Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TẬP TOÁN 10 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Định lí côsin Cho tam giác ABC có , , BC a CA b AB c Khi đó [.]
BÀI TẬP TOÁN 10 Điện thoại: 0946798489 BÀI ĐỊNH LÍ CƠSIN ĐỊNH LÍ SIN • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định lí cơsin Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c Khi đó: a b c bc cos A b c a ac cos B c a b ab cos C Ta suy hệ sau Hệ b2 c2 a2 c2 a b2 a2 b2 c2 , cos B , cos C cos A 2bc 2ca 2ab Định lí sin Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c bán kính đường trịn ngoại tiếp R Khi đó: a b c R sin A sin B sin C Từ định lí sin, ta có hệ sau đây: Hệ a 2R sin A; b 2R sin B; c 2R sin C a b c sin A ; sin B ; sin C 2R 2R 2R Các cơng thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC Ta kí hiệu: 1) - hb , hc độ dài đường cao ứng với cạnh BC , CA, AB 2) - R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác - r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác 3) - p nửa chu vi tam giác - S diện tích tam giác 4) Ta có cơng thức tính diện tích tam giác bên: 5) 1 aha bhb chc 2 1 S ab sin C bc sin A ac sin B 2 abc S ; 4R S pr ; S S p( p a)( p b)( p c) (công thức Heron) B CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Dạng Tính tốn yếu tố tam giác Phương pháp Tùy theo giả thiết tốn, để tìm yếu tố tam giác ta có thể: 1) Áp dụng trực tiếp định lí cơsin, định lí sin, cơng thức diện tích… để tính 2) Chọn hệ thức thích hợp cho phép tìm số yếu tố trung gian cần thiết, từ ta tìm yếu tố cần tìm BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP Câu Cho tam giác ABC có A 120 AB , AC Tinh độ dài cạnh BC Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Áp dụng Định lí cơsin cho tam giác ABC , ta có: BC AB AC AB AC cos120 1 52 82 129 Vậy BC 129 2 15 b 12 A 135 , C Câu Cho tam giác ABC có Tính a, c, R số đo góc B Lời giải 180 ( A C ) 180 135 15 30 Ta có: B a 12 c 2R sin135 sin 30 sin15 12 12 12 Suy a sin135 12 2; c sin15 24 sin15 ( 6, 21); R 12 sin 30 sin 30 2sin 30 Áp dụng Định lí sin, ta có: A 150 Câu Tính diện tích S tam giác ABC có c 4, b 6, Lời giải 1 Ta có: S bc sin A sin150 2 Câu Cho tam giác ABC có a 13, b 14, c 15 a) Tinh sin A b) Tính diện tích S hai cách khác Lời giải a) Áp dụng Định lí cơsin, ta có: b c a 14 152 132 cos A 0, 2bc 420 Do sin A cos A 0,8 b) Ta có S bc sin A 84 Áp dụng Công thức Heron, ta tính S theo cách thứ hai sau: a b c 13 14 15 Tam giác ABC có nửa chu vi là: p 21 2 Khi S ABC p( p a)( p b)( p c) 21 (21 13) (21 14) (21 15) 21 84 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Câu Cho tam giác ABC có a 6, b 5, c Tính cos A, S , r Lời giải 2 b c a 52 82 62 53 Từ định lí cosin ta suy cos A 2bc 2.5.8 80 a bc 658 Tam giác ABC có nửa chu vi là: p 9,5 2 Theo công thức Herong ta có: S p( p a)( p b)( p c) 9,5 (9,5 6) (9,5 5) (9,5 8) 14,98 S 14,98 Lại có: S pr r 1,577 p 9, 53 Vậy cos A ; S 14,98 r 1, 577 80 ˆ ˆ Câu Cho tam giác ABC có a 10, A 45 , B 70 Tính R , b, c Lời giải Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: a b c a a sin B 2R R ; b sin A sin B sin C 2sin A sin A ˆ ˆ Mà a 10, A 45 , B 70 10 a sin 70 2; b 13, 29 2sin 45 sin 45 Mặt khác: Aˆ 45 , Bˆ 70 Cˆ 65 R a sin C 10 sin 65 12,82 sin A sin 45 Vậy R 2; b 13, 29; c 12,82 Câu Cho tam giác ABC có Cˆ 115, AC BC 12 Tính độ dài cạnh AB góc A, B tam giác Lời giải Theo định lí cơsin, ta có: Từ định lí sin ta suy ra: c AB BC AC BC AC cos C 122 82 12 cos115 289,14 Vaäy AB 289,14 17 AB AC BC 17 82 122 0, 7684 AB AC 17.8 Suy Aˆ 3947 ', Bˆ 180 ( Aˆ Cˆ ) 2513' Câu Cho tam giác ABC có Aˆ 72, Bˆ 83, BC 18 Tính độ dài cạnh AC, AB bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác Lời giải Đặt a BC , b AC , c AB Ta có: a 18, Cˆ 180 72 83 25 Theo hệ định lí cơsin, ta có cos A Áp dụng định li sin , ta có a b c 2R sin A sin B sin C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Suy ra: a sin B 18 sin 83 18,8 sin A sin 72 a sin C 18 sin 25 AB c 8 sin A sin 72 a 18 R 9,5 sin A sin 72 ˆ Câu Cho tam giác ABC có a 3, b C 30 AC b a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải a) Áp dụng công thức S ab sin C , ta có: 1 S sin 30 1, 2 b) Áp dụng định lí cơsin, ta có: c a b 2ab cos C 12 Suy c c 2 2 sin C sin 30 Câu 10 Cho tam giác ABC có cạnh a 30, b 26, c 28 a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Lời giải a) Ta có p (30 26 28) 42 Áp dụng công thức Heron, ta có: S p( p a)( p b)( p c) 42(42 30)(42 26)(42 28) 336 abc abc 30 26 28 16, 25 b) Ta có S , suy R 4R 4S 4.336 S 336 Ta lại có S pr , suy r 8 p 42 Câu 11 Tính độ dài cạnh x tam giác sau Áp dụng định lí sin, ta có: R Lời giải a) Áp dụng định lí cosin, ta có Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 2 BÀI TẬP TOÁN 10 o x 6,5 2.6,5 cos 72 47,16 x 6,87 b) Áp dụng định lí cosin, ta có: 2 1 1 1 x cos123o 0,224 x 0, 473 5 3 Câu 12 Tính độ dài cạnh c tam giác ABC hình Lời giải Áp dụng định lí sin, ta có: c 12 12 sin105 c 3,37 sin105 sin 35 sin 35 Câu 13 Cho tam giác ABC , biết cạnh a 152, Bˆ 79 , Cˆ 61 Tính góc, cạnh cịn lại bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Lời giải Đặt AB c, AC b, BC a Ta có: a 152; Aˆ 180 79 61 40 Áp dụng định lí sin, ta có: a b c 2R sin A sin B sin C Suy ra: a sin B 152 sin 79 AC b 232,13 sin A sin 40 a sin C 152 sin 61 AB c 206,82 sin A sin 40 a 152 R 236, 47 sin A sin 40 ˆ Câu 14 Cho tam giác ABC có AB 6, AC A 60 a) Tính diện tích tam giác ABC b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính diện tích tam giác IBC Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Đặt a BC , b AC , c AB a) Áp dụng công thức S bc sin A , ta có: 1 S ABC 8.6 sin 60 12 2 b) Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta được: BC a 82 2.8.6 cos 60 52 BC 13 Xét tam giác IBC ta có: 2.BAC 120 (góc tâm góc nội tiếp chắn cung) Góc BIC a 13 39 39 39 52 SIBC sin120 sin A 3 3 Câu 15 Cho tam giác ABC có trọng tâm G độ dài ba cạnh AB, BC , CA 15,18, 27 a) Tính diện tích bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC b) Tính diện tích tam giác GBC Lời giải a) Đặt a BC , b AC , c AB Ta có: p (15 18 27) 30 Áp dụng công thức heron, ta có: S ABC 30(30 15)(30 18)(30 27) 90 IB IC R S 90 3 p 30 b) Gọi, H , K chân đường cao hạ từ A G xuống BC , M trung điểm BC G trọng tâm tam giác ABC nên GM AM Và r Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 1 GK AH SGBC SABC 90 30 3 Xét tam giác IBC ta có: 2.BAC 120 (góc tâm góc nội tiếp chắn cung) Góc BIC a 13 39 39 39 52 SIBC sin120 sin A 3 3 Câu 16 Cho tam giác ABC có Cˆ 120 , AC cm BC 10 cm Tính độ dài cạnh AB góc A, B tam giác Lời giải Theo định lí cơsin, ta có: AB AC BC AC BC cos C IB IC R 102 2.6.10.cos120 196 AB 196 14 cm AB AC BC 14 102 11 AB AC 2.14 14 Suy Aˆ 3812 48 ; Bˆ 180 ( Aˆ Cˆ ) 21 4712 Câu 17 Cho tam giác ABC có cạnh a 8, b 15, c 20 Tính góc A tam giác ABC Lời giải b c a 152 202 82 Theo hệ định lí cơsin, ta có: cos A 0, 935 Suy 2.b.c 15.20 Aˆ 20 4619 Câu 18 Cho tam giác ABC có Aˆ 69 , Bˆ 80 , BC 25 cm Tính độ dài cạnh AC , AB bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác Lời giải Theo hệ định lí cơsin, ta có: cos A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Đặt a BC ; b AC ; c AB Ta có: a 25 cm; Cˆ 180 80 69 31 a b c 2R sin A sin B sin C a sin B 25 sin 80 Suy ra: AC b 26, 37( cm) ; sin A sin 69 a sin C 25 sin 31 AB c 13, 79( cm) sin A sin 69 a 25 R 13,39( cm) sin A sin 69 Câu 19 Tính diện tích tam giác ABC Hình Áp dụng định lí sin, ta có: Lời giải 1 ab sin C 12 sin115 43,5 cm 2 Câu 20 Cho tam giác ABC có cạnh a cm, b cm Cˆ 30 a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c) Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Lời giải 1 1 a) Diện tích tam giác ABC : S ab sin C sin 30 cm 2 2 Diện tích tam giác ABC : S b) Áp dụng định lí cơsin, ta có: c a2 b2 a b cos C 12 Suy c cm Áp dụng đinh lí sin, ta có: R c 2 2( cm ) sin C sin 30 2 c) Ta có công thức S p r S 2S 0, 46( cm) p abc 22 Câu 21 Cho tam giác ABC có cạnh a 15 cm, b 13 cm, c 14 cm a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC c) Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Lời giải Suy r Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 a) Ta có p (15 13 14) 21( cm) Áp dụng cơng thức Heron, ta có: S p( p a)( p b)( p c) 84 cm abc abc 15.13.14 8,125( cm) , suy R 4R 4S 4.84 c) Ta có cơng thức S p r S 84 Suy r 4( cm) p 21 Câu 22 Cho tam giác ABC , biết cạnh a 75 cm, Bˆ 80 , Cˆ 40 a) Tính góc, cạnh cịn lại tam giác ABC b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải ˆ a) Ta có: a 75 cm; A 180 80 40 60 b) Ta có S a b c 2R sin A sin B sin C a sin B 75 sin 80 Suy ra: b 85, 29( cm) sin A sin 60 a sin C 75 sin 40 c 55, 67( cm) sin A sin 60 a 75 25 3( cm) b) R sin A 2sin 60 Câu 23 Tính góc lớn tam giác ABC , biết cạnh a 8, b 12, c Lời giải Do b cạnh lớn nên góc B góc lớn Ta có: a c2 b2 82 12 11 cos B ; Bˆ 11716 46 2.a c 2.8.6 24 Câu 24 Cho tam giác ABC có a 24 cm, b 26 cm, c 30 cm a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Lời giải a) p (a b c) 40 S p( p a)( p b)( p c) 40.16.14.10 80 14 cm S 80 14 b) r 14( cm) P 40 Câu 25 Cho tam giác MNP có MN 10, MP 20 Mˆ 42 a) Tính diện tích tam giác MNP b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Tính diện tích tam giác ONP Lời giải 1 a) S MN MP sin M 10 20 sin 42 67 2 b) Ta có: NOP NMP 84 Áp dụng định lí sin, ta có: NP MN MP MN MP cos M 102 202 10 20 cos 42 NP 14,24 14,24.R 10,64 ON OP R 10,64 sin M sin 42 1 Vậy SONP ON OP sin 84 (10, 64) sin 84 56,30 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 26 Cho tam giác ABC có AB 3, AC A 120 a) Tính cos A ; b) Tính độ dài cạnh BC Lời giải a) Ta có: cos A cos120 cos 60 b) Áp dụng định lí cơsin tam giác ABC ta có: BC AB AC AB AC cos A Thay số ta có: 1 BC 32 52 49 2 Do BC 49 45 CA 20 Tính: Câu 27 Cho tam giác ABC có A 120 , B a) sin A ; b) Độ dài cạnh BC bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác Lời giải a) Ta có: sin A sin120 sin 60 BC CA b) Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta có: 2R sin A sin B CA sin A 20 sin120 Do BC 10 ; sin B sin 45 CA 20 R 10 2 sin B sin 45 Câu 28 Cho tam giác ABC có AB 3,5; AC 7,5; Aˆ 135 Tính độ dài cạnh BC bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết đến hàng phần mười) Lời giải Áp dụng định lí cosin tam giác ABC ta có: BC AC AB AC AB cos A BC 7, 52 3, 52 2.7,5.3,5 cos135 BC 105,6 BC 10,3 BC Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: 2R sin A BC 10,3 R 7,3 sin A sin135 Câu 29 Cho tam giác ABC có Bˆ 75 , Cˆ 45 BC 50 Tính độ dài cạnh AB Lời giải ˆ ˆ ˆ Ta có: B 75 , C 45 A 180 75 45 60 Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... 61 40 Áp dụng định lí sin, ta có: a b c 2R sin A sin B sin C Suy ra: a sin B 152 sin 79 AC b 232,13 sin A sin 40 a sin C 152 sin 61 AB c 2 06, 82 sin A sin. .. 80 69 31 a b c 2R sin A sin B sin C a sin B 25 sin 80 Suy ra: AC b 26, 37( cm) ; sin A sin 69 a sin C 25 sin 31 AB c 13, 79( cm) sin A sin 69 a 25... a 12 c 2R sin1 35 sin 30 sin1 5 12 12 12 Suy a sin1 35 12 2; c sin1 5 24 sin1 5 ( 6, 21); R 12 sin 30 sin 30 2sin 30 Áp dụng Định lí sin, ta có: A 150 Câu