Đang tải... (xem toàn văn)
Phần 2 của cuốn sách Cơ sở hình học vi phân tiếp tục cung cấp cho bạn đọc những nội dung về: các mặt cong trong không gian ba chiều; mặt tiếp xúc, pháp tuyến và tính định hướng; các ứng dụng của định lý hàm ngược; dạng cơ bản thứ nhất; độ cong của mặt; độ cong Gauss;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Chương Các mặt cong không gian ba chiều Trong chương giới thiệu vài cách khác đề cách toán học khái niệm mặt cong Mặc dù đơn giản coi mặt cong miếng vá, đủ cho hầu hết sách, chưa thể mô tả cách thỏa đáng cho đối tượng mà muốn gọi mặt cong Chẳng hạn, mặt cầu miếng vá, mơ tả dán hai miếng vá cách thích hợp Ý tưởng đằng sau phép dán đơn giản, việc thực cách xác hóa có chút phức tạp Chúng cố gắng làm giảm thiểu phiền hà cách đưa chứng minh cần kiên nhẫn tiết cuối chương này; kết khơng sử dụng chỗ khác sách nên muốn bỏ qua Thật ra, mặt cong (đối lập với miếng vá) sử dụng cách xác vài chỗ sách 4.1 Mặt cong gì? Một mặt cong tập R3 mà lân cận điểm tựa mảnh R2 , chẳng hạn bề mặt địa cầu, gần mặt cầu, người đứng mặt đất quan sát dường mặt phẳng Để hiểu cách xác nhóm từ ’tựa như’ ’lân cận’ trước hết cần có vài chuẩn bị Chúng ta phát biểu cho Rn với n ≥ 1, cần cho n = 1, Trước hết, tập U Rn gọi mở, với điểm a U , tồn số dương ε cho điểm u ∈ Rn cách điểm a khoảng cách ε nằm U : a ∈ U ku − ak < ε ⇒ u ∈ U Ví dụ, tồn Rn tập mở, Dr (a) = {u ∈ Rn | ku − ak < r}, cầu mở tâm a bán kính r > (Nếu n = 1, cầu mở gọi khoảng mở; n = gọi đĩa mở.) Tuy nhiên, ¯ r (a) = {u ∈ Rn | ku − ak ≤ r} D 42 CHƯƠNG MẶT CONG 4.1 MẶT CONG LÀ GÌ? khơng mở, với số ε nhỏ có điểm cách điểm (a1 + r, a2 , , an ) ∈ ¯ r (a) khoảng cách ε mà khơng nằm D ¯ r (a) (chẳng hạn lấy điểm (a1 + r + D ε , a2 , , an )) Tiếp đến, X Y tương ứng tập u ∈ Rm u ∈ Rn , ánh xạ f : X → Y gọi liên tục điểm a ∈ X điểm gần với điểm a có ảnh qua f điểm Y gần với điểm f (a) Chính xác hơn, f liên tục a với ε > 0, tồn δ > cho u ∈ X ku − ak < δ ⇒ kf (u) − f (a)k < ε Và f gọi liên tục liên tục điểm thuộc X Hợp hai ánh xạ liên tục liên tục Dựa vào định nghĩa tập mở, ta có khẳng định tương đương sau: f liên tục khi, với tập mở V Rn , tồn tập mở U Rm cho f ánh xạ U ∩ X vào V ∩Y Nếu f : X → Y liên tục song ánh, ánh xạ ngược f −1 : Y → X liên tục, f gọi đồng phôi X gọi đồng phôi với Y Bây đến khái niệm mặt cong R3 Định nghĩa 4.1 Một tập S R3 gọi mặt cong với điểm P ∈ S, tồn tập mở U R2 tập mở W chứa P R3 cho S ∩ W đồng phôi với U Như mặt cong trang bị đồng phôi σ : U → S ∩ W , mà gọi miếng vá tham số hóa Tập hợp tất miếng vá gọi đồ S Mỗi điểm S nằm ảnh miếng vá đồ S Lí cho thuật ngữ rõ qua ví dụ Ví dụ 4.1 Mỗi mặt phẳng R3 mặt cong với đồ miếng vá Thật vậy, giả sử a điểm mặt phẳng, p q hai véctơ vng góc với nhau, có độ dài đơn vị song song với mặt phẳng cho Khi véctơ song song với mặt phẳng tổ hợp tuyến tính p q, có dạng up + vq với vơ hướng u v Với r điểm mặt phẳng, véctơ r − a song song với mặt phẳng, r − a = up + vq, ∴ r = a + up + vq, với vơ hướng u v Như xét mảnh vá σ(u, v) = a + up + vq, ánh xạ ngược σ −1 (r) = ((r − a).p, (r − a).q) Từ cơng thức thấy σ σ −1 ánh xạ liên tục, σ đồng phơi (Chúng ta không kiểm tra chi tiết điều này.) Trong ví dụ thấy cần phải xét đến mặt cong, mà miếng vá Ví dụ 4.2 Xét mặt cầu đơn vị S = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y + z = 1} 43 4.1 MẶT CONG LÀ GÌ? CHƯƠNG MẶT CONG mặt cong Tham số hiển nhiên thông qua vĩ độ θ kinh độ ϕ: σ(θ, ϕ) = (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, sin θ) hinhve!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Nếu khơng hạn chế (θ, ϕ), σ khơng phải song ánh (và khơng phải đồng phơi) Để phủ hết mặt cầu, rõ ràng chọn sau đủ π π − ≤ θ ≤ , ≤ ϕ ≤ 2π 2 Tuy nhiên, tập hợp điểm (θ, ϕ) thỏa mãn bất đẳng thức tập mở R2 , khơng thể coi miếng vá Tập mở lớn thỏa mãn bất đẳng thức π π U = {(θ, ϕ) | − < θ < , < ϕ < 2π}, 2 ảnh σ : U → R3 khơng phải tồn mặt cầu, mà phần bù nửa đường tròn lớn C bao gồm điểm mặt cầu có tọa độ (x, 0, z) với x ≥ Do đó, σ : U → R3 phủ lên ’mảnh’ mặt cầu Một lần nữa, không kiểm tra chi tiết σ đồng phôi U phần giao mặt cầu với tập mở W = {(x, y, z) ∈ R3 | x < y 6= 0} Vì để chứng tỏ mặt cầu mặt cong, cần phải xây dựng thêm ˜ mảnh vá nhận mảnh vá để phủ nốt phần mặt cầu bị σ bỏ qua Ví dụ, xét σ cách quay σ góc π quanh trục Oz sau góc π/2 quanh trục Ox Cụ thể, ˜ : U → R3 xác định σ ˜ ϕ) = (− cos θ cos ϕ, − sin θ, − cos θ sin ϕ) σ(θ, 44 CHƯƠNG MẶT CONG 4.1 MẶT CONG LÀ GÌ? ˜ phần bù nửa đường tròn (tập mở U giống trường hợp σ) Ảnh σ ˜ lớn C bao gồm điểm mặt cầu có tọa độ (x, y, 0) với x ≤ (xem hình vẽ đây) Rõ ˜ toàn mặt cầu ràng C C˜ khơng giao nhau, hợp thành ảnh σ σ Chú ý hầu hết điểm mặt cầu nằm ảnh hai mảnh vá hinhve!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Một trực giác rõ ràng, nhiên chứng minh khơng phải hiển nhiên, mặt cầu phủ mảnh vá (xem Bài tập 4.5) Ví dụ cuối (tại thời điểm này) tập R3 gần là, không phải, mặt cong Ví dụ 4.3 Xét mặt nón đúp S = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y = z } hinhve!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Để nhận thấy mặt cong, giả sử σ : U → S ∩ W mảnh vá chứa đỉnh (0, 0, 0) mặt nón, giả sử a ∈ U điểm tương ứng với đỉnh Chúng ta giả thiết U cầu mở với tâm a, tập mở U chứa a phải chứa cầu mở Rõ ràng tập mở W phải chứa điểm p phần bên S− với z < S điểm q phần bên S+ với z > S; gọi b c điểm tương ứng thuộc U Rõ ràng tồn đường cong π nằm U qua b c, không qua a Qua ánh xạ σ ảnh đường cong γ = σ ◦ π nằm trọn S, qua p q, không qua đỉnh (Chú ý trường hợp tổng quát, γ không trơn mà liên tục, điều không làm ảnh hưởng đến khẳng định.) Điều xảy (Bạn đọc thành thạo tơpơ tập điểm đưa lập luận chặt chẽ cho khẳng định này.) hinhve!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Nếu bỏ đỉnh nhận mặt cong S− ∪ S+ Nó có đồ bao gồm hai miếng vá σ ± : U → R3 , với U = R2 \ {(0, 0)}, xác định ánh xạ ngược phép chiếu lên mặt phẳng Oxy: √ σ ± (u, v) = (u, v, ± u2 + v ) Như ví dụ mặt cầu, điểm a mặt cong S nói chung nằm ảnh ˜ hai miếng vá mà ˜ : U˜ → S ∩ W nhiều miếng vá Giả sử σ : U → S ∩ W σ −1 −1 ˜ ˜ ˜ ) tập ˜ đồng phôi, nên σ (S ∩ W ∩ W ) σ ˜ (S ∩ W ∩ W a ∈ S ∩ W ∩ W Do σ σ ˜ : V˜ → V gọi ánh xạ chuyển mở V ⊆ U V˜ ⊆ U˜ tương ứng Đồng phơi hợp thành σ ◦ σ ˜ Nếu kí hiệu ánh xạ Φ, ta có từ σ đến σ ˜ u, v˜) = σ(Φ(˜ σ(˜ u, v˜)) với (˜ u, v˜) ∈ V˜ hinhve!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! BÀI TẬP 4.1 Chứng minh đĩa mở mặt phẳng Oxy mặt cong 4.2 Chứng minh mặt trụ tròn xoay S = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y = 1} phủ miếng vá, mặt cong (Gợi ý: Lấy U mặt phẳng bỏ điểm.) 45 4.2 MẶT TRƠN CHƯƠNG MẶT CONG x 4.3 Định nghĩa miếng vá σ± : U → R3 cho mặt cầu có bán kính đơn vị từ việc giải phương trình x2 + y + z = biến x theo y z: √ x σ± (u, v) = (± − u2 − v , u, v), xác định tập mở U = {(u, v) ∈ R2 |u2 + v < 1} Tương tự, giải phương trình theo y y z z định nghĩa tương ứng miếng vá σ± σ± (với U ) Chứng minh với sáu miếng vá mặt cầu có cấu trúc mặt !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4.4 Hyperboloid tầng S = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y − z = 1} (Hình vẽ hyperboloid xem Mệnh đề 4.6.) Chứng minh rằng, với θ, đường thẳng (x − z) cos θ = (1 − y) sin θ, (x + z) sin θ = (1 + y) cos θ nằm S, điểm S nằm đường thẳng Hãy chứng tỏ S phủ miếng vá, mặt (So sánh với trường hợp mặt trụ Bài tập 4.2.) Hãy tìm họ đường thẳng thứ hai S, chứng tỏ hai đường thẳng họ khơng cắt nhau, đường thẳng thuộc họ thứ giao với tất đường thẳng thuộc họ thứ hai ngoại trừ trường hợp Vì người ta gọi S mặt thước kép 4.5 Chứng minh mặt cầu đơn vị phủ miếng vá (Cần kiến thức tôpô tập điểm.) 4.2 Mặt trơn Trong Hình học vi phân dùng tính tốn giải tích để nghiên cứu mặt (và đối tượng hình học khác) Chẳng hạn Với lý đó, cần xét mặt với cấu trúc bổ sung Trước hết, với U tập mở Rm , ánh xạ f : U → Rn gọi trơn n thành phần f , hàm U → R, có đạo hàm riêng liên tục cấp Khi đạo hàm riêng f tính thành phần Ví dụ, m = n = 3, f (u, v) = (f1 (u, v), f2 (u, v), f3 (u, v)), ³ ∂f ∂f ∂f ´ ∂f = , , , ∂u ∂u ∂u ∂u ³ ∂f ∂f ∂f ´ ∂f = , , , ∂v ∂v ∂v ∂v tương tự cho đạo hàm cấp cao Chúng ta thường dùng cách viết ngắn gọn sau: ∂f = fu , ∂u 46 ∂f = fv , ∂v CHƯƠNG MẶT CONG 4.2 MẶT TRƠN ∂ 2f = fuu , ∂u2 ∂ 2f = fuv , ∂u∂v ∂2f = fvv , ∂v tương tự Chú ý fuv = fvu , tất đạo hàm riêng thành phần f liên tục Bây nói đến tính trơn miếng vá σ : U → R3 đồ S Tuy nhiên cần thêm điều kiện Định nghĩa 4.2 Một miếng vá σ : U → R3 gọi qui trơn véctơ σ u σ v độc lập tuyến tính điểm (u, v) ∈ U Một cách tương đương, σ trơn đồng thời tích véctơ σ u × σ v khác véctơ khơng điểm U Cuối đến định nghĩa lớp mặt học sách Định nghĩa 4.3 Một trơn mặt σ mà đồ bao gồm miếng vá qui Ví dụ 4.4 Mặt phẳng Ví dụ 4.1 mặt trơn Do σ(u, v) = a + up + vq rõ ràng trơn σ u = p, σ v = q độc lập tuyến tính (vì p q theo cách chọn véctơ có độ dài đơn vị vng góc với nhau) ˜ trơn Để kiếm tra tính Ví dụ 4.5 Mặt cầu có bán kính đơn vị S Ví dụ 4.2, có σ σ qui, tính σ θ = (− sin θ cos ϕ, − sin θ sin ϕ, cos θ), σ ϕ = (− cos θ sin ϕ, cos θ cos ϕ, 0), dẫn đến σ θ × σ ϕ = (− cos2 θ cos ϕ, − cos2 θ sin ϕ, − sin θ cos θ) kσ θ × σ ϕ k = | cos θ| Hơn (θ, ϕ) ∈ U , −π/2 < θ < π/2, cos θ 6= Tương ˜ tự, kiểm tra tính qui σ Trong Bài tập 4.3 cho họ miếng vá khác phủ mặt cầu đơn vị S , dễ dàng kiểm tra tính qui chúng (xem Bài tập 4.7) Cùng với Ví dụ 4.5, có hai đồ cho S bao gồm miếng vá qui, câu hỏi đặt ra: đồ dùng để nghiên cứu mặt cầu? Câu trả lời dùng một, hai Với tám miếng vá Bài tập 4.3 với Ví dụ 4.5 ta có đồ thứ ba Trong hầu hết trường hợp (không phải tất cả, xem Định nghĩa 4.5), với mặt ta dùng thuật ngữ đồ cực đại, đồ chứa tất miếng vá qui σ : U → S ∩ W , U W , tương ứng, tập mở R2 R3 Các miếng vá gọi miếng vá chấp nhận S Bản đồ cực đại không phụ thuộc vào cách chọn Hai kết khơng thú vị ngay, chúng quan trọng cho hệ sau Mệnh đề 4.1 Các ánh xạ chuyển mặt trơn trơn Chứng minh khẳng định trình bày Tiết 4.7 Kết điều khẳng định ngược lại 47 4.2 MẶT TRƠN CHƯƠNG MẶT CONG Mệnh đề 4.2 Giả sử U U˜ tập mở R2 σ : U → R3 miếng vá qui Giả sử Φ : U˜ → U song ánh trơn với ánh xạ ngược Φ−1 : U → U˜ trơn Khi đó, ˜ = σ ◦ Φ : U˜ → R3 miếng vá qui σ ˜ trơn hợp thành ánh xạ trơn trơn Với tính Chứng minh Miếng vá σ qui, giả sử (u, v) = Φ(˜ u, v˜) Theo qui tắc dây chuyền, ˜ u˜ = σ ∂u ∂v σu + σv , ∂ u˜ ∂ u˜ ˜ v˜ = σ ∂u ∂v ´ σu × σv ∂ u˜ ∂˜ v ∂˜ v ∂ u˜ Vơ hướng vế phải phương trình nh thc ca ma trn Jacobi u u ả v J(Φ) = ∂∂vu˜ ∂˜ ∂v ˜ u˜ × σ ˜ v˜ = σ ³ ∂u ∂v ∂u ∂v σu + σv , , ∂˜ v ∂˜ v − ∂u ˜ (4.1) ∂˜ v ˜ hai ánh xạ tập mở R2 , Φ Nhắc lại kiến thức giải tích, Ψ Ψ ˜ ◦ Ψ) = J(Ψ)J(Ψ) ˜ J(Ψ ˜ ◦ Ψ.) (Thật ra, điều tương đương với qui tắc dây chuyền cho đạo hàm riêng cấp Ψ −1 −1 −1 ˜ = Φ , ta có J(Φ ) = J(Φ) Đặc biệt, J(Φ) khả nghịch, định thức Lấy Ψ = Φ Ψ ˜ qui khác khơng từ Pt (4.1) suy σ ˜ mệnh đề trên, nói σ ˜ tham số Nếu miếng vá qui σ σ hóa lại σ, cịn Φ ánh xạ chuyển Chú ý σ tham số hóa lại ˜ σ = σ ˜ ◦ Φ−1 σ, ˜ hai miếng vá chấp nhận ˜ : U˜ → S ∩ W Cũng ý rằng, σ : U → S ∩ W σ ˜ ˜ ˜, ˜ V˜ ) = S ∩ W ∩ W mặt trơn S, V ⊆ U V ⊆ U tập mở cho σ(V ) = σ( ˜ : V˜ → V song ánh, trơn có ánh xạ ngược trơn Mệnh đề 4.1 Vì Φ = σ −1 ◦ σ ˜ tham số hóa lại σ nơi mà hai xác định vậy, σ Nhận xét dẫn đến nguyên lí mà sử dụng suốt sách Đó là, định nghĩa tính chất mặt cho trước định nghĩa cho miếng vá qui với điều kiện khơng thay đổi miếng vá tham số hóa lại Để minh họa nguyên lí này, định nghĩa gọi ánh xạ trơn f : S1 → S2 , S1 S2 mặt trơn Theo ngun lí chung chúng ta, giả sử S1 S2 phủ miếng vá σ : U1 → R3 σ : U2 → R3 , định nghĩa phải không bị ảnh hưởng tham số hóa lại σ σ Do σ σ song ánh, ánh xạ f : S1 → S2 cho ta ánh xạ σ −1 ◦ f ◦ σ : U1 → U2 , nói f trơn ánh xạ trơn (chúng ta ˜ : U˜1 → R3 có khái niệm trơn ánh xạ tập mở R2 ) Bây giả sử σ ˜ : U˜2 → R3 tham số hóa lại σ σ , với Φ1 : U˜1 → U1 Φ2 : U˜2 → U2 tương σ ˜1 ˜ −1 ứng ánh xạ tham số hóa lại Chúng ta phải chứng tỏ ánh xạ tương ứng σ ◦f ◦σ −1 trơn σ ◦ f ◦ σ trơn Điều đúng, ˜1 ˜1 ◦ σ ˜ −1 ˜2 ◦ σ ˜ −1 ˜1 = σ ˜ −1 ˜ −1 σ )◦σ ) ◦ f ◦ (σ ◦ (σ ◦f ◦σ ˜ 1) ˜ −1 ˜ ) ◦ (σ −1 ˜ −1 = (σ )◦σ ◦ f ◦ σ ) ◦ (σ ◦σ −1 −1 = Φ2 ◦ (σ ◦ f ◦ σ ) ◦ Φ1 , 48 CHƯƠNG MẶT CONG 4.2 MẶT TRƠN Φ1 , Φ−1 ánh xạ trơn (giữa tập mở R ) Phần kiểm tra hợp thành ánh xạ trơn mặt ánh xạ trơn dành lại cho bạn đọc Chúng ta đặc biệt quan tâm đến ánh xạ trơn f : S1 → S2 mà song ánh ánh xạ ngược f −1 : S2 → S1 trơn Những ánh xạ gọi vi phơi, có vi phơi S1 S2 gọi vi phôi với Sau tính chất cần thiết: Mệnh đề 4.3 Giả sử f : S1 → S2 vi phôi Nếu σ mảnh vá chấp nhận S1 f ◦ σ mảnh vá chấp nhận σ Chứng minh Chúng ta giả sử S1 S2 phủ tương ứng mảnh vá σ : U1 → R3 σ : U2 → R3 Do f vi phôi, f (σ (u, v)) = σ (F (u, v)), F : U1 → U2 song ánh, trơn F −1 trơn Từ Mệnh đề 4.2 ta có kết Ví dụ 4.6 Chúng ta xét ánh xạ quấn mặt phẳng lên mặt trụ tròn xoay có bán kính trục Oz, xét tham số hóa σ : U → R3 cho σ (u, v) = (cos u, sin u, v), U = {(u, v) ∈ R2 |0 < u < 2π} Nếu quấn toàn mặt phẳng lên mặt trụ ánh xạ khơng phải song ánh, mặt phẳng phải quấn quanh vô hạn lần Vì xét dải dài vơ hạn mặt phẳng Oyz với độ rộng 2π, có tham số hóa σ : U → R3 cho σ (u, v) = (0, u, v) Ta quấn dải quanh mặt trụ cho đường thẳng z = v song song với trục Oz quấn ’theo eo’ mặt trụ độ cao v so với mặt Oxy Do chiều rộng dải chu vi mặt trụ, điểm dải tương ứng điểm mặt trụ với góc cực u Như vậy, ánh xạ quấn biến điểm (0, u, v) dải thành điểm (cos u, sin u, v) mặt trụ, tức với kí hiệu f (0, u, v) = (cos u, sin u, v) Từ ta biểu thị F thông qua tham số đơn giản sau F (u, v) = (u, v), f (σ (u, v)) = σ (u, v) Chúng ta kết thúc tiết với việc xây dựng tổng quát cho mặt cong trơn Thật ra, chứng tỏ mặt cong trơn xây dựng Như thấy ví dụ trên, mặt thường cho mặt mức {(x, y, z) ∈ R3 |f (x, y, z) = c}, f hàm trơn c số Chúng ta cho c = cách thay f f − c, chẳng hạn mặt cầu đơn vị S mặt mức x2 + y + z = Trong ví dụ này, xây dựng đồ cách đặc biệt Kết mà bàn cho ta điều kiện đủ để mặt mức trơn !!!!!!!!!!!!!! Định lý 4.1 Giả sử cS tập R3 có tính chất sau: Mỗi điểm P ∈ S, tồn tập mở W R3 chứa P hàm trơn f : W → R cho (i) S ∩ W = {(x, y, z) ∈ W |f (x, y, z) = 0}; 49 4.2 MẶT TRƠN CHƯƠNG MẶT CONG (ii) Các đạo hàm riêng fx , fy fz khơng triệt tiêu P Khi đó, S mặt trơn Chứng minh trình bày Tiết 4.7 Ví dụ 4.7 Với mặt cầu đơn vị S , ta lấy W = R3 f (x, y, z) = x2 + y + z − Khi đó, (fx , fy , fz ) = (2x, 2y, 2z), k(fx , fy , fz )k = điểm S Suy (fx , fy , fz ) khác không nơi S Từ định lý ta có S mặt trơn Ví dụ 4.8 Với mặt nón phía Ví dụ 4.3, f (x, y, z) = x2 + y − z Khi đó, (fx , fy , fz ) = (2x, 2y, −2z), triệt tiêu đỉnh (0, 0, 0) Bỏ đỉnh ta có mặt trơn, thấy mặt trơn Trong phần lại sách, mặt cong hiểu mặt cong trơn, mảnh vá hiểu mảnh vá trơn qui (hoặc cách tương đương mảnh vá chấp nhận được) Nếu không nhấn mạnh tất mặt cong giả thiết liên thơng, tức hai điểm S tìm đường cong qua chúng nằm trọn S Điều giả thiết khơng phải q nghiêm ngặt, khơng khó khăn chứng minh mặt cong hợp rời mặt cong liên thơng, nghiên cứu riêng lẻ thành phần liên thông Tất mặt ví dụ nói mặt liên thơng ngoại trừ mặt nón hai tầng Ví dụ 4.3, mặt hợp rời hai nửa nón S± bỏ đỉnh (để trở thành mặt cong) BÀI TẬP 4.6 Chứng minh rằng, f (x, y) hàm trơn, đồ thị {(x, y, z) ∈ R3 | z = f (x, y)} mặt trơn với đồ gồm mảnh vá qui σ(u, v) = (u, v, f (u, v)) 4.7 Kiểm tra sáu mảnh vá mặt cầu đơn vị Ví dụ 4.3 qui Tính ánh xạ chuyển chúng chứng tỏ ánh xạ trơn 4.8 Chứng minh σ(r, θ) = (r cosh θ, r sinh θ, r2 ) tham số hyperbolic paraboloid z = x2 − y phần z > (Hình vẽ hyperbolic paraboloid tìm thấy Mệnh đề 4.6.) Sử dụng Bài tập 4.6 để tìm ˜ cho mảnh vá nói trên, chứng tỏ σ ˜ tham số hóa lại tham số hóa khác σ σ Tương tự tìm hai tham số hóa cho phần z < hyperbolic paraboloid 4.9 Chứng minh mặt mức x2 y z + + = 1, a2 b c a, b c số khác không, mặt trơn (được gọi mặt ellipsoid) (Hình vẽ ellipsoid tìm thấy Mệnh đề 4.6.) 50 CHƯƠNG MẶT CONG 4.3 MẶT TIẾP XÚC, PHÁP TUYẾN VÀ TÍNH ĐỊNH HƯỚNG 4.10 Một mặt xuyến thu từ phép quay đường tròn C nằm mặt phẳng Π xung quanh đường thẳng L (không cắt C) nằm Π Chọn Π mặt phẳng Oxz, L trục Oz, a > khoảng cách từ tâm C đến L, b < a bán kính C Chứng minh mặt xuyến mặt trơn, hai cách sau: (i) Thông qua đồ gồm mảnh vá σ(θ, ϕ) = ((a + b cos θ) cos ϕ, (a + b cos θ) sin ϕ, b sin θ), với (θ, ϕ) khoảng mở thích hợp R2 (ii) Thơng qua việc xem mặt mức xác định (x2 + y + z + a2 − b2 )2 = 4a2 (x2 + y ) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4.11 Với S mặt trơn, ta định nghĩa khái niệm hàm trơn S → R Chứng minh rằng, S mặt trơn, ánh xạ thành phần ánh xạ nhúng S → R3 hàm trơn S → R 4.12 Chứng minh phép tịnh tiến phép biến đổi tuyến tính khả nghịch R3 biến mặt trơn thành mặt trơn 4.3 Mặt tiếp xúc, pháp tuyến tính định hướng Một cách tự nhiên nghiên cứu mặt cong S tìm hiểu qua đường cong (trơn) γ nằm S Nếu γ : (α, β) → R3 nằm ảnh mảnh vá σ : U → R3 đồ S, tồn ánh xạ (α, β) → U , biến t → (u(t), v(t)), cho γ(t) = σ(u(t), v(t)) (4.2) Trong u v cần thiết phải hàm trơn (xem Bài tập 4.30) Ngược lại, t → (u(t), v(t)) trơn, Pt (4.2) xác định đường cong nằm S Tổng quát, γ đường cong S giả sử γ(t0 ) điểm γ nằm mảnh vá σ cS, Pt (4.2) với t thuộc tập mở chứa t0 Vì hạn chế trường hợp đường cong có dạng (4.2) Định nghĩa 4.4 Không gian tiếp xúc điểm P mặt cS tập hợp tất véctơ tiếp tuyến P tất đường cong cS qua P Mệnh đề 4.4 Giả sử σ : U → R3 mảnh vá mặt S chứa điểm P S, giả sử (u, v) hệ tọa độ U Khi đó, khơng gian tiếp xúc với S P không gian véctơ R3 sinh véctơ σ u σ v (các đạo ánh xác định điểm (u0 , v0 ) ∈ U mà σ(u0 , v0 ) = P ) Chứng minh Giả sử γ đường cong trơn S, chẳng hạn cho γ(t) = σ(u(t), v(t)) Kí hiệu d/dt dấu chấm Theo luật hợp thành, ta có γ˙ = σ u u˙ + σ v v ˙ 51 ... hyperboloid hai tầng: z2 r2 − x2 p2 x2 p2 + y2 q2 =z (iv) paraboloid elliptic: x2 p2 (v) paraboloid hyperbolic: (vi) mặt nón bậc hai: (vii) mặt trụ elliptic: x2 p2 x2 p2 + + y2 q2 x2 p2 (viii) mặt trụ... mặt trụ hyperbolic: y2 q2 − − − y2 q2 z2 r2 z2 r2 =1 y2 q2 =1 =z =0 =1 − y2 q2 =1 (ix) mặt trụ parabolic: xp2 = y (x) mặt phẳng: x = (xi) cặp mặt phẳng song song: x2 = p2 (xii) cặp mặt phẳng... song: x2 = p2 (xii) cặp mặt phẳng cắt nhau: (xiii) đường thẳng x2 p2 + y2 q2 x2 p2 + y2 q2 + (xiv) điểm: x2 p2 − y2 q2 =0 =0 z2 r2 = 58 CHƯƠNG MẶT CONG 4.5 CÁC MẶT BẬC HAI Chứng minh Chứng minh