Đang tải... (xem toàn văn)
Phần 1 của cuốn sách Cơ sở hình học vi phân cung cấp cho bạn đọc những nội dung về: đường cong; tham số hóa lại; quan hệ giữa đường cong định mức và đường cong tham số; uốn cong; đường trong không gian; tính chất toàn cục; đường cong đóng đơn; bất đẳng thức chu; định lý bốn đỉnh;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Cơ sở hình học vi phân, A Pressley Người dịch: Phó Đức Tài Ngày 21 tháng 12 năm 2010 Mục lục Đường cong 1.1 Đường cong gì? 1.2 Độ dài cung 1.3 Tham số hóa lại 1.4 Quan hệ đường cong định mức đường cong tham số 1 12 Uốn cong 2.1 Độ cong 2.2 Các đường cong phẳng 2.3 Đường không gian 16 16 20 26 Tính chất tồn cục 3.1 Đường cong đóng đơn 3.2 Bất đẳng thức đẳng chu 3.3 Định lý Bốn đỉnh 34 34 37 40 Mặt cong 4.1 Mặt cong gì? 4.2 Mặt trơn 4.3 Mặt tiếp xúc, pháp tuyến tính định hướng 4.4 Các ví dụ mặt 4.5 Các mặt bậc hai 4.6 Các hệ trực giao ba 4.7 Các ứng dụng Định lý hàm ngược 42 42 46 51 54 57 61 63 66 66 67 67 67 67 68 68 70 72 72 Dạng thứ 5.1 Độ dài đường cong mặt 5.2 Các mặt đẳng cự 5.3 Ánh xạ bảo giác mặt 5.4 Diện tích mặt 5.5 Ánh xạ đẳng diện Định lý Archimedes Độ cong mặt 6.1 Dạng thứ hai 6.2 Độ cong đường cong mặt 6.3 Độ cong chuẩn tắc độ cong 6.4 Mơ tả hình học độ cong ii Độ cong Gauss 7.1 Độ cong Gauss độ cong trung bình 7.2 Mặt giả cầu 7.3 Mặt dẹt 2R2 3R3 iii 73 73 76 79 Lời ngỏ Hình học vi phân tựa đề sách đề cập đến việc nghiên cứu hình học đường cong mặt cong không gian chiều dùng kỹ thuật tính tốn giải tích Mơn học hàm chứa số kết đẹp đẽ Tốn học, ngồi để hiểu hầu hết kết cần số kiến thức tảng giải tích (bao gồm đạo hàm riêng), tính tốn véctơ đại số tuyến tính (bao gồm ma trận định thức) Rất nhiều kết đường cong mặt cong mà thảo luận sách dạng sơ khai kết tổng quát trường hợp chiều cao, chẳng hạn định lý Gauss-Bonnet, chương 11, dạng sơ khai số lớn kết mối quan hệ tính chất ’địa phương’ ’tồn cục’ đối tượng hình học Việc nghiên cứu quan hệ tạo mảng Tốn học kỷ XX Chúng muốn nhấn mạnh rằng, phương pháp sử dụng sách khơng thiết mở rộng lên chiều cao (Chẳng hạn khái niệm ’liên kết’ không bàn đến suốt sách) Chúng cố gắng dùng hướng tiếp cận đơn giản để chứng minh kết Nó không nhằm hạn chế kiến thức cần phải bổ sung, mà giúp tránh khái niệm khó thường gặp nghiên cứu Hình học vi phân chiều cao Chúng hy vọng cách tiếp cận làm cho mơn học đẹp đẽ đến với nhiều độc giả Một thật khơng thể học tốn cách đọc lý thuyết mà cịn phải thực hành thơng qua việc giải tập Có khoảng 200 tập, bạn đọc nên cố gắng giải nhiều tốt Lời người dịch: Bản dịch sách chưa hoàn thành, số chương nhiều hình vẽ chưa thực Chúng mong cộng tác tự nguyện để bạn sinh viên, học viên cao học có tài liệu tham khảo tiếng Việt Mọi ý kiến đóng góp xin gửi e-mail đến địa phoductai gmail.com iv Chương Đường cong mặt phẳng không gian Trong chương thảo luận hai định nghĩa khái niệm (trực giác) đường cong Quan hệ chúng khó nhận ra, bắt đầu vài ví dụ đường cong với định nghĩa, từ thực hành ta có mối liên kết chúng 1.1 Đường cong gì? Nếu có hỏi cho ví dụ đường cong, bạn cho đường thẳng, chẳng hạn y − 2x = (mặc dù khơng cong), đường trịn, chẳng hạn x2 + y = 1, có lẽ parabôn, chẳng hạn y − x2 = y-2x=1 y-x = 2 x + y = Tất đường cong mô tả thơng qua phương trình chúng hệ tọa độ Descartes f (x, y) = c, f hàm có biến x, y c số Theo quan điểm đó, đường cong tập hợp điểm, C = {(x, y) ∈ R2 |f (x, y) = 0} (1.1) Những ví dụ đường cong mặt phẳng R2 , xét đường cong R3 - ví dụ, trục x hệ tọa độ chiều đường thẳng cho {(x, y, z) ∈ R3 |y = z = 0}, tổng quát hơn, đường cong R3 định nghĩa cặp phương trình f1 (x, y, z) = c1 , f2 (x, y, z) = c2 1.1 ĐƯỜNG CONG LÀ GÌ? CHƯƠNG ĐƯỜNG CONG Đường cong có dạng gọi đường định mức (level curve), theo nghĩa, chẳng hạn đường cong cho Pt (1.1), gồm điểm (x, y) mặt phẳng có đại lượng f (x, y) đạt mức c Có cách khác để mơ tả đường cong mà hóa tiện ích nhiều trường hợp Đó quỹ tích điểm chuyển động Do đó, γ(t) vị trí vectơ điểm thời điểm t đường cong mô tả hàm γ biến số t nhận giá trị véctơ (trong R2 cho đường cong phẳng, R3 cho đường cong không gian) Chúng ta sử dụng ý tưởng để đưa định nghĩa hình thức cho đường cong Rn (chúng ta quan tâm hai trường hợp n = 3, để thuận tiện xét chúng đồng thời): Định nghĩa 1.1 Một đường cong tham số (hoặc gọi cung tham số) Rn ánh xạ γ : (α, β) → Rn , với α, β thỏa mãn −∞ ≤ α < β ≤ ∞ Kí hiệu (α, β) khoảng mở (α, β) = {t ∈ R|α < t < β} Một đường cong tham số có ảnh chứa đường cong định mức gọi tham số hóa (thành phần) C Các ví dụ minh họa cách thực hành làm từ đường cong định mức để có đường cong tham số ngược lại Ví dụ 1.1 Tìm tham số hóa γ(t) cho parabơn y = x2 Nếu γ(t) = (γ1 (t), γ2 (t)), thành phần γ1 γ2 γ phải thỏa mãn γ2 (t) = γ1 (t)2 (1.2) với t khoảng (α, β) mà γ định nghĩa (chưa xác định), điểm nằm parabơn phải có tọa độ (γ1 (t), γ2 (t)) với t ∈ (α, β) Rõ ràng, nhận nghiệm Pt (1.2) γ1 (t) = t, γ2 (t) = t2 Để xác định tất điểm parabôn, cho t nhận giá trị số thực (vì γ(t) có tọa độ đầu t, mà tọa độ đầu điểm parabôn số thực bất kỳ), lấy (α, β) = (−∞, ∞) Do đó, ta có tham số hóa: γ : (−∞, ∞) → R2 , γ(t) = (t, t2 ) Nhưng tham số hóa parabơn cho Chẳng hạn tham số hóa khác, chẳng hạn γ(t) = (t3 , t6 ) (với (α, β) = (−∞, ∞)) Hoặc dạng khác (2t, 4t2 ), dĩ nhiên có (vơ số) dạng khác Như vậy, tham số hóa đường cong định mức cho trước khơng 2 Ví dụ làm tương tự ví dụ trên, lấy x = t √ 1.2 Xét đường trịn x + y = Nếu √ y = − t (chúng ta chọn y = − − t2 ) Như có tham số hóa √ γ(t) = (t, − t2 ) √ Nhưng tham số hóa √ nửa đường trịn, − t luôn ≥ Tương tự, chọn y = − − t2 phủ nửa đường trịn Nếu muốn có tham số hóa tồn đường trịn phải tìm cách khác Chúng ta cần tìm hàm số γ1 (t) γ2 (t) cho chúng thỏa mãn γ1 (t)2 + γ2 (t)2 = (1.3) với t ∈ (α, β) Có nghiệm hiển nhiên Pt (1.3) là: γ1 (t) = cos t γ2 (t) = sin t (vì cos2 t + sin2 t = với t) Chúng ta chọn (α, β) = (−∞, ∞), thừa Chỉ cần lấy khoảng mở (α, β) có khoảng cách lớn 2π đủ CHƯƠNG ĐƯỜNG CONG 1.1 ĐƯỜNG CONG LÀ GÌ? Ví dụ sau cách làm để từ đường cong tham số hóa ta tìm đường cong định mức Ví dụ 1.3 Xét đường cong tham số hóa sau, gọi astroid (đường hình sao): γ(t) = (cos3 t, sin3 t) Do cos2 t + sin2 t = với t, nên tọa độ x = cos3 t, y = sin3 t điểm γ(t) thỏa mãn x2/3 + y 2/3 = Đường cong định mức trùng với ảnh ánh xạ γ Trong sách nghiên cứu đường cong (và sau đó, mặt cong) sử dụng tính tốn giải tích Để lấy đạo hàm hàm giá trị véctơ γ(t) (như Định nghĩa 1.1), lấy đạo hàm phần: γ(t) = (γ (t), γ (t), , γ n (t)) ³ dγ dγ dγ dγn ´ = , , , , dt dt dt dt ³ d2 γ d2 γ d2 γ d2 γn ´ = , , , , dt2 dt2 dt2 dt2 v.v ă (t) thay cho d2 γ/dt2 , v.v Để tiết kiệm, dùng kí hiệu γ(t) thay cho dγ/dt, γ Chúng ta nói γ trơn thành phần γ1 , γ2 , , γn γ trơn, tức tất đạo hàm dγi /dt, d2 γi /dt2 ,d3 γi /dt3 , tồn tại, với i = 1, 2, , n Kể từ sau, tất đường cong tham số hóa nói đến sách giả thiết trơn Định nghĩa 1.2 Giả sử γ(t) đường cong tham số hóa Khi đó, đạo hàm cấp dγ/dt gọi véctơ tiếp xúc γ điểm γ(t) Để tìm hiểu ý nghĩa cho thuật ngữ này, xét vectơ γ(t + δt) − γ(t) δt song song với cung nối điểm γ(t) γ(t + δt) ảnh C γ: γ(t+δt) γ(t) Chúng ta mong chờ, δt tiến tới 0, dây cung song song với tiếp tuyến C γ(t) Do đó, tiếp tuyến phải song song với dγ γ(t + δt) − γ(t) = δt→0 δt dt lim Bằng trực giác dễ thấy kết sau đây: 1.1 ĐƯỜNG CONG LÀ GÌ? CHƯƠNG ĐƯỜNG CONG Mệnh đề 1.1 Nếu vectơ tiếp xúc đường cong tham số vectơ hằng, ảnh đường cong (một phần) đường thẳng ˙ Chứng minh Giả sử γ(t) = a với t, a vectơ Lấy tích phân hai vế, ta có Z Z dγ γ(t) = dt = adt = ta + b, dt với b vectơ khác Nếu a 6= 0, phương trình tham số đường thẳng song song với a qua điểm đích vectơ b: ta γ(t) a b Nếu a = ảnh γ điểm đơn, trùng với điểm đích vectơ b BÀI TẬP 1.1 Hãy kiểm tra xem γ(t) = (t2 , t4 ) có phải tham số hóa parabơn y = x2 hay khơng? 1.2 Tìm tham số hóa đường cong định mức sau: (i) y − x2 = 1; (ii) x2 + y2 = 1.3 Tìm phương trình hệ tọa độ Descartes đường cong tham số: (i) γ(t) = (cos2 t, sin2 t); (ii) γ(t) = (et , t2 ) 1.4 Tính véctơ tiếp xúc đường cong Bài tập 1.3 1.5 Phác họa đường hình Ví dụ 1.3 Tính vectơ tiếp xúc điểm Tại điểm có vectơ tiếp xúc vectơ không? 1.6 Giả sử P điểm nằm đường trịn C có bán kính a > có tâm điểm (0, a) hệ tọa độ Oxy Đường thẳng qua P gốc tọa độ cắt đường thẳng y = 2a Q, đường thẳng qua P song song với trục x cắt đường thẳng qua Q song song với trục y R Khi P chạy quanh C quỹ tích R đường cong, gọi ma thuật Agnesi (witch of Agnesi) Đối với đường cong này: (i) Tìm tham số hóa; (ii) Tìm phương trình hệ tọa độ Descartes Nd: Đường cong "witch of Agnesi" Maria Agnesi trình bày sách Toán tiếng Ý bà vào 1748 (được xem tác phẩm Toán học phụ nữ viết) CHƯƠNG ĐƯỜNG CONG 1.2 ĐỘ DÀI CUNG Q P R ρ O 1.7 Quỹ tích điểm cố định đường trịn đường trịn lăn (khơng trượt) dọc theo đường thẳng gọi đường cong xycloit (cycloid) Chứng minh đường thẳng trục x đường trịn có bán kính a > xycloit tham số hóa γ(t) = a(t − sin t, − cos t) 1.8 Tổng quát hóa tập trên, tìm tham số hóa êpixycloit (tương ứng, hypơxycloit), quỹ tích điểm cố định đường trịn đường trịn lăn (khơng trượt) phía ngồi (tương ứng, bên trong) tựa theo đường tròn 1.9 Chứng minh γ(t) = (cos2 t − 12 , sin t cos t, sin t) tham số hóa đường cong giao mặt trụ có bán kính 21 xoay quanh trục z mặt cầu bán kính có tâm (− 12 , 0, 0) (Đường cong có tên gọi đường cong Viviani) 1.10 Chứng minh góc γ(t) vectơ tiếp xúc γ(t) không phụ thuộc t Ở đây, γ(t) = (et cos t, et sin t) đường xoắn ốc lơgarit (xem hình vẽ Ví dụ 1.4) 1.2 Độ dài cung Giả sử v = (v1 , , ) vectơ Rn với độ dài q kvk = v12 + · · · + vn2 Nếu u vectơ khác Rn ku − vk độ dài đoạn thẳng nối điểm biểu diễn u v Rn Để tìm cơng thức cho độ dài cho độ dài đường cong tham số γ, ta ý rằng, δt bé, phần ảnh C γ γ(t) γ(t + δt) gần đoạn thẳng, độ dài xấp xỉ kγ(t + δt) − γ(t)k 1.2 ĐỘ DÀI CUNG CHƯƠNG ĐƯỜNG CONG ˙ Hơn nữa, δt nhỏ, (γ(t + δt) − γ(t))/δt xấp xỉ γ(t), độ dài xấp xỉ ˙ kγ(t)kδt (1.4) Nếu muốn tính độ dài phần (không thiết nhỏ) C chia thành nhiều đoạn, đoạn tương ứng với gia số nhỏ δt t, tính độ dài đoạn sử dụng 1.4, cộng kết lại Lấy δt tiến tới ta có xác độ dài Điều gợi mở đến định nghĩa sau đây: Định nghĩa 1.3 Độ dài cung đường cong γ xuất phát từ điểm γ(t0 ) hàm số s(t) cho Z t ˙ s(t) = kγ(u)k du t0 Vậy s(t0 ) = s(t) dương âm phụ thuộc vào t lớn hay bé t0 Nếu ta chọn R t˜ điểm khởi đầu γ(t˜0 ) khác, độ dài cung s˜ khác s số t00 Ví dụ 1.4 Xét đường xoắn ốc lôgarit (logarithmic spiral) γ(t) = (et cos t, et sin t), 10 –15 –10 –5 10 15 –5 –10 –15 ta có γ˙ = (et (cos t − sin t), et (sin t + cos t)), ˙ = (e2t (cos t − sin t)2 + e2t (sin t + cos t)2 = 2e2t ∴ kγk ... lấy n = γ BÀI TẬP 1. 11 Tính độ dài cung dây xích (catenary) γ(t) = (t, cosh t) từ điểm (0, 1) 1. 12 Chứng minh đường cong có vận tốc đơn vị: ´ ³ (i) γ(t) = 13 (1 + t)3/2 , 31 (1 − t)3/2 , √t2 ;... hàm f số thỏa mãn điều kiện Định lý 1. 5 0.5 0.5 1. 5 2.5 –0.5 ? ?1 ? ?1. 5 1. 1 để biểu diễn đường cong lân cận điểm tự cắt BÀI TẬP 1. 17 Tổng quát hóa Định lý 1. 1 cho đường cong định mức R3 cho f (x,... ngỏ Hình học vi phân tựa đề sách đề cập đến vi? ??c nghiên cứu hình học đường cong mặt cong không gian chiều dùng kỹ thuật tính tốn giải tích Mơn học hàm chứa số kết đẹp đẽ Tốn học, ngồi để hiểu