ln dx + sin3 x ( + ln ) x + x + 10 π (− −1 ) + π ) b) Tích phân phần b Cho hàm u, v khả vi liên tục [a ; b], ta có ∫ u dv b = uv b a − a ∫ v du a Ví dụ a) ∫ b) x arctan x dx −1 ∫ g) ∫ 1 i) e) e2 x sin x dx x −1 arcsin dx x ∫ ( π 2 x ( − arctan x ) dx ∫ ∫ π2 − arccos x arcsin x 1+ x2 ( π 2x − dx 2x 12 x dx x +1 ∫ m) arcsin2 x dx (1) o) ∫ arcsin x −1 dx x ( ( + ( − 1) ) π2 π 2 x dx (π) q) ∫π ( − x ) sin2 x dx − 38 − 2) − 1) π ) sin2 dx + cos x − 2π + ln ) ∫π ( x + ∫ h) (π − ) ( arccos x ) dx arccos − 1) ∫ −1 π p) f) ∫ x 3e2 x dx x sin x dx cos2 x π2 π (1 + − + ln ) x ( + arctan x ) dx n) (1 + −1 l) ∫ ∫ c) −1 k) ∫ ln x dx 1/ e π d) π /3 e (2π) PGS TS Nguyễn Xn Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn §3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG Đặt vấn đề I Tích phân suy rộng với cận vô tận Định nghĩa ∞ A a a f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx = Alim →+∞ ∫ Ta nói tích phân suy rộng hội tụ vế phải tồn (hữu hạn) phân kì trường hợp ngược lại a Tương tự ta định nghĩa a f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx = Blim →−∞ ∫ −∞ Ta định nghĩa B ∞ a ∞ −∞ −∞ a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx Tích phân hội tụ ⇔ hai tích phân vế phải hội tụ Ví dụ Tính ∞ a) ∫ ∞ d) ∫ ∞ g) ∫ 0 b) dx , α ∈» xα e) 2x + dx e2 x ∫ i) ∞ dx + x2 x 22 x −1dx ∫ dx x ( + x2 ) ∫ c) (1) ( ( h) f) x 3e − x dx k) ∫ e− ln ) m) ∫ −∞ ∞ ∫ arctan x dx x2 x −1dx x 32 x +1dx (2) ( −3 ) ln2 dx ln ( ) x (1 + x ) Các dấu hiệu hội tụ a) Khi f(x) ≥ khả tích [a ; A], ∀ A > a Định lí ∞ A a a ∫ f ( x ) dx hội tụ ⇔ ∫ f ( x ) dx ≤ L, ∀ A Định lí f, g khả tích [a ; A], ∀ A > a; ≤ f(x) ≤ g(x), ∀ x ≥ a Nếu Nếu ∞ ∞ a ∞ a ∫ g ( x ) dx hội tụ ⇒ ∫ f ( x ) dx hội tụ ∞ ∫ f ( x ) dx phân kì ⇒ ∫ g ( x ) dx phân kì a a Have a good understanding! 39 dx ∫ ( + x )2 −∞ −1 ) ln2 ∫ ∞ ∞ −∞ ∞ l) ∫ −∞ ∞ ∞ dx + 4x ... arccos − 1) ∫ ? ?1 π p) f) ∫ x 3e2 x dx x sin x dx cos2 x π2 π (1 + − + ln ) x ( + arctan x ) dx n) (1 + ? ?1 l) ∫ ∫ c) ? ?1 k) ∫ ln x dx 1/ e π d) π /3 e (2π) PGS TS Nguyễn Xn Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn... π2 − arccos x arcsin x 1+ x2 ( π 2x − dx 2x 12 x dx x +1 ∫ m) arcsin2 x dx (1) o) ∫ arcsin x ? ?1 dx x ( ( + ( − 1) ) π2 π 2 x dx (π) q) ∫π ( − x ) sin2 x dx − 38 − 2) − 1) π ) sin2 dx + cos x... x → x ln (1 + (? ?1) g ) lim ( ) x4 ) a h ) Tìm a để tích phân đạt giá trị nhỏ ∫ e x arctan (1 + x ) dx (a = ? ?1) a i ) Tìm a để tích phân đạt giá trị nhỏ ∫ e− x arctan (1 − x ) dx (a = 1) x x ∫t